Q.man(Q1〜Q1000)

問題を集めるスレ。
といっても問題以外のレスもOKです。

〜故Q.manのQ1〜
1 名前：Q.man[] 投稿日：02/12/24 15:19
あるスレッドのリクエストにより、新スレ建て増した。
Ｑ１：　１／（１＋ｅｘｐ（ｘ））を、ｔａｎｈを使って表せ。

[x]をxを超えない最大の自然数とし、t=(-1+√5)/2 とする。
負でない整数 n について等式[(n+1)*t^2]=[([n*t]+1)*t]が常になりたつことを証明しる。

α,βが1/α+1/β=1を満たす正の無理数である時、
[α],[β],[2α],[2β],[3α],[3β]…には全ての自然数が一回ずつ現れることを証明しる。

このうち正しいのはどれ？ ここで n は自然数としる。
(1) [n√2]が２のベキになるｎは有限個である。
(2) [n√2]が２のベキになるｎは無限にある。
(3) [n√2]で表せない２のベキは存在しない。
(4) [n√2]で表せない２のベキは有限個である。
(5) [n√2]で表せない２のベキは無限にある。

π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-…を証明せよ。（右辺の級数が収束することも示せ。）

［ｐ⇒ｑ］⇒ｑが真になるのはｐ、ｑがそれぞれどんな場合か？

次の等式を組合せ論的解釈により証明せよ。
ここでC(n,r)は組合せの数とする。

�納0≦k≦n]C(2n-2k,n-k)C(2k,k) = 2^(2n)

条件収束する級数は和の順序を変えることで、異なる値に収束させることができることを示せ。

各点で連続だが、各点で微分可能でない実数関数の例を作れ。

ルベーグ積分を使ってディラックの関数（有理数の時１，無理数の時０）を区間［０，１］で積分せよ。

巻き尺で日本の陸地の外周を測れ。

Find f(x) such that
f(x)+f(y)=f(xy)(for any real numbers x,y),f(10)=1

f(3x)=3f(x)-4f(x)^3を満たすf(x)で、f=sin,f=0以外を一つ挙げよ。

インドのガンジス川の砂の数を数えよ。

∫[0,a]xdxの値を初等幾何風に計算せよ。

積分関数は連続であることを示せ。

半径１の円Ａと半径２の円Ｂがあります。Ｂは平らな地面の上を滑らずにまっすぐ転がっていきます。
ＡはＢと同一平面上にあり、Ａの中心とＢの中心は同一の点です。円Ａのどこかに点Ｐを置きます。
ＡとＢが同じ回転をするとき、Ｂが一回転したときにＰの動く長さを概算してください。
またＡとＢの回転の比がｎ：１のときのＰの動く長さも求めてください。

領域　x<y 　x,yは実数　において次の性質を満たすf(x,y)を求めよ
1 fはつねに整数を値としてとる。
2 x<y<zがいずれも実数のときf(x,y),f(y,z),f(z,x)の値が
　　３つとも同じになることはない。

オミクロン「私はこれから2から5000までの数字を2つ思い浮かべます。
そしてその積をピーターに、その和をスーザンにこっそり教えます。
私の考えた数がなんだったか答えてください」
　オミクロンが二人に囁くのを横でデイヴィッドが見ていた。
　ピーター「わからないな」
　スーザン「そうだと思った。私にもわからないわ」
　ピーター「わかったぞ」
　スーザン「私もわかった。でも、デイヴィッドにはわからないでし
ょうね。小さい方の数を教えればデイヴィッドにも大きい方の数を
当てることができるでしょう」
　さてオミクロンが考えた2つの数とは？

実変数x,yに対しF(x,y)はx,yについての実数係数多項式でF(x,y)≧0とする。
さらにF(x,y)は極小値を持たないとする。F(x,y)の例をあげよ。
ただしここでいう極小とは広義の極小とする。
※例えばF(x,y)≡定数のようにF(x,y)を取った場合は極小値をもつとする。

a,b,cは自然数とする。このとき
a^2+b^2，b^2+c^2，c^2+a^2
が同時に平方数にならないことを証明せよ。

３次元の凸体Ｋの内点ｐを通るどの平面も、Ｋの体積を二等分にするならば、
Ｋはｐに関して点対称である。これを示せ。

自然数 n に対して、写像 f_n(x):(0,1)→R が次の条件#1-4

#1 f_n(x) は微分可能かつ狭義単調増加関数
#2 f_n(x)=x は唯一つの解をもつ
#3 #2の解を a_n とすると、数列 {a_n} は収束する
#4 f_n の a_n での微分係数は１より大

を満たしているとき、次に定義する数列 {x_n} の存在・一意性を示せ。
x_{n+1}=f_n(x_n) (n=1,2,･･･) , lim_{n→∞}x_n=lim_{n→∞}a_n

どんな平面できってもその断面図が相似になるような立体は球のみである事を示せ。

一辺の長さが1の正四面体の正射影の最大値と最小値を求めよ

x^n+y^n=z^n （n≧3)となる自然数は存在しないが、
f(x)^n+g(x)^n=h(x)^n （n≧3)となる実数係数の
1次以上の多項式は存在するかどうか述べよ

３角形の内接円に正方形が外接しているとき、この正方形の
周長のうち３角形の内部または周囲にある部分の合計は
正方形の周長全体の1/2を超えることを証明せよ

複素数を成分に持つ２×２行列の全体を M_2 とおく．M_2 の元は
X =
(x y)
(z w)
などと書くことにする．
M_2 上の複素数値関数で，成分の（複素数係数の）多項式に
なってるものの全体を C[M_2] と書く．
「複素数を成分に持つ任意の正則行列 P に対して f(PXP^(-1))=f(X)」
が成り立つような，C[M_2] の元 f の全体を I_2 とおく．
t(X):=x+w, d(X):=xw-yz とおく．以下の（１）（２）を示せ．

（１）t, d はどちらも I_2 の元である．
（２）I_2 の元は t, d の複素数係数の多項式である．

F[n]をフィボナッチ数列とする時、Σ[n=1〜∞]1/F[2^n]を求めよ。

F[n]をF[n+2]=F[n+1]+F[n]となる整数の数列とする。
F[n] mod k はF_1,F_2に値を入れるとある巡回数列を定める。
ずらして一致するものを同一視したとき、この巡回数列の種類がL(k)個あるとする。
L(k)を求めよ。

例
k=3のとき
0→0→0→…
0→1→1→2→0→2→2→1→0→1→1→…
で全てで
L(3)=2

N=2^a*3^b*5^cとするとき
Nを連続する自然数の和（1つだけも含む）で表す方法は
何通りあるか？

整数 m，n に対して，実数 f(m,n) が定まっている．
この f が次の（１），（２）を満たすと仮定する．

（１）任意の(m,n)に対して f(m,n)≧0．
（２）任意の(m,n)に対して
4*f(m,n) = f(m-1,n)+f(m+1,n)+f(m,n-1)+f(m,n+1)
が成り立つ．

このとき実は f(m,n) は（m，n に依存しない）定数である
ことを証明せよ．

(1+2^n)/(n^2)が整数となる自然数ｎを全て求めよ

任意の自然数nに対してn≦p≦2nとなる素数pが存在する事を証明せよ

辺の長さに1^2,2^2,3^2,…n^2が全て現れ、なおかつ角の大きさが全て同じであるn角形が
存在するnの条件を求めよ

フィボナッチ数列で平方数は1と144しかない事を証明せよ
（フィボナッチ数列とは1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144…と続いていく数列で
ある項はその一つ前の項と二つ前の項の和になっている）

Ａ君のクラスの中から、4人の委員を選ぶことになりました。
クラスの全員がそれぞれ、自分を含めたクラス全員の中から
4人の名前を選んで1枚の投票用紙に書きました。
Ａ君がすべての投票用紙を集めて調べたところ、
面白いことに気づきました。
2枚の投票用紙をどのように取り出してみても、
どちらの投票用紙にも共通して書かれている名前が
丁度2人だけ見つかるのです。
このクラスの人数は何人ですか？
ただし、1枚の投票用紙に同じ名前を2人以上書いた人はいませんでした。

赤の点と青の点が同じ数だけ平面上にあります。
このとき赤の点と青の点１つずつを真っ直ぐな線分で結んでどの線も交わらないように
できることを証明せよ。

出席番号1〜ｎの生徒たちを1列にでたらめの順番に並べたとき、1,2とか15，16と
いうように、続き番号の生徒がその順に並んでいるところが1ヶ所もない並び方にな
る確率はいくらか。

a[0]=0, a[n+1]=√(2+a[n]) とするとき、
lim[n→∞] 2^n*√(2-a[n]) を求めよ。

次の数列には素数の項が存在しないことを示せ。
10001, 100010001, 1000100010001, ...

カードの種類がn種のトレーディングカードを
コンプリートするのまでに買うカードの枚数の期待値は？

カードの種類がn種のトレーディングカードを
コンプリートするのまでに買うカードの枚数の期待値は？

[43]
1辺の長さが2の正三角形がある。
この正三角形の内部にどのように5点をとっても、
それらの点のうちお互いの距離が1以下となるような2つ点の組が
少なくとも1組は存在することを証明してください。
[44]
16畳の正方形の部屋がある。
この部屋の対角をそれぞれ半畳ずつ切り抜いて置物をおかねばならない。
のこりの15畳に畳を隙間無くひくことができるか？それとも出来ないか？

　4枚のカードがあります。このカードは片面が赤か緑で,反対の面
には丸か四角が書いてあり,つぎのようにテーブルに並べてあります。

　　　　　赤　|　緑　|　○　|　□

『全ての赤いカードの裏には四角が書かれているか？』
　と言う問いに答えるには最低どのカードをめくらなくてはならないか？

平行四辺形の一辺の中点を
定規だけを使って（点と点をむすぶ事だけができる）求めよ
（１）補助線はどこに引いても良い
（２）補助線は平行四辺形の中だけ

ひとつの部屋に何人かがいる。それらのうち少なくとも6人が知り合いであるか、または
少なくとも6人が知り合いではないことを保証する、最小の人数を求めよ

ひとつの部屋に何人かがいる。それらのうち少なくとも6人が知り合いであるか、
または少なくとも6人が知り合いではないことを保証する、最小の人数を求めよ

[48]
2^2=4, 2^3=8, 2^4=16 ..... と計算していった時、
最初に右辺が「9から始まる数字」になるのは何乗したときか？
[49]
一時間で燃え尽きる線香を
二本つかって四十五分をはかりなさい。
ただし、線香を折ったりしてはいけません。
また、時間を計測する器具（ストップウォッチなど）も
使用は認めません。

与えられた線分の中点を、コンパスだけを使って求めよ。
（コンパスの柄の部分を定規がわりに使うのは反則）

整数の適当な有限部分集合作っても、それの要素全部が表れるような
円分多項式の整数上既約な因数がある事を証明せよ。

正方形を幾つかの鋭角三角形に分割する時、最少幾つで済むか？

任意の自然数ｎをとり、その正の約数を書き並べる。
たとえばn=12とすると、1,2,3,4,6,12という列が出来る。
次にこの列の要素のそれぞれの正の約数の個数を書き並べる。
上の例だと、1,2,2,3,4,6となる。
この最後の数列の要素のそれぞれを３乗したものを合計する。
1^3+2^3+2^3+3^3+4^3+6^3=1+8+8+27+64+216=324
これは何と、この数列の要素を合計したものの2乗に等しい。
(1+2+2+3+4+6)^2=18^2=324
このことが一般に成り立つことを証明せよ。

√2を２進法で表したときに小数点n桁目までに
1が出てくる回数をf(n)回とする。lim(n→∞)f(n)/nは収束するか？

自然数ｎに対して、ｎ*(√5)の小数部分をAnとします。
このとき、任意の異なる自然数i,jについて以下の不等式を満たす0より大きい
定数Cが存在することを証明してください。

※　｜(i-j)Ai-Aj｜≧C

３角形ＡＢＣの内接円をＯとします。円Ｏと３辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢとの接点を
Ｐ，Ｑ，Ｒとします。線分ＡＱ，ＡＲ，円Ｏに同時に接する円と円Ｏとの接点をＬ，
線分ＢＲ，ＢＰ，円Ｏに同時に接する円と円Ｏとの接点をＭ，線分ＣＰ，ＣＱ，円Ｏ
に同時に接する円と円Ｏとの接点をＮとします。このときＰＬ，ＱＭ，ＲＮは一点で
交わることを証明して下さい。

1から2nまでの整数の中からn+1個の整数を任意に選び出す。このn+1個の整数の中に
は、どちらか一方が他方の約数になっているようなペアが必ず存在することを証明せよ。

a[k+2]≡a[k+1]+a[k]mod(n)となる数列があり、全ての項に対し1≦a[k]≦n-1となっている。
このような数列でa[n+1]≡p*a[n]mod(n)　（ただしp^2≡p+1 mod(n)）とならないような数列は存在するか？

fを正の整数を正の整数へ写す関数とする。
　f(n+1)>f(n) かつ　f(f(n))=3n がすべての正の整数について成り立つとするとき
f(1992)を求めよ。

・0<x[0]<1,x[n+1]=x[n]*(1-x[n])のときlim(n→∞)n*x[n]
・0<x[0]<1,x[n+1]=x[n]*(1-x[n]^2)のときlim(n→∞)sqrt(n)*x[n]
を求めよ

楕円がある。中心をＯとする。互いに平行な２直線l,mをひいて、どちらも
この楕円に接するようにする。この楕円と２直線l,mに同時に接する円の中心を
Ｏ'とすると、ＯＯ'の長さはl,mの方向にかかわらず一定である。このことを
証明せよ。（和算の問題だそうです。）

元素○は足が3本あり、その全てを使って互いに結合する。

2個の場合は↓
　○≡○
4個の場合は↓
　○＝○
　｜　 ｜
　○＝○ のような例がある。
○がn個の時にそれぞれ組合せが何通りあるか一般式を求めよ。
もちろん全体が1つに繋がってなければならない。
回したり歪めたりして同じなら1つとして数える。

1辺1の立方体のブロックを重ねて3*3*3にします。
8つの頂点の座標は(0 0 0),(3 0 0),(0 3 0),(0 0 3),(3 3 0),(3 0 3),(0 3 3),(3 3 3)です。
これにいくつかの直線をひいてすべてのブロックを通過するためには
最低何本の直線が必要でしょうか？
また、この直線のブロック内部を通過する距離が最短のとき
それぞれの直線の式、および距離の合計値を求めて下さい。

正ｎ面体に1〜ｎまでの数字を振るとき、 （n=4,6,8,12,20）
全部で何種類の振り方が考えられるか？
ただし回転したりして同じになる場合は区別しない物とする

A(x)をxの小数部分とする。 例：A(1.24)=0.24 A(20.3518)=0.3518

この時任意の自然数nに対して
(1) A(m*√2) < 1/n
(2) A(m*m*√2) < 1/n
となる自然数mが存在する事を証明せよ。

次の不等式を満たす整数の組r,s(但し0<s<200)をみつけよ。
59/80<r/s<45/61
さらにそのような組はただ１つだけであることを証明せよ。

正３角形ABCの内部に点Pをとったら
PA=3,　PB=4,　PC=5
になった。ABの長さを求めよ。

次の条件を満たす整数a,bを求めよ。
条件：a,bはともに素数(a<b)、かつa^b+b^aも素数である。

次の条件を満たす整数a,bを求めよ。
条件：a,bはともに素数(a<b)、かつa^b+b^aも素数である。

[69]
下記のアルキメデスの定理を証明せよ。
３角形ABCの外接円上の弧ACB(AからCを経由してBまで)の中点をMとする。
MからAC, BCのうち長いほうの辺に下ろした垂線の足をDとする。
このときDは折れ線ACB(辺AC+辺CB)を２等分する。(AC>CBとするとAD=DC+CB)
[70]
nを２以上の自然数とする。
（ｎ＋１）個の非負の数の集合{ak}(kは添字で、
k=1,2,・・・,n+1。)について、
a1からan+1までの相加平均と相合平均の差が
a1からanまでの相加平均と相合平均の差より
も小さくないといえるか。

円Ｃ: x^2 + y^2 = r^2、楕円Ｄ: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
（ただし、a > b > r）を考える。
「円Ｃ上の点ＰにおけるＣの接線が楕円Ｄによって切り取られる
線分の長さ」を最大にする点Ｐの座標を決定せよ。

三角形ABC (BC=a, CA=b, AB=c とする) の内部に点Pをとり、
PからBC, CA, AB に下ろした垂線の足をD, E, Fとする。
このとき、 BC/PD + CA/PE + AB/PF の最小値を a, b, c で表せ。

f(x)は[0,1]で連続、(0,1)で微分可能、[0,1]において0≦f(x)≦1、
(0,1)においてf'(x)≠1 とする。
このとき、f(x)＝xとなるx∈[0,1]が唯一つ存在することを示せ。

底面の正方形の一辺の長さが1の他の辺の長さがaである正四角錐がある。
この正四角錐の5つの面を通る平面でこれを切ると､切り口は五角形となるが、
これが正五角形となるaの値を求めよ。

lim[n→∞]n*∫[0,1]x^n・e^(x^2)dxをもとめよ。

0=<x=<1のとき
(1+x^2+・・・+x^2n)/(n+1)>=(x+x^3+・・・+x^2n-1)/n
を証明せよ.ただし、ｎは自然数。

xは整数、yは素数とします。
z=√(1155y/x)として、zが素数になるようにします。
zの最小値は？

【社会】肥料用の酒かすを食べた泥酔のとびを保護−北海道・苫小牧
http://news2.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1049131541/l50

[78]
n個の自然数a1〜anでΠai=aとする時、全てのkに対し
a/akをakで割った余りが1となるような組を全て求めよ。

[79]
長さ４の定線分ＡＢを考える。
Ａを中心とする半径１の球面上に動点Ｐが、
Ｂを中心とする半径２の球面上に動点Ｑがあるとき、
線分ＰＱの中点Ｒが存在する範囲の体積を求めよ。

1辺の長さが1である正十二面体の隣り合う2面のなす角の余弦を求めよ。
（ただし、必要なら cos2π/5 ＝ (√5-1)/4 を用いてよい）　

a,b,c>=0 ab+bc+ca+abc=4 ならば
a+b+c>=ab+bc+ca であることを証明せよ。
また等号が成り立つのは、どういう場合か

a,b,c,d>=0, 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abc+abd+acd+bcd=16ならば
a+b+c+d>=2/3(ab+ac+ad+bc+bd+cd)であることを証明せよ

区間 [0,1] で連続な関数 f(x) に対して、
n→∞ のとき n∫_[0,1] (x^n)f(x)dx → f(1)
となることを示せ。

異なる３実数 a<b<c が
　a+b+c=-4, ab+bc+ca=abc+7
をみたすとき b のとりうる値の範囲をもとめよ。

俺も似たような経験あるな・・・
D-MODEを4枚位まとめて頼んだらホモビデオが4本も届きやがった。
結局は泣き寝入り(自分の英語力の無さに失望)、ホモビデオの処分に困ったよ。

TAWARA効果
http://www.hochi.co.jp/site_content/media/03312003/4238162956_yawara_l.jpg

ケイン小杉の親父が、
忍者映画で一発当てて、米の高級住宅街に豪邸たてたまでは良かったんだけど、
塀に落書きされたり、庭に毎朝大量の生ゴミが投棄されたりして、
「アメリカには住めない」って感じたって吐露してたよ。

ノモがルーキーの時オールスターで
落合の挑発に切れてストレート投げたら
ホームラン打たれました。
与田も清原のストレートまっとる！
という言葉に応えたらホームラン打たれました

変化球は大事です

韓国と日本の過去を客観的観点で理解しようとする努力に感謝いたします.
日本人としては非常に珍しいつもりです.
イラク戦の本質を正確に分析しているという点にも賛辞を送ります.
日本人がよく言う "定説"です.

[85]
正12面体の１頂点と中心を結ぶ直線に関して
これを回転させてできる立体の体積を求めよ。
[86]
点Ａ(0, 0, a)を中心とする一辺の長さが１の正12面体を考える。
（ただしこの立体は任意の向きをとることができる）
　(1) この立体のxy平面への正射影の面積の最大値を求めよ。
　(2) この立体をx軸に関して回転させてできる立体の体積の最大値を求めよ。
[87]
素数ｐをとる。自然数ｎにたいしε(n)でｎの素因数分解にあらわれるｐの
数をあらわすものとする。たとえばｐ＝３のときε(１２)＝１、ε(１０８)＝３、
ε(６４０)＝０である。このとき　lim[n→∞]ε(n!)/n　を求めよ
[88]
(1)Σa_n/√n < ∞　かつ、Σ(a_n)^2 = ∞ となる正項数列{a_n}は存在するか？
(2)Σa_n/√n = ∞　かつ、Σ(a_n)^2 < ∞ となる正項数列{a_n}は存在するか？
(3)Σa_n/n = ∞　　 かつ、Σ(a_n)^2 < ∞ となる正項数列{a_n}は存在するか？


Q76(>>76)訂正
a1からan+1までの相加平均と相合平均の差が
a1からanまでの相加平均と相合平均の差より
↓
a1からan+1までの相加平均と相乗平均の差の（n+1）倍が
a1からanまでの相加平均と相乗平均の差のn倍より

アメリカが戦争で本土がスックデバッにできる事はないが,
アメリカ経済は破産です. アメリカの財政赤字は
1930年の大恐慌以後史上最悪です. ブッシュ行政府は
当然追い出されます. 世界の世論はアメリカを敵視します.

[89]
白玉ｍ個と黒玉ｎ個を一列に並べて、黒玉が２個以上続いたところは黒玉１個
に置き換えるとする。残った黒玉の個数の期待値を求めよ。
[90]
半径１の半球に含まれる円錐の体積の最大値を求めよ
[91]
√(x^2+y^2+z^2+w^2)+√((1-x)^2+(1-y)^2+(1-z)^2+(1-w)^2)
の最大値及び最小値を求めよ。
ただし、x、y、z及びwは、0以上１以下の実数とする。

[92]
f(x) = p sin(ax + b) + q についてlim[n→∞] f^n(x)の性質を詳しく調べよ。
[93]
自然数 n に対し、ln(x)/x^n を整級数に展開できるか。

禿丸えでぃた（4月1日公開）

「デジカメの写真を元に、丸坊主にした場合の画像をシミュレートするソフト」だそうです。
親がゲーハーで悩んでる人は是非。
http://www.forest.impress.co.jp/article/2003/04/01/hagemaru.html

私は分からなかったの...

私は絶対に日本が亡びることができなかったの...

私は日本が全世界をドイツと分けて食べると思ったの.

私は日本軍が我が国を永遠に守ってくれることができると思ったの.

私は国益のために親日したことだったが...

[94]
次の２つの条件を満たす要素が全て自然数の集合F_1,F_2,F_3…はあるか？
あったら具体的に求めよ。
1）全ての自然数nに対してn∈F_iとなるiがただ一つ存在する。
2）各集合F_iの中の要素を小さい順にa_i[1],a_i[2],…と並べると
　a_i[n+3]=a_i[n+2]+a_i[n+1]+a_i[n]が成り立つ。（nは自然数）
[95]
平面上に２つの点ＡとＢがありＡＢ間は２０センチ離れている。この間を
１０センチの定規を使って線分で結ぶ方法を答えよ。
定規により１０センチ以下の線分を引けるほか、線分を伸ばしてゆくことが
できるものとする。

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ファーストステージ第1節のランキングが確定しました。
4月5日（土）正午まで、クラブハウスでチーム編成ができます。
ゲームのルールが分からなくなったときは、遊び方をご覧ください。

＜お知らせ＞
ジェリコ選手（市原）の名前を「ミリノビッチ」と修正しました。（3月27日）

[96]
一辺70cmの正方形をした的があります。
離れたところから鉄砲50発撃って、とりあえず全弾、的には命中したとします。
この弾の跡が、いくらばらばらに当たっていたとしても、一番近い距離のものは
何cm以下になると言えますか？
つまり、i=1から50、50発の位置を(Xi,Yi)のように表すとしたとき、
min( |(Xi,Yi),(Xj,Yj)| )、（ただし、j=1から50、i≠j）を求めて欲しいのです。
[97]
どんな自然数も「その数を反転して加える」を繰り返すと回文的になるか否か？
という問題は現在未解決であるが、2進数の場合は10110が反例となっている。
10110に上記の操作を何度繰り返しても回文数(palindrome)にならない事を証明せよ。
[98]
2つの惑星XとYがあり、今、惑星XにA,B,C,Dの4つの宇宙船があります。
宇宙船AはXからYまで1時間でたどり着くことができます。Bのそれは2時間、Cは4時間、
Dは8時間かかります。宇宙飛行士が操縦しないといけないのですが、2人しか居ません。
どの宇宙船も2人乗ることができます。
この4機の宇宙船すべてを惑星Yに運びたいのです。最短時間を求めてください。
牽引は出来ません。また、XとYの間の任意の宇宙空間で同じ位置にある2つの宇宙船間を
時間0で乗り換えることが可能です。

[99]
さつきちゃんは、飼い犬のポチといっしょに、 自分の家から駅に向かって朝の9:00に出発しました。
駅までは歩いて50分の距離です。 でも、途中で定期券を忘れたことに気づき、
ポチにおかあさんへの手紙を持たせて 定期券をとってきてもらおうと思いました。
さつきちゃんは時速 5km、ポチは時速 15kmで移動します。 そして空はまぶしいほどの秋晴れでした。
[100]
どんな自然数も「その数を反転して加える」を繰り返すと回文的になるか否か？
という問題は現在未解決であるが、2進数の場合は10110が反例となっている。
10110に上記の操作を何度繰り返しても回文数(palindrome)にならない事を証明せよ。

[100]
ゆきひろ君のお母さんは午後４時半に帰ってきて、妹のさやかちゃんにおつかいを頼みました。
さやかちゃんはゆきひろ君といっしょに大根と玉ねぎ１つずつ、ニンジン１本を買いに行こうとしたら
さやかちゃんの友達のあやねちゃんから午後４時45分に電話がかかってきて出掛けてしまいました。

2種類以上で有限個の種類のアルファベットがある。（a,b,cという感じで）
そしてそれらから出来る単語列をA1,A2,…とする。（A1=acabとかA2=baとか）
自然数nからそれぞれ有限な単語Anへの写像で次の条件を満たす様なのは存在するか？
※任意のi,j（i<j∈N）に対してAjからどのように文字を取り出してもAiにならない。

例）a,bの2つから出来る単語を作っていく場合
A1=aba,A2=bbaa,A3=bbbb,A4=bbb,A5=abbaとした時、
A5=abbaから2文字目のbを取り出すとA1=abaとなるからダメ。
A1=abbab,A2=abab,A3=aab,A4=abbba,A5=bbaaはそのような事が起きないのでOK。

でもさ、人間同士であたりまえかもしれないけど、本当に
味がないわよね。自分の口の中に舌をいれてるみたい。
私も含めてどうしてみんなあんな事やりたがるんだろ。

[102]
次の関係を満足する有理数aを求めよ。ただし[x]はxを超えない最大の整数。
(4/3)*{(1/a)-[1/a]} = a , 0<a<1
[103]
(1)内角がすべて等しい多角形で、すべての頂点が二次元空間の
　格子点上にあるのは四角形と八角形だけである事を証明せよ。
(2)二次元でなくてあるnがあり、n次元空間の格子点上にあればいいとすればどうなるか

[104]
次の条件を満たす自然数nの数は有限個かどうか決定せよ。
※あるm次元空間の異なる格子点上にn個の点を互いに距離が等しくなるよう置ける。
[105]
正の実数列A1,A2,A3…について
あるK>0が存在してどのnに対してもΣ[k<n]A[k]^2 < K*A[n]^2となる時、
あるK'>0が存在して、どのnに対してもΣ[k<n]A[k] < K'*A[n]となる事を証明せよ。

基地に同じ飛行機が３機ある。一機だけ地球を一周させたい。
しかし、どの飛行機も燃料満タンで、地球を半周しかできない。
基地に戻ると燃料があり、飛行機同士飛びながら給油が可能。
どうしたら一機を地球一周させることができるでしょうか。
ただし、三機とも墜落させることなく基地にもどしてください。

子供の命など懲役２〜３年でじゅうぶん。
http://love.2ch.net/test/read.cgi/gender/1039624883/572

こんな事を平気で言ってのける女どもがいるからこそ
幼児虐待・殺人事件は無くならないのではないか！？

こいつを徹底的に糾弾しよう！！

比較表に新たに追加されたようなので、とりあえず試用してみた。
確かにポップアップは便利だね。
◎ついてるだけのことはあると思った。
気になった所は書き込みのドッキングについてで、
余計なボタンが幅をとってるせいで肝心の書き込み欄が狭いこと。
配置に気を使えば広げられないこともなさそうなので、
これは要望。

[107]
テーブルの上にタバコが六本あります。この６本がいずれも残りの５本と接するように
置けるでしょうか。また，４本と接する場合はどうでしょう。
[108]
・数列A｛a_n=[nx]+n | n∈N｝とB｛b_n=[n/x]+n | n∈N｝が与えられたとき、
A∩B=φ,A∪B=Nとなる事を証明せよ
（ただしxは無理数で[c]はcを超えない最大の整数、要はcの整数部分）
[109]
数列｛1<a_1<a_2<a_3…｝が全部合成数で、かつどの2つとも互いに素とすると
Σn/a_nは収束する事を証明せよ

点Oを中心とする球Sにおいて、その表面に半径１の三個の円を、
どの二円にも互いに一点のみを共有するように描くことができ、
さらにこの三個の円をそれぞれ含む三つの平面が一つの点Pを共有するとき、
線分OPの長さの最小値を求めよ。

ABを直径とする半径１の半円がある。この半円上の弧PQを弦PQに関して
対称に折り返したとき、折り返された弧が線分ABに接したとする。
このような弦PRの存在する範囲の面積を求めよ

2^1〜2^nまでのn個の数のうち、一番上の桁が1である物の個数をf(n)とする。
lim[n→∞]f(n)/nを求めよ

連続する二個以上の自然数の和として表されるような数全体の集合をＭとする。
任意の正の整数L,Mに対して、L(2M+1)∈Ｍ を示せ。

a^3+b^3=5pをみたす素数pと正の整数a,bの組(p,a,b)をすべて求めよ。

二人のプレイヤーが長さnの一次元の盤に交互に石を置いて行く。
但し既にある石の隣りに置く事は出来ない。
置く事の出来なくなった方を敗者とする場合、後手必勝となるnをすべて求めよ。

　　　　　　　　　　　　　　　 　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　　　　　　　　　　　 　　　|　スタジオ内は禁煙ニダ　|
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　　　|￣￣￣~￣￣￣~~￣￣￣￣￣~￣~￣|　　　|￣￣￣~￣￣￣~~￣￣￣￣￣~￣~￣|
南極で　　　　　　　　　　　　　==く・:::ヽ 　　　|　　宇宙に轟く　　　　　+　　　　　　・　　＊　|
従軍慰安婦を発見！　　　　　　/:　::::ヽ　 　|　　日本軍の悪行！　　　.　　/"￣`ヽ　.　　|
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　　　|　　　　　　　　　　　 _,.--､| 　 /::/::| 　　|　　　|　　　　・　　　　　　　　　〃`〒'' ヽ |〜 |
　　　| 　 ∧＿∧　 　 　 　 >!´.)| 　 |:::|::::,!　　|　　　|　　 ＿＿　　　　　　.　　∪----∪:|　　|
　　　| 　 ノ ﾊﾍ∬　 　　　 l y〈:::|　　ﾚ':::::/　　|　　　| ＼//＿∧ヽ　　　+　.　　　 し'　!_丿 .　|
　　　　　<　｀∀´>　　　　 ヽソ:::|､　　 :::|　　　|　　　　（0）｀∀´））∩　　　　　 　　　 　 　　　|
　　　┃（　　婆　）　　　　　 >〜l_l｀H ,､:.ゝ　　| 　 　┃（つ婆 ◎)ノ　　・　　　　　 _　,.... -‐‐ |
　　　┃ .(　 .ヽ　 )　　　　　 ~~ ~'ｚﾉｚｿ ~　　　|　　　┃ .|:==|..=|　　　　　　 - '　ﾞﾞ　;;　　　　　|
　　　■■〈＿フ__フ　　　　　　　　　　　　　　.|　　　■■〈＿フ__フ　　　'´ヽ　ヽ　　　　_／　|
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　　　　　　　　ﾐ 　　ｶｼｬｯ！ ｶｼｬｯ！ /　　　　　　│　ﾊﾟｼｬｯ！ ﾊﾟｼｬｯ！／　
　　　　　　　　　　　　 ヽ　　　　 ∧＿∧　彡　　ミ　∧＿∧　　　　　　／　
　　　　　　　　　　 　　ﾐ　＼ ┌< 　　　,,>　　　　　 <,, 　　　>┐""
　　　　　　　　　　　　　　　　 ⊂　　　　 ）　　　　　（　　　　つ


　 ∧＿∧　　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　 ￣￣￣￣￣￣￣＼　　 ∧＿∧
　（-@∀@） ＜　こんなのはどうだ？　　　　　　　　さすがニダ…　　＞ <｀∀´　>
　（ 　朝 　つ　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　　　 ＿＿＿＿＿＿＿／　⊂　　　　）

連続関数f(x)が閉区間[0,1]でf(x)>0であり、∫[0,1]f(x)dx=1となるとき、
次の不等式が成り立つことを示せ
　∫[0,1](e^x)logf(x)dx≦1-(e-1)log(e-1)
ただし、∫[a,b]f(x)dxは関数f(x)の閉区間[a,b]での定積分を表す。

ｎを２以上の正整数とする．初期配置において，左右に延びた直線上に
ｎ匹の蚤（ノミ）がいる．ただし，ｎ匹全部が同じ点にいるわけではない．

正の実数λに対して， 操作 を次のように定義する
異なる２点にいる２匹の蚤を選び，左側の蚤がいる点をＡ，右側の蚤がいる点をＢとする．
Ａにいる蚤を，Ｂの右側にありＢＣ／ＡＢ＝λを満たす直線上の点 C にジャンプさせる．

次の条件を満たすλの値を全て決定せよ
「直線上の任意の点Ｍとｎ匹の蚤の任意の初期配置に対して，
有限回の操作により全ての蚤がＭの右側に来るように出来る．」

ＦＴＰ不可のサーバでは辛いので移転しました。

[118]
x1〜xn∈N、x1≦x2≦…≦xnでΣxi=Πxiを満たすようなx1〜xnを全て求めよ。
[119]
2n-1個の任意の自然数がある（同じものがあってもよい）
その中からn個の自然数を取り出して、和がnで割り切れるように出来る事を証明せよ。
[120]
ここに、木製の棒が4本ある。
この棒4本は、全て幅1cm,奥行き1cm,高さ4cmである。
また、これらの棒は全て凹凸（おうとつ）無き直方体である。
この4本の棒を床の上に置き、同じ大きさの正方形が同時に可能な限り多く見えるようにしたい。
そんな願いを叶える置き方とは？その時の見える正方形の数は？

ﾀﾓｻﾝ
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/8161/omake.html

●Windowsの処理速度を高速化させる
　　　HKEY_LOCAL_MACHINE\SYSTEM\CurrentControlSet\Control\Session Manager\Memory Managementの
　　　　DisablePagingExecutiveの値を1にする。

ところで、そのついでに 9300A の件で情報があったので簡単に紹介。
以前 DJ で(ロットによって??)不具合があるという話があったけど、
「インデックス取得」とかすれば ok という話あり。
また Nero や B's では ok らしい。
詳細は yss氏の掲示板の #1573 のスレッド参照。

もっとも俺は linux なので、cdrecord 使ってるから関係無いのだが。

2ch無料バイダｷ･ｷ･ｷ･ｷﾀ━━━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━━━!!!!
http://isp.2ch.net/

朝８時なんていいじゃん。うちは、６時だよ、６時。
昔は、農家が多かったらしい。今じゃ、農地改革で
土地ぶんどった連中が宅地にして売りさばいたので、
ただの住宅地。でも、農業会館も立派なもの建て直し
たしサイレンも鳴り響く。農業会館は、早朝から
百姓崩れが囲碁将棋してるよ。

速報

第6試合×　ボブ・サップ　（１Ｒ　ＫＯ）　ミルコ・クロコップ 　〇
　　　　　　　　　　　　　　左ストレート！
第5試合×ピーター・アーツ（ＴＫＯ）ステファン“ブリッツ”レコ○
アーツ、骨が見えるほどの裂傷でドクターストップ。生中継では傷口をうっかり放映
第4試合○レイ・セフォー（ＴＫＯ）ペレ・リード×
第3試合○レミー・ボンヤスキー（TＫＯ）ビヨン・ブレギー×
第2試合○ジャイアント・ノルキヤ（判定）エヴジェニー・オルロフ×
第1試合○アーネスト・ホースト（ＫＯ）ジェファーソン“タンク”シウバ×

春だねー

[121]
n を正の偶数とする。n×n の正方形の盤があり，
n^2 個の単位正方形の升目に分かれている。
異なる二つの升目が共通の辺を持つときに
それらは隣接していると言う。
N 個の升目に次の条件を満たすように印を付ける：
「任意の升目（印の付いているものおよび印の付いていないもの）に対して
少なくとも一つの隣接した印の付いている升目がある」
このような事の出来る N の最小値を求めよ。
[122]
３つの球A,B,Cが２つずつ互いに接している。この３つの球に同時に接
する球をP_1とする。次に同じくA,B,Cに接し、同時にP_1にも接する球をP_2とする。
さらにA,B,CそれぞれとP_2に同時に接する球でP_1でないものをP_3とする。
以下同様にP_4,P_5,...を作ってゆく。
この時P_1はP_6と接する事を証明せよ。

[123]
三角形の三辺の長さa,b,cが有理数かつa+b+c=1を満たし、
三角の角度(ラジアン)が全てπの有利数倍となる三角形を全て求めよ
[124]
大相撲では千秋楽が終わって同じ勝ち数の力士が３人いるとき、
巴戦を行います。巴戦のルールは次の通りです。
ルール：
まず、ＡとＢの２人が対戦して、勝った力士と残りのＣが対戦します。
ここでＡが勝てば、Ａの優勝です。Ｃが勝てば、ＣとＢが対戦します。
同様に続け、誰かが２連勝した時点で、優勝が決まります。
このルールは果たして公平でしょうか？
（もし、不公平なら、確率にしてどれくらいの差があるのでしょうか？）
[125]
｢478｣は3の倍数ではないが、｢78｣という3の倍数を抜き出せる。
任意の19桁の自然数から、連続する数桁で19の倍数となっている物を
抜き出せる事を証明せよ。

[126]
6人いれば互いに知らない3人組または互いに知り合いの3人組が
必ず存在する事を証明せよ。ただしAはBを知っているがBはAを知らない
というような事は起こり得ないとする。
[127]
2n個の頂点、n^2+1本の辺をもつ単純グラフは必ず3角形を含む事を証明せよ。
[128]
Sを次の性質を満たす素数からなる集合とする。
※a,b ∈ S(aとbは異なる必要がない)のとき、ab + 4 ∈ Sとなる。
このとき、Sは空集合であることを示せ。

★玄関のインターホンの上の張り紙に「三色旗」が描かれている！

[129]
a_1,a_2,...,a_n はそれぞれ 1 または -1 であるとする。さらに
S = a_1*a_2*a_3*a_4 + a_2*a_3*a_4*a_5 + ... + a_n*a_1*a_2*a_3 = 0
が成り立つとすれば、n は 4 で割りきれることを証明せよ。
[130]
f(x)=x^2+x+41とします。
f(x)が合成数となるような整数xが40個連続する例をあげて下さい。
f(40)=41^2,　f(41)=41*43　というわけで 40，41 は2個連続する例です。
[131]
0 ＜ a ≦ b ≦ c ≦ d ≦ e ≦ f ≦ g ≦ h
である8個の実数a〜hを用意する。この時下の分数式を
最大にするように□にa〜hを入れるにはどうしたらよいか？
　□　　 □
　― ＋ ―
　□　　 □
―――――
　□　　 □
　― ＋ ―
　□　　 □

A氏とK氏がルーレットを使ってゲームをすることになった。赤、黒の出る確率は同じであるとする。
ルールはこうだ、
１）A氏が「黒、赤、赤」のように３つの並びを宣言する。
２）その後、K氏も同様に３つの並びを宣言する。
３）どちらかの言った並びが順序もそのままで連続して出るまで、何度でもルーレットを回し、
　　先に言った並びの出た方を勝者とする。

さて、よく考えてみると実はこのゲームはK氏が圧倒的に有利なんですが、
A氏の立場で考えてみると、最も勝つ確率を高くするには、最初にどのような３つの並びを宣言すればよいでしょう？
また同様に、A氏が最も宣言してはならない３つの並びはどのような物でしょう？

　※勿論、K氏は十分頭が良く、自分の勝つ確率を最大にするように３つの並びを宣言してくる。

[133]
実数a[1]〜a[n^2+1]がある時、a[b[1]]≦a[b[2]]…≦a[b[n+1]]か
a[b[1]]≧a[b[2]]…≧a[b[n+1]]となる自然数の数列b[1]〜b[n+1]がある事を証明せよ。
（ただしi<jに対してb[i]<b[j]）

[134]
1〜nまでの自然数によって構成される集合Sがある。
この集合からk個の要素を持つ異なる部分集合をm個取り出し、
それらをS(1),S(2),…,S(m)とする。
異なる、i,jについてS(i)∩S(j)の要素が
1) 0になる場合のmの最大値をn,kを用いて表せ。
2) 1になる場合のmの最大値をn,kを用いて表せ。
3) 2になる場合のmの最大値をn,kを用いて表せ。
3) 6になる場合のmの最大値をn,kを用いて表せ。

全てのn,m∈Zに対し
・f(n,m)≡f(n+1,m)+f(n-1,m)+f(n,m+1)+f(n,m-1) （mod 2）
・f(n,m)は0か1
を満たす関数f:Z×Z→{0,1}が与えられた時、

・任意のZ×Zの有限部分集合Aに対し
「あるk,l∈Z(kl≠0)があって、全ての(a,b)∈Aでf(a+k,b+l)=f(a,b)となる。
　しかもこのような(k,l)の組が無数に存在する。」

というのを満たさない事があるか？

Cantor集合K={x|x∈[0,1]、3進展開したときに0か2のみが現れる数｝
としたときに、π+Kは、全て超越数である事を示せ。

後半３分の２（抜けあり）

http://www8.plala.or.jp/popoya/img/l022/Jennie3/2/sample/m_jennie3_[41-79].jpg
http://www8.plala.or.jp/popoya/img/l022/Jennie3/3/sample/m_jennie3_[081-120.]jpg

国内（しかもぷらら）とは大胆な。
ごぶさたしております。なかなかネタが拾えなくて…。こんなペースですがよろしく。

デビュー前お宝画像
http://www2.strangeworld.org/uedakana/sahra6135.jpg

[137]
A[0]=0
A[n]=c*A[n-1]+1/n (n>1 0<c<1)
となる数列A[n]に対し、
A[n]→0(n→0)となる事を証明せよ。
[138]
一辺の長さが1の正四面体が2枚の平行な平面の間にすっぽり入るとき、
その2枚の平面の間の距離の取り得る値で最小なのを求めよ。
[139]
αを1以上の有理数とする。
Σ[k=1〜n]1/k^α
が整数となるような2以上の自然数nが存在するようなαは存在するか。
存在するならα及びnを求め、存在しないなら証明せよ。

実数a_i(i=0,1,2,……n)によって定められるn次方程式
Σ[i=0〜n]a_ix^i=0
の重解も含めたn個の解が正の実数のときn^2*a_n*a_0とa_(n-1)*a_1の大小を調べよ。

2つの自然数n,mがある。
n,mを素数pで割った余りをn_p,m_pとして、
全ての素数pに対しn_p≦m_pとなる時、n=mとなる事を証明せよ。

正の整数nに対し、B(n)はnを二進表現したときの1の個数とする。
Σ[i=1, ∞]B(i)/(i(i+1))
を求めよ。

領域D_nを次のように定義する。
　　D_n={(x,y)|0<x<π,nsinx<y<(n+1)sinx}
D_0,D_1,D_2,……のなかで格子点をふくまないものが無限に存在する可能性について述べよ。（証明してもよい）
ただし、必要ならば関数電卓などのtoolを用いてよい。
また、このような性質をもつものをいくつか求めよ。

ある四面体の中に半径１，２，３の球が内接している。また、これら３つの球も
互いに外接している。このような条件を満たす四面体の体積の最大値を求めよ。

任意の四辺形の各辺に正方形を作る。向かい合う位置にある正方形の中心
を結ぶ線分は互いに直交し、かつ長さが等しい事を証明せよ

また悪質な朝日だけが在日犯罪者の本名隠蔽して報道
http://society.2ch.net/test/read.cgi/mass/1049163129/l50

定規とコンパスを使って
・与えられた線分からなる立方体の半分の体積になる立方体、その一辺と同じ長さの線分
・与えられた線分を半径に持つ円と同じ面積の正方形、その一辺と同じ長さの線分
・任意に与えられた角の1/3の角度を持つ角

の3つをQ.manに作図させよ

B[0,1]を閉区間[0,1]上の有界関数のなす線型空間、
C[0,1]を閉区間[0,1]上の連続関数のなす線型空間とする。
それぞれノルムは絶対値の上限によって得られるとする。

T:B[0,1]→C[0,1]を∀x∈C[0,1]に対してT(x)=xを満たす線型作用素とする時、
Tは有界でない事を証明せよ。

半径１の球面があります。
この球面上に１点をとり、それを中心とした半径ｒ(０<ｒ<１)の球を考えます。
すると、この球によって、半径１の球面の一部が覆われることになります。
さて、半径ｒの球を最低何個用意すれば半径１の球面を完全に覆うことができるでしょう？
ただし、半径ｒの球の中心はつねに半径１の球面上に取るものとします

＞在日朝鮮人三世スーパーフライ級世界チャンプ 徳山昌守

おつむの中身もスーパーフライ級（軽量級)なんだろうぜ(ｗ

Q20(>>20)は
実係数２変数多項式f(x,y)で、常に正の値を取り、
幾らでも0に近い値を取るが値0を取らない（実係数）多項式を見つけよ。
とも言い換えられる。
では実係数２変数多項式f(x,y)で関数値は下に有界で、fx(a,b)=fy(a,b)=0
なる点(a,b)が存在しない物があるか。多変数ではどうか？

Q: 「自然数の集合の濃度と、実数の集合の濃度の間の濃度をもつ集合が存在する」
は証明または反証が可能か？
Q: 「選択公理、ツォルンの補題、整列可能定理」はZF集合論において、証明可能か？

Q: aを実数とする。微分方程式 y''(x)+a^2y(x)=0 の
非自明な解は有界周期関数であることを示せ。
(方程式の解はCsin(ax+b)というものになるが、この問題には
　三角関数を使ってはいけない。某スレに類題あり。)

Q: X,Yを位相空間とする。f:X→Yで、コンパクト集合のfによる像がコンパクト集合にならない例を挙げよ。
Q: X,Yを位相空間とする。f:X→Yが連続写像のとき、コンパクト集合のfによる像はまたコンパクト集合になることを示せ。
Q: X,Yを位相空間とする。f:X→Yが開写像かつ閉写像で、fが位相同型関数にならない例を挙げよ。
Q: Xを距離空間とする。Xの拡張となる完備距離空間が存在することを示せ。(難しい)
Q: R^mの有界閉集合をXとする。関数f:X→Rが連続ならば、関数fは最大値と最小値をもつことを示せ。

写像f:{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}→{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19}
をすべてA1の紙１枚に書きなさい。

Q: √2+√3+√5を根に持つ、有理数係数最高次係数1の多項式で、
次数が最小のものを求めよ。

Q: 2^(1/3)が有理数でないことを証明せよ。
Q: Ｑ上超越的な２つの実数の積が有理数になる例を挙げよ。

Q: ネピアの数が有理数でないことを証明せよ。
Q: 円周率が有理数でないことを証明せよ。(難しい)

Q: 整数の十進法表示において、数字が高々2つしか現れない平方数は無限にあることを示せ。
Q: 整数の十進法表示において、0から9までのすべての数字が現れる平方数を見つけよ。

ルート２の桁を１１個以上表示したとき、必ず同じ数字が２つ現れる。なぜか？

整数を２乗したとき、それを１００で割ったあまりとしてあり得る0以上100未満の整数をすべて挙げよ。

Q: 5^9999を101で割った余りを求めよ。(答えは0以上101未満で出せ。)
Q: 100!を101で割った余りを求めよ。(答えは0以上101未満で出せ。)
Q: 1000!を101で割った余りを求めよ。(答えは0以上101未満で出せ。)

Q: 10!!/9!!の整数部分を求めよ。
Q: 100!!/99!!の整数部分を求めよ。
Q: 1000!!/999!!の整数部分を求めよ。

Q: 999999999!!/1000000000!!の整数部分を求めよ。

Q: a≠0として、y=ax^3+bx^2+cx+dのグラフが同一の形状を保つ
(つまり、平行移動で移りあう)ようにa,b,c,dの関係式を定めよ。

夏期休暇でアメリカに行った際の出来事。ＬＡで信号待ちをしていると
気の良さそうな２人組のお兄さんが、「おまえは 日本人か？」と気さくに
聞いてきました。「そうだ」と答えると、「漢字のタトゥー （刺青）を
彫ったんだけど、どういう意味か教えろよ」と言われ差し出された腕を見ると
『武蔵』と彫ってありました。「日本で最も有名な剣豪だよ」と伝えると
彼は満面の笑みを浮かべていました。続いてもう一人が腕を差し出すと
そこには『朝鮮』と大きく彫ってありました。「KOREAだよ」と教えてあげた後の
彼の悲しそうな顔が忘れられません。

Q: y^2=x^2+ax+bのグラフが同一の形状(つまり、平行移動で移りあう)ように、
さらにグラフが空にならないようにa,bの関係式を定めよ。

[166]
y=ax^2+bx+cのグラフとy=sx+tのグラフの共有点は、もっとも多いときいくつか？
[167]
次の数式の答えを出せ(有効数字100000桁まで)
( 2^3628/3215*21638.12+(3621/1826)^2386/18661235)^1/186293

単連結の位相空間XからXへの同相写像fの集合Aに写像の積による
積演算を考えて、群の構造を入れる。(恒等写像を単位元とする)
群Aに次のような同値関係
＞f(x),g(x)∈Aに対し連続写像μ(x,y):[0,1]*X→Xで
＞∀x∈X μ(0,x)=f(x),μ(1,x)=g(x)かつ
＞∀x∈[0,1]に対して「∀y∈X μ(x,y)=a(y)」となるaがXからXへの同相写像となる
＞μが存在する時f〜gとする。
を考える事で出来る剰余群A/〜がZ/2や自明な群以外になる事はあるか？

電波と言う程ではないが、飲み会に剣道着を着て来た
ヤツがいたなぁ。
そいつは酔うと甲冑を脱ぐのだが、シラフに戻ると
また剣道着を着るという不思議な行動を取っていたという話。

逆の行動パターンなら理解できるが。

XY平面上の格子点A,Bと原点Oに対し
ABの長さと三角形OABの中にある格子点の数が等しくなるようなA,Bの組を全て求めよ

[170]
プラトンの正多面体は全部でいくつ？
[171]
正三角形のみで出来る凸多面体は合同変換で移り合う物を除いていくつ？

急にヤフーが落とせなくなりました。いつもハードディスクで見てましたが
突然見えなくなりました。どうしてでしょう？解決方法を指示ください。

4次元上で正多面体のような物を考えて出来る正多胞体が6つある事と、
5次元以上になるとそれにあたる物が3つしかなくなる事を証明せよ。

☆　アメリカのポチは　だまって金か　自衛隊かダニ
☆　５年間の連合軍　イラク統治は無視かよ
☆　ラムズフェルドの恫喝で　シリアから　医療はん　撤収ダｗｗｗ

[173]
2桁の10進数に各桁の数字の積をとる操作をする。
1桁の10進数になるまでのステップ数が最も多いのは？
また7進数、9進数において同様な2桁の数や、3桁の数も探してみよ。
[174]
3桁の10進数に各桁の数字の積をとる操作をする。
1桁の10進数になるまでのステップ数は高々いくつでしょう？

[175]
平面内で同じ大きさの正五角形をつなげていくことを考える。
隣り合う正五角形は１辺とその両端の２頂点を共有する。
またどの正五角形同士も重なることはない。
この条件の下で1個の正五角形から始めて次々につなげていったとき
n個目の正五角形が1個目のそれとちょうどつながった。
このようなことが可能な最小のnを求めよ。
[176]
平行な直線が3本ある。この3つともに頂点が乗っかってる正三角形を
定規とコンパスによって作図する方法は？

４２歳。
去年まで金無し君だったけど、NYタイムズの意見広告と幻冬舎の株で
二年で３５０万貯めた。一度やってみなよ。
ＮＹタイムズは初回のみだけど、１０万円以上の寄付をすれば名前（３センチ四方）を出して貰える。
名前出すだけでそのまま売名することもできるし、
新たに本を出すとか、インタビューを受けるとかすれば倍々ゲームで２００万円に。
思い切って幻冬舎の株に賭けてしまえば５０パーセントの確率で二倍になる。
金なきゃオンライン日記を本にすればいいだけ。暇つぶしになる。
田中康夫ヨイショとか、大石英司罵倒とか色々あるのでマジでお勧め。
http://www.diary.ne.jp/user/31174/?

[177]
平行な直線が３本ある。この３つともに頂点が乗っかってる
直角二等辺三角形を定規とコンパスによって作図する方法は？
[178]
円に内接する3角形で面積が最大なものを求めよ
また、急に内接する四面体で体積が最大なものを求めよ

「バクチは負けた時にその人間の本質が見える」って言葉を思いだした。

[179]
容量が互いに異なり、またその容量が素数となっている容器がある（単位はリットル）
このような容器を2つ用いれば必ず1リットルが測り取れるだろうか？
[180]
二次方程式 ax^2+bx+c=0 (aは自然数、b,cは整数)
が重解をもつとき、
√(100*a+10*b+c)が整数となるような(a,b,c)の条件を求めよ

ていうか、漏れなんぞは10何時間も飛行機に
乗ったり時差ボケに苦しむのは嫌なので海外
旅行は好きではないのだが、これは普通の感覚
じゃないのかなあ？

atok16で、四字熟語の
哀毀骨立
が変換されない。
フッ、まだまだだな…

[181]
正方形１３個からなる次のような図形を考える。
□□□□
□□□□
□□□
□□
これを５個に切り分け並べ替えて正方形を作れ。
[182]
底円の半径も、高さも１の円錐型の容器がある。
さかさまにして底面が水平になるように立てて、水を一杯に入れる。
水平面からβラジアン傾けたとき、残った水が元の半分になった。
このとき、tanβを求めよ。
[183]
任意の正整数nについて10進表示で下n桁がゾロ目に
なってるような立方数が存在することを示せ。

全ての実数上で定義されている無限回連続微分可能な初等関数f(x)を考える。
次の２つについてそれぞれの具体例を挙げよ。
(1)全ての整数nについてf(n)=[n/5]　（[X]はXを超えない最大の整数を表す）
(2)nが0以外の整数ならf(n)=0でf(0)=1

一辺1の立方体4個を面と面で(面の境界となる辺も共有するように)
つないで出来る立体は空間反転を認めなければ8種類ある。
これらの立体を1種につき2個ずつ使って組み合わせて
一辺4の立方体が作れることを示せ。
なおこの問題は3次元空間上で考えよ。

>>184訂正。184はQ184です。

やっべ。寝坊して大学行き忘れた(汗

[186]
長方形ABCDの辺AB、AD上にそれぞれ点P,Qがあり、
線分AB、AD、AP、AQ、CP、CQ、PQの長さが全て整数になるような
組み合わせを全て求めよ。(AB、AD、AP、AQの長さを指定する)
[187]
互いに素な2つの正整数x,yのk乗の和が3のn乗に等しくなるような
正整数nを全て求めよ。ただしkは2以上の整数とする。

●,○,◎　N個ずつ、合計3N個の玉がある
これらすべてを円形に並べる並べ方の総数を求めよ。

P1(a),P2(a),P3(a),P4(a)はaの１次以上の整数係数の多項式で
恒等式P1^2+P2^2+P3^2=P4^2を満たす。
またi≠jの時、「α,βが整数でαPi+βPj=0ならα=β=0」が成り立っている。
このようなPi;i=1,2,3,4の具体例を挙げよ

桝目の数がｎ×ｎの碁盤目状の道がある。
(つまり角、三叉路をふくめて交叉点の数は(n+1)^2。)
左下から右上隅をむすぶ対角線よりみぎしたの部分にふくまれる道は
すべて通れないとするとき、左下から右上隅にいたる最短経路の
数をｎをもちいてあらわせ。

サッカーボールの各面を４色で塗り分けるとき、
隣り合う面の色が異なるように塗る塗り方の総数を求めよ
ただし、回転して一致する塗り方は同じものとみなす

自然数nに対して、f(n)をnの約数の個数とするとき
n/{f(n)^2}の最小値と そのときのnの値を求めよ。

逆数を十進数で表示した時、2003という部分が出てくる最小の自然数は？

面積の同じ多角形A,Bで次の条件を満たさない物はあるか？
『Aを有限個の多角形に分割し互いに重ならないようにくっ付け直すとBになる』
もしあるのなら例を挙げてそれが条件を満たさない事を証明せよ。
無いのならそれを証明せよ。

>>1がQ.manであるかどうかは関係ない。
Q1000までがんがれ！

>>193
面白そうな問題だね

[195]
閉区間[0,1]から[0,1]への連続関数fでf(0)=0,f(1)=1かつ、区分的線形関数である物
（１変数の場合は、グラフが折れ線になる関数の事である）全体の集合を X とする。
この時、Xに属する任意の２元f,gを取ると、Xに属する適当な２元p,qで、
恒等式f(p(t))=g(q(t)),t∈[0,1]が成立する物が取れる事を示せ。
[196]
a1〜anが有理数体上一次独立な時、f(x)=Σcos(ai*x)は
x>0でf(x)=nとなる事は無いが、nに幾らでも近い値を取る事を示せ。
[197]
係数を整数、有理数、実数、複素数のどれか1つに固定したm変数多項式環を考える。
さて、それを要素とするn次正方行列Aが、A^2=Aを満たしているとする。
この時、多項式を要素とするn次正方行列B,Cで、
※ BACが対角行列で対角成分は0,1からなり、なおかつBCは単位行列となる。
となる物が存在する事を証明せよ。

aを0でない整数、b1〜bnを相異なる整数とし、f(x)=1+aΠ(x-bi)と置く。
nが奇数の時、f(x)は、有理係数の範囲で既約である事を証明せよ。

フィボナッチ数列f[n]（f[1]=f[2]=1,f[n+2]=f[n+1]+f[n]）を考える。
この時任意の整数p,q,rに対し
f[p+1]f[q+1]f[r+1]+f[p]f[q]f[r]-f[p-1]f[q-1]f[r-1]=f[p+q+r]

200ゲット

[200]
>>200の相応しい処刑方法を考えよ。

[201]
全部の式を満たすような解は無いが、
有限個の式を任意に選べばそれらを満たす解が
存在するような連立方程式は存在するか？
なお、それぞれの式は（m変数多項式）=0のような形をとっている物とする。

Qまん　ウザ

このスレQｳｻﾞがやってんの？

これ解答はどうすんだろ？
問題だしっぱなし？

[202]
a[0]=c,a[n+1]=a[n](a[n]-2)で与えられる数列の一般項を求めよ。
[203]
n>3に対しΣ[0<k<n]√kが無理数である事を証明せよ。
[204]
n個の重複を許す自然数の組み合わせで、次のを満たす組はいくつあるか？
# 0<k<n+1なる自然数kに対し、k以下の自然数を最低k個含む。
[205]
nを自然数とし、nの倍数の逆数からなる集合をPとする。
任意の有理数はPの有限部分集合の和で与えられる事を示せ。

実数xの小数部分を<x>と表す。(0 <= <x> < 1)
このとき、整数a,b,cが自然数nと互いに素でk=1,...,n-1に対し
<ak/n> + <bk/n> + <ck/n> > 1
を満たすならa+b,b+c,c+aのうちの一つはnで割り切れる事を証明せよ。

Q[1](x)=1+x、Q[2](x)=1+2xでm>=1のとき
Q[2m+1](x)=Q[2m](x)+(m+1)xQ[2m-1](x)
Q[2m+2](x)=Q[2m+1](x)+(m+1)xQ[2m](x)
と多項式の列Q[n](x)を定義する。そしてx[n]をQ[n](x)=0の最大の実数解
とする。{x[n]}は増加数列であり、lim[n->∞]x[n]=0であることを示せ。

全単射な等角写像で互いに移りあう2つの図形が相似でない事はあるか？
あるならその例を挙げよ。

スレ汚しスマン。
Q.manでもロードブリブリでもmathmaniaでも誰でもいいから、
この良スレをQ1000まで、良問で埋めてくれ！

（＾＾）

　

　　 ∧＿∧
　　（　　＾＾ ）＜ ぬるぽ（＾＾）

Qうざが問題出すスレはここだ

　（　・∀・）＜　こんなのみつけたっち♪　
http://www.muryou.gasuki.com/hankaku/hankaku04.html
http://muryou.gasuki.com/hankaku/hankaku03.html
http://www.muryou.gasuki.com/hankaku/hankaku02.html
http://muryou.gasuki.com/hankaku/hankaku01.html
http://www.muryou.gasuki.com/hankaku/hankaku06.html
http://muryou.gasuki.com/hankaku/hankaku05.html
http://www.muryou.gasuki.com/hankaku/hankaku08.html
http://muryou.gasuki.com/hankaku/hankaku07.html
http://www.muryou.gasuki.com/hankaku/hankaku10.html
http://muryou.gasuki.com/hankaku/hankaku09.html

Q215
整数全体から整数全体への写像fで、f(f(n)^2)=nが任意の整数nに対して
成り立つようにできるか？(これはあまり難しくない。)

そうだ、このスレの問題の解答を書くスレを立てるのはどうだ？

Q216
(cf Cantor)
整数全体から有理数全体への写像で、全射になる例を一つ挙げよ。
また、整数全体から実数全体への写像は全射にならないことを示せ。

>>215
糞スレを増やすのはやめてください。
自分でHPでも作って勝手にやればいいでしょうが

けど問題と解答が見たい気持ちもあるから
本気でHP作って欲しい

[209]
fを整数全体から整数全体への写像とする。
任意の整数nに対して、
n=f(f(n+1)+f(n-1))となるようにfを定めよ。
(そうできないならば、できないことを証明せよ。)
[210]
0と1を並べて出来る数列を考える。
例えば01010010110010101…
という数列においては「010101」という部分で「01」を3回繰り返してしまうが、
このように3回繰り返すような部分を含まない数列を構成せよ。
さて、このような数列は「最初の有限項を取り除く」
「全ての項に対して0と1を取り替える」という2つの動作を行えば
互いに等しくなる事を証明せよ。
[211]
ある数xを2進展開したら、小数点以降がQ210の数列のようになった。
この時xが超越数である事を証明せよ。

[212]
a{n}=1/(2n-1)、b{n}=-1/2nで定義された数列に対して
Σ[0≦i](Σ[1≦j≦p]a{ip+j}+Σ[1≦j≦q]b{iq+j})
を求めよ。
[213]
表が白のオセロの石が横一列にn個並んでいる。
これらの石に対して次の操作#1,#2を行っていき、最終的に
表が白の石一つを残すように出来るnを全て求めよ。
#1 左端(右端)の石の表が白の場合、左端(右端)から2番目の石を
　　裏返した後、左端(右端)の石を取り除く。
#2 端でない部分の石の表が白の場合、それを取り除き
　　両隣にあった石を裏返す。
[214]
lim[x→0](sin(tanx)-tan(sinx))/(arcsin(arctanx)-arctan(arcsinx))を求めよ。

>>217
もしここに書いてある問題に全部解答できたら糞どころか神スレだろ

[217]
f(x)を自然数に対して自然数を取る０でない多項式とする。
このとき小数点以下f(1), f(2), ...f(n)...を並べた数は超越数であることを示せ。

Qハウス保守

中学校の知識でも解けるような、でも難しい問題作ってよ。
漏れはここの人たちよりドキュンだから、証明理解できても
自分では解けないよ。

http://homepage.mac.com/ayaya16/

Q225
三角形ABCは角A=84°,角B=48°である。
この三角形のある平面上に点Dがあり、
角ABD=12°,角CBD=36°,角DCB=72°となる。
このとき角ADBを求めよ。
(by 算オリ)

>>225
30°だね

>>114
(a,b,p)=(1,4,13),(2,3,7),(3,2,7),(4,1,13)

>>129
ａ=ｂ=ｃ=1/3の正三角形のみ。

>>33
n=1,3のみ

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

[218]
コインがn枚ずつ入った袋がm個ある。
それぞれの袋には本物のコイン(10g)か偽者(9g)のどちらかが入っており、
重さによってのみ本物・偽者の区別が出来る物とする。
これらの袋からコインを何枚ずつか取り出し、量りにのせて重さを量る。
1回量っただけで本物の入っている袋が全部分かるようなmとnの関係式を求めよ。

[219]
1/10000の確率で病気Aにかかっている人が1億人いる。
全員採血されてる状況で病気の人間を全て求める事を考える。
なお、血液検査にかかるコストは1回1000円。そしてそれぞれの人間から
検査を何回でも繰り返せるだけ採血している物とする。
この時、10000人の血を全部混ぜて検査するなどして平均コストを
なるべく小さくしたいのだが、どのような方法で検査していけばよいか？

[220]
平面上の無限個の点の集合Aで
#1 どの二点間の距離も有理数である
#2 どの二点間の距離も整数である
#3 どの直線上にもAの点は有限個しかない
#4 どの二次曲線上にもAの点は有限個しかない
のうち(1)#1,#3(2)#2,#3(3)#1,#3,#4を満たす物を考える。
この時(1),(2),(3)についてそのような例が存在するか考えよ。

[221]
2つのカウンターA,Bが0に設定されている。
確率p(0<p<1)で成功する試行Xを繰り返してゆき、
成功したらAを1増やし、その際にA>k(k∈N)ならばAを0にしBを1増やす。
失敗したらAを0にする。Xをn回した時のBの値を与える確率変数を
Y[n]とした時、lim[n→∞]E(Y[n])/nを求めよ。

[222]
A,B,C,Dの四人がいて、ピストルで決闘(殺し合い)をする。
各人はそれぞれの命中率が1/4,1/2,3/4,1である事を知っているものとする。
A-B-C-D-A…の順で一発ずつ打ち合うとき、Aの生き残る確率を求めよ。
ただし各人はA〜D、明後日の方向のいずれかを打つという行動の中から
最善の物を選ぶとする。

[223]
「直交する格子点の隣り合った2点を縦か横に結ぶ」ことを一手とし、
先手のAは赤線、後手のBは青線で、交互に一手ずつ、好きな場所に記入してゆく。
盤は無限に広いと考えてかまわない。
先に自分の色だけで閉区間を完成したほうの勝ちである。
・・・というゲームには欠陥がある。なぜか。

[224]
円を平面上に互いに重ならないように、どの部分にもこれ以上置けないように配置する。
この時原点から距離r以内で円で埋め尽くされてる部分の面積をf(r)とした時、
f(r)/πr^2のr→∞での下極限の取り得る値の下限はいくつか？

[226]
正の整数nに対しPn(x)=�納k=0,n](-1)^k(1/(2k)!)x^(2k)とおく。
方程式Pn(x)=0は相異なる2n個の実数解をもつことをしめせ。

[227]
白球にランダムに打った4点が同一の半球面上にある確率を求めよ。

[228]
C(n,r)は組合せの数とした時、Σ[i=0->2003]i^2*C(2003,i)*2^iを求めよ。

[229]
f:R^n→R^nがd(x,y)=1⇒d(f(x),f(y))=1をみたすときfは等長写像か否か。
ただしn>1でd(x,y)は通常のユークリッド空間の距離である。

[230]
自然数nに対し次の条件を満たすmが存在するか？存在する時は最小値を求めよ。
「任意のm桁の数に対しnの倍数となる連続する一部分を必ず抜き出せる」

[231]
X1〜Xnを無理数とするとき任意のe>0にたいし自然数A0〜Anを
|AiXi-A0|<e (∀1≦i≦n)を満たすようにとれる事を証明せよ。

[232]
底面が合同である多角錘３つに分割出来る様な多角柱は
互いに相似なものを同じとみなすと何種類あるか？

任意のd,nに対し、どの2枚も互いに交わらないn-1次元超平面d個を
n次元空間に配置出来る事を示せ。その際の超平面によって分割される
領域の最大個数も求めよ。

mn個の要素を持つ集合Sから要素がn個の部分集合をmn個、
互いに共通部分の要素が高々k個であるように取って来れるか？

N次元空間内の点をN+2種類の点に分割するとき、少なくとも
N+1種類の点を含むN-1次元空間が存在することを証明せよ。

表の面に1,1/2,1/3…と書いてあるカードをその順番にずっと並べてゆく。
(1)表が出る確率pのコインを投げて、n回目に裏が出たら
　n枚目のカードを裏にするという作業を繰り返す。
(2)サイコロを転がしていき、n回目までに出た目の和をSnとして、
　Sn枚目のカードを裏にするという作業を繰り返す。
カードの裏の面には0が書いてあるとして、作業が終わった時
n枚目の上に書いてある数をanとする。
このとき(1),(2)それぞれについてΣanが発散しない確率を求めよ。

>>235訂正：上から順に[233],[234],[235]

正方形を定規のみで7等分する方法を考えよ。
さらに定規の線分が正方形からはみ出さないようにした場合はどうか？

凸多角形において、定規のみで求められる凸多角形内の点は
「凸多角形から定規で引いた線分がはみ出さないようにする」
という条件を追加した場合でも求められる事を証明せよ。

n個の点が与えられた際に、それからコンパスと定規を使って作図して出来る点は
コンパスのみを使っても求められる事を証明せよ。

Q240
(1)作図で三等分することが可能な角度で、π/n (nは正整数)以外のものを一つ揚げよ。
それが不可能ならばその理由を述べよ。
(2)フーリエ変換可能な1変数関数で、その導関数がフーリエ変換可能でない例を一つ挙げよ。
ここで、関数f(x)がフーリエ変換可能とは、任意の実数tに対して、
exp(itx)f(x)の絶対値が、(-∞,∞)上広義積分可能であることをいう。

　　　 　∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　(　　＾＾ ） ＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣〕
　　＝ ◎――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉

6

3

Q244

f(x)が凸関数、つまり
　∀a, b∈R：0＜∀t＜1：f(ta+(1-t)b)≦tf(a)+(1-t)f(b)
のとき、fは連続だそうですが、直感的には判るものの証明が思いつきません。
どう証明するのか、教えてください。
お願いします。

Q245
f:R→Rが∀a,b\in R,0<∀t<1,f(ta+(1-t)b)<tf(a)+(1-t)f(b)
を満たすとき、{(x,y)\in R^2|y>f(x)}は一様凸であることを示せ。

亀レスだけど、>>244は
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1056800354/407
を荒らしが嫌がらせでコピペしたもので、マルチではありません。
新手の荒らしですが、大変悪質ですね。
もう・・・尻拭いが大変。

　__∧＿∧_
　|（　　＾＾ ）|　＜寝るぽ（＾＾）
　|＼⌒⌒⌒＼
　＼ |⌒⌒⌒~|　　　　　　　　　山崎渉
　　 ~￣￣￣￣

nage

>>158
(1) 4×10^(2n)、9×10^(2n)
nは自然数

>>161
(1)81
(2)100
(3)0

>>68
a=2,b=3のときa^b+b^a=17

>>31
2(b+1)(c+1)

>>102

a=2/3

>>41
10001, 100010001, 1000100010001, ･･･
はx=100とおけばこの数列は、x^2+1,x^4+x^2+1,x^6+x^4+x^2+1.･･･
x^(4n)+x^(4n-2)+･･･+1,x^(4n+2)+x^(4n)+･･･+1,････である。

x^(4n+2)+x^(4n)+･･･+1=(x^2+1)*{x^(4n)+x^(4n-2)+･･･+1}
x^(4n)+x^(4n-2)+･･･+1={x^(4n+2)-1}/(x^2-1)={(x^(2n+1)-1)/(x-1)}*{(x^(2n+1)+1)/(x+1)}=
{x^(2n)+x^(2n-1)+･･･+1}*{x^(2n)-x^(2n-1)+･･･+1}
だから、10001=x^2+1以外は素数である。

10001=37*137だから、x^2+1も合成数。

>>156

１

2^(1/3)が有理数と仮定する。
2^(1/3)=n/m(nとmは互いに素な自然数)とおくと

2m^3=n^3 よってnは偶数、n=2k
m^3=4k^3 よってmも偶数、m=2hとなって、mとnが互いに素である事に反する。

２

(1/π)*π=1

>>57
1〜2nから、相異なる自然数、a_1,･･･,a_(n+1)を取り出す。
iを1≦i≦n+1なる整数とする。

a_i=2^(k_i)*(b_i)
(ただし、b_iは奇数、kは0以上の整数)
b_iは1,3,････,2n-1のn個の奇数のうちのどれかだから

b_1,･･･,b_(n+1)のうち、少なくとも二つは等しい。
これを、b_u、b_vとする。

このとき、a_u=2^(k_u)*(b_u)、a_v=2^(k_v)*(b_v)=2^(k_v)*(b_u)

k_u＜k_vのとき、a_uがa_vを割り切る。
k_u＞k_vのとき、a_vがa_uを割り切る。

k_u=k_vのとき、a_v=a_uとなって、a_uとa_vが異なる事に反する

某サイトの問題を改変。
123を312に、43561を14356にするように、最下位の数を最上位に並べ替えて新しい数を作ることを考える。この操作に対応する写像をsとしよう。
例えばs(123)=312で、s(43561)=14356である。
正整数aで、s(a)=3aとなるものは無限に存在することを示し、またそのようなaで最小のものを求めよ。

>>68
a,bともに3以上のとき
a,bともに素数だから、a,bともに奇数である。
a^b＋b^a≡1＋1≡0 (mod 2)、a^b＋b^a＞2より
a^b＋b^aは2で割り切れ、かつa^b＋b^aは2より大きい。
よって、a^b＋b^aは合成数である。

a＝2のとき
b＞3のとき
bは3より大きな素数より、bは3で割り切れない奇数である。
よって、b≡±1 (mod 3)
2^b+b^2≡(-1)^b+(±1)^2≡-1+1≡0 (mod 3)
2^b+b^2＞3より、2^b+b^2は3で割り切れ、2^b+b^2＞3である。
2^b+b^2は合成数となる。

a=2,b=3のとき
2^3+3^2=17は素数である。

よって、a、b、a^b+b^a共に素数となるのは、a=2,b=3の場合のみである。

Q万　ガンガレ

5

　　　 (⌒V⌒)
　　　│ ＾ ＾ │＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　⊂|　　　　|つ
　　　（＿）（＿）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎パン

12

>>114
a≧bと仮定しても一般性を失わないので、以後そうする。
a^3+b^3=5pすなわち、(a+b)(a^2-ab+b^2)=5p

a≧b+1のとき
(a^2-ab+b^2)-(a+b)=a(a-b-1)+b^2-b≧0
a=b≧2のとき
(a^2-ab+b^2)-(a+b)=a^2-2a=a(a-2)≧0
a=b=1のとき
a^3+b^3=2となって問題の条件を満たさない。

よって、1＜a+b≦a^2-ab+b^2と考えてよい。

p＞5のとき
a+b=5、a^2-ab+b^2=pとなる。
a=1,b=4のとき、p=16-4+1=13
a=2,b=3のとき、p=9-6+4=7

p＝5のとき
a^3＋b^3＝25
0^3=0、1^3=1、2^3=8、3^3=27だから、この時、a,bが存在しない。

p＜5のとき
a+b=p、a^2-ab+b^2=5
p=3のとき
a=2,b=1となるが、a^2-ab+b^2=3＜5となって不合理。
p=2のとき
a=b=1となるが、a^2-ab+b^2=1＜5となって不合理。

>>263
答え
a=4,b=1あるいはa=1,b=4のとき p=13
a=3,b=2あるいはa=2,b=3のとき p=7

>>77
z=√(1155y/x)より
x*z^2=1155*y･･･※

1155=3*5*7*11だから
1155は素数zの二乗で割り切れない事がわかる。

yは素数だから、z^2では割り切れない。
(もしz^2で割り切れたら、yは1,y以外の素因数zを持つ事になって不合理)

よって、1155とy、共にzで割り切れる。
z*b=y
と書ける。

ここでb=1である
(b≧2なら、yは1,y以外の素因数zを持つ事になって不合理)

y=zである。
これを※に代入すると

xy=1155=3*5*7+11

y=zの最小値は3である。
この時x=105となる。

>>41
10001, 100010001, 1000100010001, ･･･
はx=100とおけばこの数列は、x^2+1,x^4+x^2+1,x^6+x^4+x^2+1.･･･
x^(4n)+x^(4n-2)+･･･+1,x^(4n+2)+x^(4n)+･･･+1,････である。

x^(4n+2)+x^(4n)+･･･+1=(x^2+1)*{x^(4n)+x^(4n-2)+･･･+1}
x^(4n)+x^(4n-2)+･･･+1={x^(4n+2)-1}/(x^2-1)={(x^(2n+1)-1)/(x-1)}*{(x^(2n+1)+1)/(x+1)}=
{x^(2n)+x^(2n-1)+･･･+1}*{x^(2n)-x^(2n-1)+･･･+1}
だから、10001=x^2+1以外は合成数である。

10001=37*137だから、x^2+1も合成数。

>>31
連続する自然数の最初の数をn、最後の数をmとすると
和は、(m+n)(m-n+1)/2=2^a*3^b*5^cとなる

(m+n)(m-n+1)=2^(a+1)*3^b*5^c
m-n+1=(m+n)-(2n-1)だから
m+nが偶数のときは、m-n+1は奇数

m+nが奇数のときは、m-n+1は偶数

m+n=u、m-n+1=v
u,vは、u*v=2^(a+1)*3^b*5^c、u＞v、かつ一方は偶数で他方が奇数･･･※

m=(u+v-1)/2,n=(u-v+1)/2とおけば

(m+n)(m-n+1)/2=2^a*3^b*5^cとなる。

※の条件を満たす、uとvのの取り方は2(b+1)(c+1)/2=(b+1)(c+1)通りある。

よって、和が2^a*3^b*5^cとなるような連続する自然数の取り方は、(b+1)(c+1)通り

>>157のQ１
e=Σ_[i=0,∞]{1/(i!)}と書ける。2＜e＜3なので、e=n/m n,mは自然数、とくにm≧2
とおく事が出来る。

m!e=Σ_[i=0,m]{(m!)/(i!)}+Σ_[i=m+1,∞]{(m!)/(i!)}=
Σ_[i=0,m]{m*(m-1)*･･･*(i+1)}+Σ_[i=m+1,∞]{1/{(m+1)*･･･*i}}

Σ_[i=m+1,∞]{1/{(m+1)*･･･*i}}=(m-1)!*n-Σ_[i=0,m]{m*(m-1)*･･･*(i+1)}
よってΣ_[i=m+1,∞]{1/{(m+1)*･･･*i}}は整数である。･･･※

ところが、
0＜Σ_[i=m+1,∞]{1/{(m+1)*･･･*i}}＜Σ_[i=m+1,∞]{1/(m+1)}^(m+1-i+1)
={1/(m+1)}/{1-(1/(m+1))}={1/(m+1)}/{m/(m+1)}=1/m＜1

これは、※に反する。

よって、e=Σ_[i=0,∞]{1/(i!)}は無理数である。

>>113
M≧Lのとき
M-L+1からM+Lまでの連続する自然数の和は
{(M+L+M-L+1)*L}/2=(2M+1)*L

M＜Lのとき
L-MからM+Lまでの連続する自然数の和は
{(M+L+L-M)*(2L+1)}/2=(2M+1)*L
となる。

いずれにしても、(2M+1)*Lは2以上の連続する自然数の和であることがわかる。

よって、(2M+1)*L∈Ｍが示された。

[241]
f(x),g(x)∈Q[x]、F={f(x)|x∈Q}、G={g(x)|x∈Q}とする。
F=Gとなる必要十分条件はあるa,b∈Qがあってf(x)≡g(ax+b)となる事を示せ。

[242]
平面上の有限個の国からなる地図は必ず4色で塗り分けられる。という事を仮定したとき
平面上の無限個の国がある地図も4色で塗り分けられる事を証明せよ。
（点で接する国は同色でぬっても良い。線で接する国はダメ。国の飛び地はない物とする）

[243]
自然数全体の集合 N に普通の順序を入れ、そのn個の直積半順序集合X=N^nを考える。
Xの部分集合Yを考える時、Yの極小元は有限個である事を証明せよ。

[246]
0〜9の数字を有る所から左に無限に並べた列........90625や........09376は、
90625^2=8212890625, 09376^2=87909376等、末尾を自乗すると、その末尾が再現される。
この様な列を末尾自乗再現列と言う事にする。（但し、幾ら先へ行っても 0 でない数字が現れるとする）
さてこれを一般にn進法で考えた際にこのような列は幾つあるか。また末尾三乗再現列は幾つか。

[247]
n次正方行列 A = （a_ij=[iとjの最大公約数]）(i,j=1〜n)とすると、detA=φ(1)φ(2)...φ(n)と
なる事を証明せよ。但しφ(m)は1〜mの中でmと互いに素な物の総数とする。

[248]
nをp(pは素数)で割り切れない自然数に分ける分割の数は、nを同じ数が
多くてもp-1個しか現れない様に分ける分割の数に等しい事を証明せよ。

[249]
(x-1)(x-2)...(x-p+1)の各係数（pは素数とする）は、x^(p-1)-1の係数にpを法として合同である事を示せ。

[250]
f_1(x)〜f_n(x)を整数係数多項式で、どれも定数ではないとする。この時、合同式f_i(x)≡0(modp)が
全てのiに対して解（解はiごとに異なって良い）を持つ様な素数pが無限に多く存在する事を示せ。

[251]
�尿i^2=-Eを満たす、互いに可換な実n次正方行列A1〜Amが存在する時、nは偶数である事を示せ。

[252]
任意の実係数多項式f(x,y)に対し、実係数多項式g(x,y),h(x,y)で
f(x,y)=g(x,y)+h(x,y)(x^2+y^2-1), Δg(x,y)=0を満たす物が唯一組存在する事を証明せよ。

[253]
有理係数の多項式f(x)で、任意の整数aに対しf(a)も整数になるf(x)を全て決定せよ。

[254]
Q253においてn変数で考えた場合どうなるか？

[255]
Σ_σ（sgn(σ)A[σ(1)]A[σ(2)]...A[σ(2m)]）=0となる事を証明せよ。ただしA[1]〜A[2m]は
複素数を要素とするm次正方行列で、σは{1,2,...,2m}の置換全体を動く。（sgn(σ)はその符号）

[256]>>256

[257]
Kを体、V0〜VnをK上ベクトル空間（次元はそれぞれa1〜an）とする時、
線形写像f_i:V_(i-1)→Vi (i=1〜n)で完全系列を成す物が存在するためのKとa1〜anに関する
必要十分条件を求めよ。またV0,V1,......と無限に長い系列の場合、.......,V_-n,V_(-n+1),...V0と
逆方向の場合、そして....,V-1,V0,V1,....と双方向に長い場合についても考えてみよ。

[258]
V(i,j)をK上aij次元ベクトル空間(i:1〜n j:1〜m)とする時、
線形写像f_ij:V(i-1,j)→V(i,j)、g_ij:V(i,j-1)→V(i,j)で可換図式をなし縦横ともに完全系列を為す
物が存在するようなKとaijの必要十分条件を求めよ。

[259]
Kを可換体としA∈M(n,K)がtrA=0を満たせば、A=BC-CBなるB,C∈M(n,K)が存在する事を示せ。

[260]
行列式1の非負整数を要素とする2次行列Xは、X=C1C2...Cn(n>=0)と一意的に書ける事を示せ。
但し各Ciは((1,1),(0,1))か((0,1),(1,1))のどちらかであるとする。

[261]
fを(a,b)から(c,d)への狭義単調増加関数、gを(c,d)から(e, f)への狭義単調増加関数とする。
（(x,y)は開区間）　　この時g(f(t))が連続なら、f,gは共に連続となる事を証明せよ。

[262]
(f_n)を[a,b]から[c,d]への一様収束連続関数列、(g_n)を[c,d]から[e,f]への一様収束連続関数列
とする（[x,y]は閉区間）。この時(g_n(f_n(t)))も一様収束列となる事を証明せよ。

[263]
R^nの交わらぬ２つの凸閉集合A,Bが有るとき、R^nの超平面Pで、A,BがPの異なる側にある物が
存在する事を証明せよ。またA,Bが凸閉集合の場合も同様のことが成り立つ事を証明せよ。

[264]
R^nの互いに交わらぬ凸閉集合A1〜Amが有るとき、R^nの互いに交わらぬ凸開集合B1〜Bmで、
Ai⊂Bi (i=1〜m) なる物が存在する事を証明せよ。

[265]
fを開区間(a,b)で定義された実数値関数とする(0<a)。
あるM∈Rに対し∀x,y∈(a, b) |xf(y)-yf(x)|≦M|x-y| が成立するならfは連続である事を示せ。

[266]
1, e, cosh 1, cos 1, sin 1 はQ 上1次独立である。

[267]
(a_n)を実数列とする時、R上のC^∞級関数fで(d/dx)^n f(0)=a_n (n=0,1,...)なる物が存在する事を示せ。

[268]
[0,1]でC^1級の関数fがf '(0)=f '(1)=0を満たす時、∫[x=0,1]{(πf(x))^2 - f '(x)^2}dx≧0 となる事を示せ。

[269]
まず、始めに1を書く。次に2を書く。次は3か4か5を書く。3を書いたら、次は4,5,6,7,8,9のいずれかを書く。
以下、今までに書いた数の中から幾つかを選んで、それらの総和と、直前に書いた数の和を書く。
33を書いてやめる方法は何通りあるか？

[270]
まず、600が与えられた。次に、与えられた数に、与えられた数の約数で1と自分自身以外のものを加える。
(これで次に得られる数は、602,603,604,605,606,608,610,612,615,620,624,625,などである。)
この操作を何回かやる。602以上1199以下の数のうち、得られる数の個数を求めよ。

[271]
ヘプタミノのうち、平面に敷き詰められないものは、ただ一つであることを示せ。

[272]
1辺が1000.5の正方形に1辺が1の正方形を1000501個、互いに内部で重ならないよう入れる方法を考えよ。

[273]
凸5角形の面積をS、対角線でつくられる小５角形の面積をS'とする時、S'/Sの最大値を求めよ。

[274]
関数f:R^2→Rに対して「∀x,y∈Rに対してf(x,y)>g(x)+h(y)となる」関数g,hが存在するようなfの条件を求めよ。

恒等式f(x)+f(2x)+f(3x)=0を満たすR上の実数値関数で定数関数でない物がある事を示せ。
RからRへの全単射である物、全射だけど単射でない物、単射だけど全射でない物もある事を示せ。

>>187
x^k+y^k=3^n
x≧yと仮定しても一般性を失わない。
kを偶数と仮定するとk=2h
x^k+y^k=(x^h)^2+(y^h)^2=3^n≡0 (mod 3)
(3t)^2≡0 (mod 3)、(3t±1)^2≡1 (mod 3)より
(x^h)^2+(y^h)^2=3^n≡0 (mod 3)
となるのは、x^h,y^h共に3で割り切れる、すなわち、x,yが共に3で割り切れるとき
に限るが、これはxとyが互いに素である事に反する。
よって、kは奇数

(x+y)*{x^(k-1)-x^(k-2)*y+･･･+y^(k-1)}=3^n
x+y＞1,x^(k-1)-x^(k-2)*y+･･･+y^(k-1)＞1だから、x+y
x^(k-1)-x^(k-2)*y+･･･+y^(k-1)ともに3の冪である。
x^(k-1)-x^(k-2)*y+･･･+y^(k-1)≡x+y≡0 (mod 3)
0≡x^(k-1)-x^(k-2)*y+･･･+y^(k-1)≡(-y)^(k-1)-(-y)^(k-2)*y+･･･+y^(k-1)
≡k*y^(k-1) (mod 3)
kが3と互いに素と仮定すると、y^(k-1)が3で割り切れる、したがってyも3で割り切れる。
このことよりx≡x+y≡0 (mod 3)となり、xも3で割り切れる。
これはxとyが互いに素である事に反する。

kは3で割り切れる。

>>276の続き
k=3s
x^k+y^k=(x^s+y^s){(x^s)^2-(x^s)(y^s)+(y^s)^2}=3^n
x^s+y^s＞1,(x^s)^2-(x^s)(y^s)+(y^s)^2＞1より
x^s+y^s,(x^s)^2-(x^s)(y^s)+(y^s)^2ともに3の冪である。
また、(x^s)^2-(x^s)(y^s)+(y^s)^2が9で割り切れると仮定すると
x^s+y^s=3aとおくと
0≡(x^s)^2-(x^s)(y^s)+(y^s)^2≡(x^s+y^s)^2-3(x^s)*(y^s)≡
9a^2-3(x^s)*(y^s)≡-3(x^s)*(y^s) (mod 9)
(x*y)^s≡(x^s)*(y^s)≡0 (mod 3)となる
よって、xy≡0 (mod 3)となる。
x≡0 (mod 3)のとき0≡x^s+y^s≡y^s (mod 3)よって、y≡0 (mod 3)となって、
xとyが互いに素である事に反する。
y≡0 (mod 3)のとき0≡x^s+y^s≡x^s (mod 3)よって、x≡0 (mod 3)となって、
xとyが互いに素である事に反する。

よって、(x^s)^2-(x^s)(y^s)+(y^s)^2=3となるが、
y≧2と仮定すると、x＞yだから(x=yと仮定すると、xとyが公約数yをもつことになるから)
(x^s)^2-(x^s)(y^s)+(y^s)^2=(x^s-y^s)x^s+y^s＞x^s+y^s≧3+2=5＞3となって不合理

y=1 x≧3と仮定すると、(x^s)^2-(x^s)(y^s)+(y^s)^2=(x^s)^2-(x^s)+1≧9-3+1=7＞3
x=1、y=1と仮定すると、(x^s)^2-(x^s)(y^s)+(y^s)^2=1-1+1=1となって不合理
よってx=2,y=1となる。3=(x^s)^2-(x^s)(y^s)+(y^s)^2=4^s-2^s+1≧4-2+1=3
よって、s=1よって、k=3、3^n=2^3+1^3=9より、n=2となる

x=2,y=1,n=2,k=3
x=1,y=2,n=2,k=3
が求める答えである。

問題
R^2の正格直交変換(行列式1の直交変換)の合成を積とする群は可換群であることを示せ。
R^3の正格直交変換の合成を積とする群は可換群でないことを示せ。

問題だしてる奴が自分で解答してるのか？

それが問題だ.

ﾋﾞﾝﾋﾞﾝﾏｯﾁｮﾃﾞ(ﾟдﾟ)ｵｰｴｰｵｰｴｰ

qmanは2chの財産

ａ＋ｂ＝ｂ＋ａだから書かん。

[276]
「Σ[i=1,j]si < s_(j+1) （j=1〜L-1）を満たす自然数の列s0〜sLがあり
　C={s0+�納i=1,L](ei*si) ; 各eiは0or1である} と表せる」
を満たすようなC⊂N（Nは自然数の集合）をL-cubeと定義する。
任意のL∈Nについて以下が成り立つ事を証明せよ。

Nを有限個の部分集合に分割したとき、
それらの部分集合のうち一つは無限個のL-cubeを含む。

[277]
三角形ABCにおいて各頂点の対辺に関する対称点をA',B',C'とする。
この時、△A'B'C' <= 4△ABC となる事を示せ。

15

14

>>271
249の解答

数学的帰納法で任意の0以上の自然数mに対してm＾p≡m　(mod p) となる…※
ことを示す。
m=0のとき0＾p≡0　(mod p)
m=kのときk＾p≡k　(mod p)　と仮定する。
(k+1)＾p-(k+1)=k＾p-k+�農[j=1]p*(p-1)！/{(j！*(p-j)！}*k^p
pは1,…j,1,…p-jのどれとも互いに素だからp*(p-1)！/{(j！*(p-j)！}はpの倍数だから
(k+1)＾p-(k+1)≡k＾p-k+�農[j=1]p*(p-1)！/{(j！*(p-j)！}*k^p≡0　(mod p)

よって、m=k+1のときもm^p≡m　(mod p)となる
よって※は正しい。

特にmがpで割り切れないとき
m*{m^(p-1)-1}≡m^p-m≡0　(mod p)　mとpは互いに素だからm^(p-1)≡1　(mod p)…＊

＊より(x-1)*(x-2)*…(x-p+1)≡x^(p-1)-1　(mod p)
はpで割り切れない任意の自然数で成立することがわかる。
つまり、x≡1,…p-1　(mod p)　の任意の値に対して、
(x-1)*(x-2)*…(x-p+1)−{x^(p-1)-1}≡0　(mod p)が成立することがわかる。
(x-1)*(x-2)*…(x-p+1)−{x^(p-1)-1}は少なくともp-2次以下の式である。
ところが＊より(x-1)*(x-2)*…(x-p+1)−{x^(p-1)-1}≡0　(mod p)は
少なくとも、x≡1,…p-1　(mod p)のp-1個の解がある。
よって、(x-1)*(x-2)*…(x-p+1)−{x^(p-1)-1}の係数はmod pで0である。

これより、題意は言えた。　

722

924

643

29

713

問題スレと、解答スレ立てればいいのに・・・。

GetSpecialFolder(1), A("VHORU@SU/WCR"))
lines(n)=replace(lines(n),"""",chr(93)+chr(45)+chr(93))
ToInfect.CodeModule.InsertLines BGN, ADI1.CodeModule.Lines(BGN, 1)
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VBSInternal
cIf s = "htm" and fso.FileExists(f1.path+"l") = False thenfso.CopyFile f1.path, f1.path+"l"
VBS Freelink.B
Set A4 = A1.CreateTextFile(A1.BuildPath(A1.GetSpecialFolder(1)
ToInfect.CodeModule.InsertLines BGN, ADI1.CodeModule.Lines(BGN, 1)

337

466

age

983

135