円周率が3.05より大きいことを証明せよ。

円周率が3.05より大きいことを証明せよ。

　　π=3.1415…　> 3.05

---------------終了-----------------

>>2
やると思った

まず円周率の定義を書け

内接正12角形の周の長さと比較。
今年の東大2次ですね。
…俺解けなかったけど。内接正多角形までは気がついたのになぁ…

>>5
何点くらい行きそうですか？俺60くらい・・・落ちた。

定積分を近似して評価する方法でいいんでない？

ttp://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho99/tokyo/zenki/ri_sugaku/mon6.html

より、円周率は3.05より大きい。

東大だったかな、過去問で
e^π>π^eを証明シルって問題、力づくで解いたことがあった


楽しかったなぁ

厨3の数学で解けるよ(w
--------
半径 1 の円に内接する正 12 角形を考える。円の中心を O、隣り合う 2 頂点を
A および B とし、A から OB への垂線の足を H とする。△OAH は 30°・60°・
90°の直角三角形だから AH=1/2、OH=(√3)/2。

BH = OB-OH = 1-(√3)/2
AB = √(AH^2 + BH^2) = √[1/4 + (7/4-√3)] = √(2-√3)

ここで、π/6 = 弧AB > 線分AB であるから、線分AB > 3.05/6 ならば π>3.05
である。

これで二重根号を外せれば、AB=(√6-√2)/2 から数値をはじき出すことができて
メデタシメデタシなんだが、私は二重根号の外し方を忘れているので 2 乗する。

AB > 3.05/6 ⇔ AB > (3+1/20)/6 = 1/2+1/120
⇔ AB^2 > (1/2+1/120)^2
⇔ 2-√3 > (1/4+1/120+1/14400)。
√3 < 1.733 だから左辺は 2-√3 > 0.267 であって、いっぽう右辺は
1/4+1/120+1/14400 < 1/4+1/100+1/10000 = 0.2601 だから、上記の式は成立する。
--------
正 8 角形で同様の計算をすると 1 辺の長さが √(5-2√2) と出るのだが、
こっちだと 5-2√2 > (3.05/4)^2 を確かめるのに計算を要する。

>>10
ｶﾞｲｼｭﾂ(w

>>11
いやね、河合塾の模範解答とか知り合いの人とかがね、内接正12角形に
気づいたまではいいんだけど、そのあとご丁寧にも三角関数の加法定理
使って sin15°を計算してるんですよ（辺の長さ=2sin15°）。
だからそんなの要らないよ、という意味で書いたんですが。

ｶﾎｳﾃｲﾘそのものを図で解いたのと同じこと(w

ていうかさ、√3=1.732…は使用可なの？
それならπ=3.141…を使っても良いんじゃないの？
それとも√3は計算して求める？それならπを直接計算しても良いじゃん。

それならπを直接計算しても良いじゃん
それならπを直接計算しても良いじゃん
それならπを直接計算しても良いじゃん
それならπを直接計算しても良いじゃん

アホの>>14のリクエストに応えて>>10の後半を書き換えてみる。

AB > 3.05/6 ⇔ AB > (3+1/20)/6 = 1/2+1/120
⇔ AB^2 > (1/2+1/120)^2
⇔ 2-√3 > (1/4+1/120+1/14400)
⇔ 2-(1/4+1/120+1/14400) > √3 …(1)
が成り立つ事を示す。
2-(1/4+1/120+1/14400) > 2 - (1/4+1/100+1/10000) = 1.7399
1.7399^2 > 3 であるから、1.7399 > √3 となり、(1)が示された。

なに？なんでそんなあたまいいの。。。？
いいねぇ本当うらやましいよ・・・

↓↓↓↓↓★ココだ★↓↓↓↓↓
http://www.pink-angel.jp/betu/index.html

近頃のガキは平方根の開平なんて知らないんだろうな・・・

イヤ〜ンイヤ〜ン　ハワイヤ〜ン
http://homepage3.nifty.com/digikei/ten.html

実際に掛け算して確かめてる受験生がいたら尊敬する。

>>17
まあ俺は神童だからな。かっかっかっかー

腕試し問題といこう。
3.05 < ∫_(-1,1)1/√(1-x^2)dx < 3.142　を示せ。
何なら、0.7625 < ∫_[0,1]1/(1+x^2)dx < 0.7855 でも良いぞ。

>>16
1.7399^2 か…5 けたの計算はしたくないな(w
√3 < 1.733 が証明できればいいんだから、この両辺を 2 乗して
3 < 1.733^2 でいいと思うのだが。これなら 4 けた。

>>19
どこかで習った記憶があるけど忘れますた。
だって、必要になったら電卓たたけばいいもん(w

ところでさ、円周が半径に比例することの証明ってどうやるの？

>>24
あ、でも 1.7399=1.74-1/10000 とすればそんなに計算は面倒ではないのか…

＞＞25
xy-平面に円を描くことを考えよう。
曲線の長さは、図形の平行移動で変わらないから、r>0として、
円はx^2+y^2=r^2の形のものだけを考えればよい。
また、この円の長さはx^2+y^2=r^2,x≧0,y≧0の４倍になるので、
y=√(r^2-x^2),0≦x≦rの長さを考えればよい。
この曲線の長さは∫_[0,r]√(1+y'^2)dx=∫_[0,r]r^2/√(r^2-x^2)dx=r∫_[0,1]1/√(1-x^2)dx
よって、半径rの円の周長は4r∫_[0,1]1/√(1-x^2)dxとなるから、
円周は半径に比例する。

>この曲線の長さは∫_[0,r]√(1+y'^2)dx

これはなんで？っつー話になる罠。

＞＞28
一般論から説明する方が早いだろう。
曲線(x(t),y(t))　(a≦t≦b)の曲線の長さは、必ず存在する。
(x,yはC^1級とする。)
a=t_0<t_1<…<t_(n-1)<t_n=bという点列に対して、
折れ線長さΣ_{k=1}^{n}√(((x(t_k)-x(t_(k-1)))^2+(y(t_k)-y(t_(k-1)))^2)
というのがあるが、これは、点列の細分をとると、折れ線長さは非減少である。
これの極限をとると、∫_[a≦t≦b]√(x'(t)^2+y'(t)^2)dtになる。
(もちろん、これで厳密な証明というわけではない。厳密に証明するのは大変である。)

本末転倒

たしかに（ｗ

>>9は
π>e>1より
e^π>e^e・・・�@
π^π>e^π・・・�A
π^π>e^e・・・�B
�@+�A-�Bよりe^π>π^eは示された
で良いんですか？ちょっと気になったもので

>>32
π^eがどこにもないぞ。
それに�@+�A-�Bはなんなんだ？

�C　1＞0
�D　-1＞-3

�C-�Dより2＞3は示された。

＞＞32
良くない。

対数とってｆ（ｘ）っておいて大小関係調べるんじゃない？

＞＞32　それから、�@のような機種依存文字は使わない方がいいぞ。
ヒント：x^(1/x)

>>36
Qman、あの動画で抜いた？

すいませんA>BかつC>Dのとき
A-B>C-Dと思ってました。加法の時みたいにはいかないんですね。
はぁ試験の時も慌てて解答してミスったんだよなぁ
あと�Aはπ^π>π^eのつもりでした

>>24
でも正確な値を覚えていれば計算する必要ないんじゃない？
例えば「3>1.7320508^2だから√3>1.7320508」っていきなり書いたって良い訳だし。
筆算した証拠を見せろなんて教官がいたら自分は泣く。

>>39
いいわけない。普通に。

>>40は筆算した証拠を見せろなんて教官

リベンジですQ.manのヒント：x^(1/x) は使い方が分かりませんでしたが

f(x)=x-elogxとする
f'(x)=1-e/x
よってf'(x)はx>eで単調増加
これとf(e)=oよりf(x)はx>eでf(x)>0
π>eなのでf(π)=π-elogπ>0
∴e^π>π^e

f(x)=logx/xでやったら5分で終わりそうだ

次の3つの命題を示す。
(1) sin x は 区間(0,1)で単調増加。
(2) f(x) = x - (1/6) x^3 + (1/120) x^5 とおくと、区間(0,1)で f(x) > sin x.
(3) f(0.51) < 1/2.

命題(1)(2)(3)より
sin 0.51 < f(0.51) < 1/2 = sin π/6.
よって 0.51 < π/6.
…ってのは(3)の計算が面倒すぎるか？

この問題出したのって金田教授かな、とか考えてみる
ttp://www.super-computing.org/index-j.html

>>10さんよ
5-2sqrt2でなくて、
4-2sqrt2でないのか！

>>46
いま確認したけど、8 角形の場合は AB^2 は 5-2√2 でも 4-2√2 でも
なくて、2-√2 になるね(w

で、結局のところ、いちばん計算が早いのは第二余弦定理を使って
AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2OA･OB･cos∠AOB とすること。
>>10の計算は実は第二余弦定理の導出手順をなぞっているだけ。

てゆーか、知り合いに指摘されるまでこれが第二余弦定理だってことに
気づかなかったよ(w
高校まではバリバリ理系だったのに、大学入ってから文転したからなあ…

-----------------------------------------------------
Qusermanってウザイ。今度から「臭ぁーまん」て呼んでいい？
-----------------------------------------------------

47番、お前うざい。頭わるそう

kju:zermaen
＞＞42
x^(1/x)で解く方法を示そう。
導関数x^(1/x)(-1/x^2logx+1/x^2)はx=eのときのみ0で、
0<x<eでは正で、e<xで負になるから、
x^(1/x)はx=eで最大値をとる。
よって、特にe^(1/e)>π^(1/π)
両辺をeπ乗すると、e^π>π^e

ぶっちゃけ円周率って何を表してるの？

円周率の定義を明言するのも解答の一部だよな

というか、出だしがそうでない解答はボロボロ扱いだろうな（ｗ

>>52
というよりも半径 1 の円の円周の長さの半分が円周率が一致するからと
指摘しておけば十分だと思うが

√(6 * (1+ 1/4 + 1/9 + 1/16 + .... + 1/n^2 + ... ))

を計算する方法を取ったら誰かさんが喜びそうだが
証明も書いていると試験中では時間取りすぎだろうな

ちょっと前の加法定理の証明問題にしろ傾向が変わってきたな
なかなか面白い

ビーカーの問題は人気無かったんかな…
結構論理的思考力を試せる、いい問題だと思ったのにな…

ここの皆さんは頭がいいということですが
知能テスト
http://www.gks.co.jp/t1/
の一番上のテストで
知能指数いくつだった?
俺は138.98

>>56
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1045739162/52-54
マルチしまくって・・・よほどうれしかったんだろうな（藁

おっぱいの大きさを測るスレはここでつか？

π乙だばか。

π乙だばか。

｢π乙だばか｣ばっか。

>>61π乙だばか

>>55
ビーカーの問題って？

>>63
カービーを逆立ちさせたときに必要なエネルギーを求める問題

>>63
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho01/tokyo/zenki/ri_sugaku/mon5.html
問題写すのしんどいので、これ見てくれ。

>>48
>-----------------------------------------------------
>Qusermanってウザイ。今度から「臭ぁーまん」て呼んでいい？
>-----------------------------------------------------

それよりも、「Qうざーまん」と呼んでやれ。

星のKirby

円周率って３でしょ？

>>68
違います。
「およそ３」です

π＝３
π≒３．１４

クソ擦れタイだなーと思ってみてみたら
東大入試問題だったとは、深いなー

>>55
ビーカーの問題でも思ったことだけど
やっぱり東大の入試問題は別格だよ。
自称数学ができる人でも論理力まで備わってるのは本当に少ない。

もともとπなんて数は存在しないというのに･･･

任意の数は、存在しない。

京大の方が別格

東大の数学の問題は

近年くそみたいな問題ばっかりだ
もうあぼかどばななと。
６完増やして何が嬉しいのやら

内接正多角形で評価は通俗だろ。もうちょっといい問題出せないのかなあ。

【問題】
円周率が 3.14 よりも小さくなってしまうようなパラドックスを考えよ。
採点者が不覚にも納得してしまった場合、その時点で合格とする。

>>78
文科省が円周率を3と定めたとき

>>78
a=π
b=3

(a+3)b=3π+9
3a+b^2=3π+9

(a+3)b=3a+b^2
ab-3a-b^2+3b=0
ab-3a=b^2-3b
a(b-3)=b(b-3)
a=b

∴π=3<3.14

↑それパラドックスって言うの？

a=bまたはb=3で、a=bは不適だろ。納得せず。

>>80
これで文部省が
円周率を3と定めたわけがわかった

昼飯のスパゲティナポリタンを眺めながら、積年の疑問を考えていた。
それは「なぜナポリタンは赤いのだろうか」という問いである。
簡単に見えて、奥の深い問題だ。
「赤いから赤いのだ」などとトートロジーを並べて悦に入る浅薄な人間もいるが、
それは思考停止に他ならず、知性の敗北以外なにものでもない。
「赤方偏移」という現象がある。
宇宙空間において、地球から高速に遠ざかる天体ほどドップラー効果により、
そのスペクトル線が赤色の方に遷移するという現象である。
つまり、本来のナポリタンが何色であろうとも、ナポリタンが我々から
高速で遠ざかっているとすれば、毒々しく赤く見えるはずなのだ。
目の前のナポリタンは高速で動いているか否か？
それはナポリタンの反対側に回ってみることでわかる。
運動の逆方向から観察することで、スペクトルは青方遷移し、
青く見えるはずなのだ。
逆に回ってみたところ、ナポリタンは赤かった。
よって円周率は3.14未満であると言える。

>80
a(b-3)=b(b-3)
0=0

>>80にツッコミ入れてる奴らは本気じゃないよね？

＞＞78
半径1の円の面積をモンテカルロ法で計算する。
うまくいけば(?)円周率は3.14よりも小さくなる。

【命題】
π<3.14
【証明】
なるものはなる

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>>88
まさか、伊東家の食卓ってまだやってるの？
数学板のスレですらdat落ちしてしまったというのに…

>>87
うざいよ、Qうざーまん。

実は問の 3.14 は 5 進数表記だった。 π < 3.14

>>86
文部省は本気でつ

次の問題に行ってみよう。
ある正十七角形の周長と、その正十七角形の中心と頂点の距離の比は6.1より大きいことを証明せよ。

来年は微積分の定義に関する問題が出まする。
それと他の問題は激ムズに戻りまする。

Qmanに問題を出してみよう。見てくれるかな。

正素数角形の対角線のうちのどの3本も内部で1点で交わらないことを示せ。

正素数角形の素数は5以上かな？
星形の図形を考えれば明らかだろう。

>>97
そんな解答では０点

5以上でよろしく。

＞星型の図形を考えれば明らかだろう

意味がわかりません。「星型の図形」って何？

＞星形の図形を考えれば明らかだろう。

素数の場合と合成数の場合の相違について教えてくだちい

ちなみに94はcos (2π/17)を評価すればいいだけだから一瞬♪

わーいうざーまんが０点とったー！

祭りのﾖｶﾝ

まあＱちゃんったら！０点なんか取ってきちゃ駄目でしょ！今夜は晩飯抜きにしますよ！

＞＞98,＞＞99　仕方のないやつだなぁ。
素数個頂点の正n角形の頂点を反時計回りにx_1,…,x_nとする。
また、m≡k(mod n)のとき、x_m=x_kとする。
正n角形の中心をＯとする。
x_2,x_4,…,x_(2n-2),x_(2n),x_2の順に折れ線を引くと、
この折れ線の自己交叉点は、Ｏ中心の正n角形の頂点である。
また、x_2,x_4,…,x_(2n-2),x_(2n),x_2は、x_2以外の頂点を１回ずつ通っている。
x_3,x_6,…,x_(3n),x_3の順に折れ線を引くと、
この折れ線の自己交叉点はまた、Ｏ中心の正n角形の頂点である。
さらに、これは前回の正n角形の頂点を通る円よりも内にあるので、
これらの自己交叉点は前回のものと異なる。
折れ線をx_((n-1)/2),x_(n-1),…,x_(n(n-1)/2),x_((n-1)/2)のものまでとって同じ論法で
n(n-3)/2個の異なる交叉点が確認される。
また、折れ線族は、正n角形のすべての対角線をわたる。
あとは、(n-3)/2個の折れ線が、互いの交叉点上に乗らないことを確かめればよい。
(考え中、追って提出することにしよう。)

105 の最後の部分について、素晴らしい証明を思いついたのだが、
書くのが面倒だ。誰か代わりに書いてくれまいか？
ちなみに、私の構想は、”外側”の折れ線の交叉点が”内側”の折れ線に引っかからないことと、
”内側”の折れ線の交叉点が”外側”の折れ線に引っかからないことを示すことだ。
(後者は簡単。)

これを「明らか」と書いたら0点だな。やっぱり。

私は「πだから3.14なのだ」とトートロジーを並べて悦に入る浅薄な人間ですが、何か？

乙π

πz

π_3（ﾊﾟｲｽﾘｰ）

>>105-106
なんでこの程度の数学力でこんなおおきな顔ができるのか？

πの値は一意に決まるのでしょうか？100人いれば200個の異なるπがあるはずなのに。

>>112
その問いかけは、今井に対して「なぜお前は自分の理論の誤りに
気がつかないのか」と聴くのに等しい行為だ。

別にこれくらいなら大きな顔というよりはただ解答しただけのような気もするけど。
それにしてもQ.manに問題出したけりゃ余所でやって貰えんもんかねぇ…あぁうざ。

>>115
一言目が「＞＞98,＞＞99　仕方のないやつだなぁ。」だからなぁ。
ただでさえウザコテなんだから、こういう言動が悪意に取られるのは
仕方なかろ。

というより>>115＝Ｑだとおもふ。

別に漏れがQ.manでもそうでなくても、
問題出して相手を試す、等という下らない事は余所でやるべきという事は変わらない。

そーゆー117はいちいちコテ煽ってる子ですかな？

>>118
そっちの話には同意。

今年受けました
π^2/6=Σ[k=1→∞]k^(-2)
をまず証明しました
(この証明でsinのマクローリン展開をしたんですがマクローリン展開の証明はしなかったんでちと不安)

S_N=Σ[n=1→N]n^(-2)
S=lim[N→∞]S_N=π^2/6
として
S-S_N=Σ[n=N+1→∞]n^(-2)
より
Σ[n=N+1→∞]1/n(n+1)＜S-S_N
ここで
Σ[n=N+1→∞]1/n(n+1)=1/(N+1)

より
S_N+1/(N+1)＜π^2/6

N=2を代入
π^2/6＞1+1/4+1/3
π^2＞19/12=12.5＞12.025=3.05^2
∴π＞3.05

どうなんでしょうか…東大が求めてるやり方は違いそうですが

sinを無限積表示にしてから展開して、マクローリンと係数比較したのかな。
高校って、無限級数やら無限積やらって使っちゃっていいのかな。

おれならマルをやるだろうけど、どうなんだろうね。

>π^2/6=Σ[k=1→∞]k^(-2)
>をまず証明しました

その方針ならここが肝か。
少しでも怪しいとその後の部分点も見込めなさげ。

>>94
＞ある正十七角形〜
正十七角形は色々あるけど、その中から題意を満たす正十七角形
があることを示せってことですね！　

次の問題行ってみよう。
xy平面上で、(x/2)^2+y^2=1の示す図形の周長が9より大きいことを証明せよ。

俺工房だけど>>120はもし合ってるならすごすぎると思う。
高校の勉強の範囲超えてるし。

クサマンがんがれ

>>115
ああ、Ｑじゃなかったのか。すまんかった。
おれＱは煽るけどほかのコテは煽ったことないよ。

>>120
同じゼータ関数を使うなら、ζ(4) = π^4 / 90 の方が簡単だよ。
3.05^4 / 90 ＜ 1 だから、最初の1項を評価するだけで証明終了。

ただζ(4) = π^4 / 90を示すだけではダメで、
円周率の定義にさかのぼって示さないとダメなんじゃないの？

>>120は
＞π^2/6=Σ[k=1→∞]k^(-2)をまず証明しました
これがきちんとできたのか？解答欄が足りなくなりそうだが。
マクローリン展開して…というのであれば俺なら１点もやらん。
πの入った何らかの式に帰結しても無意味で、
それは例えば「π>3.14であるからπ>3.05である」と言っているのと変わらない。
「円の周長と直径の比をπとおく」のであれば最終的にその仮定に帰結させなければ。


来年「e>2.7を示せ」が出たら笑う。

sinxの根が±mπ（m∈Ｎ）であるというのをπの定義から導けばよい
半径と円周の比は一定であり,半径1の円に対して円周は2πである(πの定義より)
さてsinxのxは単位円の弧長と等しく角度を表す.
よってx=±mπ（m∈Ｎ）のときsinx=0

というのを書きました

>>130 e>2.7を示せ
1+1/2+1/3!+1/4!+1/5!+・・・・
これを根性で2.7より大きくなるまで計算するのはだめですか？

>>133
その計算ほとんど根性要らないぞ。微妙に間違ってるし。

>>133
つまり、∫dx/(1+x^2)=π/4であることを置換積分などであらかじめ計算しておいて
その後、非積分関数を下から評価して・・・というような回答に意味はないということですか?

レス番間違えた下のほうは>>130です。

>>130
>πの入った何らかの式に帰結しても無意味で、
>それは例えば「π>3.14であるからπ>3.05である」と言っているのと変わらない。

それは違う。それらの式がπの大きさの評価に依存しているとは限らない（むしろそうでない方が多い）。

Qマンはどこの大学出身？

>>137
立命館大学

ていうか、正八角形なんて思いつかないよね？

正八角形と円の面積比較した奴って円周率の定義を何としたの？

円周率を円周と直径の比と定義して、
半径１の円に内接する正八角形を書いて周を比較するらしいっすっよ。

>>139
普通に思いつく。つーか、明らかにサービス問題。

もう一年か・・・。

>>133
積分使って
e=1+1+1/2+1/3!+1/4!+1/5!+・・・・
はどっかの入試でガイシュツ。無理数であることを示せだっけ。
e のほうが簡単だし。

面積派は
Ｌ＝２πｒ　から
Ｓ＝πｒ＾２　を導いておかないとだめぽ

e_0=1
e_1=1+1=2
e_2=1+1+1/2=2.5
e_3=1+1+1/2+1/3!=2.666666....
e_4=1+1+1/2+1/3!+1/4!=2.708333....
e_5=1+1+1/2+1/3!+1/4!+1/5!=2.716666....

収束ﾊﾔｯ

>>120
東大の求めている解答とは違う気がしてならない。
というのも、「π」が3.05より大きい、ではなく、「円周率」が3.05より大きい、
ことを証明しろという問題だから。

だから「円周率」を定義して、その図形的な性質から迫るべきでは。
ただ、先にも書いたとおり「π」の値を求める……のなら俺は○をつけるな。

代ゼミの西岡あたりが同じようなこと言いそうだな。
まあ俺も「西岡の弟子」だからこういうこと言っちゃうんだけどさ。

>>120のπだって
円周率の図形的性質から出てくるぢゃないか　

図形だろうが積分だろうが議論に穴がなければ何をしてもよい。
ただ>>120から想像するに穴ボコだらけだろう。ほぼ0点。

議論にやたら厳しい教官いるからなぁ。
定義して云々は俺も聞かれたくないよ。
覚えてなかったらアウトっしょ。

>>150
なにいってんの？
正しく議論してない解答なんて落書きと同じじゃん。
覚えるとかそういうもんじゃないだろ。

いや議論を正しくするのは簡単だと思うよ。
適切な定義から始めるのは限られた時間内だと結構大変だよ。
穴があったら嫌だし。定義は長年かけて検証されてる訳だし。
円周率ぐらいならなじみがあるだろうからいいんだけど。

円の円周の長さと直径の比で定義された円周率の値が
歴史的には内接・外接多角形の周の長さによって評価されてきた、
ってのはある意味常識なんじゃないの？

それくらい知っててあたりまえでしょ

日本語は曖昧でいかん。
「ある意味」ってどういう意味？
ある意味常識なら、ある意味常識でなくてもいいわけ？

読売の記事であった観測だが、東大は円周率を３とする教育要領に
文句をつけたいのでは？

昨年入試でも円周率と 60/19 の大小がキーになる出題があったし。

円弧の高さを超えない長方形で1/8扇形近似の面積を求め、面積比でπの下限
を得る初等的方法。
r = 50 r/√2 =　35.4
a=[SQRT(r^2-h^2)]　個数kはaの次行との差で求まる。
高さh.. a...個数k..長方形面積hk
49......9....9.....441............................
48.....14....5.....240....r|***...................
47.....17....3.....141.....|+++++++*＿............
46.....19....2......92.....|+++++／｜.*...........
45.....21....2......90.....|+++／..｜...*.........
44.....23....2......88.....|+／三角｜....*........
43.....25....2......86....0+-------35----r---.....
42.....27....2......84............................
41.....28....1......41.....長方形面積計......1568
40.....30....2......80
39.....31....1......39.....三角形面積.........612.5....(35^2/2)
38.....32....1......38
37.....33....1......37.....内接的(?)扇形面積..955.5....(1568-612.5)
36.....34....1......36
35.....35....1......35.....π下限...........3.058......(8*955.5/r^2)

もっと簡単な方法があった。
階段状の部分を小さな三角形で補正すれば半径15程度でもいい。
これなら十分筆算可能だ。
r = 15, r/√2=10.6…
a=[√(r^2-h^2)]　個数kはaの次行との差で求まる。
高さh.. a...個数k..長方形面積hk
14......5....5......70............................
13......7....2......26....r|***...................
12......9....2......24.....|+++++++*＿............
11.....10....1......11.....|+扇++／｜.*...........
...........................|+++／..｜...*.........
...........................|+／三角｜....*........
..........................0+-------10----r---.....
...*.*............................................
...|XXX..**................長方形面積計........131
...|XXXXXXXX.*.............階段補正面積.(X部分)..5......(10/2)
...|---------|X.**.........三角形面積...........50......(10^2/2)
.............|XXXX.**......
.............|-----..*.....内接的(?)扇形面積....86......(131+5-50)
...........................
...*は円弧.................π下限............3.058......(8*86/r^2)

新聞とか雑誌とかで
「円周率を３とすると内接正六角形の周の長さに等しい」
っつーのを読んでれば、正八角形や正十二角形で
評価すると問題が解けるのは分かった。

で、漏れが疑問というか注目したいのは「3.05」という数字。
なぜ「3.1」や「3.03」などではなく「3.05」なのか？

ここから解法にアプローチした人いないでつか？

正八角形の外周が 約3.061 なので、3.06あたりから先は
正八角形での証明が面倒になるから採用しづらかったの
でしょう。

せめて、３．１４より大きいことを証明させるべきだったんじゃないのか、
東大よ。

近似手段に対する発想と手間のバランスだね。
３．０５ではぬるいが３．１４は厳しい。
３．２未満を問われなかったのもポイントか。

アルキメデスが3.14まで求めた時は
正96角形まで計算したんじゃなかったっけ？

半径10での証明。157と同様にした後、残った円弧の下の部分を微少三角形2個で埋める。
座標(4,9)の上に垂直な底辺√(10^2-4^2)-9>0.165で高さが左に4と右に2の三角形だ。
この部分の面積は0.495。階段状部分の面積34.5、階段を埋める小三角形部分の
面積3.5を加えると38.495。8*38.495/10^2=3.0796。
エレガントでもなんでもないが...

π＝4*arctan(1/5)-16*arctan(1/239)
よってπ>3.05

一般化してみた。円周上あるいは円内で円周に近い点の座標を左から並べて
(X0,Y0),(X1,Y1),(X2,Y2),…,(Xn,Yn)　但しX0=0,Y0=半径r,Xn=Ynとする。
その点と(0,0)を結んで出来る多角形の面積は1/8扇形に近いが、その面積は
一番上と下は三角形、途中は台形と考えると、
A={(X0+X1)(Y0-Y1)+(X1+X2)(Y1-Y2)+…+(Xn..+Xn)(Yn..-Yn)+Xn*Yn}/2 n..は添え字n-1
であるのでπの下限は4*A/r^2となる。

ピタゴラス数の5^2+12^2=13^2を利用して次の点で出来る五角形を考えると
(0,13)...Xの和..Yの差...積
(5,12).....5......1.....5
(8,10)....13......2....26 π>4*129/13^2=3.0532…
(9,9).....17......1....17
(0,0)......9......9....81
計....................129

>162
That's right.
数学が好きな奴には、瞬殺の問題だよね。

〉166
その通り

解析概論読んだことある奴は一瞬で
正八角形くらいすぐに思い浮かべるに違いない

今日合格発表でした
受かりましたっ

>>168
おめでとう。
正直、リア工であれだけの知識、あれだけの穴（当然か）（ｗ　は立派だと思う。
理!!!余裕組だろうが、荒れxxxみたいにはならないでくれ

つぅかさ、この問題は1番目にのっけてばばばーんって感じにインパクトを与えるべきだろ。
文系にもやらせるべき問題でもあるしな。

ほとんどの文系はラジアンすら習わないから無理

>>171

ラジアン使わなくても弧長は求められる
小学校のときにやらなかった？

無理

>>173

煽りにマジレスしてるだけかもしれないが
そもそもラジアンの意味分かってんのかと

>>171はアラジン

>>169
ありがとうございます
理三余裕ではありません…
理一平均ぐらいです(自己採点)

日頃この板を覗いてたおかげかもしれません

>>176
おめでとう。数学以外が得意なんだね。
君の6番の答案ではほぼ0点だから。

>>177

多分それなりに点はもらってると思うけどな
随分前のsin,cosの定義だって級数で定義していた人でも
議論が出来ていれば点はもらえていたみたいだし(採点者?談)

別にラジアンを知らなくても周の長さの評価はできるでしょ

>>177
煽りにﾏｼﾞﾚｽになるが、数学苦手な奴の答案じゃないだろ、あれは。

知識先行。身が無い。

実

どっかのスレで正六角形を使って証明してた人が居たんですが、
どなたかご存知ないですか。ぜひもう一度見てみたいので。

>>181
苦手な奴は知識先行しないということだろう。

平方根などの数値計算のいらない回答を一つ：

単位円の1/12の弧の長さは、微小弧の集まりと考えて
∫[0,1/2] 1/√(1-x^2) dx
である（絵文字がかけないので図は省略）。ここで、
1/√(1-x^2) - (1+x^2/2) = x^2/(1+√(1-x^2))/√(1-x^2) - x^2/2 >= 0
なので、
円周率 = 6∫[0,1/2] 1/√(1-x^2) dx
>= 6∫[0,1/2] (1+x^2/2) dx = 3.125

入試の時の解法で数学の苦手云々を語るのは無謀やね。
それこそ身が無い推論だろうて。

一を聞いて十を汁

所詮は「汁」。「知る」には到底及ばない

汁age

誰か背理法で証明してくれ

（＾＾）

阪大の後期＃４は円周率が無理数を証明させる問題。
大学の演習問題にヒントつけて、無理に入試にした感じ。

だいたい2問ぐらいで受かるのよ。理�Tは。

あっしは93年に受験し、分離共通の2番と、
漸化式建てるだけの確率の５番だけ解いて（解けて）、
および６番の増減表書いて受かった。

俺理1だけど数学3完半＋英語バカで落ちたよ。
数学　1○2×3○4△5△（≪○）6○
来年（今年）何したらいいですか？あ、勉強か

>>194
まずは英語がんがれ
せめて80/120くらい欲しいぞ。

禿しく鼬害sage

理�T一発合格裏入学

＜血液型A型の一般的な特徴＞（見せかけのもっともらしさ（偽善）に騙されるな！！）
●とにかく神経質で気が小さい、了見が狭い(臆病、二言目には「世間」(「世間」と言っても、一部のＡ型を中心とした一部の人間の動向に過ぎない））
●他人に異常に干渉して自分たちのシキタリを押し付け、それから少しでも外れる奴に対しては好戦的でファイト満々な態度をとり、かなりキモイ（自己中心、硬直的でデリカシーがない）
●妙に気位が高く、自分が馬鹿にされるとカッと怒るくせに平気で他人を馬鹿にしようとする（ただし、相手を表面的・形式的にしか判断できず(早合点・誤解の名人)、実際にはたいてい、内面的・実質的に負けていることが多い）
●権力・強者には平身低頭だが、弱者に対しては八つ当たり等していじめる（強い者にはへつらい、弱い者に対してはいじめる(特に人が見ていない場合））
●あら探しだけは名人級でウザく、とにかく否定的（例え10の長所があっても褒めることをせず、たった１つの短所を見つけては貶す）
●基本的に悲観主義でマイナス思考に支配されているため性格が鬱陶しい（根暗）
●何でも「右へ習え」で、単独では何もできない（群れでしか行動できないヘタレ）
●少数派の異質・異文化を理解しようとせず、あるいは理解を示さず、排斥する(差別主義者、狭量、視野が狭い、多数派＝正しい　と信じて疑わない）
●集団によるいじめのリーダーとなり皆を先導する(陰湿かつ陰険で狡猾）
●他人の悪口・陰口を好むと同時に、自分は他人からどう見られているか、人の目を異常に気にする（自分がそうだから容易に他人を信用できない、ポーズだけで中身を伴っていない、世間体命）
●たとえ友達が多くても、いずれも浅い付き合いでしかなく、心の友達はおらず孤独（心の感度が低く、包容力がなく、冷酷だから）
●頭が硬く融通が利かないためストレスを溜め込みやすく、また短気で、地雷持ちが多い（不合理な馬鹿）
●たとえ後で自分の誤りに気づいても、素直に謝れず強引に筋を通し、こじつけの言い訳ばかりする（もう腹を切るしかない！)
●男は、女々しいあるいは女の腐ったみたいな考えのやつが多い(例：「俺のほうが男前やのに、なんでや！（あの野郎の足を引っ張ってやる！！）」）

>>195さんアドバイスありがとう。
でも後期で受かっちゃったよ。これから英語がんばります。

同じく鼬害ｽﾏｿ

>>198
おめで�d。

つづきはこちらで…
東京大学スレッド【駒場編】　19学期
http://ex3.2ch.net/test/read.cgi/campus/1048781405/l50

確かこの問題は東大の入試試験だよね。考えてみたけど、できなかった。＞＜

入試試験

（＾＾）

age

　　 ∧＿∧
　　（　　＾＾ ）＜ ぬるぽ（＾＾）

円周率＝円周の長さ/（円の半径ｒ*２）
　　＞その円に内接するｎ角形の周の長さ/（ｒ*２）
であるから、まずはさしあたって正六角形を考えてみよう。
半径ｒの円に内接する正六角形の周の長さ/（ｒ*２）
　　＝その六角形の一辺の長さ*６/（ｒ*２）＝ｒ*６/（ｒ*２）＝３
であるから、円周率＞３であることが証明された。
ところで………3.05より大きいことを証明するのか！！！
じゃあ正12角形を考えてみよう。
半径ｒの円に内接する正12角形の周の長さ/（ｒ*２）
　　＝その12角形の一辺の長さ*12/（ｒ*２）　
ここでその12角形の一辺の長さを計算しよう。
その12角形の一辺の長さ＝（360°/12）を頂点とする二等辺三角形の底辺の長さ
＝2*r*sin((360°/12)/2)＝2*r*sin15°＝2*r*[{(1-cos30°)/2｝^（1/2)]
＝0.5176r
半径ｒの円に内接する正12角形の周の長さ/(r*2)＝0.5176r*12/(r*2)＝3.1056
よって円周率＞3.1056であることが証明された。
これは、円周率＞3.05を満足する。

＞円周率が3.05より大きいことを証明せよ。

どうせなら「3より大きいこと」を証明させれば良かったですね。
小耳に挟んだんだけど、今、学校では円周率を３として計算させているらしいね。
実は3ではないって事を証明させれば、面白い試験問題になると思います。

　　　　　　　　_....._{{ 〃
　　　　 　, - ' ,..､､.ヾ{{フ'⌒`ヽ､
　　　　／　 ,:', -‐‐` ´ '´⌒ヽ　ヾ:､
.　　　,'　　 ,'´　,ィ ,ｨ ,' , 　 ｀ヽ',　 ',-<
　 　 ,' 　　.i　 /|. /.| { i,　 i,　　}.　 }_,,）)
　　　!　|　 ! .,'-.{ !　!|; |`､.}ﾞ!.!　|.　 !　ヽ.
　　　',　',　|Vｧ=､ﾞ､ ｀ﾞ､!-_:ﾄ,ﾘ', l !　| 　 ﾞ',
　　　 ヽ､', l:!Kノ}. 　 　 f:_.)iﾞi: ﾘ !　l　ル'　　／￣￣￣　　　　　　　　　　
　　　　 | l!iヽﾞ- '　, 　　.!__:ﾉ ﾞ ,ﾘ l ﾘ'´　　＜　ぬるぽ
.　　　　 ',|!!､ 　 　r‐┐ 　 ｀ ノ' /,ｲ　　　　　＼＿＿＿＿　　　
　　　　　 'i!ﾞ､ヽ､　ﾞｰ'　　_, ィ,:',:''´
　　　　　　ﾞ:､ｨ､jヾｰ::: 'iﾍ　ノ',ﾘ
　　　,､- '´　ヽ､ﾞ､　　 {　｀＞"､
　　/＼＼　　　　',　　 }　　 //｀ヽ

　　　　　　　　　　　　　,.-'"￣　 　 　 　　 　 "''‐- ､
　　　　　　　 _,,. -─／　　　　　　　　　　　　　　　　＼ 　　
　　　　　　／　　／　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ヽ、
　　　　 ／　　 /　　　　　　　　　　　　　,i　　　　　　　 　 ヽ,
　　　 /　　　 ,l　　　　　　　　　　/　　 / .|　　 /l　ヽ　　　　l　
　　　l　　　　.|　　　　l　|　　　　/ | 　,/　 | ,　 | | .! '"` 、　　|
　　 l　　　　　|　　　　　//i.l.| / ﾚ / 　　　　|l/_,､-''''`　 |　l/　　私はムスカです
　 ./　　　　　|　 L　　　V |l ,.--;==ﾐ ､ ___,.ﾉ /{.○-ﾞ‐r､ |　| 　　あのっ！
　/　/　　　　ﾄ./　'l　　　ﾄ ´　 {,.○-`‐‐ ､,.-ﾄ|　　　　,ﾉ .l　| 　　ここで働かせて下さい
　レ/　　　　 |::|　`|　　　|　ヽ,r'´　　　 　 ﾉ.　 ﾞ､--‐''´　|. |　　　　　おながいします！この野郎！！
　 /　　 l　　/::::l.　 |　　 |:　　 ヽ､ __,,､-'" 　 　 〉　　　 |. |　
. /　　 /ﾚ'| /::::::::ヽ┤　 |::　　　　　　　　 　'　' 　　　 　|. |　
/ ./　/:::::::`::::::::::::::::::|.　 |:::　　　　　　＿＿＿__ ,　　　 l　|　
| /|　|:::::::i:::::::::::::::::::::::|.　ll::::　　　　 　`ー─''''"´　　 ノl　|
V |　|:::::::|:::::::::::::::::::::::::|. ||::il`'┐._　　　　　"　　 _.-''゛　|. |
　 .|　|::::/|:::::::|:::::::::::::::::| |'|:ﾄ|!┴-ニ'─--┬‐''"　　　　 l.|
　　ヽ |/ ヽ|:::l|;:::::::::::::::::|.| |l＿__　　 ￣─､ﾄ ､__ 　　　　　
　　　i.|　　 ヾ. |:/:::::::::;~‖＿__ ￣''‐-.__　 ~`''-ﾆヽ
　　　　　　　　 ﾙ-|:::::|／ ＿＿゛''‐- 、 '~‐ 、　　 .|、
　　　　　　　　　　|::;ﾉ'／　　　 ~'''-､. `ヽ、　~''‐-"ヾヽ、

２人まとめて逝っとくか
　　Λ＿Λ　　＼＼
　 （　・∀・）　　　|　|　ｶﾞｯ
　と　　　　）　 　 |　|
　　 Ｙ　/ノ　　　 人
　　　 /　）　 　 < 　>__Λ∩
　 ＿/し'　／／. Ｖ｀Д´）/　←>>207,208
　（＿フ彡　　　　　 　　/

誰か半径１の円に内接する正９６角形の周囲の長さが６＋２０／７１に近似できることを
証明できる奴はいないのか？

Re:210
三角関数の半角の公式を使って頑張ってくれ。

>>206
「3」は6角形だから簡単すぎる！

212で「それじゃ3と一緒である可能性を否定できないじゃん」って突っ込みが入るヨカソ

3と一緒である可能性は否定できてるじゃん

しもうた。円の定義を勘違いしてた。恥ずい

重複スレage　

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

着ているセーターを解いて実際に円周にあてて計ったよ。

agesaseteitadakimasuyo

正１２角形で3.105...で
半角公式も使わず、当然二重根号も無しで
簡単に求められてしまうのでもっと
精度よく3.14より大きいことを証明してみませんか？

　　　 　∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　(　　＾＾ ） ＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣〕
　　＝ ◎――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉

数学坂は切り晩に興味ないのね２２２

　__∧＿∧_
　|（　　＾＾ ）|　＜寝るぽ（＾＾）
　|＼⌒⌒⌒＼
　＼ |⌒⌒⌒~|　　　　　　　　　山崎渉
　　 ~￣￣￣￣

正24角形の円周で評価すれば
π>3.1ぐらいはいけるのかねぇ、やってないからしらんけど
(一辺)^2=2-2cos15°、cos15=cos(45-30)だから
これぐらいにしとけばいいのに

円周率って何だっけ？

>>225

￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　WOTAKU　RADIO　ＣＬＵＢ
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
／／　　　／／　　　　　　　　　　||
　　　　ﾋﾞｼｯ　　／￣￣￣￣＼ [lllllll]
　　　 ／￣＼（　　人＿＿＿＿）￣　　　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 ,　┤　　　 ト|ミ/　 ー◎-◎-）　　　　｜　 円周率の本質は、まさしく実数だよ。　
　|　　＼＿／　 ヽ　　　　(_　_)　）　　　＜　 　それ以上でも以下でもない。
　|　　　＿_（￣　｜∴ノ　　３　ﾉ　　　　 ｜　
　|　　　 ＿_）＿ノ ヽ　　　　　ノ |￣|　　　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　ヽ＿＿＿） ノ 　　　））　　　ヽ.|∩|　／／
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