算数の問題
304 ：１３２人目の素数さん：
遅レスだが、276の問題は小学生が解く場合は比と線分図を使うことが多い。
スレの本来の趣旨に戻って出題。有名な問題かな。
∑［k=1～n］(k^2)＝(1^2)+(2^2)+(3^2)+･･･+(n^2)＝(1/6)*n*(n+1)*(2n+1)
となることを中学１年生にも分かるように示せ。
スレの本来の趣旨に戻って出題。有名な問題かな。
∑［k=1～n］(k^2)＝(1^2)+(2^2)+(3^2)+･･･+(n^2)＝(1/6)*n*(n+1)*(2n+1)
となることを中学１年生にも分かるように示せ。
|
|
|
305 ：１３２人目の素数さん：2005/08/12(金) 06:18:32
>>304
図がかけないから辛いな‥
まず、一番上が１×１個の単位立方体、上から２段目が2×2個の単位立方体‥
上からｎ段目がn×n個の単位立方体でできているピラミッドのような形を考える。
このピラミッドの単位立方体の個数は ∑［k=1～n］(k^2)＝(1^2)+(2^2)+(3^2)+･･･+(n^2) である。
そのピラミッドの格段の角をそろえ、ゆがんだピラミッドを作る。
ピラミッドの1/4のような立体図形になる。もちろん単位立方体の個数は変わらない。
そのゆがんだピラミッドを３個組み合わせると、ｎ×n×(n+1)の直方体から
(ｎ×(n+1))/2個の単位立方体が飛び出した形が構成できる。
（飛び出す部分は1×ｎ×(n+1)の半分の三角形の形）
この立体に含まれる小立方体の個数はｎ×n×(n+1)+(ｎ×(n+1))/2なので
もとのピラミッドの小立方体の個数はその1/3。あとは式変形。
図がかけないから辛いな‥
まず、一番上が１×１個の単位立方体、上から２段目が2×2個の単位立方体‥
上からｎ段目がn×n個の単位立方体でできているピラミッドのような形を考える。
このピラミッドの単位立方体の個数は ∑［k=1～n］(k^2)＝(1^2)+(2^2)+(3^2)+･･･+(n^2) である。
そのピラミッドの格段の角をそろえ、ゆがんだピラミッドを作る。
ピラミッドの1/4のような立体図形になる。もちろん単位立方体の個数は変わらない。
そのゆがんだピラミッドを３個組み合わせると、ｎ×n×(n+1)の直方体から
(ｎ×(n+1))/2個の単位立方体が飛び出した形が構成できる。
（飛び出す部分は1×ｎ×(n+1)の半分の三角形の形）
この立体に含まれる小立方体の個数はｎ×n×(n+1)+(ｎ×(n+1))/2なので
もとのピラミッドの小立方体の個数はその1/3。あとは式変形。
306 ：１３２人目の素数さん：2005/08/12(金) 13:58:27
>>305
おお、それも正解だな。四角錐に変形して、それを３つ組み合わせるのね。
一瞬、1/4を体積が1/4、と考えて混乱したのは内緒ｗ
用意してた解答は、そのピラミッドを平面で考える形。
立体よりもイメージしやすいと思う。
１段目：１が１コ、２段目：２が２コ･･･ｎ段目：ｎがｎコの正三角形を考える。
正三角形の各項の総和は 1×1+2×2+3×3+･･･n×n である。
ここで、この正三角形を60度、120度回転させた２つの正三角形を考え、３つを重ね合わせる。
そうすると、全ての項が 2n+1 項数 ∑［k=1～n］k の正三角形が出来る。
よって、各項の総和は (2n+1)×∑［k=1～n］k
(∑［k=1～n］k の求め方は、小学生にも簡単に教えられるので省略)
あとは、総和を1/3倍すれば良い。
おお、それも正解だな。四角錐に変形して、それを３つ組み合わせるのね。
一瞬、1/4を体積が1/4、と考えて混乱したのは内緒ｗ
用意してた解答は、そのピラミッドを平面で考える形。
立体よりもイメージしやすいと思う。
１段目：１が１コ、２段目：２が２コ･･･ｎ段目：ｎがｎコの正三角形を考える。
正三角形の各項の総和は 1×1+2×2+3×3+･･･n×n である。
ここで、この正三角形を60度、120度回転させた２つの正三角形を考え、３つを重ね合わせる。
そうすると、全ての項が 2n+1 項数 ∑［k=1～n］k の正三角形が出来る。
よって、各項の総和は (2n+1)×∑［k=1～n］k
(∑［k=1～n］k の求め方は、小学生にも簡単に教えられるので省略)
あとは、総和を1/3倍すれば良い。