ルベーグ積分って何？

伊藤清三の本に載ってた問題です

f(x)が凸関数、つまり
　∀a, b∈R：0＜∀t＜1：f(ta+(1-t)b)≦tf(a)+(1-t)f(b)
のとき、fは連続だそうですが、直感的には判るものの証明が思いつきません。
どう証明するのか、教えてください。
お願いします。