★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
>>888 うーん。解いてくれた人の数が少ない。簡単だと思ったんだが
x-y座標平面で考える。
関数f(x)=(x^2)/(n^2)を考える。この逆関数はg(x)=n*√(x)である。
Σ[k=1,n^2] ( [(k^2)/(n^2)] + [n*√（k）] )
のシグマの中身に注目する。
[(k^2)/(n^2)] + [n*√（k）]
前半部分は、x=k、0≦y≦f(k)の範囲にある格子点の総数である。
後半部分は、x=k、0≦y≦g(k)の範囲にある格子点の総数である。
結局、
Σ[k=1,n^2] [(k^2)/(n^2)]
は0≦y≦f(x) 0≦x≦n^2、の範囲にある格子点の総数である。同じように
Σ[k=1,n^2] [n*√（k）]
は0≦y≦g(x) 0≦x≦n^2、の範囲にある格子点の総数である。
ここで、gはfの逆関数なので結局
Σ[k=1,n^2] ( [(k^2)/(n^2)] + [n*√（k）] )
は0≦x,y≦n^2内部の格子点とy=f(x)上の格子点をあわせた物になる。
これから先は簡単じゃね？
x-y座標平面で考える。
関数f(x)=(x^2)/(n^2)を考える。この逆関数はg(x)=n*√(x)である。
Σ[k=1,n^2] ( [(k^2)/(n^2)] + [n*√（k）] )
のシグマの中身に注目する。
[(k^2)/(n^2)] + [n*√（k）]
前半部分は、x=k、0≦y≦f(k)の範囲にある格子点の総数である。
後半部分は、x=k、0≦y≦g(k)の範囲にある格子点の総数である。
結局、
Σ[k=1,n^2] [(k^2)/(n^2)]
は0≦y≦f(x) 0≦x≦n^2、の範囲にある格子点の総数である。同じように
Σ[k=1,n^2] [n*√（k）]
は0≦y≦g(x) 0≦x≦n^2、の範囲にある格子点の総数である。
ここで、gはfの逆関数なので結局
Σ[k=1,n^2] ( [(k^2)/(n^2)] + [n*√（k）] )
は0≦x,y≦n^2内部の格子点とy=f(x)上の格子点をあわせた物になる。
これから先は簡単じゃね？
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901 ：１３２人目の素数さん：03/11/10 01:05
間違った
[(k^2)/(n^2)] + [n*√（k）]
前半部分は、x=k、1≦y≦f(k)の範囲にある格子点の総数である。
後半部分は、x=k、1≦y≦g(k)の範囲にある格子点の総数である。
結局、
Σ[k=1,n^2] [(k^2)/(n^2)]
は1≦y≦f(x) 1≦x≦n^2、の範囲にある格子点の総数である。同じように
Σ[k=1,n^2] [n*√（k）]
は1≦y≦g(x) 1≦x≦n^2、の範囲にある格子点の総数である。
ここで、gはfの逆関数なので結局
Σ[k=1,n^2] ( [(k^2)/(n^2)] + [n*√（k）] )
は1≦x,y≦n^2内部の格子点とy=f(x) (1≦x≦n^2) 上の格子点をあわせた物になる。
[(k^2)/(n^2)] + [n*√（k）]
前半部分は、x=k、1≦y≦f(k)の範囲にある格子点の総数である。
後半部分は、x=k、1≦y≦g(k)の範囲にある格子点の総数である。
結局、
Σ[k=1,n^2] [(k^2)/(n^2)]
は1≦y≦f(x) 1≦x≦n^2、の範囲にある格子点の総数である。同じように
Σ[k=1,n^2] [n*√（k）]
は1≦y≦g(x) 1≦x≦n^2、の範囲にある格子点の総数である。
ここで、gはfの逆関数なので結局
Σ[k=1,n^2] ( [(k^2)/(n^2)] + [n*√（k）] )
は1≦x,y≦n^2内部の格子点とy=f(x) (1≦x≦n^2) 上の格子点をあわせた物になる。
オレは[k^2/n^2]=uとなるuの数をa(u)としたとき前の項=∑ua(u)になった。
でa(u)を計算すると0≦u≦n^2-1についてa(u)=[n√(u+1)]-[n√(u+1)]±b(n)
b(n)=1 (uが平方数のとき) -1 (u+1が平方数のとき) 0 (それ以外のとき)
になった。そこで∑[u=1,n^2-1]u[n√(u+1)]-[n√(u)]を計算すると
∑[u=1,n^2-1]u[n√(u+1)]-[n√(u)]
=∑[u=1,n^2-1]∑[v=u,n^2-1][n√(v+1)]-[n√(v)]
=∑[u=1,n^2-1](n^2-[n√u])
=∑[u=1,n^2](n^2-[n√u])
=n^4-(所与の式の第２項)
となる。∑b(n)は簡単に計算できるので結局もとめる和はn^4+∑[u=1,n^2-1]ub(u)+n^2と
なった。∑ub(u)=∑[v=1,n-1]v^2b(v^2)+∑[v=2,n](v^2-1)b(v^2-1)なので
さらっと計算できた。
でa(u)を計算すると0≦u≦n^2-1についてa(u)=[n√(u+1)]-[n√(u+1)]±b(n)
b(n)=1 (uが平方数のとき) -1 (u+1が平方数のとき) 0 (それ以外のとき)
になった。そこで∑[u=1,n^2-1]u[n√(u+1)]-[n√(u)]を計算すると
∑[u=1,n^2-1]u[n√(u+1)]-[n√(u)]
=∑[u=1,n^2-1]∑[v=u,n^2-1][n√(v+1)]-[n√(v)]
=∑[u=1,n^2-1](n^2-[n√u])
=∑[u=1,n^2](n^2-[n√u])
=n^4-(所与の式の第２項)
となる。∑b(n)は簡単に計算できるので結局もとめる和はn^4+∑[u=1,n^2-1]ub(u)+n^2と
なった。∑ub(u)=∑[v=1,n-1]v^2b(v^2)+∑[v=2,n](v^2-1)b(v^2-1)なので
さらっと計算できた。
903 ：１３２人目の素数さん：03/11/10 01:08
ぐはぁ、ダメだ。思いっきり間違ってる。>>900-901は無視しろ。
904 ：１３２人目の素数さん：03/11/10 01:11
と思ったらあってた。 ・・・何考えてたんだか。
905 ：１３２人目の素数さん：03/11/10 01:13
結局答えは何にせよ。n^4 + n
さぁ、次行ってみよう。
さぁ、次行ってみよう。