線形代数/線型代数 総合スレッド
373 ：１３２人目の素数さん：
M[n](K)(体K上のn次正方行列全体)上の線型写像 f ≠ 0 が次を満たすとする:
任意の X, Y ∈ M[n](K) に対して f(XY) = f(X)f(Y)
このとき、ある P ∈ M[n](K) を用いて
f(X) = P^{-1}XP (X∈M[n](K))
と表されることを示せ。
行列をK^n上の線型写像と見たとき、それらを f で写してもお互いの間の関係が変わら
ないなら、f は基底の取替えぐらいしか行っていない…という雰囲気なのは分かるので
すが、それ以上進まないです。自分で示すことが出来たのは
1. f は全単射となり、自己(環)同型写像である。
2. (あまり関係なさそだが) M[n](K)上の環同型がすべて条件を満たすわけではない
(ex. M[n](C)上の複素共役)。
3. X〜Y ならば f(X)〜f(Y) (〜: 相似, A〜B ⇔ ∃P, P^{-1}AP = B)
何かかすってるような、関係ないようなという感触なのですが…。
どなたかよろしくお願いします。
任意の X, Y ∈ M[n](K) に対して f(XY) = f(X)f(Y)
このとき、ある P ∈ M[n](K) を用いて
f(X) = P^{-1}XP (X∈M[n](K))
と表されることを示せ。
行列をK^n上の線型写像と見たとき、それらを f で写してもお互いの間の関係が変わら
ないなら、f は基底の取替えぐらいしか行っていない…という雰囲気なのは分かるので
すが、それ以上進まないです。自分で示すことが出来たのは
1. f は全単射となり、自己(環)同型写像である。
2. (あまり関係なさそだが) M[n](K)上の環同型がすべて条件を満たすわけではない
(ex. M[n](C)上の複素共役)。
3. X〜Y ならば f(X)〜f(Y) (〜: 相似, A〜B ⇔ ∃P, P^{-1}AP = B)
何かかすってるような、関係ないようなという感触なのですが…。
どなたかよろしくお願いします。
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