恐ろしく難解な問題をだせ！
>>640
なるほど。(1)できた。
k=1のとき
P={A1･･･,An,B1･･･B(n+1)}とおく。各PuにたいしてPu=AiとなるAiの数をau、Pu=BjとなるBjの数をbuとおく。
このとき与式の左辺-右辺は
∑[u>v](Pu-Pv)(aubv+avbu-auav-bubv)
となる。（ただしP={P1<P2<･･･}とおいた。）これが正になることをしめせばよい。
つまりR^1の部分集合P={P1<P2<･･･}とそのうえの非負整数値関数au,buが
∑au=n、∑bu=n+1をみたすときS=∑[u>v](Pu-Pv)(aubv+avbu-auav-bubv)が０以上であることをしめせばよい。
そうでないものが存在したと仮定する。そのような(P,au,bu)のうちPの元数が最小のものをとる。
もし３元以上あるとするとSはP2について線形であるためP2の位置をP1かP3にずらしても値が増えないようにできる。
つまり一個Pの元数をへらせる。これはPの元数の最小性に反する。よってPの元数は2以下である。
Pの元数が1のときはS=0ゆえ矛盾。Pの元数が2とするとき
S=(a1b1+a2b2-a1a2-b1b2)=(a1+b1)^2-(2n+1)(a1+b1)+n(n+1)
ここでa1+b1は整数なのでSはa1+b1=n、またはn+1のときに最小であるがそのときS=0であるゆえ矛盾。
∴k=1のときは成立。
一般のとき
各θ∈P^(k-1)の元にたいし向きがθである直線L(θ)をとって各C∈R^kのそれへAi,Bkの正射影をP(θ)とする。
k=1の場合はすでにしめしているので
Σ_{1≦i<j≦n}d(A_i(θ),A_j(θ))+Σ_{1≦i<j≦n+1}d(B_i(θ),B_j(θ))≦Σ_{i,j}d(A_i(θ),B_j(θ))･･･(※)
が成立する。P^(k-1)上の関数としてd(P(θ),Q(θ))は連続関数であり
∫[θ∈P^(k-1)]d(P(θ),Q(θ))=V(P^(k-1))d(P,Q) (V(P^(k-1))はP^(k-1)の体積)
であるから(※)をP^(k-1)上積分して与式を得る。
なるほど。(1)できた。
k=1のとき
P={A1･･･,An,B1･･･B(n+1)}とおく。各PuにたいしてPu=AiとなるAiの数をau、Pu=BjとなるBjの数をbuとおく。
このとき与式の左辺-右辺は
∑[u>v](Pu-Pv)(aubv+avbu-auav-bubv)
となる。（ただしP={P1<P2<･･･}とおいた。）これが正になることをしめせばよい。
つまりR^1の部分集合P={P1<P2<･･･}とそのうえの非負整数値関数au,buが
∑au=n、∑bu=n+1をみたすときS=∑[u>v](Pu-Pv)(aubv+avbu-auav-bubv)が０以上であることをしめせばよい。
そうでないものが存在したと仮定する。そのような(P,au,bu)のうちPの元数が最小のものをとる。
もし３元以上あるとするとSはP2について線形であるためP2の位置をP1かP3にずらしても値が増えないようにできる。
つまり一個Pの元数をへらせる。これはPの元数の最小性に反する。よってPの元数は2以下である。
Pの元数が1のときはS=0ゆえ矛盾。Pの元数が2とするとき
S=(a1b1+a2b2-a1a2-b1b2)=(a1+b1)^2-(2n+1)(a1+b1)+n(n+1)
ここでa1+b1は整数なのでSはa1+b1=n、またはn+1のときに最小であるがそのときS=0であるゆえ矛盾。
∴k=1のときは成立。
一般のとき
各θ∈P^(k-1)の元にたいし向きがθである直線L(θ)をとって各C∈R^kのそれへAi,Bkの正射影をP(θ)とする。
k=1の場合はすでにしめしているので
Σ_{1≦i<j≦n}d(A_i(θ),A_j(θ))+Σ_{1≦i<j≦n+1}d(B_i(θ),B_j(θ))≦Σ_{i,j}d(A_i(θ),B_j(θ))･･･(※)
が成立する。P^(k-1)上の関数としてd(P(θ),Q(θ))は連続関数であり
∫[θ∈P^(k-1)]d(P(θ),Q(θ))=V(P^(k-1))d(P,Q) (V(P^(k-1))はP^(k-1)の体積)
であるから(※)をP^(k-1)上積分して与式を得る。
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652 ：１３２人目の素数さん：04/01/09 02:09
653 ：１３２人目の素数さん：04/01/09 02:14
>>641
はシルベスターガライの定理の香具師だな。数オリ系の本にのってた。
はシルベスターガライの定理の香具師だな。数オリ系の本にのってた。
654 ：１３２人目の素数さん：04/01/09 02:40
垂線を下して直線を分
けて二点含む方で遠い
点と直線を結ぶと近い
点との距離は小さい。
けて二点含む方で遠い
点と直線を結ぶと近い
点との距離は小さい。
655 ：在野の数学者：04/01/09 03:13
656 ：１３２人目の素数さん：04/01/09 06:43
>>639
2^70279608 = 1.234543218... × 10^21156270
2^70279608 = 1.234543218... × 10^21156270
657 ：１３２人目の素数さん：04/01/09 06:49
658 ：656：04/01/09 11:07
>>639 >>657
70279608 が題意を満たす最小の正整数であることの証明
t を実数として、f(t) を「t に最も近い整数と t との差の絶対値」とする。
a_n を log2（=log_10(2)）の連分数展開を n項(?)で打ち切ってできる規約分数の分母とする。
(a_1=3, a_2=10, a_3=93,..., a_16=51132157, a_17=146964308)
題意を満たす x について、f(x log2 - log123454321.5) < 2×10^(-9) が成り立つ。
ゆえに、題意を満たす整数 x, y (0 < x < y) があったとすると、f((y - x) log2) < 4×10^(-9)
連分数の性質から、a_17 は f(a_17 log2) < f(a_16 log2) となる最小の正整数であることが言える。
f(a_16 log2) > 4×10^(-9) なので、f((y - x) log2) < 4×10^(-9) となるためには、y - x ≧ a_17 でなければならない。
つまり、題意を満たす正整数で、x < a_17 = 146964308 となる x は高々１個しか存在しない。
x = 70279608 がその１個。
70279608 が題意を満たす最小の正整数であることの証明
t を実数として、f(t) を「t に最も近い整数と t との差の絶対値」とする。
a_n を log2（=log_10(2)）の連分数展開を n項(?)で打ち切ってできる規約分数の分母とする。
(a_1=3, a_2=10, a_3=93,..., a_16=51132157, a_17=146964308)
題意を満たす x について、f(x log2 - log123454321.5) < 2×10^(-9) が成り立つ。
ゆえに、題意を満たす整数 x, y (0 < x < y) があったとすると、f((y - x) log2) < 4×10^(-9)
連分数の性質から、a_17 は f(a_17 log2) < f(a_16 log2) となる最小の正整数であることが言える。
f(a_16 log2) > 4×10^(-9) なので、f((y - x) log2) < 4×10^(-9) となるためには、y - x ≧ a_17 でなければならない。
つまり、題意を満たす正整数で、x < a_17 = 146964308 となる x は高々１個しか存在しない。
x = 70279608 がその１個。
659 ：１３２人目の素数さん：04/01/09 12:00
ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ＝ＡＥ＝ＢＣ＝ＢＤ＝ＢＥ＝１。
ＣＤ＝ＣＥ＝ＤＥ＝２。
ＡＣ＋ＡＤ＋ＡＥ＋ＢＣ＋ＢＤ＋ＢＥ＜ＡＢ＋ＣＤ＋ＣＥ＋ＤＥ。
ＣＤ＝ＣＥ＝ＤＥ＝２。
ＡＣ＋ＡＤ＋ＡＥ＋ＢＣ＋ＢＤ＋ＢＥ＜ＡＢ＋ＣＤ＋ＣＥ＋ＤＥ。
660 ：657：04/01/09 12:36