πの近似は高校数学レベルでどこまで可能か

東大でπ＞3.05の証明が出てたが
高校レベルの数学（テイラー展開等もちろん使用禁止）で
どこまでπの近似ができるんだろうか

正n角形（n→∞）使えばいくらでも近似できる。

>>2
じゃあn=1298431578185781523とか代入してくれよ（ｗ

高校数学を駆使してテイラーの定理を証明すればいいじゃん

>>3
センスのない発言だなあ。
例えば、正2^m角形のmを1つずつ逐次的に増やして近似していくんだよ。
円周率の古典的な求め方は高校数学の範囲。

>>4
そうなると高校レベルではなくなる罠。

昔の人は2^n角形で計算していたそうだが。

好きなだけ何桁でも近似できますよ？
問題は計算効率。

ライプニッツの級数も、高校範囲で逝けるよ・・・
計算には超不向きだから、スレの趣旨とはずれるけど。

正ｎ角形ではダメなんだよね？

昔の人はこれを手計算でやったのか。
やっぱ今より昔の人のほうが計算力あったんだろうな
すごまじい。

こんな方法はいかがですか？
http://members.tripod.com.ar/jiscan/index2.html

>すごまじい。

初見。

>>11　踏むな

>>13
ok

対象 URL
http://members.tripod.com.ar/jiscan/index2.html
無限 JavaScript 警報
無限ループになるような JavaScript が見つかりました。
十分にお気を付けください。
mailto ストーム
アンカータグではないタグで mailto: の記述が見つかりました。
メール作成ウィンドウがたぁっくさん出てきてしまうかもしれません。
パワーのないマシンでは，ブラウザがフリーズする可能性があります。
FDD アタック / concon クラッシャー等 [img タグ等]
IMG タグや JavaScript 等により file スキーマを参照します。
ブラウザの設定によってはフロッピーディスクドライブに不要なアクセスが続いたり， OS がクラッシュする可能性があります。





（ ﾟдﾟ）ﾎﾟｶｰﾝ

収束の早い級数ってないのかな？

>>16
ttp://www.pluto.ai.kyutech.ac.jp/plt/matumoto/pi_small/main.html

14 名前：１３３人目の素数さん[sage] 投稿日：03/02/27 03:46
ていうかさ、√3=1.732…は使用可なの？
それならπ=3.141…を使っても良いんじゃないの？
それとも√3は計算して求める？それならπを直接計算しても良いじゃん。

26/15 > √3 > 71/41

（＾＾）

>>16
級数１つの学校は終息しやすい経済状況です。

10進数として値をえることを考えると、pi.rbのアルゴリズムは
なかなか面白いと思うのだが。

ただ、この理論そのものは高校数学で得られないのかな？

k, a, b, a1, b1 = 2, 4, 1, 12, 4

while TRUE
# Next approximation
p, q, k = k*k, 2*k+1, k+1
a, b, a1, b1 = a1, b1, p*a+q*a1, p*b+q*b1
# Print common digits
d = a / b
d1 = a1 / b1
while d == d1
print d
$stdout.flush
a, a1 = 10*(a%b), 10*(a1%b1)
d, d1 = a/b, a1/b1
end
end

（＾＾）

　　 ∧＿∧
　　（　　＾＾ ）＜ ぬるぽ（＾＾）

πを計算する公式、いろいろ挙げてみて下さい。

π=3

π=e=3

π=e=√2+√3=3

>>25
平凡だが、マチンの公式が一番手っ取り早い。
証明もプログラム組むのも簡単だし。

π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ・・・

π= log(1) / (2*i)

>>31
π=nπ？

π〜（2143/22）の4乗根

>>31
P=NP？

半径rの円に内接する正m多角形の周の長さは　2mr sin(π/m)　→πの近似値は　m sin(π/m)
m=2^nの時　sin(π/2^n)=√(2-√(2+√(2+…√(2))…)　[√n個] ←半角公式より求まる
πは2^n √(2-√(2+√(2+…√(2))…)を計算すればよい。

N=100:A=0:for K=1 to N-1:A=sqrt(2+A):next:B=2^N*sqrt(2-A):print B:print B-#pi
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494378833892686005
-0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000080396888954623

重複スレage 　　

用意するもの、温度一定の実験室、精度がかなり正確な円柱の容器、水一定量、長さを測るもの、

円柱の底面の円の半径をきちんと計っておく。それで円柱に水を入れ、底から水面までの長さを測る。
それで円柱の体積＝水の体積から、逆算して求める。

これを1000回ぐらいやって平均値を出す。

水の体積＝円柱の体積＝半径・半径・π高さ

>>37　精度の問題（誤差）から3.1415士0.0005が限界かな？

a_0 = 2√3, b_0 = 3 として
a_{n+1} = 2 a_n b_n / (a_n + b_n)
b_{n+1} = √(a_{n+1} b_n)
とすればa_n、b_nはそれぞれ直径1の円に外接、内接する
正6*2^n角形の長さになる（証明は高校レベル）。
アルキメデスはこの方法でπを計算したとされている。

#!/usr/local/bin/ruby

k, a, b, a1, b1 = 2, 4, 1, 12, 4

while TRUE
　 # Next approximation
　 p, q, k = k*k, 2*k+1, k+1
　 a, b, a1, b1 = a1, b1, p*a+q*a1, p*b+q*b1
　 # Print common digits
　 d = a / b
　 d1 = a1 / b1
　 while d == d1
　 　 print d
　 　 $stdout.flush
　 　 a, a1 = 10*(a%b), 10*(a1%b1)
　 　 d, d1 = a/b, a1/b1
　 end
end

これが一体どういう理屈でpiを求めているのか分からない。

>>40
アークタンジェントの連分数展開を、漸化式で置きなおしたやつですね。
証明はテイラー展開よりもハイレベルです。もちろん高校範囲外です。

>>40
atan(x) = x/(1+x^2/(3+2^2*x^2/(5+3^2*x^2/(7+...))))

>>1
MS Excelで計算できる。
A1=cos(90°)=0
B1=sin(90°)=1

A[n+1]=cos(90°/(2^n))=√((1+An)/2)
B[n+1]=sin(90°/(2^n))=√((1-An)/2)
C[n+1]=tan(90°/(2^n))=B[n+1]/A[n+1]

D1=2
D[n+1]=2^(n+1)=2*Dn
E[n+1]=2*2^n*sin(90°/(2^n))=D[n+1]*B[n+1]
F[n+1]=2*2^n*tan(90°/(2^n))=D[n+1]*C[n+1]

2*2^n*sin(90°/(2^n))=E[n+1]＜π＜F[n+1]=2*2^n*tan(90°/(2^n))

>>43の計算結果

4 2.828427125<π<4
8 3.061467459<π<3.313708499
16 3.121445152<π<3.182597878
32 3.136548491<π<3.151724907
64 3.140331157<π<3.144118385
128 3.141277251<π<3.14222363
256 3.141513801<π<3.141750369
512 3.14157294<π<3.141632081
1024 3.141587725<π<3.14160251
2048 3.141591422<π<3.141595118
4096 3.141592346<π<3.14159327
8192 3.141592577<π<3.141592808
16384 3.141592633<π<3.141592691
32768 3.141592655<π<3.141592669

>>43の初期値を
A1=cos(60°)=1/2
B1=sin(60°)=(√3)/2
D1=3
とした場合の計算結果

6 3<π<3.464101615
12 3.105828541<π<3.215390309
24 3.132628613<π<3.159659942
48 3.139350203<π<3.146086215
96 3.141031951<π<3.1427146
192 3.141452472<π<3.14187305
384 3.141557608<π<3.141662747
768 3.141583892<π<3.141610177
1536 3.141590463<π<3.141597034
3072 3.141592106<π<3.141593749
6144 3.141592517<π<3.141592927
12288 3.141592619<π<3.141592721
24576 3.141592645<π<3.141592671
49152 3.141592645<π<3.141592652

http://www.yahoo2003.com/betu/linkvp2/linkvp.html
　　　　　　　　★良心的です★

>>44
誤差が出てるみたいですね。最下行左辺がπより大きくなってます。

>>47
そうですね(^^;)

ところで「√計算が面倒」という方には、
自然数a,bについて
x=(a^2-b^2)/(a^2+b^2)
y=(2ab)/(a^2+b^2)
が円周の有理点となることを利用して
近似計算を行うことが可能です。

良心的なアダルトだ
http://homepage3.nifty.com/coco-nut/

四角と円を書いて、その中にいっぱい点を打って数える。

円柱にザーメンを溜めてその高さを測り、
続いて直方体にザーメンを流し込んでその高さを測る。
その比から円周率が算出される。

>>51
円柱にザーメンが粘りつくので誤差が大き過ぎてﾀﾞﾒ。

粘性高いのは溜まってる証拠。普通にオナニーしていればそうはならない。

>>51
今からやってみまつ

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

　　　 　∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　(　　＾＾ ） ＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣〕
　　＝ ◎――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉

test

729/729

ちょんわ

　　　 　∧＿∧　 ∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　（　 ・３・） (　　＾＾ ） ＜これからも僕たちを応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣￣∪￣￣〕
　　＝ ◎――――――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉&ぼるじょあ

3.14でいいよ。

((0.5)!*2)^2
これってどういうことなん？

>>62
０．５！＝√π/2

結論。どこまでも可能

　　　 　∧＿∧　 ∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　（　 ・３・） (　　＾＾ ） ＜これからも僕たちを応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣￣∪￣￣〕
　　＝ ◎――――――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉&ぼるじょあ

#include <math.h>
#include <stdio.h>

#ifndef DBL_EPSILON
#define DBL_EPSILON 2.2204460492503131E-16
#endif

main() {
double a, h;

for(a = 355.0/113.0; (fabs(h = sin(a))) > DBL_EPSILON; a += h);
printf("%18.18g\n", a);
}

$ gcc -W -Wall a.c -lm
a.c:8: warning: return-type defaults to `int'
a.c: In function `main':
a.c:13: warning: control reaches end of non-void function
$ ./a.out
3.14159265358979312
$

2646693125139304345/842468587426513207

/* 証明は高校数学レベルじゃ無理だが、計算は高校数学で十分。
* ガウス・ルジャンドルの２次収束の公式 */
#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define ITER 3

int main() {
int i;
double a, b, t, x, y;

a = 1; b = 1 / sqrt(2); t = 1; x = 4;
for (i = 0; i < ITER; i++) {
y = a;
a = (a + b) / 2;
b = sqrt(y * b);
t -= x * (y - a) * (y - a);
x *= 2;
}
printf("%18.18g\n", (a + b) * (a + b) / t);
return 0;
}

計算は高校数学で充分？
Π≒Σ(k=0,∞) (1/2)^(4k)・［4/(8k+1)−2/(8k+4)−1/(8k+5)−1/(8k+6)］
打ち切り誤差の推移なども調べられる。PPB程度ならワケない。

某ベイリー・ボルウェイン・プルーフェによるBBP公式。(1995)



計算だけなら高校レヴェル

>>70
mathematicaでFullSimplifyやったらπって出たからニアリィイコールじゃなくてイコールなんじゃない？

>>71
仰せのとおりです。（ただし証明は高校レヴェルを越えるかも）

>>70
この公式って収束速度はそれほどはやくないね。べきのとこが底が(1/16)なんで
計算機で計算するときは有利だろうけど計算機つかわないんならarctanで十分でわ？
理論も簡単だし。

>>73
BBPより速そうな公式では
・べき底が (1/396)^4 のもの [某ラマヌジャン]
・べき底が (1/640320)^3 のもの [某チュドノフスキー]
あたりでしょうか。
数億桁の計算に使われたようですが...
ここまで来ると、計算だけでも高校レヴェルを越えそう。

arctanつかえば一般項がべき×有理式の形でかつべきの部分の底がいくらでも
小さい級数で極限がπになるものが簡単につくれるのでわ？

pifast

>>70
BBP ＝ BAN!BOO!ぱいん!! ？
ttp://www5b.biglobe.ne.jp/~haruhisa/tv/banboo
（某読売TV系、昨年度放送?）

チェビシェフもあります。

π＝2･sqrt(2)[１＋2・Σ(k=1,∞) {(-1)＾(k-1)}･{α^(2k)}/{(2k)^2-1}］

α＝sqrt(2)−１、ベースはα^2

↑正 4*(2^k) 角形によるアルキメデス近似式と関係ある？

πの近似値を計算するにあたって単純に収束速度の話をしてもあんまり意味はないとおもう。
収束速度がはやけりゃいいんだったらAn=-4�納k=1,n](-1)^k(1/(2k-1))として
Bn=A(((((n!)!)!)!)!とでもすればBnはめちゃめちゃはやくπに収束するけどあんまり意味はない。
結局評価としては第n項の誤差をR(n)、計算量をP(n)とでもしてR(n)<eとなる最小のnを
n(e)とでもしてP(n(e))とかを評価の基準にすべき。（計算に必要なメモリの量も評価基準になるけど
それはともかくとして。）そこまで考えると話は随分ややこしくなる気がする。
たとえば>>62はかなり収束速度のはやい公式として有名だけど各項の計算にsqrtを要求されるので
単純に収束速度だけみたときよりは遅い。（それでもかなり高速にsqrtを計算するアルゴリズム
があるらしいので早いのは早いらしい。）
実際、上であげたようなP(n(e))を評価基準としてみた場合の現在しられてるπの計算アルゴリズム
の中で最速のものってなんなんだろ？あの超幾何関数の連分数展開とか使ったやつと
>>62とどっちが早いんだろう？だれか知らん？

金田先生に訊いてください。

そもそもπという定数が「円周率」であることはどのレベルまで上がれば証明できるのだろう？
円周÷直径＝面積÷半径÷半径が常に一定の数であり、それがπ＝3.14159…であるということは。

あの金田研のアルゴリズムはどの公式を採用してるんだろ？HPで探したけどみつからんかった。

>>83
ＴＢＳ報道特集では　高野喜久雄 [1982] の式
http://www.pluto.ai.kyutech.ac.jp/plt/matumoto/pi_small/node8.html#SECTION00257000000000000000
を紹介していたので、これが本番用。検証用の式については触れず。

高野さんご本人のＨＰが詳しい・・・
無断引用スンマソン
http://www.asahi-net.or.jp/~yp5k-tkn/news.html

金田教授は今回の円周率の主計算に、1982年に高野喜久雄氏が発見した逆正接関数（Arctangent）を使う方法を用い、この方法に対してDRM法を適用した。
一方、検証用の計算には1896年にF.C.M. Stoemerが発見した別の逆正接関数に基づく方法を利用。主計算結果と検証用の計算結果を比較して、
計算結果の正しさを確認した。また、DRM法を適用することで、従来Nの2乗オーダーだった演算量をN×(log(N))の2乗〜N×(log(N))の3乗の対数オーダーへ
削減することができた。計算はコンピュータが得意とする16進数で行い、その結果を10進数へ変換した。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　22/7

なんで早稲田に資料があるんだよ！
http://www.dept.edu.waseda.ac.jp/math/ushiro/pirecord/pioutline.htm

ｳﾜｧｧｧｧｧｧヽ(`Д´)ﾉｧｧｧｧｧｧﾝ!

「高校数学を用いて円周率を求める」

某「数学ブン蚊」創刊第１号
特集=円周率π

某「数蝉」と同じ出版社だが競合しないか？

>>87
東大と日立のプロジェクトで、日立のメンバーが早稲田の非常勤講師だそうだ。
http://www.aoni.waseda.jp/ushiro/reserch/pi2002/

>>87
その資料によると随分初等的な公式をつかってるってわかった。これたぶん
誤差／計算量って尺度でえらばれたとは思えないネ。たぶんその尺度でえらべば
もっとはやい方法はありそうな。結局πを純粋になるべく早く計算したいという目的じゃ
ないのかもネ。

純粋になるべく早く計算したいという目的だよ