◆ わからない問題はここに書いてね ７６ ◆

デデキントの切断が分かりません。
集合A,Bがあって
a<bのとき（aはAの元、bはBの元）
Aに最大数があるか、Bに最小数があるかどちらかである。
と説明されていますが、
a<bのとき、Aに最大数があれば、
Bは空集合になりませんか？
しかし、仮定ではA,Bともに空集合ではないことになってます。
この矛盾をどう説明したら良いのですか？