完全数の問題

問題１　完全数は無限にあるのか？
問題２　奇数の完全数はあるのか？
現在確認されている完全数
6・・・1,2,3
28・・・1,2,4,7,14
36・・・1,3,4,6,9,12,18
496・・・1,2,4,8,16,31,62,124,248
8128・・・1,2,4,8,16,32,64,127,254,508,1016,2032,4064
152812・・・1,2,4,11,22,23,44,66,92,151,253,302,506,604,
　　　　1012,1661,3322,3473,6644,6946,13892,38203,76406

偶数の完全数とメルセンヌ素数(2^n -1という形の素数)が1対1に対応する事を
オイラーが示して以来、何かめぼしい発見があったような無いような…

>>1
36違うぞ。
完全数は、nが自然数、2^(n-1)-1が素数の時に
2^n*{2^(n+1)-1}で表せる。全てかわからないが。

>>1
36も152812も完全数ではない。それと現在確認されている完全数は39個。

どこかのスレで
「aを奇数の完全数とすると、a-2またはa+2が素数となる」
って予想が出てたんだけど、どうなったんだろう？

>>6
無いかもしれないものを仮定すると後々おかしくなるのでやめたほうが良いのでは

例：一番大きい自然数など

奇数の完全数があると仮定して、後々おかしくなったりしたら、
背理法で奇数の完全数が無いということを証明できたってことで、
素晴らしい成果だと思うのですが。

>>7
「一番大きい自然数」と「奇数の完全数」とでは明らかにレベルが違うだろ。(w
ないかも知れないものを仮定して、そこから矛盾を導いて大定理の証明が完了することは多い。
フェルマーの最終定理の証明だって、そういう手法を取っている。

まぁ恐らく間違ってはいまい。偽も間違っていないだろうけど。

もしもある数学の命題を証明するのに必要な記述のうちで、
最小の長さの物をもってきたとしても、その長さが非常に
大きくて、宇宙の全原子数を越えるようなものだとしたら、
そのような証明の存在を具体的に記述することはできないし、
読むことも出来ないわけだが、そういうものをどう考えたら
よいのだろうか？　そこまでいかずとも、人の一生をかけて
もそのほんの一部しか（単なる速読でも）読めないほどの長大な
証明しかないような証明が「存在」したとしても、一個人の
理解把握には及ばない。そのような長大な証明がなされたとしても、
その正しさを確信することは誰にも出来ないだろう。仮に大勢で
分担することで、各人がその分担個所を読み通せ、正しさを保証
できたとしても、誰一人として、全体の正しさを自身の責任の範囲
で保証できるものはいなく、他人の権威を盲信して、その総合として
のみ正しさを「信じる」しかない状況になるわけだが、そうだと
すれば、それは他人が正しいといっているから、多分そうなんだろう
という範囲を超えるものではあるまい。
　数学的に存在し得る「最小の長さの証明」がそのような膨大なもの
でありえるとしたら、いったい真理とはいかなるものであろうか？

>>11
今のところ、有限単純群の分類定理の証明はかなりそれに近いね。

膨大な長さの証明がぽこぽこ出てくる時代には
人間の脳みその性能も今とは全然別次元の物となっているような気がする。

100年前と今を比べてさえ、脳に関する生物学的な知識は全然違うんだしね。

ってか証明のほとんどはコンピュータがやってくれるようになるんじゃないの？

人間自体がコンピュータの性能を備えるようになる、とか。

（＾＾）

(アラーの神は、6日で世界を創造し、28日で月を満ち欠けさせる、
だがら、もし、奇数の完全数があるとすればその日数でアラーは、何かをされたはずだ、
しかし、何かをされた痕跡がない、だから奇数の完全数はない。)
と、イラクのイスラム教の聖職者がいっていた。

>>13
「脳みその性能」と「脳に関する知識」に相関関係があるなんつーのは、
トンデモない話ですな。

>>18
脳みその構造が分かれば、記憶力や脳の回転の速さを薬や手術で
向上させる事が出来るって事ですよ。
13の「脳みその性能」とはそういう事を指しているのですよ。

（＾＾）

　　 ∧＿∧
　　（　　＾＾ ）＜ ぬるぽ（＾＾）

将来純粋に脳の回転を早くする薬剤が発明されたとしたら
そのような数学ドーピング剤を常用してなされた発明や
発見、数学証明を果たして受理するべきだろうか。

もしもそのような薬剤になんらの悪い副作用がなくて
純粋に人類の幸福になるとしたら、ひょっとしたら認める
べきかもしれないが、もしも、その副作用で、精神異常や
若死に、人格破綻などが多発したら、やはりその薬剤の
使用を禁止して、証明を送ってきたものにドーピング検査を
貸し、もしも違反が発覚したら、その投稿資格を剥奪して
その証明も闇に葬り去るべきだろうか？

もしもそのドーピング剤が極めて高価であり、相当の裕福者にしか
あがなえないほどのものであったら、科研費でその薬剤の購入を
して、本研究は科研費課題番号XXXXで購入したYYYYの薬効のおかげです。
などと謝辞に書かねばならない？

もしも、薬剤ではなくて、人間の大脳皮質に直接I/Oする最先端の
コンピュータ（必ずしもデジタルでないかもしれない）を利用して
知能の能力を高めて研究を行っていたとしたら、それも問題ない？？

>>11
幽霊の存在証明は？

>>23
ぷら妻です

>>22
今もスマドラ使った研究者がいるのに彼らはわざわざそれを論文に明記してないじゃん。
何か問題があった場合も、それ以降の投稿資格が剥奪される事はあっても
論文自体は闇に葬られる事はないかと。

19

>>26
変な上げは止めてください。
　　　　　

もしかしてイスラム教では、新しい完全数が見つかる度に、
アラーがその日数でやったことを追加するのかな。
もしそうだったら面白いんだけど。

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>>30
何してるの？

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　　　 　∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　(　　＾＾ ） ＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣〕
　　＝ ◎――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉

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　|（　　＾＾ ）|　＜寝るぽ（＾＾）
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　＼ |⌒⌒⌒~|　　　　　　　　　山崎渉
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20

わずかに過剰な数
自然数nの約数の総和が(n+1)があるのかないのかって問題もあった気がする。

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>>39
任意の素数に対して成り立つんじゃない？

>>41
多分それ自身の数は除くんだと思われ……確かに思いつかない。

科学者よ、恥を知れ！
ビッグバン宇宙論は完全に間違いだった！
科学の原則を無視した、デタラメのインチキ理論だったのだ。
そして、そのビッグバン宇宙論の世界的な浸透は
アメリカ、ユダヤ・キリスト教勢力による世界支配のための思想的な戦略なのだ！
また、ビッグバン宇宙論の思想によって戦争が起こり、
貧富の差がひらき、終末的な絶望感が世界に蔓延しているのだ。
ビッグバン宇宙論は世界の平和を揺るがす、悪の元凶となっているのだ。
ビッグバン宇宙論とは、
「宇宙は『無』からビッグバン（大爆発）によって誕生した」という理論である。
この理論は、ユダヤ・キリスト教の創造神話（神が天地を創造した）そのものである。
ビッグバン宇宙論の実態は、科学理論ではなく宗教思想なのである。
『無』は科学的に証明できるものではなく、
そして、『無からの誕生』も科学では証明できるものではないのだ。
ビッグバン宇宙論が科学の正統であるという思想を、世界中の人々に
浸透させる戦略が成功したことにより、ユダヤ・キリスト教勢力の
世界における優位性が確立されていったのだ。（２０世紀に）
そして、その思想的支配の最大の例が、アメリカやイギリスによる
イラク戦争なのだ。
ビッグバン宇宙論の浸透により、世界中に終末思想（世界の終わり）が蔓延してしまっている。
そのことにより、自己中心的、せつな的、短絡的な考え方が社会に広がっている。
科学的に間違っているビッグバン宇宙論から脱却しなければならない。
そして、宇宙は無限だということを理解しなければならない。
人間は本当の宇宙観、世界観を構築し、
新しい時代に進んでいかなければならないのだ。
ビッグバン宇宙論が世界を支配している限り、平和な世界にはならないのだ。
そのことを科学者は重く受けとめるべきである。
新時代へ行こう！！！！！！！！！！！！！！！！

暇だから奇数の完全数を探索するプログラムでも組んでみるか

無謀だ……

>>42
つまりσ(n)=2n+1を満たす数を求めよという問題？（σ(n)はnの約数の総和）
そういった数は存在するかどうか今でもわかってないみたいだ。

ちなみにσ(n)=2n-1を満たす数が2の累乗以外に存在するかどうかもわかっていない模様。

>>44-45
参考になるかは分からないが最近のMath. Comp. にこういう論文が出ている。
他にもMath. Comp. を探すといろいろあるよ。

Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 10^7
Author(s): Paul M. Jenkins.
Journal: Math. Comp. 72 (2003), 1549-1554.
http://www.ams.org/journal-getitem?pii=S0025-5718-03-01496-0

ウッ　ハッ　ウッ　ハッ　フゥーッ

16

＞Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 10^7

10^8や10^9でも論文を書くんだろうか・・・

この手の証明を見るたびに思うんだが、
10＾7、10＾8・・・でそのたびごとに手法が違ってたりするんかね?
コンピュータで確認したってんなら分からんでもないが。

13

17

19

8 b

ﾋﾞﾝﾋﾞﾝﾏｯﾁｮﾃﾞ(ﾟдﾟ)ｵｰｴｰｵｰｴｰ

25

15

054

995

991

解けたようだぞ。

http://www.arxiv.org/abs/hep-th/0401052

>A Proof of the Odd Perfect Number Conjecture
(ry
>The finiteness of the number of solutions to the rationality condition
>for the existence of odd perfect numbers is deduced from the prime decomposition
>of the product of repunits defined by the sum of the divisors, $\sigma(N)$.
>All of the solutions to this rationality condition satisfy the inequality ${{\sigma(N)}\over N}\ne 2$.
>This technique is then used to demonstrate that there are no odd perfect numbers
>$N=(4k+1)^{4m+1} \prod_{i=1}^\ell q_i^{2\alpha_i}$.

確かめたんだろうな？

>>61
まずp2に出てくるa_{13}とかb_{13}とかの意味が不明だぞ。

奇完全数が無いってことを証明したの？

>>63
本当はa_{1,3}とかb_{1,3}じゃないの？カンマが抜けてるの

>>61
これ、p2の(1.3)もおかしくない？
最後のΠ{i=1}^{l-1}q_i^{2α_i}*(q_l^{2α_l+1}-1)/(q_l-1)は
Π{i=1}^{l}q_i^{2α_i}でなければならないと思うんだが。

というか、Nが完全数でないことを示そうとしてるのにはじめにσ(N)≠2Nを仮定して
どうするんだ、と。逆なら意味が通るからまあいいか。

>>65
それって何？

>>65
でも論文中にa_{i, j}の定義ないし。

b_{3i-2,3i}=b_{3i-2}b_{3i-1}^2b_{3i}か？
積を3,3,...,3,2,2,...2と分けてるっぽい。
意味があるのか？

この人(Simon Davis)は以前に奇完全数に関する論文

A Rationality Condition for the Existence of Odd Perfect Numbers,
International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences 20 (2003), 1261-1293
ttp://ijmms.hindawi.com/volume-2003/S0161171203108277.html
（ttp://arxiv.org/abs/math.NT/0011206にプレプリントあり）

を書いてます。
b_{i,j}などの記法もこの中で説明されてます。

a_{i,j}σ(q_i^{2α_i})=b_{i,j}σ(q_j^{2α_j})かつ(a_{i,j}, b_{i,j})=1
となる整数をa_{i,j}, b_{i,j}とする、というのが定義で

この結果
(b_{13}a2)/(a_{13}b2)=σ(q1^{2α_1})/σ(q3^{2α_3}) * a2/b2
=(b1/a1)*(a3/b3)*(a2/b2)=b1b2b3/a1a2a3 * (a2a3/b2b3)^2
となる、ということです。

そっちはまとも？

>>71
70の論文も全体の流れがよくつかめないです。
あと、最後の部分に意味不明な記述があります。
まあ全体としては>>61よりはまともでしょうが。

オイラ-関数φを使う方法で、奇数Nの素因数分解の形を仮定してやって、
それでNが完全数である為の条件を書いてみれば、その際に素因子が何個
あるか、について1つの場合、2つの場合、3つの場合、、、とそれぞれ場合を
個別につくしていくやりかたでも、高々k個の因子を持つ奇数は完全数には
なれない、ということが示せるのだが(なかなかしんどいのだが)、
このやりかたでは、やはり結局証明には結び付かないのだ。

なにか、奇数の完全数があるとしたら、その素因数の個数がM以下の
ところに必ず存在しなければならない、みたいなことが言えないと。
(もちろんMが10＾10とかでもいいから)

246

・ある自然数Ｍの約数から１とＭを除いたモノの中で、最小のモノをＡ（２ａ＋１）最大のモノをＢ（２ｂ＋１）、それ以外のモノの和をＴ（２ｔ）、２個ずつ掛け合わせて足したモノの和をＰ、
それぞれ２乗したモノの和をＳ（２ｓ）とする。
A+B+T+AT+BT+P+1=AB [A+B][T+1]+T+P=AB-1 [2a+2b+2][2t+1]+2t+P=[2a+1][2b+1]-1
4at+4bt+6t+2+P=4ab
2[2at+2bt+3]+P=2[2ab-1]
Pが偶数ならばこの式は成立する。
P=T^2-P-S 2P=T^2-S 2P=4t^2-2s P=2t^2-s ここで、奇数×奇数＝奇数によりＰは奇数である
そして、偶数−奇数＝奇数である。
∴2[2at+2bt+3]+P=2[2ab-1]は成立しない。
＊ここでＡ＝２ａとする。
[A+B][T+1]+T+P=AB-1 [2a+2b+1][2t+1]+2t+P=2a[2b+1]-1
4at+4bt+4t+P=4ab+2a-1 4t[a+b+1]+P=2a[2b+1]-1 偶数−奇数＝奇数でありこの式は成立する。　　【結論；奇数の完全数は存在しない。】
間違っている箇所があったら、原文と訂正文と理由をいただけると、かなり嬉しいです。

ネタだとしてももう少し詳しく書いてくださいな

727

>>75

Ａ（２ａ＋１）とか、Ｂ（２ｂ＋１）とか、Ｔ（２ｔ）とかって、どういう意味なんだよ？

# 例えば、Ａ（２ａ＋１）は ２ａ＋１の函数ってことなの？

363

470