線形代数/線型代数 総合スレッド
>>373
できたと思う↓
fは0でない環準同型でM[n](K)は0と自分自身しか両側イデアルがないのでfは自己同型である。
Eij=(i行j列のみ1でのこり0の行列)、vi=(第i成分のみ1でのこり0のベクトル)とおく。
Fij=f(Eij)とおく。まずfはランクを保つ。(∵行列AにたいしrankA=n-(1/n)dim{X|AX=0})
よってFiiはべき等であるランク1の行列。またEiiはたがいに可換なのでFiiも互いに可換かつ
その固有値はすべてKの元なので基底(wi)をFii(wj)=δijwjとなるようにとることができる。
(δijはクロネッカーのデルタ。)いまwiをviにうつす線形写像をあらわす行列をQとし
g(X)=Q^(-1)XQでさだめる。このときgfも線形写像で環準同型でgf(Eii)=Eiiで
∃P∀X f(X)=P^(-1)XP⇔∃P∀X gf(X)=P^(-1)XPであるから最初からf(Eii)=Eiiと仮定してよい。
Ek･Fij･El=f(Ek･Eij･El)=δikδjlf(Eij)=δikδjlFij
であるからFij=λijEijとなるλij∈Kがとれる。行列Rを
Rjj=λj1、Rij=0 (i≠j)とおく。
R^(-1)Fi1R=Ei1であるからさきほどと同様に最初からf(Ei1)=Ei1と仮定してよい。
するとE11=E1j･Ej1=f(E1j)･f(Ej1)=λ1jE1j･Ej1=λ1jE11よりλ1j=1。∴F1j=E1j。
よってFij=f(Eij)=f(Ei1･E1j)=f(Ei1)･f(E1j)=Ei1･E1j=Eij (∀ij)
fは線形であったからfは恒等写像である。□
できたと思う↓
fは0でない環準同型でM[n](K)は0と自分自身しか両側イデアルがないのでfは自己同型である。
Eij=(i行j列のみ1でのこり0の行列)、vi=(第i成分のみ1でのこり0のベクトル)とおく。
Fij=f(Eij)とおく。まずfはランクを保つ。(∵行列AにたいしrankA=n-(1/n)dim{X|AX=0})
よってFiiはべき等であるランク1の行列。またEiiはたがいに可換なのでFiiも互いに可換かつ
その固有値はすべてKの元なので基底(wi)をFii(wj)=δijwjとなるようにとることができる。
(δijはクロネッカーのデルタ。)いまwiをviにうつす線形写像をあらわす行列をQとし
g(X)=Q^(-1)XQでさだめる。このときgfも線形写像で環準同型でgf(Eii)=Eiiで
∃P∀X f(X)=P^(-1)XP⇔∃P∀X gf(X)=P^(-1)XPであるから最初からf(Eii)=Eiiと仮定してよい。
Ek･Fij･El=f(Ek･Eij･El)=δikδjlf(Eij)=δikδjlFij
であるからFij=λijEijとなるλij∈Kがとれる。行列Rを
Rjj=λj1、Rij=0 (i≠j)とおく。
R^(-1)Fi1R=Ei1であるからさきほどと同様に最初からf(Ei1)=Ei1と仮定してよい。
するとE11=E1j･Ej1=f(E1j)･f(Ej1)=λ1jE1j･Ej1=λ1jE11よりλ1j=1。∴F1j=E1j。
よってFij=f(Eij)=f(Ei1･E1j)=f(Ei1)･f(E1j)=Ei1･E1j=Eij (∀ij)
fは線形であったからfは恒等写像である。□
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