関数解析＆ルベーグ積分

先生にも伝えておきます。(w

953 ：948：04/05/15 01:11

>>950
　「位相空間」のような抽象的な概念は習ってなかったのですね。失礼しました。
それでは実数の区間 [a, b] 上の積分で説明しましょう。
[a, b] 上で連続な関数の全体を F と書き、f∈F のRiemann積分を I(f) と書くことにします。
{ f_n } を F の元の単調減少列で、各点で 0 に収束するものとします。
このとき、解析学で有名なDiniの定理により、{ f_n } は一様に 0 に収束し、したがって I(f_m)
も 0 に収束します。
　この性質を用いると、F の（単調減少とは限らない）列 { f_n } で、Σ I(|f_n|) ＜ ∞ となるよ
うなものに対する Σ f_n という級数を考えると、これに x を代入した Σ f_n(x) という級数は、
x の値によって収束したりしなかったりしますが、絶対収束する点でその極限値、それ以外の点で
任意の値を与えて得られる関数 f のことをDaniell積分可能な関数といって、f の積分を Σ I(f_n)
で定義します。上のDiniの定理の性質によって、この定義がell-definedであることが証明できます。
　このDaniell積分はLebesgue積分と同一のものであることが知られていますが、Daniell積分では
測度の概念を導入せずに積分が定義できるので、初心者にはとっつき易いと思います。

954 ：１３２人目の素数さん：04/05/28 12:33

109

955 ：１３２人目の素数さん：04/06/03 03:59

683

956 ：１３２人目の素数さん：04/06/10 16:16

457

957 ：１３２人目の素数さん：04/06/15 14:05

あげようかな。

958 ：１３２人目の素数さん：04/06/15 14:22

test

959 ：１３２人目の素数さん：04/06/22 22:21

Bを反射的(B**=B)とは限らないバナッハ空間として、
D≡domain(A)がBでdenseなdomain(A)→Bなる非有界閉作用素とします。
D*={μ∈B*|あるη∈B*が存在してμ(Au)=η(u) for all v∈D}
と定めることによりB*の部分空間D*を定めることができますが、
Aのadjoint operator A*をD*→B*なる作用素でA*μ=η
で定めることにします。もちろんηは存在すれば一意なのでwell-defind。
こうすることによって非有界作用素のadjointを定義できますが、
このときA*もまた非有界になるというのはどうやって示したらよいですか？

ヒルベルト空間の場合については多くの本で言及されています。
また反射的バナッハ空間の場合も証明できると思います。
問題は反射的とは限らないバナッハ空間の場合で、主張が正しいかすら
わかっていません。ですがまだ反例も構成できていないので、
なんともいえません。ご存知の方いらっしゃいましたら教えてください。

A*はA^*を省略して書いたものです。A*μが少々ややこしい記述ですみません。

960 ：KingOfKingMathematician ◆H06dC8bpwA ：04/06/22 22:28

Re:>959
A*が有界ならば、A**も有界である。
そして、BをB**の部分集合であると見て、
A**の定義域をBに制限すると、それはAになる。
…とりあえず作戦を練ってから書き込むことにするか？

961 ：１３２人目の素数さん：04/06/25 18:27

ルベーグ積分の「無矛盾性」を証明した人っているんだろうか？

962 ：KingOfKingMathematician ◆H06dC8bpwA ：04/06/25 22:32

Re:>961 それが知られていないことは確かだ。

963 ：１３２人目の素数さん：04/06/28 23:04

ルベーグ積分に矛盾があることが発見されたら一大事だな（ｗ

964 ：１３２人目の素数さん：04/06/28 23:29

ルベーグ積分の無矛盾性って意味がわからんのだが。

965 ：KingOfKingMathematician ◆H06dC8bpwA ：04/06/29 08:18

ルベーグ積分の土台となる(?)
測度論に対してのひとつの疑問。
σ加法性(互いに交わらない可測集合の可算列{E_{n}}に対して、∑m(E_{n})=m(∪(E_{n}))が成り立つ。)
は何故認められるのか？
[>961]の言うことには、これが関係しているのだろうか？

966 ：１３２人目の素数さん：04/06/29 09:52

[0,1/2),[1/2,3/4),[3/4,7/8),[7/8,15/16),‥
の Lubesgue measure が1になってほしいとかいう願望が
あったりするのでは。

967 ：KingOfKingMathematician ◆H06dC8bpwA ：04/06/29 13:51

Re:>966 それは大して問題にならない。

どこかに同じ事書いてあるかもしれないが、
有理数全体を亘る列{q_{n}}(有理数全体の集合は可算集合だからそういう列ができる。)
をとって、区間の列(q_{n}-2^(-n-1),q_{n}+2^(-n-1))をとる。
これ全体の和集合のルベーグ測度が1以下になるということを貴方は認められるか？

968 ：１３２人目の素数さん：04/06/29 16:05

認められる。

969 ：KingOfKingMathematician ◆H06dC8bpwA ：04/06/29 16:35

私は有限加法性までなら認められる。
だが、σ加法性を素直に認めるのは少々危険である。
(しかしそうは言ったが、私も測度論からルベーグ積分に入った。)

970 ：UltraMagic ◆NzF73DOPHc ：04/06/29 16:37

ジョルダン測度では決して分かり得ないこと。

971 ：１３２人目の素数さん：04/06/29 16:58

学部２年の俺にはさっぱり

972 ：１３２人目の素数さん：04/06/29 17:08

>>969
区間 { －１ ,１ } において、区間 { －１/2 ,１/2 } 内の有理数全体を亘る列{q_{n}}について、
>>967 と同様のものを考えて、967 のものと比べて見たらどうなるか？
若干面倒かな。多分危惧は消えよう。

973 ：１３２人目の素数さん：04/06/29 17:11

>>971
有理数の加算列を図形的にイメージできんのか？
学部２年だろう、しっかりしろ。