なんで圏論なんてもんがあんのよ？

>>945
ご明察！

演習するぞ！演習するぞ！

圏論演習 (2)

今度は一寸むずいぞ。

群の圏に於いて、射（準同型写像）が圏論的な意味で単射（全射）であることと、
群構造を忘却した単なる写像として集合の圏で単射（全射）であることは同値。

>>948
単射については自明だから全射についてやってくれ。
それが難しければアーベル群の圏にすると易しくなる。。

群論演習くさいんだが・・・

確かにそうだとは言える。

GとGの自由積を考えて、それをHから対角的に来るもので割れば良いのか。
なるほど。

>>952
ご明察 !
今日はこれで終わり。

圏論演習 (3)

可換体 K 上の線型空間の圏 C は、その双対圏 C^op と圏同値でないことを示せ

双対があれば直和は直積に、直積は直和に移り、
直和から直積への標準写像はまた直和から直積への標準写像に移る。
kの無限直和と無限直積を考えた場合、非同型単射は非同型全射に移る筈なので矛盾。

>>955
双対によって単射が全射になるので何処が矛盾？

標準写像（単射）が標準写像（単射）に移るのが矛盾。

>>957
標準写像の定義によっても問題点が異なってくるが、
標準写像は何故常に単射なの？

考えているのはkの直和・直積の場合。
universalityから定まる\bigoplus k→\prod kは、
通常の単射と一致する。

ｋの必要は無いか。

>>959
標準写像の定義を、 k → \prod k なる写像の族を作って、直和の定義より、
\bigoplus k → \prod k を構成するという仕方で定義したのでは、
標準写像が標準写像に移ることが明らかではありませんね。

V_n→\bigoplus_nV_n→\prod_nV_n→V_nが恒等なら
F(V_n)→F(\prod_nV_n)→F(\bigoplus_nV_n)→F(V_n)も恒等でしょ。

その定義ならＯＫです。
（一寸余計なやりとりがあったが）ご明察 !

ネタ本とかあるん？

ネタ本はあることはあるが暫くは秘密。
取りあえず今日はここまで。

CはAB5だがcoAB5ではないではダメ？

>>966
それでもOK

応用上良く出てくる圏 C では、その双対圏 C^op と圏同値になる物は少なかったが、
同値になる有名な例として局所コンパクトハウスドルフ位相アーベル群と
連続準同型のなす圏があげられる。
（ポントリャーギンの双対定理）

では設問 有限アーベル群の圏 C は、その双対圏 C^op と圏同値になることを示せ。

メル欄

AB5ってなに

>>969
「メル欄」が今分った。
ご明察 ！

知ってる人間にはすぐの問題だから、メール欄にしますた。

圏論演習 (5)

単位元を有する環と、単位元を単位元に写す環準同型のなす圏を C とする。

F ： C → C を F(R) = M_n(R) ： n次全行列環とする。 F の随伴関手（右か左かは分るよねー。）
を G とすると、 G(Z[x]) を求む。

質問なんだけどね。例えばRを実数としてさ。
M(2; R)からRへの、単位元を単位元に写す環準同型って存在するの。

無い。左ajointを構成しろという問題だろう。

>>974存在しない。
M(2; R)は単純環だから、これから他の環への単位的準同型は単射。

>>975
一般に adjoint を記述するのは面倒だから、G(Z[x]) だけ作って下さい。

Sに対してGSを以下で構成する。

1\le i,j\le nに対してS_{ij}:=S, V:=\bigoplus_{1\le i,j\le n}S_{ij}とし、
x\in Sに対してx_{ij}\in Vを(i,j)成分x、他は0なる元とする。

T(V)をVのZ上のtensor代数とし、T(V)のideal Iを
(xy)_{ij}-\sum_{k=1}^nx_{ik}y_{kj}　　(x,y\in S,1\le i,j\le n),
1_{ii}-1　　(1\le i\le n)
1_{ij} 　　(1\le i,j\le n, i\neq j)
で生成されるものとし、
G(S):=T(V)/Iとおく。

G(Z[x]) だけ作って、正しく左ajointかどうか判定できるもんなん？

まさか。

じゃ、そもそも左ajointかどうか不明なナニモノカを構成せよ、と
こういう出題な訳なん？？

>>975と漏れは思ってるが。

>>978
ご明察 !

G(Z[x])って簡単に記述できるの？

>>981
左adjoint は頭の中では構成出来るから不明ではないが、個別の G(Z[x]) も直接構成出来る。と言うこと。
今日はこれで終わり。
次回から誰か交替で出してくれ。

>>984
だから Z 上 n^2 変数 tensor algebra.

>>986
Z 上 n^2 変数 tensor algebraをTとすると、
Ring→SetのfunctorとしてHom(T,?)=Hom(Z[x],M_n(?))。
一方、米田補題より、左adjoint Gが存在すればT=G(Z[x])。
という筋道ですか。

>>973は難しかった。

次スレでつー

圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1089645233/

一年四日。

>>978の答え、よく理解できねーや。
誰か親切なヒト、漏れみたいな馬鹿にも分かるように、噛み砕いて説明して
下さいませんか。

>>990
ring hom f:S\to M_n(R)を与える事は、
group hom f_{ij}:S\to Rで
f_{ij}(xy)=\sum_{k=1}^nf_{ik}(x)f_{kj}(y)
f_{ij}(1)=\delta_{ij}
を満たすものを与える事と同値。

圏論って何。

>>970
任意の単射の帰納的極限がまた単射になるアーベル圏だったような。

一年五日。

この場合、ユニットS→F G(S)は具体的にどういう形になりまつか。