面白い問題おしえて〜な 六問目

>>915
答え書いてください。

メール欄を。

>>918
答えうｐしてください。

(1/2)^2+(1/3)^2+(1/4)^2+・・・>1にならないことを証明すればよい

>>920
それじゃだめじゃん。面積をくらべたらはいるかもしれないってだけじゃん。
たとえば
　
−問題−
２辺の長さが１０、１／１０の長方形の内部に一辺の長さが
１／２，１／３，１／４，……，１／ｎの小正方形を一つずつ入れていく。
このとき、いくつの正方形を入れることができるか？
　
なら一個もはいらないが答えでしょ？無限に入るが答えなら実際にうまい配置が
存在することをいわないと。

図書いた。
書き込みのコメントのところに、説明書いたけど
多分説明見なくても理解してもらえると思う。
ttp://funfunfun99.hp.infoseek.co.jp/cgi-bin/img-box/img20030924185639.png

>>922
なるほど。なっとく。

一つずつ

しかも1辺の長さが1/2、1/4、1/8、‥‥になってる気が。

Σ1/n は発散するよ。

>>925
左上に１／２の正方形を、右上に１／３の正方形を、
二段目左に１／４の正方形を、二段目左から２番目に１／５の正方形を・・・・
三段目左に１／８の正方形を、・・・・

だよ？

>>925
そう，その発散を証明するときの置き換えの逆をするわけ．
考慮すべきはΣ1/n^2よ．

なるほどね。理解しますた。

>>925
発散しないだろ

証明見せてくれ

するよ。

>>929
Σ(1/n)
= 1 + (1/2) + (1/3) + (1/4) + (1/5) + (1/6) + (1/7) + (1/8) + (1/9) + ・・・
≧ 1 + (1/2) + (1/4) + (1/4) + (1/8) + (1/8) + (1/8) + (1/8) + (1/16) + ・・・
= 1 + (1/2) + (1/2) + (1/2) + ・・・
→ ∞

>>912
だいぶ隙間が残ってるよね。
もう少しきつい条件でうまい解法がある問題作れないかな？

激ムズになるのはパス。
こういう問題って下手するとすぐ激ムズになるからね。
あくまでもうまい解法前提で。

Σ[i=2,∞](1/n)^2が0.645くらいだから、グズグズだね。

>>912の問題の拡張で、
一辺の長さの1/2,1/3,1/4,...が、一辺の長さが a の正方形の中に
全て入りきるための a の最小値は？
とするとどうだろう。予想では5/6なのだけど。

まさか・・・俺以外の人間が、ここと数学の部屋の両方に問題を掲示するとは・・・
>>912　俺が考えた問題じゃないから構わないけど、どうせ掲載するならもっと難しい問題にしてほしかった。

>>912の問題はコレ。元ネタは数学セミナー、エレガントな解答をもとむから
http://web2.incl.ne.jp/yaoki/seihou2.htm

というわけで、
http://web2.incl.ne.jp/yaoki/ndimeu.htm
こっちもどーぞ。

>>935
俺数学の部屋の方の出題者じゃないよ。
面白そうだったから転載しただけ。

著作権？
んなもん知らね
（ごめん・・・）

>>936
いや、だから文句なんて言ってないじゃん。
俺も自分で考えたんじゃないから、むしろ感謝してるぐらいだよ。　　さんくすな

いや、少し言ってるな・・・
ごめん、本当に感謝してる。

ｴｪｰ
なんで俺が感謝されるんだ
照れるな、おい

馴れ合いうざい

>>934
5/6というのは >915氏の
ttp://funfunfun99.hp.infoseek.co.jp/cgi-bin/img-box/img20030924185639.png
のヒントの図で、横方向をくっつけると1/2+1/3=5/6になるところからだろうが
縦方向は、どの段にも1/2^nの正方形があり、
1/2+1/4+1/8+...->1 だから、1/4以下の入れ方を工夫する必要がある。
どう入れ方を工夫しても5/6以上必要であることは、その通りだが。

>>941
そかそか。
一辺５／６以上必要なのは明らかなのか。
思考停止してた。

隙間は結構余ってるから直感では５／６で平気そうだな。
あとは入れ方を工夫するだけか。
がんばってみよっと。

この問題では自然数には0を含めないものとする。

a[1]=4 とする
�@a[n]-1が6の倍数である場合、または3の倍数でない場合
a[n+1]=2*a[n]
�Aa[n]-1が6の倍数ではないが、3の倍数である場合
a[n+1]=(a[n]-1)/3 または a[n+1]=2*a[n]

�@�Aより構成される数列{a[n],nは自然数}の項に
なりうる値全体の集合をSとしたとき、
Sは自然数全体の集合と等しいことを証明せよ。

ちょっと考えなくてもアレのパクリだというのは分かります
解けたら神

この問題では自然数には0を含めないものとする。

a[1]=4 とする
�@a[n]-1が6の倍数である場合、または3の倍数でない場合
a[n+1]=2*a[n]
�Aa[n]-1が6の倍数ではないが、3の倍数である場合
a[n+1]=(a[n]-1)/3 または a[n+1]=2*a[n]

�@�Aより構成される数列{a[n],nは自然数}の項に
なりうる値全体の集合をSとしたとき、
Sは自然数全体の集合と等しいことを証明せよ。

ちょっと考えなくてもアレのパクリだというのは分かる
解けたら神

>>934
Σ[i=2,∞](1/n)^2が0.645くらいで、
(5/6)^2が0.694くらいだからきついな・・・

>>934
成功しました！
ttp://funfunfun99.hp.infoseek.co.jp/cgi-bin/img-box/img20030927014911.png

Excelなのはつっこまないでｗ

>>946
４０から４７はどこに置くの？

なんでExcelなんだ！（怒

>>946
ああ、３と１１の間の茶色がそうか。
縦に並べてくわけね。

おお、すごい
おみごと！

ttp://www.microprizes.com/mp32.htm
こういう問題を理詰めで解く方法ってありますか？

>>951
１５回で食べれた！
４つくらい食べこぼしのカスがあるけどｗ

>>951
この手の問題を総称して「箱詰め問題」というらしい。
円や長方形の中に、円や長方形を詰め込む問題が
よく知られているが、少なくともそれらは、理詰めの
解法やアルゴリズムは見つかっていないそうだ。

>>951
99.9%までは食べれるのだが、なかなか全部食べきらん……。

Packing関係なら
http://www.stetson.edu/~efriedma/packing.html
が詳しいよ。

>>951のやつ、端っこがどうも効率悪く食べてるような・・・
もまいらはどうやって端っこ食べてる？

ウィリアム パウンドストーン「ビル・ゲイツの面接試験」から紹介。
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4791760468/249-0836840-8612300

長方形のカステラがあります。
ですが誰かが、すでに小さな長方形を切り取ってしまっています。
┌──────────┐
│　　　　　　　　　　│
│　　　　　　　　　　│
│　　　　　　　　　　│
│　　　　　　　┌──┘
│　　　　　　　│
│　　　　　　　│
│　　　　　　　│
│　　　　　　　│
└───────┘

さて、残りのカステラにただ1回、直線に包丁を入れるだけで、
同じ大きさに2分割するためにはどうすればいいでしょうか？

(注1) 横やナナメに切って上下に分ける、というのはナシです。
　　　下のほうはザラメ付きでおいしいですもんね。
(注2) 切り分けた2つの断片が同じ「形に」なる必要はありません。
　　　上から見て同じ面積(=つまり、同じ体積)ならばOK。

ズレた。卯津市。

>>956
両長方形の対角線の交点同士を結ぶ直線で切ろう。

こんな超既出な問題を面接に使うなんてビルゲイツは

>>953 >>954
情報どうも。充填や被覆はかなり難しい問題のようですね。
調べてみたら、最密充填に関するケプラーの予想が解決したのも
最近のことだそうで。 ttp://citeseer.nj.nec.com/hales98sphere.html
それはそれとして99.9%までしか食えん自分にガックシ…

>>951
クリアできたよｰ。
よく見ると微妙にかすがのこってるけど、それはOKらしい。
http://funfunfun99.hp.infoseek.co.jp/cgi-bin/img-box/img20030928002031.jpg

かす残らんようにも出来るよ。
ちなみに１４回で99.5％まで食べることも出来た。

14口で食えないことは証明できるんだろうか

一回に食べる分×14がパイ全体の面積に足らないことを証明すればよい

って書いてる途中に思ったけどこれじゃ駄目なんだね
円って難しい

それと15口で食べつくす方法がワカンネ

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