◆ わからない問題はここに書いてね ７５ ◆
㌧㌦＝合成数≠素数
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260 ：１３２人目の素数さん：03/02/16 04:21
あ、そういうことか・・・
全然日本語読んでなかった。ｽﾏｿ
全然日本語読んでなかった。ｽﾏｿ
261 ：１３２人目の素数さん：03/02/16 04:28
おっと2は例外
262 ：１３２人目の素数さん：03/02/16 04:30
>>256
a=1-1/3+1/5-1/7+1/9-… とおく
(1/3)a=1/3-1/9+1/15-… となるから
a+(1/3)a=(1+1/3)a=1+1/5-1/7-1/11+1/13+1/17-1/19…=bとする
(-1/5)b=-1/5-1/25+1/35+…となるので
(1-1/5)b=1-1/7-1/11+1/13・・・=c となるので・・・以下繰り返し。すると
a(1+1/3)(1-1/5)(1+1/7)(1+1/11)…=1 となる。これより
a=(1/(1+1/3))*(1/(1-1/5))*(1/(1+1/7))*(1/(1+1/11))*(1/(1-1/13))*(1/(1-1/17))*(1/(1+1/19))*(1/(1+1/23))*(1/(1-1/29))*...
というふうになる。a=π/4はarctan(1)の展開からわかる。
詳しくは オイラーの無限解析ｐ260を参照。
a=1-1/3+1/5-1/7+1/9-… とおく
(1/3)a=1/3-1/9+1/15-… となるから
a+(1/3)a=(1+1/3)a=1+1/5-1/7-1/11+1/13+1/17-1/19…=bとする
(-1/5)b=-1/5-1/25+1/35+…となるので
(1-1/5)b=1-1/7-1/11+1/13・・・=c となるので・・・以下繰り返し。すると
a(1+1/3)(1-1/5)(1+1/7)(1+1/11)…=1 となる。これより
a=(1/(1+1/3))*(1/(1-1/5))*(1/(1+1/7))*(1/(1+1/11))*(1/(1-1/13))*(1/(1-1/17))*(1/(1+1/19))*(1/(1+1/23))*(1/(1-1/29))*...
というふうになる。a=π/4はarctan(1)の展開からわかる。
詳しくは オイラーの無限解析ｐ260を参照。
ようはグレゴリ・ライプニッツ級数から3の倍数、5の倍数・・・と順に消していってるのです。
264 ：１３２人目の素数さん：03/02/16 04:37
>>262
神ですか？
神ですか？
265 ：１３２人目の素数さん：03/02/16 08:32
266 ：１３２人目の素数さん：03/02/16 08:36
>>249
驚いた
驚いた
267 ：１３２人目の素数さん：03/02/16 08:54
1/{1+(1/3)}=1-(1/3)+(1/3)^2-(1/3)^3+…
1/{1-(1/5)}=1+(1/5)+(1/5)^2+(1/5)^3+…
から、ほぼ自明にも見えるが。
右辺の無限積をこのように展開していけば、
すべての奇数が現れる。
さらに、例えば4n+1型素数を p、4n-1型素数を q とすると、
この展開によって、N=p^a*q^b と素因数分解される奇数には、
(-1)^b の符号がつく。
一方 N=p^a*q^b≡(-1)^b (mod 4) より
N≡1 ならば N は4n+1 型の奇数、N≡-1 ならば N は 4n-1 型の奇数。
つまり、1/N の符号は、>>256 の右辺の符号と一致する。
1/{1-(1/5)}=1+(1/5)+(1/5)^2+(1/5)^3+…
から、ほぼ自明にも見えるが。
右辺の無限積をこのように展開していけば、
すべての奇数が現れる。
さらに、例えば4n+1型素数を p、4n-1型素数を q とすると、
この展開によって、N=p^a*q^b と素因数分解される奇数には、
(-1)^b の符号がつく。
一方 N=p^a*q^b≡(-1)^b (mod 4) より
N≡1 ならば N は4n+1 型の奇数、N≡-1 ならば N は 4n-1 型の奇数。
つまり、1/N の符号は、>>256 の右辺の符号と一致する。