関数解析＆ルベーグ積分

について語りましょう。

　2ゲットォォｫｫ！！
￣￣￣￣￣∨￣￣￣　　　　　　　(´´
　 　 　 ∧∧　 　）　 　　　　　(´⌒(´
　　⊂(ﾟДﾟ⊂⌒｀つ≡≡≡(´⌒;;;≡≡≡
　　　　　　 ￣￣　 (´⌒(´⌒;;
　　　　　　ｽﾞｻﾞｰｰｰｰｰｯ

/ヘ;;;;;　　このスレは
';=r=‐ﾘ　バカどもには
ヽ二/　　ちょうどいい目くらましだ。

学校で測度論なんぞも習ったが、結局のところ
リーマソ積分とルベーグ積分の一番の違いって
どこにあるわけ？簡潔に説明して欲しい。。。

/ヘ;;;;;　
';=r=‐ﾘ　君の一族は
ヽ二/　　そんなことも忘れてしまったのかね？

/ヘ;;;;;　
';=r=‐ﾘ　ふっはっは、見ろ！！このスレはゴミのようだ！！
ヽ二/　　

名前の違い。

/ヘ;;;;;　
';=r=‐ﾘ　私をあまり怒らせない方がいいぞ。
ヽ二/　　

/ヘ;;;;;　
';=r=‐ﾘ　このスレは極めて順調ですよ。
ヽ二/

期末試験がんばってくださいね。

エルゴード理論かなんかでルベーグ積分が出てきたが…
なんのこっちゃさっぱりだったＹＯ！！

吉田洋一「ルベグ積分」はおすすめです。
この本は、私のような数学初心者でもそこそこ読めました。
ただしとても時間がかかりましたけど。

>12
そのシリーズはいい本が多いですね。
「集合論入門」は名著ですよ。

>>4
ものすごく簡潔にいうと
リーマン積分は定積分を定義するとき、変域を細かく分けて
縦長の短冊形の面積の和の極限みたいにする。

ルベーグ積分は値域の方を細かく分けて横長の短冊で
面積の和を考える。

http://science.2ch.net/test/read.cgi/sci/1038508938/l50
ここでもやってるよ。

縦か横か、そんなことは本質的ではない。
測度が有限加法的か、可算加法的かの違いだ！

>>16
たてよこのちがいって、
せきぶんのていぎにかんしては
けっこうほんしつてきだとおもうけど。

一番の違いは、ルベーグ積分は測度さえ入っていれば
どんな集合の上でも定義できるってことかな。

吉田洋一「ルベグ積分」が読み終わったら、
猪狩惺「実解析入門」あたりに進もうと考えているのですが、
この本を読まれた方はいらっしゃいますか？

あれは、いいものだぁ！！

>>20
マジレス？？
猪狩惺「実解析入門」の前半は細かい概念がいっぱい出てきて
苦労したんだけど・・。

伊藤清三の「ルベーグ積分入門」もいい。
すごく丁寧に書いてある。

>>22
しかし丁寧すぎて、読了するまでに疲れる諸刃の剣。
どれを読むにせよ、一度は通らねばならぬ解析の門。

>>20
院試前に斜め読みした猪狩惺「実解析入門」は
よく書けてる本だと思ったよ
伊藤清三は古典的名著だとは思うけど
くねくねしたドイツ文字が生理的に嫌だ

伊藤清三は昔使ったが難しかったなあ。
単にオレがバカだったかも知れまいが。
個人的には州之内治男がシンプルで良かった。

逆に、これは読んではいけない、という本はどれ？

>>26
斎藤正彦「線形代数入門」
説明が少なすぎる。
読者に必要とされる予備知識が多すぎる気がする。
多くの本で参考文献に挙げられているけど、
私にとっては全く役にたたなかった。

>>27
いや、漏れは逆に線形に関してはこれ以上の名著はないと思ったが・・・
まぁ、人それぞれってことだな

斎藤について、説明が少なすぎる、予備知識が多すぎる、という
批判はあまり聞かんな。単因子論のところはよく批判されるが。
平面空間のベクトルから入っていて、例もそこそこ豊富だし、
丁寧な叙述というのが俺の感想。

佐武・旧のほうが俺は名著だと思う。28 同様、人それぞれか。

佐武の線形代数ではジョルダン標準形はどうやって証明しているんですか？

このスレはいつから「できない大学生」の線形代数のスレになったんだ？

>>4
リーマン積分での可積分関数全体のつくる空間はノルム||f||=∫|f(x)|dxで完備でなく、
それを完備化したものがルベ−グ積分での可積分関数全体のつくる空間になる。

勉強不足なのかルベーグ積分ってルベーグ測度のおまけにしか思えん。

ルベーグ測度じゃなくてもルベーグ積分は定義できます。
俺にはむしろルベーグ測度が、リーマン積分と対応付けするためのおまけに思える。

積分に使うメジャーがルベーグメジャーのときルベーグ積分ていうんだろ。
おまけっていうかメジャーの一番基本的なものだ。
だから積分の一番基本的なものでもある。
リーマンとルベーグの対応というが、ルベーグはリーマンの拡張だからなんとも・・・

しまった
sageわすれた

リーマソ積分とルベーグ積分の違いは

かなりひねた関数でも積分が定義できることと

項別積分定理って奴で、極限と積分の入れ替えがあまりきつくない条件で出来ること
　lim n->∞∫ fn dx = ∫　lim n->∞ fn dx
リーマンだと関数が一様収束してなきゃだめ

あとフビニかなあ。

ふむふむ

>>36
＞sageわすれた
必要ない一言だろ。
sageたってスレはさがらん。
そんなことも知らないのか？

＞sageたってスレはさがらん。
＞そんなことも知らないのか？

必要ない一言だろ。

37 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：03/01/28 00:56
リーマソ積分とルベーグ積分の違いは

かなりひねた関数でも積分が定義できることと

項別積分定理って奴で、極限と積分の入れ替えがあまりきつくない条件で出来ること
　lim n->∞∫ fn dx = ∫　lim n->∞ fn dx
リーマンだと関数が一様収束してなきゃだめ




ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　 ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　 　
　　　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　 ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　　ﾊﾟｼｬ 　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ
　∧_∧　　　　　∧_∧　　　　 ∧_∧　　∧_∧　　　　∧_∧　　　　 ∧_∧　　　　
　(　　 )】 　 　 　(　　 )】　　　 (　　 )】 【(　　 )　　　 【(　　 )　　　 【(　　 )
　/　 /┘　.　 　/　 /┘.　 　　/　 /┘ └＼＼　 　　└＼＼　　　└＼＼
ノ￣ゝ　 　　　ノ￣ゝ 　　　 　ノ￣ゝ　 　　　ノ￣ゝ 　　　 ノ￣ゝ　 　 　ノ￣ゝ 　

>>37は　D Q N

>>42
おまえはドキュソ。

>>37の大定理：
関数族{fn(x)}n=1,2,3,......,に対し、fn(x)が適当な領域（どんな領域？）でリーマン可積分とする
　lim n->∞∫ fn dx = ∫　lim n->∞ fn dx
が成り立つならば、fn(x)は一様収束する

積分って図形の面積を求める物じゃ無かったのかよー･ﾟ･(ﾉД`)･ﾟ･｡

って時々思うね。

>>44
>>37は
f_n(x)が一様収束する
⇒lim{n→∞}∫f_ndx = ∫lim{n→∞}f_ndx
と言っているのでは？

>>46
揚げ足取りでしょ。
何か言えば、書き方がいい加減でいけないとかご高説垂れるんじゃないかな。

なんか言われそうだから言っとくと
揚げ足取ってるのは大はしゃぎしている
>>44 のことだよ。

関数解析・ルベーク積分自体を語るより、どこでどう使うかを語った方が
有用だと思います。

場の理論に出てくる経路積分は何者か？

関数解析の本って何が良い?

>>50
経路の集合上におけるルベーグ式積分
ただし積分のもとになる測度がウィーナー測度とかの、明確に定義され存在
が保証されている測度なら良いが、そうでない場合は謎。

>>51
コルモゴロフ，フォミーン「函数解析の基礎」（岩波書店）なんかどうよ？
最近また復刻されたから買うチャーンス！

ここは>>37にアルゼラの定理を教えてあげるスレになります

　

先月出た新井先生（東大の方）の本は良いよ。
ただ、わかりやすいけどカンタンかつ基本的な内容しか載ってないし、
後半が読み物っぽくて全く使えない。

志賀３０講⇒新井⇒伊藤（＋竹之内）の順で読むのがよろしい。
伊藤は例も豊富だし、結構長く使えるよ。
猪狩は正直中途半端過ぎる。

黒田　藤田　伊藤著の「関数解析」
は良い本です。

>>37
項別積分定理って奴で、極限と積分の入れ替えがあまりきつくない条件で出来ること
　lim n->∞∫ fn dx = ∫　lim n->∞ fn dx
リーマンだと関数が一様収束してなきゃ

だめ （＝一般には成り立たない）

って解釈すべきだよなあ。>>44
>>44はもう一度考え直して>>37に謝罪しましょうや。
ちなみに俺は>>37ではない。

>>56
詳しくタイトルを教えていただけないでしょうか。

みなさん、「Radon-Nikodym」は何と読んでますか？
ラドン　ニコダイム？

「やりたいニコールキッドマンと」

ラド　ンコタイム

>>59
これのことだと思われ。
http://www4.ocn.ne.jp/~arai/lebesgue/lebesgue.html

ついでに、こっちの本もこのスレ関連だな。
http://www4.ocn.ne.jp/~arai/fourier/fouri.html

>>56
いきなり伊藤ってのは?
きついかな?

ラドンニコディム

>>56
フーリエ・関数解析の方は見たこと無いけど、ルベーグの方は今日立ち読んできた。
56氏も書いてる通り基本的なことしか書いてない。
漏れが測度論の一番美味しいトコだと思ってる、多次元や無限次元、
関数空間上の理論のってないっぽげ＠ざっと見だけど。
っつーわけで、漏れの書評はｼｮﾎﾞｰﾝ。
やっぱ、測度論の入門書は吉田耕作か伊藤で良いじゃないかと思う。

話は変わるけど、伊藤清二っているの？
伊藤清→ｘ→伊藤清三
だよね？（改めて考えるとｽｹﾞｰ兄弟だな。）
もし実在するなら、次男坊は何をやってらっしゃる方なんだろう。

折原昭夫「測度と積分」はどうよ？

>>66
志村五郎には志村一郎から志村四郎までの兄がいると思ってる人は、
完全なアホです。

>>64
ニコディムかあ。あんがとさん。

>>68
いるよ！たしか７人兄弟の末っ子。

志村n郎
n=1,2,..

志村2003郎

折原のは読んだ事無いなあ。

ソボレフ空間に詳しい和書って無いかな？

痛い７４がいるスレはここですか？

もう飽きた。ヤメレ

>>73

ブレジス『関数解析』(産業図書)なんてどうだ？
絶版本なら田辺広城『関数解析･下』(実教出版)なんかもあるぞ。

>ソボレフ空間

訳本で
「ポストモダン解析学」ヨスト　シュプリンガー

http://blueskyproject.net/book/masuda_hisaya.html

院入試で出る問題の候補として､「０，１」区間上で、有理数で１、無理数で０を
とる、関数　ｆ（ｘ）のリーマン積分の値が１　でルベーグ積分が０となること
を示せ．　これを正確に計算できれば､測度論の院入試レベルは　ＯＫ。

>>79 それを示すのは不可能っぽい気がする

[0,1] 区間上で有理数で1、無理数で0をとる関数のリーマン積分の値が1
[0,1] 区間上で有理数で1、無理数で0をとる関数のリーマン積分の値が1
[0,1] 区間上で有理数で1、無理数で0をとる関数のリーマン積分の値が1
[0,1] 区間上で有理数で1、無理数で0をとる関数のリーマン積分の値が1
[0,1] 区間上で有理数で1、無理数で0をとる関数のリーマン積分の値が1
[0,1] 区間上で有理数で1、無理数で0をとる関数のリーマン積分の値が1
[0,1] 区間上で有理数で1、無理数で0をとる関数のリーマン積分の値が1
[0,1] 区間上で有理数で1、無理数で0をとる関数のリーマン積分の値が1

79の言う院は大学院でなく病院の院

79を晒しage

>>80
気だけじゃなく、確信しようね。

確信しますた。

81のようなコピペ君、まだ死んでなかったのね。79と一緒に病院逝かんかなぁ

81のようなコピペ君、まだ死んでなかったのね。79と一緒に病院逝かんかなぁ
81のようなコピペ君、まだ死んでなかったのね。79と一緒に病院逝かんかなぁ
81のようなコピペ君、まだ死んでなかったのね。79と一緒に病院逝かんかなぁ
81のようなコピペ君、まだ死んでなかったのね。79と一緒に病院逝かんかなぁ
81のようなコピペ君、まだ死んでなかったのね。79と一緒に病院逝かんかなぁ
81のようなコピペ君、まだ死んでなかったのね。79と一緒に病院逝かんかなぁ
81のようなコピペ君、まだ死んでなかったのね。79と一緒に病院逝かんかなぁ
81のようなコピペ君、まだ死んでなかったのね。79と一緒に病院逝かんかなぁ
81のようなコピペ君、まだ死んでなかったのね。79と一緒に病院逝かんかなぁ

ったく………死ねよ。さっさと。

８６＝８８
ったく………死ねよ。さっさと。
ったく………死ねよ。さっさと。
ったく………死ねよ。さっさと。
ったく………死ねよ。さっさと。
ったく………死ねよ。さっさと。
ったく………死ねよ。さっさと。
ったく………死ねよ。さっさと。
ったく………死ねよ。さっさと。

>>86=88
88 は余計だ。無視できないガキか？

それと、>>87 >>89 はコピペだが、>>81 は違う。もとは
＞「０，１」区間
＞関数　ｆ（ｘ）
だよ。「０，１」区間ってのは初めて見たな。開か閉か、どっちなんだ？
79 は他の表記にも突っ込みどころがあって、ネタかもしれんと思た。

なんで>>86は>>81を叩いてるんだ?

開でも閉でも半開でも積分の値には無関係

コピペで火病発症かよ（ｗ

本当のファビョンはそんなんじゃない

普通に突っ込めばいいだけのを何行も繰り返すのがウザいってだけだって。
88が余計だってんなら90前半の指摘自体も余計よん。90も反応してどうするよ。

JFAって凄いの？
解析学だとどんな雑誌が偉いの？

このスレつまらん

97はルベーグ積分されました。

>>98
止めろ！97を殺す気か！！

＞＞７９　の問題は、実関数論の授業で、最初にやる演習問題です．
うちは、駅の無い駅弁大学です．　
２００　で　正解（簡単です）を載せます。　お楽しみ．

200取り合戦、行くぞ！

>>99
ルベーグ積分されてまだ生きてるやつ知ってるよ。

正解が楽しみなのでsage

afe

僕の肛門もヌベーグ積分されそうです

>>100
みんな言おうと思いながらも黙ってると思うんだけど
>>79　はリーマン積分できません。
その問題を出したのが教員だったらちょっとイタイですね。

>>106
良スレを荒らすのはやめてください。

>>79が教員だったら日本の大学終わってる

200は遠いな…

ahe

生暖かく期待sage

文系の大学生ですけど、正直はやく200になって欲しいです。
よくわかりませんが79さんによれば
連続関数じゃなくても、リーマン積分可能なんですよね？

一般には、連続関数じゃなくてもリーマン積分可能です。

ふと思ったけど、駅弁大学と自称するのって駅弁に失礼だよね

区分的に連続ならリーマン積分可能だけど、
ところでリーマン可積分の最大のクラスってどんなのだろう?

分割を考える事ができるものならばイイ（・∀・）ってことっすか

不連続点が可算個でも大丈夫

２００が楽しみだ。

>>116
分割に依存しなければ(･∀･) ｲｲ!

とか荒らさないで、静かに200を待ちましょう

荒らすつもりじゃ無いですよ。
あげないと200いかないと思って・・

>>115
不連続点が高々可算個

だから文系の人こそ志賀さんの３０講読めよ。
わかりやすく書いてある。

いや、まぢで何処をどうしたらリーマン積分可能なの？
定義しらねぇんじゃねぇの？

簡単な解答がありえないことを皆で追い詰めて２００を待ちませんか

追い詰める、もとい、荒らされる前に200逝くことをキボン

定義は U(P,f)-L(P,f)<ε ??

>124の言う通りだ

皆、とにかく静かにage

200で数学の歴史が塗り替えられます。

２００でこのスレがsageられる可能性もあります。

生暖かく期待sage

ﾙﾍﾞｰｸ測度のことよくわかってなくても、T大で修士号もらいました。
言い訳しときますがﾙﾍﾞｰｸ積分の性質については良く知っています。

エロ求む
http://homepage3.nifty.com/digikei/ten.html

>>121
それだと先の「有理数で1、無理数で0」はRiemann積分可能になってしまうのだが

あ、積分区間は[0,1]でね。

ここは馬鹿が次々と湧いてくるな

>>132
明らかに不連続店が非可算個あるのだが

有理数があるところだけで不連続だから、加算個じゃないの？

＞＞132,＞＞136　ε-δ論法と、有理数の稠密性をあわせて考えてくれ。

>>136
考えている関数をfとする。
xを[0,1]上の無理数とすると,任意のδ>0に対してあるy（有理数）が存在して|x-y|<δかつ|f(x)-f(y)| = 1
よってfはxで連続ではない。結局fは[0,1]上のすべての点で不連続

有理数で不連続、無理数で連続な函数の例と混同した・・・
わけないな。

>>139
>有理数で不連続、無理数で連続な函数の例

気になるな

そんな関数ねえよ

>>141
ﾊｧ？

あるよー

x ≠ 0 が有理数なら x = q/p(既約分数, p は正)として f(x) = 1/p
x = 0 なら f(x) = 1
x が無理数なら f(x) = 0

有理数で連続、無理数で不連続な関数はあるの？

「>>143 の函数を定義に従ってリーマン積分せよ」ってのは、
10年前の解析系の学生なら（一部を除いて）普通にできた。

今は、そういう函数の存在すら知らないのが普通になった（鬱
「学力低下は存在しない」って言う香具師、氏ねよ ｺﾞﾗｱ

>>144
有理数は完備じゃないからそんなん無理だろ。

>>143
すげー
人生で13番目ぐらいの感動

>>146
無理数は完備じゃないから>>143は無理ですか。

>>143
それ本当に連続？

＞＞149
その関数は、明らかに有理数の点においては不連続だが、
無理数の点において連続であることは、ε-δ論法によってわかる。
無理数をαとして、qを整数、pを正整数として、pを固定するとき、
αにq/pをどれだけ近づけられるかを考えてみよう。

私は問題提起をしよう。
有理数すべてにわたる列{q_n}を考える。
区間の列(q_n-1/2^n,q_n+1/2^n)のn=1,2,3,…の和集合をUとする。
果たして{q_n}をどのようにとってもU≠Rだろうか？
(もちろん、U=Rとなると、Rのルベーグ測度が1になってしまい、矛盾する。)

すまぬ、1になるとは限らない。
だがそれでもルベーグ測度は1以下になる。

>>150
あ、それ答え知りたいです！
昔自分で考えたときは、Rが局所コンパクトであることを使えばいいかな
と思ったりしましたが。

http://asamade.net/cgi-bin/pc_i_j_ez-index.cgi
　　　　　　　　　　　　↓
　　　出会えるサイトはここ出会い率ＮＯ1
　　　　　http://asamade.net/web/
　　　　　　　　　　　　↓
　　　業界初こんなシステムどこにも無い
　　　　なんたって無料で稼げるサイト
http://asamade.net/cgi-bin/pc_i_j_ez-index.cgi

あ、昔考えた問題と微妙に違うようですね。
私が考えた問題のときは1/2^nにεがかけてありました。
いずれにしても明快な解答キボンです。

もちろん、ルベーグ測度の可算加法性は証明には使用しないんですよね？

＞＞152
うーん、{q_n}を一般にとる場合は、まだ答えを見つけていないのです。
では、手始めにこんな問題からいってみよう。
(q_n-1/2^n,q_n+1/2^n)　(n=1,2,3,…)がルート2を含まないように、
{q_n}を選べ。ただし、q_nはすべての有理数をわたるようにせよ。

やっぱりどうしても、有限区間の有限直和からなる集合環(有限個の和と共通部分、
およびA-Bの演算で閉じている)上に自然に定義される”長さ”の有限加法性と
有限劣加法性は使いたくなるなあ。そうすれば、閉区間[-n,n]はコンパクトだから
有限個の開集合で覆われて、有限劣加法性から矛盾しないかなあ。

でもそうすると、有限加法的な”長さ”が定義できることを示さないといけないか。
それって簡単でしたっけ？

>>148
根拠がデタラメだった。発言撤回しまつ。

期待age

一緒に氏んでくれる？

>>159
ここはそういうスレじゃないよー

あと40
ドキドキわくわく

どきどきわくわく

200までのつなぎ。
無理数で微分可能、有理数で微分不能な連続函数って存在する？

有理数で尖ってるような鋸型の関数の無限和を取れば…。

　　　　　　　　　　　　　∩
　　　 　 　 ∧＿∧ 　　| |　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　 　 （　 ´Д｀）／/　　＜　先生！こんなのを発見シマスタ！
　　　　　 ／ 　 　 　 /　　　　｜
　　　　 / /|　　　　/　　　　　　＼ 　http://saitama.gasuki.com/kaorin/
　 ＿＿| | .|　　　　| 　　　　　　　 ＼
　 ＼　 ￣￣￣￣￣￣￣＼ 　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　||＼　　　　　　　　　　 　 ＼
　　||＼||￣￣￣￣￣￣￣||￣
　　||　 ||￣￣￣￣￣￣￣||
　　 　 .||　 　 　 　 　 　 　 ||

>>164
うまく取らないと、高木函数みたいにならない？

>>166
ってかそのうまい取り方がわからん。
誰か考えて。

稠密な点で微分不能な連続函数は存在するが、
証明がわからんなあ

age

あと30

期待あげ

Σ＿｛ａ∈Ｚ，ｂ∈Ｚ，０＜ｂ｝（｜ｘ−ａ／ｂ｜／（ａ＾２＋ｂ＾２）＾２）。

>>172
どっちの例？
いたるところ微分可能でない連続関数か
稠密な点で微分可能でない連続関数か？

全ての有理数点で微分不能な関数と見た。

高木函数
f(x)=Σ_[n:0→∞]p(2^n x)/{2^n}
ただし、p(x)=|x-[x+1/2]|

〉175

んなの知ってるよぅ。

おいおい久々に来たらこのスレ氏に書けてんじゃねーかよ、
200まで逝って早いトコ歴史に恥晒せよオイ

（＾＾）

>>176
いや、172と175とで「微分可能でない点」が変わるのかどうか
ってことが問題なのだが。

あと21

jack nicol soon

ソボレフ空間を詳しく知りたくてブレジス買ったんだけどさぁ，
この邦訳は一体なんなの？
「絶対に知っていなくてはならない積分についてのいくつかの結果」
　　　　　　　　　　　　　とか、
いつの時代の言語なのか、「〜なかんずく次が成立・・・」
この「なかんずく」は１０回くらい出てる。
この訳者は厨房に違いないよ。
藤田のおっさん、監訳なのに何してたんだよコラ！
しかも数学用語のカッコ書きが仏語で辞書的にも使いづらい。

肝心のソボレフ空間は詳しいけど、やっぱ読みづらい・・・。

＞181
ポストモダン解析学　シュプリンガー
にしる。

＞１８２

あれさあ、（女の人が訳してるけど）問題の解答ないぢゃん？
しかも前半が微妙に要らないくないスカ？
確かにわかりやすいのは認めるますよ。

ということでコーサクの『Functional Analysis』を
アマゾソに注文したのだが、１ヶ月経っても届かない・・・。
ちなみにＭ輪姦で買うのと同じ値段。
あの店みんなでなんとかしようぜ。

ねえ２００まだ？

二○○まだ？

期待

位相解析age

加藤敏夫sage

位相はクライソー

もうすぐ200だが、果たして>>100=79はまだ居るのだろうか

あと１０

>189

漏れもそれが非常に心配だ

８

7

6

5get

>>200にはやっぱ>>100=>>79とは違うバカが

200げっと〜

とか書き込むんだろうな。

3

２

>>196
で、>>100=>>79が200を取られたので、書けませんでしたと言い訳

のこり1

実は、この時期は忙しいので、
正解は、またいつか載せることにしましょう.
では、みなさんまた、いつか.

　　　　　　　　　人　　　　ｳﾝｺ ｼｭｰﾘｰｹｰﾝ 　　　　　　　　　　　　　　　 ｳｵｯ ｼﾝﾍｲｷｶｰ
　　　　　　　　（　　）∩
　　　　　　 　( ･∀･)丿 ：・’．：：● ：・’．：：● ：・’．：：● ：・’．：：●　　Λ Λ∩
　　　　　　〜（｀二⊃　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�煤iﾟДﾟ；）/
　　　　　　　（　ヽ/ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ／⊃／ ← >>79
　　　　　　　ﾉ>ノ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　（　,-○
　　　　　　　UU　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∪

てめぇ、ナニイってンだこラ

>>200
あほか
一ヶ月以上も期間があってそれか
かわすにしても気のきいたレスしろよ

２００はニセモノ臭い

がホント最悪

http://p-area.net/clone-zone/daiben/img-box/img20030228143942.jpg
これ解る人っているの？

>>205
ぐろ。

２００で正解（　簡　単　で　す　）を載せます。お楽しみ．
２００で正解（　簡　単　で　す　）を載せます。お楽しみ．
２００で正解（　簡　単　で　す　）を載せます。お楽しみ．
２００で正解（　簡　単　で　す　）を載せます。お楽しみ．
２００で正解（　簡　単　で　す　）を載せます。お楽しみ．
２００で正解（　簡　単　で　す　）を載せます。お楽しみ．
２００で正解（　簡　単　で　す　）を載せます。お楽しみ．
２００で正解（　簡　単　で　す　）を載せます。お楽しみ．
２００で正解（　簡　単　で　す　）を載せます。お楽しみ．
２００で正解（　簡　単　で　す　）を載せます。お楽しみ．
２００で正解（　簡　単　で　す　）を載せます。お楽しみ．
２００で正解（　簡　単　で　す　）を載せます。お楽しみ．

（＾＾）

　　 ∧＿∧
　　（　　＾＾ ）＜ ぬるぽ（＾＾）

(´･∀･｀)ﾍｰ

（　´∀｀）/＜ 先生！！こんなのを見つけました。
http://www.yamazaki.90.kg/hankaku/hankaku02.html
http://www.yamazaki.90.kg/zenkaku/index.html
http://www.yamazaki.90.kg/hankaku/hankaku05.html
http://yamazaki.90.kg/hankaku/hankaku10.html
http://www.yamazaki.90.kg/hankaku/hankaku08.html
http://yamazaki.90.kg/hankaku/hankaku03.html
http://www.yamazaki.90.kg/hankaku/hankaku07html
http://yamazaki.90.kg/hankaku/hankaku01.html
http://www.yamazaki.90.kg/hankaku/hankaku06.html
http://yamazaki.90.kg/hankaku/hankaku04.html
http://www.yamazaki.90.kg/hankaku/hankaku09.html

ルベーグ測度を入れれば積分を考えられる、ってのは分かる。
けど微分も考えられる、ってどういうことだ？

>>35
ルベーグ積分はリーマン積分の拡張じゃないよな。
ルベーグ積分が定義されないが、リーマン積分できる関数があったような
記憶があるが。
たしか、振動しながら、０に近づくような関数。

>>213
sin(x) / x とかだろ。

無限区間のルベーグ積分は、直接定義するため、絶対収束の場合しかカバーしない。
したがって「直接定義されたルベーグ積分」としての ∫(0〜∞) sin(x)/x dx はない。

しかし、lim[A→∞] ∫(0〜A) sin(x)/x dx は存在する。
そして、リーマン広義積分の∫(0〜∞) sin(x)/x dx と一致する。

リーマン広義積分は、最初から lim[A→∞]∫(0〜A) sin(x)/x dx と定義しただ
けのことなので、別にリーマン積分が偉いわけではない。

>>212
ひとつは、測度論のおかげで、「ほとんどいたるところ微分可能」とか、そう
いう命題が書けるようになる利点。

簡単な例をあげると、f(x)=-1 (x<0) : =1 (x≧0) は任意の区間で積分可能で、
F(x)=-x (x>0) : =x (x≧0)になる。しかしF'(x)=f(x)は、原点では成り立たない。
「そんな一点くらいのことで…」という感覚は、「測度0の集合」を無視すること
で保たれ、最終的に広い範囲の関数をカバーしたきれいな定理が書ける。

もうひとつは、微分といっても瞬間速度のようなものだけでなく、密度微分のような
ものが（初等的にも）ある。密度とは、質量や電荷を、長さ（体積）で割ったものを、
一点に極限させたもの：
∫[a〜a+h]f(x)dx / ∫[a〜a+h]dx → f(a) (h→0)
という感じ。

これを厳密につきつめていくと、ルベーグ積分論のラドン・ニコディムの定理
になる。
初等的な場合は同じ「微分」であっても、精密な数学になるといろいろ分化し
ていくという例。

フレッシェ微分って何ですか？

>>214
なるへそ。俺の理解不足か。

>>216
おおざっぱにいうと、ノルム空間（一般には関数空間などの無限次元空間）において、
ノルムの収束で定義した微分

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

　　　 　∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　(　　＾＾ ） ＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣〕
　　＝ ◎――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉

７９
リーマン積分不可、アッパーリーマンサムとローアーリーマンサムは１と０で一致しない。
有理数はメジャー０、カウンタブルなのでｅ／２＾ｎのオープン区間でかこめる。その和は＜ｅ。
だからルベーグ積分はｆ＝０で０。この問題どこに書いてあったの？

他スレで質問したのですが，1000までいってしまいました．
質問させて下さい．

(X,B,μ)を測度空間．f,f_1,f_2,…をB可測な可積分関数．
任意のA∈Bに対して，

∫_A f_n dμ → ∫_A f dμ (n→∞)

のとき，f_n → f a.e.(B,μ)


この命題は真でしょうか？
偽でしょうか？

（・3・）　エェー　質問ｓａｇｅてたらわかんないYO！

反例あるYO！
X=[0,1)で関数列がχ_[0,1/2], χ_[1/2,1), χ_[0,1/3), χ_[1/3,2/3)，χ_[2/3,1)・・・
のときは，∫_A f_n dμ → 0 (n→∞)だけど，f_nは至る所発散するNE！

（・3・）アルェー　結論を至る所収束する部分列が存在するに変えれば，真になるZO！

ぼるじょあはＮＥとかＺＯとか使わないぞ

（・3・）エェー　ぼるじょあ◆yBEncckFOUは共同体で連続体で群生体だから
　　　　　　　　突然変異もあるかもYO！
ちなみにぼるじょあの巣はhttp://pc2.2ch.net/pcqa/ だYO！

>>226
（・3・）エェー　知らなかったＹＯ！

うざいぞ！ぼるじょあ

>>228
（・3・）エェー　お前もぼるじょあじゃないかＹＯ！

こういう対応関係があると思うんだけど、

リーマン積分→広義積分
↓　 　 　 　 ↓
ルベーグ積分→？？？積分

？？？積分に相当するものはあるんでしょうか？

ファインマン積分だー

バイト見つけた。１０００円くれるってさ。
http://f15.aaacafe.ne.jp/~storm/

>>231
それは絶対にうそ（ｗ

リーマン予想とはζ(s)=0となるような点は自明な零点（ｓ＝−２，
−４，−６……）を除いて、あとはすべてｓの実数部分が１／２
であるような点であろうという予想です。

【皇室板】つくろう！【ロイヤル板】
http://academy2.2ch.net/test/read.cgi/history/1051368400/l50
色々なところなどに貼りつけて下さいませませ。
宣伝ですみませんけど、できたらいいと思いませんこと？
清らかな美智子様や麗しい雅子様について自分と重ね合せて楽しく語りましょう！ウフ

現行スレットも話題が盛タクサン！
皇室ご一行様（特にココはオススメですよ）　http://human2.2ch.net/ms/
皇室がある国はカッコイイ　http://tmp.2ch.net/asia/
皇室の女たち雅子・紀子の噂　http://human.2ch.net/test/read.cgi/uwasa/1042177332/l50

美しいシンデレラ･ストーリーをあなたと共に！！！

二代目数学学習マニュアル（大学生、院生編）
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1015741116/l50

関数解析の本の話で盛りあがってますね。

漏ﾚ､落ちこぼれちゃってﾙﾍﾞｰｸﾞの有界収束定理が理解出来ずにかなり困ってます｡
どなたか定理の内容､使用例(使用上の注意も含めて)､それと証明を講義よりも教科書よりも数倍丁寧に教えてくれないでしょｰか?

Re:>230
開区間上の非有界関数のルベーグ積分も、無限区間上の関数のルベーグ積分も
広義ルベーグ積分とは云わずに、ルベーグ積分と云っている。
ただそれだけのことだ。

>>237

どこが分からないのか聞きましょうか？

（・3・）　エェー　くれないYO！ >>237
30講をよく読めYO！
　　　　　　　　　　自分でよく考えて，その上でわからないとこをポイントしぼって質問しないと，
　　　　　　　　　　ぼるじょあでも軽く放置だYO！

>>237
数学をやめる。

>>238
おお、そうなんですか。有難う御座います。
ルベーグってぎりぎりで広げられるだけ広げたんですね。
勉強する気になってきたゾ（ｗ

>>237
定理の内容：
ルベーグ積分の有界収束定理とリーマン積分におけるアルツェラの収束定理とは対応していて、
連続函数と可測函数の違いがあるが、同じものである。
極限と積分の順序交換が可能であることを保証してくれる。

>>238
うそをつくな。
広義積分は存在するが、ルベーグ積分は存在しない例がある。
例えば(sin x)/xなど。
つまり、一般にはそういうものはないということ。

Lebesgue 積分の拡張にもなっているとかいう
Henstock-Kurzweil 積分について教えてください

このスレをざっと見る限り、ルベーグ積分を勉強したい人はまずは志賀浩二さんの本を
嫁ということですか?

石村園子「すぐわかるルベーグ積分」東京図書

そのうち出そうだな。妙に売れるようなら鬱だ。


すでに出ている、超DQN向き本

松浦 武信, 高橋 宣明, 吉田 正広
物理・工学のためのルベーグ積分入門
東海大学出版会

って、どうよ。先生と生徒の会話形式（ｗ で、
「ほとんどいたるところ」証明は省略されている。

>>246
×志賀浩二さんの本を
○伊藤清三さんの本を

志賀浩ニさんの本って位相関係しか見た事ない

>>243
Lebesgueの項別積分定理が分からないというのは、
Arzelaの項別積分定理とか積分記号下での微積分に関する定理とか
解析学の部分の勉強が十分ではないということだね。
こういう部分が十分に分かっていないからLebesgue積分を考える動機とかも
理解できない。
まず解析入門とかを読むべきでしょう。

Lebesgue積分を考える動機というのはやっぱり
連続函数から可測函数にまで扱う函数の範囲を広げると
連続函数と可測函数の違いがどう理論に影響を与えるかということですよね。

函数列の極限が超函数（distribution）となる場合には
函数解析とかも考える動機となるという意味でも
Arzelaの定理は押さえておくべきですよね。

Arzelaの定理は知らないﾔｼの方が多いだろう。

高木の解析概論では出てこない。証明が面倒だからかな？
小平の解析入門では定理5.10に出ている。

高木の解析概論ではLebesgueの項別積分の定理を項別積分の定理と呼んでいる。（定理90）

>>252
解析概論のP.159に「その証明はむずかしいから、ここでは述べない」
と書いてあるね。

>>251
結局、その辺りの定理は一様収束とか有界収束とかいった関数列の収束と関係していて
ある種類の「扱う函数」に対して「どんな収束」を使うと「どういった微分積分」が成り立つか
という視点が重要。
その微積分を使えば関数列の収束で近似して値を求めることができるというのが外測度の考えにも繋がっていく。

http://www.bd.wakwak.com/~infomation/asnet/img/bar-1.gif

http://www.adultshoping.com/addclickport.cgi?pid=1055460684

一円も払わずに大もうけ早い者勝ち

>>252

Arzelaの定理はLebesgueの項別積分定理の特別の場合でしょう。
無理してリーマン積分の範囲で証明することもないといえる。

>>256
定理の内容や証明について聞かれたから答えただけ。
そういう主義ならいうことはなにもない。
自分の好きなようにやればいい。

Arzelaの定理の応用例ってどんなものがありますか？
ただし、Arzelaの定理を使うまでもないというもの（たとえば一様収束する場合）は別ですが。

>>247
ﾜﾗﾀ

Ascoli-Arzelaの定理の応用例についてはこの本に詳しい。

俣野博「微分と積分３」岩波講座　現代数学への入門

特に「§3.6変分問題への応用」に詳しい解説がある。


曲線に関する古典的変分問題というのがあるのだけれど、
その中でも
[1]測地線
[2]光の経路
[3]等周問題
が特に知られている。
重要なのはこれらが解を持つということで、そこにAscoli-Arzelaの定理が使われる。

こういう問題意識はワイエルシュトラスが持ち込んだ。
ディリクレやガウスなどの変分法を用いた調和関数の構成法をディリクレ原理と呼び、
偏微分方程式論では重要ですが、これに欠陥がある事がワイエルシュトラスによって指摘され、
ここから近代解析学が発展してきたのです。

そういう歴史的にも重要なマイルストーンと思えば良いでしょう。
Ascoli-Arzelaの定理の周辺を押さえておかないと
その後の学習に支障をきたします。

解析学の入門時に、実数を勉強するけれども、そのときに「ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理」というのが出てくる。
ε-δ論法、デデキント切断、カントールの区間縮小法などに比べて、あまり印象に残っていないかもしれない。

この「ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理」の無限次元版として「アスコリ-アルツェラの定理」は位置付けられる。

「ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理」では、与えられた「数列や点列」の中から収束部分列が取り出せるための条件を述べている。
これに対して、「アスコリ-アルツェラの定理」では、与えられた「関数列あるいは関数族」の中から収束部分列が取り出せるための条件を述べている。

「アスコリ-アルツェラの定理」では、「関数列あるいは関数族」が連続関数である。
「ルベーグの有界収束定理」では、「関数列あるいは関数族」が可測関数である。

「ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理」
　↓
「アスコリ-アルツェラの定理」
　↓
「ルベーグの有界収束定理」

この流れがあるので「ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理」が理解できているかが最初のポイント、
「アスコリ-アルツェラの定理」では一様収束でなく有界収束も成り立つ部分が２番目のポイント、
「ルベーグの有界収束定理」では連続関数でなく可測関数になっているのが３番目のポイント。

>>237は無反応だけど、ここまでの話について来れなかったのでは（ｗ

>>256
それは広義積分も含んでいるのかな？

「ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理」＝（BW）
「アスコリ-アルツェラの定理」＝（AA）
「ルベーグの有界収束定理」＝（LC）

（BW）与えられた　 　「数列あるいは点列」　の中から収束部分列が取り出せるための条件を述べている。
（AA）与えられた連続「関数列あるいは関数族」の中から収束部分列が取り出せるための条件を述べている。
（LC）与えられた可測「関数列あるいは関数族」の中から収束部分列が取り出せるための条件を述べている。

それぞれの極限がどういうことを言っているかという例を挙げる。

（BW）有理数の列→無理数
（AA）連続関数列→不連続関数
（LC）可測関数列→可測でない関数

つまり「可測でない関数」についても可測関数列の極限として近似して計算できるというのが
ルベーグ積分の理論です。

>>260
>Ascoli-Arzelaの定理の周辺を押さえておかないと
その後の学習に支障をきたします。

それはそうですが、項別積分に関するArzelaの定理とはちょっと違うような気がするんですが。
関係はあるでしょうが。

Ascoli-Arzelaの定理
Arzelaの定理

とりあえず、二つの定理の概要きぼんぬ。
前者は解析学んだ人なら、一度は聞いたことのある基本的な定理ですが、
後者は「漏れは」聞いたことがないっす。
それとも同一のものでしょうか？

>>268
漏れも聞いたことがないです。
検索してもよく分からなかった。

項別積分に関するArzelaの定理

実数値函数列 f_n(x), n = 1, 2, ... が区間[a, b]で連続で、一様に有界、
つまり、nに無関係な定数Mが存在して[a, b]でつねに、|f_n(x)| ≦ M
とする。さらにf_n(x)は、[a, b]で連続函数f(x)に点別収束するとする。
このときf_n(x)の[a, b]における積分は、f(x)の[a, b]における積分に収束する。

>>270
言われてみればそんな定理を聞いたことがあるような。
確かに有界収束定理に含まれてますね。

>>265

>(AA）連続関数列→不連続関数

一様収束する連続函数列の極限も連続ですが。

>(LC）可測関数列→可測でない関数

収束する可測関数列の極限も可測関数だが。

>>272
そういう揚げ足取りやめれば？
それとも、わざわざそういう特殊な例も考えられるようになるという意味で書いてあるのが
読み取れないほどのまぬけなのか？（藁

>>267-271
Ascoli-Arzelaの定理⊃Arzelaの定理
という関係です。
Ascoliがノルム空間での形にArzelaの定理を変形して関数解析で使いやすくした。
基本的にはArzelaの定理と同じと思っていい。

>>273

すると、Ascoli-Arzelaの定理からArzelaの定理が出てくると？
面白い。（あなたでも、どなたでも）説明してくれませんか？

>>273

>そういう揚げ足取りやめれば？

揚げ足とりのつもりなんてこれぽっちもないです。
本心からあなたの言ってる意味が分からないのです。
Ascoli-Arzelaの定理から、どうやったら不連続関数が出てくるのでしょうか？

Ascoli-Arzelaの定理の応用例を挙げておく。
２階楕円型方程式の理論におけるRellichのコンパクト性定理の証明で使用する。

変分問題におけるディリクレ原理は、ソボレフ空間を土台とした楕円型方程式の
L^2理論として完成された。
それはスペクトル理論と楕円型境界値問題の可解性との関係を示した。
その出発点となるのがRellichのコンパクト性定理である。

また、ヒルベルト-シュミットの対称核積分方程式論における固有値問題でも、
その固有値の存在定理の証明でAscoli-Arzelaの定理を使用する。

>>274-275
やだね。

>>277

出来ないからじゃない？　藁

（・3・）　エェー　AAの極限は連続関数だC，
　　　　　　　　　　LCの極限は可測関数だYO！

>>276

参考書希望。

私は、>>258ですが。

>Arzelaの定理の応用例ってどんなものがありますか？

と書いたのは、Ascoli-Arzelaの定理の応用例を聞いたわけではないです。
Arzelaの定理の応用を聞いたのです。Arzelaの定理とAscoli-Arzelaの定理は違います。

BWもAAも、近似定理の類ではないと思いますが。
極限の存在を保証する定理では？

可測関数の極限が（存在すれば）可測なのは、有界収束定理以前の話だと思いますが。
測度の単調収束定理から来ているのでは？

>>283

だれも可測関数の極限が可測なのは、有界収束定理から来るとは言ってないですが。

Ascoli-Arzelaの定理

点集合Ｄ上の連続関数の族Ｆが以下の条件を満たすとする。
[1](同等連続性)ＦはＤの各点で同等連続。
[2](各点有界性)任意のｘ∈Ｄに対しsup(f∈Ｆ)｜f(ｘ)｜＜∞。
このとき、Ｆの元からなる任意の関数列f_1,f_2,f_3,…は、
Ｄ上でコンパクト一様収束する部分列をもつ。

Arzelaの定理

或る区域Ｄの連続関数f_n(ｘ)が以下の条件を満たすとする。
[1](同等連続性)各f_n(ｘ)がＤの各点で同等連続。
[2](各点有界性)任意のｘ∈Ｄに対しsup(f∈Ｆ)｜f(ｘ)｜＜∞。（f(ｘ)＝lim（n→∞）f_n(ｘ)）
このとき、f(ｘ)がＤで連続ならばΣf_n(ｘ)を項別に積分可能である。

Ascoli-Arzelaの定理の証明はよく見かけるが、
Arzelaの定理の証明は小平「解析入門」でしか見たことが無い。

>>278-280
＞参考書希望。

やだね。

>>286

前に書いたようにArzelaの定理はLebesgueの有界収束定理からすぐ出る。

>>287

なにむくれてんだ？　間違いを指摘されたからか？

>>288
歴史的に、Arzelaの定理とLebesgueの有界収束定理とどちらが先に証明されたか知ってるか？
そう言う意味で書いてみた。Arzelaの定理はハウスドルフによる初等的証明がなされたのは
1927年だが、ArzelaはLebesgueの有界収束定理から導いたのか？

Ascoli-Arzelaの定理の証明は対角線論法で証明する。
Arzelaの定理はハウスドルフの初等的証明による以外は分からない。

そもそもArzelaの定理とAscoli-Arzelaの定理はどちらが先に発見されたんだ？

Arzelaの定理って聞いたこと無いなと思ったら、有界収束ではない一様収束バージョン
の定理が書いてあった。しかもこのバージョンの定理には名前がついてない。
リーマン積分の範囲ではArzelaの定理のように有界収束まで条件を緩める必要が無いのと、
有界収束の説明をするのが大変だから、それとArzelaの定理の証明が難しいという理由なんだろうな。
でもせめて名前ぐらいあっても良いのに。例えば、Arzelaの項別積分の一様収束定理とかさ。
長いけど。

こういう２つの流れがあるのは分かった。

Borzano-Weierstrassの定理
　↓
Ascoli-Arzelaの定理

Arzelaの項別積分定理
　↓
Lebesgueの有界収束定理(Lebesgueの項別積分定理)

でもAscoli-Arzelaの定理とArzelaの項別積分定理とをうまくつなげる事はできるのかな？
条件部分は同じだからうまく出来そうな気がするんだけど。

>>293
志賀30講のP.159-162より

（ ★ ）f(x)が連続　⇒　G(x)＝∫(a〜x)f(x)dxは微分可能

（★★）f(x)が有界で積分可能　⇒　G(x)＝∫(a〜x)f(x)dxは連続

といえるけど、これからAscoli-Arzelaの定理とArzelaの項別積分定理とをうまくつなげる事ができないかな？

>>270と>>285のArzelaの定理が
同じものに見えないのですが・・・

>>290

もちろんLebesgueの有界収束定理が先だろ。
だがどちらが先とかいう数学史的事実は、有る定理の証明を我々が学ぶ場合に関係ない。
簡単なほうがいいだろ、普通？
初等的証明というのは一般的にいって難しく、透明でないのだよ。
だからこそ初等的証明がされるのは時代が後になるのだ。

Arzelaの定理が発表されたのは1885年だっけ
Osgoodが1897年に再発見するわけだ

Lebesgue積分の理論が世に出たのは1902年

>>297

当然、Arzelaの定理のHausdorfによる初等的証明の時期(1927)と較べたのだよ。
議論の流れからいって、言わずもがなと思っていたが。

ていうかむしろArzelaの定理の初等的でない証明を知りたいが。
一体何を使って証明してるんだ？

300ゲッツ&リターン>>299

アンドリバース>>300

●●●マスコミの 「盗聴／盗撮」 は許されるの？その７Ａ●●●
http://natto.2ch.net/mass/kako/1004/10049/1004950940.html

38 名前： 文責：名無しさん 投稿日： 01/11/09 19:17 ID:/Jozo2co
フジのスーパーニュースを見ていたら、盗聴、盗撮をしていた。
とにかくレポーターとか、テレビ局の人間と話しをする時は、
カメラやマイクで隠し撮りをしていることを、常に念頭に置くべし。
マスコミをとにかく用心するに超したことはない。
取材を受けて、物がなくなったというのもよく聞く。

39 名前： >38 投稿日： 01/11/09 21:33 ID:qM1FVdrM
蛆は自爆か（Ｗ
カミングアウトをするより、盗聴を止めろ
置かれた盗聴機はいつ撤去するんだよ？
そんなことを電波に流されたからって、不安で寝れやしない。

40 名前： 文責：名無しさん 投稿日： 01/11/09 22:32 ID:GPVrbaOJ
マスコミ相手にしても仕方ないぜ。まじで自分らの生活を死守する方が大事。
テレビ・ラジオは出来る限り無視しよう。ついつい見聞きするから調子に乗らせる。
今後世の中どうなっていくかわからんのだから、必要な情報のみ入手して身の保全を
図れ。いい加減な娯楽メディアは放っておくべし。

アーンドスキップスキップ>>301

折れは「Arzelaの定理」を、有界収束定理のリーマン積分版（収束先も積分可能と
いう条件を付け加えただけ）と理解していて、ここまでの議論でも何人かはそう理
解しているように見える（たしか小平に載ってるのとかハウスドルフの証明うんぬ
んってやつもそれだったはず）。
しかし、>>285の「Arzelaの定理」は違う主張のようだ。関数項級数の項別積分とい
う形になっているための違い（余分な条件もそのせいか）とも思ったが、>>285に書
いてある主張って、なんだか変じゃない？
S_n(x) = Σ[k=1〜n]f_k(ｘ) の有界性やS(x)=lim[n→∞]S_n(x)の存在やその積
分可能性のことと、{f_n(x)}の一様有界性やf(x)=lim[n→∞]f_n(x)のことはとり
あえず別でしょ？
（だいたい、lim[n→∞]S_n(x) が存在するためには f_n(x)→0 が必要じゃ？）

>>285の「Arzelaの定理」のソースきぼん。

杉浦光夫の解析入門�TのP.310によれば
一様収束のバージョンを「項別積分の定理」、
有界収束のバージョンを「Arzelaの定理」と呼ぶらしい。
杉浦の本の索引にも「Arzelaの定理」の項目は無かったので探し難かった。

項別積分とArzelaの定理はこうだと思うんだけど。

項別積分定理

連続関数を項にもつ級数Σ（n=1〜∞）f_n(ｘ)が有界領域Ｄ上で一様収束すれば、
Σf_n(ｘ)を項別に積分可能である。

Arzelaの定理

連続関数を項にもつ級数Σ（n=1〜∞）f_n(ｘ)が有界領域Ｄ上で有界収束すれば、
Σf_n(ｘ)を項別に積分可能である。

これを>>285風に書きかえると

Arzelaの定理

或る区域Ｄの連続関数f_n(ｘ)が以下の条件を満たすとする。
[1](同等連続性)各f_n(ｘ)がＤの各点で同等連続。
[2](各点有界性)任意のｘ∈Ｄに対しsup(f∈Ｆ)｜f(ｘ)｜＜∞。
このとき、Σf_n(ｘ)を項別に積分可能である。

どこかおかしいかな？

>>306の最後は間違えた。こうなるんじゃないの？

Arzelaの定理

或る区域Ｄの連続関数f_n(ｘ)が以下の条件を満たすとする。
[1](同等連続性)各級数Σ（n=1〜∞）f_n(ｘ)がＤの各点で同等連続。
[2](各点有界性)任意のｘ∈Ｄに対しsup(f∈Ｆ)｜Σ（n=1〜∞）f_n(ｘ)｜＜∞。
このとき、Σf_n(ｘ)を項別に積分可能である。

>>307もおかしいな。こうかな？

Arzelaの定理

或る区域Ｄの連続関数f_n(ｘ)が以下の条件を満たすとする。
[1](同等連続性)各f_n(ｘ)がＤの各点で同等連続。
[2](各点有界性)任意のｘ∈Ｄに対しsup｜S(ｘ)｜＜∞。（S(ｘ)＝Σf_n(ｘ)）
このとき、Σf_n(ｘ)を項別に積分可能である。

>>290,>>296-298の話って笑うよな。しかも>>304でやり返してるよ（ｗ

＞当然、Arzelaの定理のHausdorfによる初等的証明の時期(1927)と較べたのだよ。
＞議論の流れからいって、言わずもがなと思っていたが。

明らかにテキトーなことを言っただろうに

といってみるテスト

変化速度についていけないので、よく分かりませんが、（>>304の指摘
にもあったように）f_n(x)の一様連続性ってのは、やっぱり関係して
くるんでしょうか？

仮に関係してくるんだとして、「各f_n(ｘ)がＤの各点で同等連続」って
いう書き方だと、各f_n(ｘ)がそれぞれ（独立に）一様連続であるように
見えませんか。これって確か、「全部のf_nが同条件で」一様連続でした
よね？　それとも、>>308の場合は違うのかしらん。

>>310
「一様連続」と「同等連続」は異なる概念。

あ、そうなん？

ええと、確かこうだったよな：

f(x)が一様連続とは、∀ε>0, ∃δ>0, ∀x,y s.t. |x-y|<δ ⇒ |f(x)-f(y)|<ε

{f_n(x)}がaで同等連続とは、∀ε>0, ∃δ>0, ∀n, |x-a|<δ ⇒ |f_n(x)-f_n(a)|<ε

要するに、|x-a|<δ ⇒ |f(x)-f(a)|<ε というεとδの関係が、区間の中の
点x,aに対して一様というのが「一様連続」で、{f_n(x)}の関数族に対して
一様というのが同等連続（等連続、同程度連続）。

だから、「各f_n(ｘ)がＤの各点で同等連続」は（「各」の使い方がわかり
にくいが）、「点を固定するごとにｎを動かした全体について」という意味
にとらなければならない。
（「Arzelaの定理」にそれが必要かどうかは知らんが）

>>281
Arzelaの定理の応用例

小平邦彦「解析入門」でArzelaの定理（定理5.10と定理8.10）が出てくるのは、
定理5.10→補題6.1と定理6.19→累次積分（P.317）→定理8.10と定理8.11
という各定理です。
特に多変数関数に関してその威力を発揮します。これについてはP.298に制限無しの効用が
解説されています。

>>313
おお、解説thanks！
>（「Arzelaの定理」にそれが必要かどうかは知らんが）
うん、私もそれが、分からなくてね（Arzela-Ascoliには必要だが）。

で、>>304的視点からの、再々確認なんだけど。
{f_n(x)}が同等連続だからと言って、{S_n(x)}が同等連続とは限らない、
ってのは、合ってますかね？

Walter Rudin "Real and Complex Analysis"に書いてあるAscoli-Arzelaの定理も紹介しておこう。

11.28 Theorem (Arzela-Ascoli)

Suppose that F is a pointwise bounded equi-continuous collection of complex
functions on a metric apace X, and that X contains a countable dense subset E.
Every sequence {f_n} in F has then a subsequence that converges uniformly on
every compact subset of X.

Walter Rudin "Principles of Mathematical Analysis"
ttp://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/007054235X/ref=lm_lb_8/249-3201986-7805966

この本にはArzelaの定理って載ってるのかな？

Arzelaの定理って載ってる本少ねえんだな。
Arzelaの定理は知らないまま解析入門をやって、
Lebesgueの項別積分定理に出会っている香具師の方が多いだろう。

Lebesgueの項別積分定理(Lebesgue's Dominated Convergence Theorem)ってさあ、
Fatou's lemmaを使うけど、Arzelaの定理もそうなん？
小平の本ではHausdorfによる初等的証明が載ってるけど、方針が全然違うよね。

>>308
区域っていう用語は聞いたことがないんですが、
Euclid空間の有界領域のこと？

初等的証明＝Lebesgue積分を使わない
という意味なら、Arzelaの最初の証明もおそらく初等的だっただろう。
別にHausdorffが最初に初等的証明をしたわけではあるまい。
ていうかLebesgue積分論を前提とすればArzelaの定理は有界収束定理の系に過ぎない。

>ていうかLebesgue積分論を前提とすればArzelaの定理は有界収束定理の系に過ぎない。

そのとうり。小平の本は、初等解析学の本だからLebesgue積分の結果を使うことが出来なかったので、
あえてHausdorffの初等的証明を載せたのだと思う。ただし、Arzelaの定理の重要性を知らしめたのは、
さすがですね。このところは、小平の本の目玉の一つかな？

>>321
わからんなら書くな。恥の上塗り。

>>321-322
ｼﾞｻｸｼﾞｴﾝﾃﾞｼﾀ

ごめんなさい。321,322さん（もちろん別人なのは知ってました）、つい悔しまぎれで書いてしまいました。

>>325

分かればいい。二度とするな。

>>325-326
ｼﾞｻｸｼﾞｴﾝﾃﾞｼﾀ

>>321-322
そんなことは>>243が既に書いている。
Arzelaの最初の証明について、想像ではないことを書け。

あ、また悔しまぎれ。俺もしつこいね。お母ちゃん、なんで俺を生んだの？

http://yahooo.s2.x-beat.com/linkvp/linkvp.html

>>329
誰と勘違いしてるのか知らないが、お前等のせいで「Arzelaの定理は有界収束定理の系に過ぎない」という話から前に進まない。
自重してくれないかな。迷惑なんだよ。

自分で進めりゃいいのに

>>328
Arzelaの時代にはLebesgue積分という概念がなかったのだから
Arzelaの最初の証明は上の意味で初等的だったに決まってるダロ？
なんか文句有るのか？

えらく吠えている香具師がいるが、どうして Arzelaの最初の証明を
自分で調べてから言わないのだろう・・・

俺の大学には、Arzelaの論文はない。
夏休みにでも、取ってくるか。

ここまで祭りになったんだし、Arzelaの論文くらい自分で調べようね。

>>335

Arzelaってイタリア人ぽい名前だから、ひょっとしてイタリア語かも。

>>317
一様収束のときの定理は載ってる。
Arzelaの定理そのものは載ってないけど、関連のある記述のあたりでは
Lebesgueの有界収束定理が載ってる11章を参照しろって書いてある。

>>336
Arzelaはイタリア人だけど，論文ならイタリア語は使ってないんじゃないかな？

>>336,338
古い論文だから、直接見るのは難しいけど
論文のタイトル見れば、何語かはわかるよ。

>>338

甘い。代数幾何学で有名なEnriques, Castelnuovo, Severiなどは、イタリア語で書いている。

>>340
ザリスキーもかなりの数の論文はイタリア語でしたね。

イタリア人ってのは一種、独特の天才的なところがあるな。芸術家だってレオナルドや
ミケランジェロのような超天才がいるし、スポーツカーのフェラーリやランボルギーニだって
ポルシェより美しい。女性も綺麗だ。ジーナ・ロロブリジーダ、シルバ・コシナ、
クラウディア・カルディナーレ、オルネラ・ムーティとか。

Arzelaの定理はこの本のp.228にも載ってるよ

と言ってみるテスト。

T.M.Apostol "Mathematical analysis"(1974: Addison-Wesley)
ttp://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0201002884/qid=1055942989/br=3-6/br_lfncs_fb_6/249-3201986-7805966

>>331だけど、Arzelaの定理ってヒルベルトがディリクレ問題の論文を書くよりも
前に発見されてたんだね。論文を見つけたよ。でも>>333は知ってるだろうから
ここに書くまでも無いな（ｗ

>>344
論文を手に入れてない（うちの大学にない）から、確認したいんです。
637 ページから始まる論文であってますか？

自分で論文を調べられないようなDQNを排除したいので、
タイトルや雑誌名はあえて伏せます。

>>345

調べられないDQNは、お前だろう。

F.Hausdorff "Beweis eines Satzes von Arzela", ####.####. ##(####), pp.135-137
からも辿れるとだけ言っておく。これでいいかな？>>345

>>346
排除されて悔しがってるよ（ｗ

>>347
その論文でしたら、あります。
ありがとうございました。

>>347-348
F.Hausdorff "Beweis eines Satzes von Arzela", Math.Zeit.26(1927),pp.135-137
何も勿体ぶるこたあないだろ。小平の本に書いてある。

>>305

「項別積分の定理」→「拡張された項別積分の定理」

「Arzelaの定理」→「Lebesgueの項別積分定理」

「拡張された項別積分の定理」は広義積分での条件。
「Lebesgueの項別積分定理」はLebesgue積分での条件。
「項別積分の定理」と「Arzelaの定理」は共にリーマン積分での条件。
なぜリーマン積分には２つの条件があるのか？
それは「項別積分の定理」が十分条件で、「Arzelaの定理」が必要条件だから。
その違いは一様収束と有界収束というもの。
そしてこの条件の違いが広義積分可能だがLebesgue積分が出来ないという場合が存在する
ことに深く関係している。
広義積分とLebesgue積分の違いを良く理解する為にも「Arzelaの定理」の証明の複雑さは
良く考える価値のあるものだ。
「項別積分の定理」と「Arzelaの定理」の比較は面白い。

しかし、あれだな。
古い論文を読むようになると独語、仏語、伊語、露語などを読む羽目になって
かなり語学の部分で苦労しますね。
若いうちに語学力をつけておくと文献を読めるし、交流範囲も広がるしお勧め。

英語、独語、仏語の論文は読めるのが最低条件。
ガロアやラマヌジャンのような天才は別だが。

>>351
すみません。
＞それは「項別積分の定理」が十分条件で、「Arzelaの定理」が必要条件だから。
の意味がよくわからないです。両方の定理とも項別積分ができるための十分条件
ではないのでしょうか。

>>354
すみません。変な書きかたしてしまって。
もちろん両方の定理とも項別積分ができます。
「項別積分の定理」で使う、
『一様収束』は項別積分が出来るための十分条件であるが必要条件ではない。
一方、「Arzelaの定理」で使う、
『有界収束』は項別積分が出来るための必要条件である。

その違いは一様収束と有界収束というもので、
広義積分とLebesgue積分の違いに繋がっているという意味です。
「Lebesgueの項別積分定理」を広義積分にも対応する様に拡張できない理由が
そこにあります。

Arzelaの定理(1885年)
Osgoodの再発見(1897年)
Lebesgue積分(1902年)
Arzelaの定理のハウスドルフによる初等的証明(1927年)

この年代を考えてもArzelaやOsgoodが項別積分の必要条件を考察した動機が気になるな。
ディリクレ問題なのかな？

独語はわりとすんなり読めるけど
仏語はどうも苦手だ
英訳が無いか必ず探してしまふ

>>355
＞もちろん両方の定理とも項別積分ができます。
＞『有界収束』は項別積分が出来るための必要条件である。

ということは、『有界収束』は項別積分ができるための必要十分条件ということですか？

「数学セミナー」2002年1月号の「徹底入門 測度と積分」（梅田亨）には、Arzela
の定理に関してこう記述しています：
（p.71)
…この定理に言及した日本語の本も幾つかあるが, 証明まで含んでいるのは, 古いほうから,
藤原松三郎『微分積分学』（内田老鶴圃）, 小松勇作『解析概論』（廣川書店）, 小平邦彦
『解析入門』（岩波書店）, などに限られる. しかもどれもArzela自身の証明ではなく,
Hausdorff(1927)のものを紹介している.（中略）ようやく藤原の本だけがArzela自身の証
明と文献にごく僅かながら触れている.（中略）文献自体は『ブルバキ数学史』（東京図書）
などで正確に知ることはできる（藤原ではページまで判らない）. しかし, 古いイタリアの
文献を探し出すのは意外と難しい. 私は学生時代から興味があり, 京大の書庫で探索は試み
ていたが, 正しく文献に到達したのは数年前で, イタリア語に少し慣れたお陰である.

すみません 「数学セミナー」2003年1月号でした

連続性や微分可能性や積分可能性などの
注目している解析的性質は、
適当な収束条件を満たす場合に限り極限の函数に遺伝する。

>>342
イタリア女優ってきりっとした顔だね。
写真のあるページを集めてみた。
オルネラ・ムーティが一番綺麗かな？

ジーナ・ロロブリジーダ
ttp://www.asahi-net.or.jp/~hj7h-tkhs/jap_actress_html/jap_actress_lollobrigida.htm

シルバ・コシナ
ttp://koscina.hp.infoseek.co.jp/

クラウディア・カルディナーレ
ttp://www.asahi-net.or.jp/~hj7h-tkhs/jap_actress_html/jap_actress_cardinale.htm

オルネラ・ムーティ
ttp://www.fmstar.com/movie/o/o0015.html

>>355
＞『有界収束』は項別積分が出来るための必要条件である。
というのは、やはりおかしくないでしょうか？
例えば、いま定義域を（0，1）として、f_n＝n*χ_[0，1/n^2]、f＝0とします。
すると、f_nはfに各点収束しますが、一様有界ではないです。でも、
∫_[0，1]　f_n＝1/n→0（n→∞）で、∫_[0，1] f＝0なので項別積分が可能です。


>>355とは関係ないですが、上のほうで
Ascoli-Arzelaの定理⊃Arzelaの定理
という話がありましたが、普通、教科書に書いてあるAscoli-Arzelaの定理は
「有界閉集合上の連続関数のつくる関数列」が点列コンパクトであるための
必要十分条件を述べたものですよね？一方、Arzelaの定理は解析入門�Tによると
「有限体積確定集合上の可積分関数列が有界収束⇒項別積分可能」
となっています。
有界閉集合上の連続関数のつくる関数列⊂有限体積確定集合上の可積分関数列
ということを考えても上の包含関係はおかしいように思うのですが？

下がってるなageよう

あがってないしね

>>362

俺は>>342だが、俺もオルネラ・ムーティが一番好き。アメリカ映画フラッシュ・ゴードン
に出てる。クラウディアもいいぞ。あとロッサナ・ポデスタという女優もいい。
スレ違いなので、このへんで。

み、みんな！
　お、落ち着けYO！

　　　 　/∧＿/∧ 　　　　 /∧＿/∧ 　　　ｵﾛｵﾛ
　　　（(・・εε・・;;)） 　　　((;;・・３３・・)）　　　　ｵﾛｵﾛ
　　　//　　　 ＼＼　　　　 //　　　＼＼　ｵﾛｵﾛ
　 ⊂⊂((　　ヽﾉヽﾉつつ ⊂⊂ヽ//　)) つつ　　ｵﾛｵﾛ
　　　しし(（＿）)　　　　　　 (（＿）)ＪＪ

>>363
このスレに居着いてる勘違い野郎を相手にするなよ

そういう口出しは余計なお世話ですぞ。

いや、でも同感だね。

有界収束しなくったって、項別積分可能な関数列なんていくらでもある。
釣りならうっとうしいし、真性ならちょっと寒すぎるよー。

無線機設計を携わっている技術者ですが
関数についておたずねします。

グラフの形状から関数を求めるときに
ぱっと見た目が反比例関数の場合の時。

反比例関数にｘ軸を対数にして、
傾きが直線になった時は
マイナスの傾きの対数関数となるのでしょうか？
Aは任意の値で

Y=10−AX　（−AＸは上付きと考えて下さい）

逆に対数にしても傾きが直線にならない形状の時
Y=Ａ/X
として考えればいいのでしょうか？

http://diary4.cgiboy.com/0/izuminoa/

>>371

意味不明だし、スレ違いですよ。数学用語が不正確なのは別として、日本語として
意味が分からないのだよ。

ﾃﾞﾑﾊﾟｷﾀｰｰｰｰ(ﾟ３ﾟ)ノwwﾍ√ﾚvv~(ﾟ３ﾟ)─wwﾍ√ﾚvv~─!!!!!ヽ(ﾟ３ﾟ)

K.Yosida "Functional Analysis"

この本の特徴は関数解析という分野だけに限定したその網羅性にある。
他の本はルベーグ積分なり偏微分方程式なりとの関係を記述している。
この分野の本では、これほど目的がはっきりしている本は他に無いため、
各国語に翻訳されている様だ。

そもそも数学科の人は片対数グラフとか使うの？

>>363
結局、Ascoli-Arzelaの定理とArzelaの定理を混同して書き込んでいたヤシがいて
混乱に拍車をかけてたってだけのことだろう。

>>261,>>264-266も、知ったかぶりのDQNだし。

＞（LC）可測関数列→可測でない関数
＞つまり「可測でない関数」についても可測関数列の極限として近似して計算できるというのが
＞ルベーグ積分の理論です。

など、本気で書いてるとしたら、「リーマン可積分でない」と「可測でない」を混同
したとしか思えん。（「非可測関数」は選択公理を使ってやっと作れるようなシロモノ）

＞（LC）与えられた可測「関数列あるいは関数族」の中から収束部分列が取り出せるための条件を述べている。

は何と混同したのかな。測度論で部分列が出てくるのは「測度的収束⇒部分列をとれば
ほとんどいたるところ収束」くらいだったと思うが。
（どのみち積分論以外では可算性を排除したほうがいいので、Ascoli-Arzelaも現代的
定式化では「部分列」も「対角線論法」も必要ない。）

もっとも、Ascoli-Arzelaと有界収束定理はまったく無関係ではないが。（森毅「位
相のこころ」第10章と、そのgay math版末尾に収録されている「積分論」に本質理解の
ヒントがあるので参照を薦める。）

>>319に関連して漏れもそのへんを少し研究してみたのだが、Arzela流の証明法（原証
明は見てないので、「数学セミナー」の梅田氏流といったほうがいいか）を改良すると、
有界収束定理の別な一般化（測度的収束版？）に到達するので、通常の証明法（森毅流
にいうとディニの定理にもとづく方法）とはかなりズレがあるようにみえる。
（ところでHausdorffの証明法は、やはりディニ系に見えたりするんだが。関数束使うしさ）

それと、L1の完備性（リース・フィッシャー）は有界収束定理と密接に関連しているが、
その本質がイマイチまだわからない（これは森氏も別の本で「よくわからない。ブルバキ
もわかってないようだ」とか書いてた）。
「L1閉球が順序閉である」こととか、「測度的収束の位相が自動的に完備でL1位相よ
り弱い」こととか、いろいろあるにはあるが。

F.Hausdorff "Beweis eines Satzes von Arzela" だけ入手しました。
別ルートで見つけた 637 ページからの論文と同じ雑誌だが、
違うページでした。Arzela の論文は、うちの大学にはないです。

ルベーグ積分つったらザックス流だろ。
ハルモス流は糞。

>>380

興味ある。詳細希望。

>377

>もっとも、Ascoli-Arzelaと有界収束定理はまったく無関係ではないが。

どのように関係しているのか、説明をしていただけると、有り難いです。

>>382
「全く無関係ではない」という程度の「関係」だから、「簡単な説明」は無理。
指定した文献を読んでくれ。

おおざっばにいうと、（完全正則）空間Ｅの全有界性（古典的にはコンパクト性）を、
Ｅの上の関数の作る双対空間の全有界性／（相対）コンパクト性でとらえるのがアス
コリの定理。
Ｅのコンパクト性をＥの上の連続関数が作る関数束の性質でとらえるのがディニの定理。

どちらも、Ｅのコンパクト性を双対空間の性質で表現するという意味で、似ている。

（そして、有界収束定理（やルベーグの収束定理）は、ディニの定理の応用。）

>>380
ザックスって誰?

>>384

ルベーグ積分論の本を書いた人。スペルはSaks.

ディニの定理にもとづく方法ってのが重要っと　　ｶｷｶｷφ（°_°）

>>380 >>385
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Saks.html
この人か。その本ってのは Theory of the integral でしょうか。
ちょっと手に入りそうにないね。東大数理の図書室にはあるみたいだけど。
http://webcat.nii.ac.jp/cgi-bin/shsproc?id=BA16605241
つか、伊藤の文献のとこに Saks も Halmos も載ってたのね。
大まかに、どのへんの本が Halmos 流で、どのへんの本が Saks 流なんですか?
Saks 流のが多いのかな?

ザックスはクラウドの親友ですよ。セフィロスに殺されました。

Arzela の定理の小平先生によるオリジナルの証明は
どこかに紹介されていないでしょうか？

「解析入門」では、ガイシュツの通り Hausdorff の証明に
変えられました。

>>389
Arzelaによる証明やHausdorffの証明の他に、小平の証明ってのがあるのか？

=========================
Remarks:
- Cesare Arzela published his theorem in 1885 (see [2]) by
considering that (f_n), is a sequence of Riemann integrable functions.
- It remained almost unnoticed until it was rediscovered independently in 1897 by W.F. Osgood [9], who stated it,
however,only for continuous functions.
In this special case it is customary to call it Osgood's Theorem.
Therefore see ...[9], for OSGOOD THEOREM.
For other questions regarding these two theorems (Arzela , Osgood),
see the works listed below.
REFERENCES :
[1] ALEXANDROV P.S., ,, On quasi-uniform convergence" (Russian),
Uspehi Mat.Nauk vol.1(23),(1948),213-215.
[2] ARZELA C., ,,Sulla integrazione per serie", Rendinconti
Accad.Lincei Roma , 1 (1885), 532-537 , 566-569
[3] ARZELA C., ,,Sulle serie di funzioni", (parte seconda), Memorie
Accad.Sci. Bologna 8(1900) 701-744. (see pp.723-724).
[4] BOREL E., ,,Lecons sur les fonctions de variables reeles",
Paris , Gauthier-Villars,11905,(see p.41).
[5] GAGAEFF B.,,, Sur les suites convergentes de fonctions mesurables
B ",
Fundamenta Mathematicae , vol. XVIII,(1932) , 182-188.
[6] HOBSON E.W., ,, The theory of functions of a real variabel and the
Theory of Fourier's series" ,
t.II, 2-end ed., 1926, 131-132.
[7] LEBESGUE H., Sur l'integration des fonctions discontinues, Annales
Ecole Norm.Sup.,(3) 1 , 1910, 361-450.(seee page 375)
[8] LEVI Beppo , ,, Sopra l'integrazione delle serie ", Rend.Instituto
Lombardo di Sci. e Lett., (2) 39 (1906), 775-780.
[9] OSGOOD W.F., ,,Non-uniform convergence and the integration of
series term by term ",
Amer.J.Math., 19 (1897) ,155-190.

http://www.k-514.com/sample/sample.html
拾ったサンプルムービー集めたよ

ここまでの情報をまとめてみよう。

Arzelaの定理はこの論文。637 ページから始まる論文ではないらしいね。
>>345,>>391
ARZELA C., ,,Sulla integrazione per serie", Rendinconti
Accad.Lincei Roma , 1 (1885), 532-537 , 566-569

Osgoodの再発見はこの論文。
>>356
OSGOOD W.F., ,,Non-uniform convergence and the integration of
series term by term ",
Amer.J.Math., 19 (1897) ,155-190

ハウスドルフの証明はこの論文。
>>347,>>350
F.Hausdorff "Beweis eines Satzes von Arzela", Math.Zeit.26(1927),pp.135-137

上の英語のコメントによるとArzelaの論文は、リ−マン積分可能な函数列を扱っている。
Osgoodは連続函数列のみを扱っている。

ルベーグが28歳の時（1902）に記した学位論文はこれ。
"Integrale, Longueur, Aire"（積分、面積、長さ）

『Cesare Arzela』って『チェザーレ・アルツェーラ』って読むらしい。

19世紀後半のアスコリ、ディニ、アルツェラの時代には、「函数列の収束」というのが大問題だったようです。そして収束の概念が一義的ではないことが明らかとなり、位相というものが意識される様になったそうです。

これを請けて1900年代のルベーグ、1910年代のウリゾーン、1920年代のハウスドルフ、1930年代のバナッハなどによってルベーグ積分論、位相空間論、函数解析などへと発展します。

そういう意味でも、19世紀後半のアスコリ、ディニ、アルツェラの時代の考察は面白いですね。

チホノフの定理についても誰かｶﾀﾚ!
こういう流れの先頭にある定理だったかな？

チホノフの定理→マッキーの定理→ヘリーの定理
↓
アスコリの定理

>>395
Grothendieckによると彼はルベーグ積分論を20歳ぐらいで再発見したらしい。

>>380
「積分論」には2^nとおりの体系があるといわれる。

たとえば、測度を先にするか積分を先にするか（「ブール束と加法的集合関数」か、「ベクトル束と連続線形汎
関数」か）。「関数と積分」でやると加法が使えるのが利点であり、「集合と測度」
でやると可測条件がわかりやすいのが利点。

次に、位相とからませるかどうか。カラテオドリの定式化によって、ひとまず測度と
位相は切り離せるようになっているが、少し込み入った話になるとどうしても位相が
必要になる。ここで完備距離空間を使うか、局所コンパクト空間を使うかでもかなり
違ってくる。前者は確率論系、後者はブルバキ系？

第３に、有界測度から非有界へ拡張するか、最初から非有界を含めて論じるか。

第４に、積分（関数空間の完備化）を具体的に構成していくか、抽象的に完備化して
おいて実質を調べるか。

積分の定義自体も（実質的に同値なルベーグ積分ですら）何種類もある。上積分・下
積分を使うとか、単関数を使うとか、階段関数を使うとか、可積分になるよう前もっ
てうまく制限しておいてinfとかで定義するとか、グラフ空間の測度で定義するとか。

　そのほかにも細かい分類がいろいろあって、そのたびに場合分けが生じるので、
2^nとおりになると。

　しかもみな一長一短で、「決定版」がない。

アルツェラの定理、ディニの定理、チホノフの定理など、
どの定理も有名ではないかも知れないけど、
続々と重要な定理が登場しますね。

まだ書かれていないけど、ルベーグのアイデアは、「ディニの定理→アルツェラの定理」というのが原型となって「ディニの定理→ルベーグの定理」とできるだろうというものだったのです。
もちろんルベーグは「ルベーグの定理⊃アルツェラの定理」という関係を意識していた。

もともとのアルツェラの定理の証明がルベーグの定理の証明に似たものに変形され、ハウスドルフの初等的証明にさらに変形されたという経緯があるそうです。

そうなると、もともとのアルツェラの定理の証明というものが益々気になってくるわけですし、ルベーグの定理の証明に似たものはルベーグの定理を勉強すれば十分とも言えるし、ハウスドルフの初等的証明はやはりディニ系と言うわけでもないらしいとも考えられます。
一度、ディニ系を経ているから尻尾が残っているという程度でしょう。

>>383によると
アスコリの定理、アスコリ‐アルツェラの定理、アルツェラの定理と３つも似たような名前の定理があるらしい。
アスコリ‐アルツェラの定理以外は聴いたこともない。

ルベーグの有界収束定理とバナッハ・スタインハウスの定理が似てると思ったことはある。
もしかしてこういうながれがあるのかなあ？

ベールのカテゴリー定理→バナッハ・スタインハウスの定理→ルベーグの有界収束定理→アスコリの定理

>>403
最後をまちがえた。アスコリじゃなくてアルツェラ。
ベールのカテゴリー定理→バナッハ・スタインハウスの定理→ルベーグの有界収束定理→アルツェラの定理

チホノフの定理ってナーヌ？

「ベールのカテゴリー定理→一様有界性の原理→バナッハ・スタインハウスの定理」
という流れがあるので、

ベールのカテゴリー定理→一様有界性の原理→バナッハ・スタインハウスの定理→
ルベーグの有界収束定理→アルツェラの定理

となるのかな？でも「バナッハ・スタインハウスの定理→ルベーグの有界収束定理」といえるのかな？

>>359
2002年1月号じゃねーだろ、ヴォケ！
2003年1月号だ！

数学セミナー　日本評論社
連載　徹底入門：測度と積分／有界収束定理をめぐって　梅田亨

2002.11 P.52 素朴な面積からの出発
2002.12 P.70 積分と一様収束
2003.01 P.68 有界収束と積分
2003.02 P.72 測度への序章
2003.03 P.76 可測集合と測度
2003.04 P.72 積分論への出発

>>407
>>359の間違いは>>360で訂正していましたね。すまん^2

age

この板の連中は頭がいいと。　ｶｷｶｷφ（°_°）

ついでに、俺にはチンプンカンプンと。　ｶｷｶｷφ（°_°）

>>410-411
このあたりの教科書でも読んで参加しろよっと。　ｶｷｶｷφ（°_°）

Kolmogorov-Fomin『関数解析の基礎』（岩波）
藤田宏他『関数解析』（岩波基礎数学選書）
K. Yosida "Functional Analysis" Splinger
H. Brezis『関数解析』(産業図書)
Frigyes Riesz, Bela Sz.-Nagy "Functional Analysis" Dover Pubns

t.A.T.U.R.U.B.e

>>>410-411
どこの板からきたんだＹＯ

>>405
チホノフの定理って、位相空間論やるとコンパクト空間のところで出てくるよ。
アルツェラの定理と一緒にやると勉強になるかもね。

>>412
ルベーグ積分の教科書も挙げておこっと。ｶｷｶｷφ（°_°）

伊藤清三「ルベーグ積分」裳華房
吉田洋一「ルベグ積分」培風館
溝畑茂「ルベーグ積分」岩波全書
藤田宏、吉田耕作「現代解析入門」岩波基礎数学選書

チホノフ=チコノフ？

今、入手が容易な関数解析の本だと何が(･∀･)ｲｲ？

谷島先生のルベーグ積分の本はどうですか？朝倉のやつ。

ｺﾙﾓｺﾞﾛﾌは？

Rieszの本とｺﾙﾓｺﾞﾛﾌの本、安い！

ｺﾙﾓｺﾞﾛﾌの「ｴﾚﾒﾝﾂｵﾌﾞﾌｧﾝｸｼｮﾝｱﾝﾄﾞﾌｧﾝｸｼｮﾅﾙｱﾅﾘｼｽ」が「函数解析の基礎」？

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/

名前：名無しさん＠お腹いっぱい。 ：03/07/02 20:59 ID:8Ds2VGGx
あ〜ん　がまん汁が・・・
★★ココをクリックで思わずニンマリの無修正画像★★
　↓　↓　↓　↓　↓　↓　↓　↓　↓　↓　↓　↓
http://upbbs.s2.x-beat.com/linkvp/linkvp.html

いえーす

Feffermanがやっているような関数解析の専門書教えてください_●_

数学科→Lebesgue積分がわかる人が半数
応用数学科→Lebesgue積分がわかんない人が大多数
であってます？

>>427
どこの大学かにもよると思う。
東大の数学科なら全員理解していると思うし、Ｆランクなら教授すら満足に理解していないだろう。
応用数学科のことは知らない。

＞東大の数学科なら全員理解していると思う

そんなことは絶対に無いから安心して！

＞そんなことは絶対に無いから安心して！

東大をなめすぎです。
漏れの知っている限り、全員が理解しています。

>>428
知った気になってる奴は多い

理解といっても程度の問題がある。
東大で知った気になっているﾔｼでも他大学の人間から見ればよく理解している。




















などと持ち上げてみるテスト（ｗ

こりゃいいことを聞いたな。

院試の口頭試問で何を聞いても
全員答えられると・・・（ぼそぼそ

> Ｆランクなら教授すら満足に理解していないだろう。
そんなに難しいことだろうか？　Lebesgue積分って。
それとも私がまだとばくちまでしか勉強してないせい？　先へ行くと難しいの？

東大生が全員理解しているとして、Ｆランクの教授が全員東大出身の場合、矛盾を生じる訳だが（ｗ

>>434
学部レベルなら、大雑把（Stielties 積分など細目は無視）に
　測度論、可測関数、収束定理、Fubiniの定理、Vitaliの定理と微分
で必要十分でしょう。以上までなら、さほど難しくありません。

ただ、積分論を集合論とどれだけ無関係にできるか、あるいは、
位相や群構造との関連とかを考察すると、わからなくなってきます。

不可測関数の構成に選択公理が必要なことからも、Lebesgue積分の
基礎の問題は、基礎論と関係してきます。

また、Lebesgue測度がR^n の位相や群構造と密接に関係しすぎている
ために、本質的なものが逆に見えにくい。

多くの人は、そういうことに立ち入る必要はないと思います。

>>436
Radon・Nikodymの定理も入れてやって下さいな。

ルベーグ分解萌え〜

ちょうかわいい、われめちゃん１本筋〜ｗ

ここの画像掲示板の管理人は神だとおもう。

http://www.hl-homes.com/

物理でルベーグ積分必要ですか？
http://science.2ch.net/test/read.cgi/sci/1038508938/

意外と良スレ。

Ascoli-Arzelaの定理について
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057584586/l50

>>437
ラドン・ニコディムの定理の証明には以下の三通りの証明が有名。

[1]測度論的証明（ニコディムによる）
[2]L^2空間におけるリースの定理を使ったもの（フォンノイマンによる）
[3]最大法を使ったもの（吉田耕作による）

三つとも載ってる本はあるのかな？
いろんな本を参照すると別な証明、つまり別な視点が得られる良い例ですね。

>>442
3の方法知らないや・・・。
調べてみよう。

>>378の有界収束定理がL1の完備性に関係しているという話とか、
＞それと、L1の完備性（リース・フィッシャー）は有界収束定理と密接に関連しているが、
＞その本質がイマイチまだわからない（これは森氏も別の本で「よくわからない。ブルバキ
＞もわかってないようだ」とか書いてた）。

>>442のラドン・ニコディムの定理がL^2空間に関係しているという話とか
＞[2]L^2空間におけるリースの定理を使ったもの（フォンノイマンによる）

この辺りのL^p空間の関係は興味深いな。調べてみるかな。

>>436が言っているのはこの辺かな？
リーマン積分を拡張するという視点ですね。

[1]ルベーグの測度論
[2]可測関数とカラテオドリの外測度
[3]ルベーグの有界収束定理と項別微分、項別積分
[4]ヴィタリの定理と微分の定義
[5]ラドン・ニコディムの定理と不定積分
[6]フビニの定理と重積分の積分の順序交換

>>444は函数解析へ繋がる道でヒルベルト空間やバナッハ空間の視点ですね。

>>445
どうでもいいけど、個人的には
有界収束定理と言うよりも優収束定理と呼んであげて（ ﾟдﾟ）ﾎｽｨ…

>>446
優収束定理って誰の本？

>>445
＞[6]フビニの定理と重積分の積分の順序交換
これは偏微分方程式を解くときにお世話になりますね。そのために出来たのかな(笑)

有界収束定理
一様有界な関数列の有限測度に関する積分と極限は交換可能

優収束定理
絶対一様に可積分関数でおさえられる関数列の積分と極限は交換可能

と習った記憶がある

>>448
ありがとうございます。優収束定理の方はまだやってませんでした。
勉強になります。

>>447
誰の本かは忘れたけど、言いたいことは448氏が書いた通りです。
σ-有限無限測度上でも成り立たせたいな、ってことで。

>>446,>>448,>>450
伊藤「ルベーグ積分」P.90-94に書いてありました。
Lebesgueの収束定理から系２として有界収束の定理が導かれていました。
優収束定理→有界収束の定理

前に話題になっていたアルツェラの定理は有界収束の定理の方に対応してるんですね。

>>405,>>415,>>417
チホノフの定理は以下の定理と同値であることが証明されています.

「チホノフの定理」＝「帰納的順序集合定理」
　　　　　　 　 　＝「整列可能定理」
　　　　　　 　 　＝「選択公理」
　　　　　　 　 　＝「（一般の無限次元ベクトル空間の）基底の存在定理」

チホノフの定理には>>398のような流れもある。

>>417
チホノフ=チコノフです。

[定理]コンパクト空間の直積空間はコンパクトである。(Tychonoff)

Fubiniの定理か・・・・・Tonelliさん可哀想だな、おい。
ちゃんとFubiniの定理とTonelliの定理を分けて呼ぶ！ヽ（｀Д´）ノ

Lebesgueの定理とFubiniの定理とFubini-Tonelliの定理を区別して記述してある本は少数派だと思われ。
伊藤のでも脚注で「Fubini-Tonelliの定理ともいう」と触れてるだけだし。
でも、応用上はFubini-Tonelliの定理が最も便利ですね。

>>451
たしか、
「σ-加法性」（＝「完全加法性」） ⇔ 「単調収束定理」（＝「ベッポ・ヘビの定理」）

／⇒「有界収束定理」 ⇔ 「優収束定理」（＝「ルベーグの収束定理」）
　　　　　　　　↓
＼⇒「ファトゥーの補題」 ⇒↑


となってるので、最後の３つは実はみな同値。ついでに「Ｌpの完備性」（＝「リース・
フィッシャーの定理」もたぶん同値。

＃ 優収束定理のほうが有界収束定理より一般的な主張にみえるが、関数を変形して
一般を特殊に帰着させられる。「ロルの定理」と「平均値の定理」の関係と同様。

（ただ、有限測度空間と無限測度空間で成り立つ事実にややズレがあるため、ちょっ
と話がややこしくなってる。）

あわわ、「ベッポ・レビの定理」が「ベッポ・ヘビの定理」になってる…。
Beppo-Leviね。（ちなみに一人の姓名。他の数学者レビたちと区別するため、
わざわざ姓だけでなく名も言うことにしたらしい。）

Fubiniの定理とFubini-Tonelliの違いとは？

非負可測関数のヤツがトネリで可積分のヤツがフビニ
だったと記憶してるが。

ベクトル空間の同型定理ってあるじゃないですか。
V,V':ベクトル空間
f:V→V':線形写像
K:fの核
とすると、V/K ∽＝ Imf (∽＝は"同型"の意です）
というやつ。

これって、V、V'をノルム空間の時に、等長になるように
とることはできるんですか？もしできるのなら、
f:V→V':線形写像が与えられたときにどのように構成
したらよいのでしょうか？？

マルチか

>>457,>>458
「ベッポ・レビの定理」を「ベッポ・ヘビの定理」って書くの新しいですね。
これは使えそうだ。ありがとう。　ｶｷｶｷφ（°_°）

>>463
「ル..レーグ積分」と書いてみる。

6

　__∧＿∧_
　|（　　＾＾ ）|　＜寝るぽ（＾＾）
　|＼⌒⌒⌒＼
　＼ |⌒⌒⌒~|　　　　　　　　　山崎渉
　　 ~￣￣￣￣

解析って

面白い

M.Reed-B.Simon : Method of Modern Mathematical Physics, Academic Press

vol.1 Functional Analysis(1972)ISBN:0125850506
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0125850506/qid=1058447856/sr=1-42/ref=sr_1_0_42/249-5276676-6957948

vol.2 Fourier Analysis, Self-Adjointness(1975)ISBN:0125850026
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0125850026/qid=1058447750/br=3-2/br_lfncs_fb_2/249-5276676-6957948

vol.3 Scattering Theory(1979)ISBN:0125850034
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0125850034/qid=1058447856/sr=1-44/ref=sr_1_0_44/249-5276676-6957948

vol.4 Analysis of Operators(1978)ISBN:0125850042
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0125850042/qid%3D1058449292/249-5276676-6957948

N.Dunford-J.T.Schwartz : Linear Operators, Interscience-John Wiley

Part�T.General Theory
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0471608483/qid=1058448592/sr=1-3/ref=sr_1_0_3/249-5276676-6957948

Part�U.Spectral Theory
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0471608475/qid=1058448592/sr=1-2/ref=sr_1_0_2/249-5276676-6957948

Part�V.Spectral Operators
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0471608467/qid=1058448481/br=3-1/br_lfncs_fb_1/249-5276676-6957948

いつの間にか良スレになってるね

そして、書き込みは途絶えた…

おまんこをルベグ積分して見て下さい

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/

>>472
ﾊﾟｲﾊﾟｿは零集合でちゅか?

>>472

どうぞ
http://www.marumise.com/3/046/017.jpg

産業図書から出てるハイムブレジスの関数解析、色々と使えそうなことが書いてあって(･∀･)ｲｲ!感じなんだけど、訳がﾀﾞﾒﾎﾟな印象。 なんか、片言の不自然な日本語になってる。 既に注文しちまったけど

↑あれは良いよ

あれはいいものだ…

俺のちんぽの被覆

>>479 閉被覆

>>479
３次元ルベーグ測度０の集合

科学者よ、恥を知れ！
ビッグバン宇宙論は完全に間違いだった！
科学の原則を無視した、デタラメのインチキ理論だったのだ。
そして、そのビッグバン宇宙論の世界的な浸透は
アメリカ、ユダヤ・キリスト教勢力による世界支配のための思想的な戦略なのだ！
また、ビッグバン宇宙論の思想によって戦争が起こり、
貧富の差がひらき、終末的な絶望感が世界に蔓延しているのだ。
ビッグバン宇宙論は世界の平和を揺るがす、悪の元凶となっているのだ。
ビッグバン宇宙論とは、
「宇宙は『無』からビッグバン（大爆発）によって誕生した」という理論である。
この理論は、ユダヤ・キリスト教の創造神話（神が天地を創造した）そのものである。
ビッグバン宇宙論の実態は、科学理論ではなく宗教思想なのである。
『無』は科学的に証明できるものではなく、
そして、『無からの誕生』も科学では証明できるものではないのだ。
ビッグバン宇宙論が科学の正統であるという思想を、世界中の人々に
浸透させる戦略が成功したことにより、ユダヤ・キリスト教勢力の
世界における優位性が確立されていったのだ。（２０世紀に）
そして、その思想的支配の最大の例が、アメリカやイギリスによる
イラク戦争なのだ。
ビッグバン宇宙論の浸透により、世界中に終末思想（世界の終わり）が蔓延してしまっている。
そのことにより、自己中心的、せつな的、短絡的な考え方が社会に広がっている。
科学的に間違っているビッグバン宇宙論から脱却しなければならない。
そして、宇宙は無限だということを理解しなければならない。
人間は本当の宇宙観、世界観を構築し、
新しい時代に進んでいかなければならないのだ。
ビッグバン宇宙論が世界を支配している限り、平和な世界にはならないのだ。
そのことを科学者は重く受けとめるべきである。
新時代へ行こう！！！！！！！！！！

解析関数を勉強する上で微分方程式の知識って必要ですか？

Re:>483 You can study analytic function without knowledge of differential equation.

僕はこんな皮肉、好きです。

>>484
×　You can study analytic function without knowledge of differential equation.
○　You can study functional analysis without knowing the theory of differential equations.
英語は正確に

analytic function はわざとかと思った

>>483
解析関数ではいらない。
関数解析でもなくてもある程度は大丈夫だが、あったほうが良い。

>>488
ある程度っていうのはどの程度？
その際どんな教科書がお薦めですか？
良かったら教えてください。

>>489
境界値問題と積分方程式。ポテンシャル論。などなど。

このへんの古典的な微分方程式を知らなくても関数解析は
勉強できるが、知らずに勉強してもしょうがない。

関数解析やるやらないに関係なく、クーラン・ヒルベルトは
解析やるものなら常識です。最近は大学の学部の講義では
省略されることも多いので、自分で補うべし。

クーラン・ヒルベルトは絶版じゃないかな。英語版も第一巻を除いて
同じみたい。

>>491
東京図書だからねえ・・・絶版だろうねえ・・・

今なら、代わりの読みやすい本が英語ならあると思うけど
（Diff eq and bdry val prob みたいな）、一冊じゃなくて
複数読まないといけないだろうな。

日本でいい本はなんだろうなあ。

>>492
石村園子著「すぐわかる数理物理学の方法」が東京図書より近刊

刊行予定
石村貞夫著「よくわかる関数解析」
石村園子著「征服 ヒルベルト空間」

ttp://www.tokyo-tosho.co.jp/kikan/02/index.html

>>490〜492
ｻﾝｸｽ!!!

結局入門用だと関数解析で一番いい本ってどれ？

>>495
吉田耕作のFunctional Analysisがお勧め。
入門から応用まで、これ一冊で重要な点は概ね網羅されている。

>>495
コルモゴロフ・フォーミンとかいいんじゃない？

>>496
あれってほんとに読んでる人いる?辞書代わりとか以外に。

>>497
コルモゴロフ・フォーミンは、ゆったりすぎるかもしれないけど
いい入門書。関数解析への準備も書いてあるから、ルベーグを
習っていると飛ばせる。関数解析を専門にはしないが、とりあえず
簡単な話だけでも勉強しておくにはちょうどいいかも。

吉田耕作のFunctional Analysisは、東大で解析やるような学生なら
昔は普通に読んでいたらしい。代数幾何のハーツホーンとか、数論の
ヴェイユみたいなもので、その分野に進むなら（類書でもいいけど）必読。

最近は、関数解析じたいやる人が少ない。辞書って感じはしないなあ。

辞書といったら>>468-469みたいのだと思う。

>>498の言うプロへの登竜門って代数とかだと誰の本なんでしょうか？

代数：？？？
幾何：ハーツホーン
解析：吉田耕作
数論：ヴェイユ

代数といっても分野がいろいろあるので。
可換環論なら松村かな。有限群論なら鈴木かな。
俺は読んだことはないが。

＞可換環論なら松村かな。有限群論なら鈴木かな。
洋書ならAtiyah-MacdonaldとAschbacherあたりが対応する。
他に
Weyl"The Classical Groups"
Chevalley"The Theory of Lie Groups"
とかも入るかな。古典だけど。

＞４９６、４９７
れすどうも。っていうかここレベル高すぎｗ

ぼく、数学は死ぬほど好きです。
誰かもっと教えてくれませんか？

>>496
その本って今でも購入できますか？

>>504
できるよ。ペーパーバック版で\4,000-ぐらいじゃなかったかな。

>505
マジ？アマゾンとかで調べたけど無かった。。。

YOSIDAで検索しる

>>506
一応あったよ。

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/3540586547/
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0387102108/

しかし在庫切れ。kosauku になってる…。

http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/3540586547/

本家のほうでは買えるみたい? kosaky って…。

http://www.springer.de/cgi/svcat/search_book.pl?isbn=3-540-58654-7

Available だそうです。

>>508
ｻﾝｸｽ！
今回は買うの見送ろう…

すいません
洋書を買った事無いんで分からないのですが
ペーパーバックってなんですか？

ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　 ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　 　
　　　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　 ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　　ﾊﾟｼｬ 　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ　ﾊﾟｼｬ
　∧_∧　　　　　∧_∧　　　　 ∧_∧　　∧_∧　　　　∧_∧　　　　 ∧_∧　　　　
　(　　 )】 　 　 　(　　 )】　　　 (　　 )】 【(　　 )　　　 【(　　 )　　　 【(　　 ) ＜ (･∀･)ｲｲﾖｲｲﾖｰ
　/　 /┘　.　 　/　 /┘.　 　　/　 /┘ └＼＼　 　　└＼＼　　　└＼＼ 　　 ｽｺﾞｸ(･∀･) ｲｲ!
ノ￣ゝ　 　　　ノ￣ゝ 　　　 　ノ￣ゝ　 　　　ノ￣ゝ 　　　 ノ￣ゝ　 　 　ノ￣ゝ 　

すいません、数学ってなんですか？
どの数がラッキーとか研究するのかな？
因みに僕の誕生年1970ってラッキーだと思うんだけど。
ひょっとして僕、数学の才能あるのかな？

セーラー服好きならここ！
美少女のオマンコがバッチリ見える！
無料画像を今すぐゲッツ！！
http://www.pinkschool.com/

すいません
本を買った事無いんで分からないのですが
ページってなんですか？

すいませんセックスって何ですか？

>>510
ペーパーバックっていうのは表紙が紙の本のこと。
廉価版の本の代名詞でもある。その反対がハードカバー。

ハードカバーも紙（パルプ）だが何か？

>>517
これからハードカバーをペーパーカバーと予防。

ハードカバー : ペーパーバック
ってのは日本の場合で言うと
ハードカバー + 単行本 : ソフトカバー + 文庫本
というような感じ

とか言ってみるテスト

>>516,519
ﾚｽｻﾝｸｽ！

裳華房から出てる折原の「測度と積分」っていい？
漏れには伊藤のの「ルベーグ積分入門」は分厚すぎる

>>521
以前、
進んだ内容を扱っているが、定義をしっかりしてなかったりするなど、
それらのことに馴染んでない人間には辛い、
というような趣旨の書きこみを見た。
どこかはわからん。
実際のとこどうなのかもわからん。
でも、それが正しいなら、
伊藤ルベーグは厚すぎるって言うような人には向かないのだろう。

>>247
>>すでに出ている、超DQN向き本
>>物理・工学のためのルベーグ積分入門

Amazonでの高評価(星五つ)につられて注文してしまったーよ。

>>523
取り消せば?

それがもう発送準備に入ってしまったのよ。
まあいいか、俺ＤＱＮだし。しかし、ここ賢そうな人多いね。

プロへの登竜門:

代数：ザリスキー・サミュエル
幾何：ハーツホーン
解析：吉田耕作
数論：ヴェイユ

>>525
>>526は偉人だな、確かに。

そう言えばさ、東京図書って最近なんであんなに落ちぶれてるの？
石村だっけ？あんな本ばっかだよね。
昔はブルバキとかいろいろ硬派な本出してたのに。

硬派じゃ食えないからだろ。

なんて悲しい現実だ・・・

夏厨風に言うと
石村＞＞＞＞＞＞＞＞＞（越えられない壁）＞＞＞ﾌﾞﾙﾊﾞｷ
ってことか･ﾟ･(ﾉД`)･ﾟ･

>522
あり

>531
そのうち「よくわかるルベーグ積分」なんてのが出るだろうな。
それを文系出身の「クオンツ目指してます！」みたいな銀行員が買って、
「ルベ積(と勝手に略しちゃってる)って縦に区切って足すのを横にする
だけなんだよな。」なんてしたり顔で語っちゃうんだろうな。

しかし、硬派では食えないというだけであそこまで落ちぶれるかね〜。
ランダウの力学と場古典以外に何かまともな本残ってたっけ?
ランダウの他の巻の復刊に関しても、一度復刊するってことになったのを、何故か覆したし。

http://homepage.mac.com/hiroyuki45/

>>534
翻訳書は原書を買えば？　ドイツ語とかロシア語の有名な本なら英訳
もあるだろうし。日本の出版社にこだわることはない。
英語が読めないか、勉強する気もなければ、数学をあきらめよう。

http://homepage.mac.com/hiroyuki45/jaz04.html

論点がずれてるような気が

>>536

賛成〜！

数学の洋書、英語はそんなに難しくないから高校程度の英語力があれば
読めると思うよ〜。

関数解析だったら、

W. Rudin, Functional Analysis

がお勧め（今、勉強中〜♪）
英語は簡単、内容は…ｗ

536は>>528-534の流れを読んでから、もう一度534を読むべし。

んじゃあ、おいらは
R.M.Dudley "Real Analysis and Probability"
でも推しとくか。

>>536
賛成だが、東京図書はなんだかなあ、と思う。
先人が苦労して日本で読めるようにしてくれた本は、
日本数学の財産だから。

それに、ランダウやブルバキだけじゃなく、日本人の
まともな著書も全部絶版にしてしまった。

数学の専門家になるためには、明治時代みたいに
原書オンリーになるのかなあ。

>>542
出版者も食っていかなければならい。
文句を言っても始まらない。
オンデマンド出版が可能になれば絶版本も再販される可能性がある。

>>543
本を書いている側から言わせてもらうと、オンデマンドとか
言わず、今の時代その気になれば出版社がなくても本は出せる。

金も大事だが、専門書はビジネスだけの問題ではない。
文句でも言わなければ何も始まらない。

東京図書のようなヘタレは見捨てて原著を読もうキャンペーン実施中

関数解析の話題が少ないんだが…
ルベーグ積分ぐらいまではついて来れても
関数解析になると理解できる人の数がぐっと少なくなってしまい
問題意識をもった人がほとんど居なくなってしまうから
話題にも上らないということかな。
関数解析は日本のお家芸だったんだから
もっと盛り上がっても良いんじゃないかな？

函数解析の本を列挙してみた。
これ以外に重要な本があったら教えて欲しい。

K. Yosida "Functional Analysis" Springer
M.Reed-B.Simon "Method of Modern Mathematical Physics vol.1-4" Academic Press
N.Dunford-J.T.Schwartz "Linear Operators Part�T-�V" Interscience-John Wiley
コルモゴロフ・フォミーン「関数解析の基礎(上・下)」岩波書店
リース・ナジー「関数解析学(上・下)」共立出版
ハイム.ブレジス「関数解析」産業図書
藤田宏・黒田成俊・伊藤清三「関数解析」岩波基礎数学選書
吉田耕作・河田敬義・岩村聯「位相解析の基礎」岩波書店
加藤敏夫「位相解析」共立出版
吉田耕作「ヒルベルト空間論」共立出版
増田久弥「関数解析」裳華房
岡本久・中村周「関数解析(１・２)」岩波講座 現代数学の基礎
吉田耕作・伊藤清三「函数解析と微分方程式」岩波書店
J.V.ノイマン「量子力学の数学的基礎」みすず書房
新井仁之「フーリエ解析と関数解析学」培風館

>>547
タイトルから関数解析の本だと分からないけどこれもお勧めできる。

志賀浩二「固有値問題30講」朝倉書店

それと>>539でも挙がっている本も加えて欲しい。

W. Rudin, Functional Analysis

函数解析をやる前に数理物理をやったほうがいいと思うが。

http://homepage.mac.com/hiroyuki45/

>>549
余計なお世話。
しかもスレ違い。
数理物理を話したくば↓ここへ逝け。
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057251462/

>>551
俺は別に数理物理オタクじゃない。
ただ数理物理を知らないで関数解析をやっても、
あまり意味がないってこと。

★☆　夏休みは　ＧＥＴＤＶＤ　で満喫・満喫！！　★☆★
★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★
☆★　送料激安！　　スピード発送！　　商品豊富！　　　
★☆　　　　　　http://www.get-dvd.com　　　　　　　　
☆★　激安ＤＶＤショップ　「ＧＥＴＤＶＤドットコム」　
★☆　　　　　　http://www.get-dvd.com　　　　　　　　
☆★　今すぐアクセス　Ｌｅｔ’ｓ　Ｇｏ・Ｇｏ！！　　　
★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★

たしか去年復刊した
吉田耕作「ヒルベルト空間論」共立出版
ってどうですか？

＞ ただ数理物理を知らないで関数解析をやっても、
＞あまり意味がないってこと。

ﾌﾟﾌﾟﾌﾟｗｗｗ
















燃料補給完了

>>554
見た目、活字が汚いよ。
1953年刊だけあって、ちょっと古臭い面は否めない。
そうは言っても押さえるべきところは押さえている。
スペクトル分解定理、境界値問題、Friedrichs-Freudenthalの定理、Weylの定理、再生核の定理など。
吉田耕作先生の著作だけあって説明も過不足無く分かりやすい。
個人的に好きなのは概周期関数の説明。

この辺の本と併せて読むと初学者や物理学徒にも得るところ大だと思うよ。
志賀浩二「固有値問題30講」朝倉書店
J.V.ノイマン「量子力学の数学的基礎」みすず書房

俺が知らない事は他の奴も知らないに決まっているとすぐに一般化する定理が横行しているスレはここでつか？

http://homepage.mac.com/hiroyuki45/

>>557
そんなことは誰も言ってないが。
知ってるならそれでいい。
そう僻むなよ。

http://homepage.mac.com/hiroyuki45/hankaku05.html

>>559
内容在る事書け。

>>561
ここは２ｃｈだよ。>>555よりよっぽど内容があるだろ。
お前が書け。

関数解析は面白い｡
漏ﾚは藤田､黒田､伊藤の｢関数解析｣岩波基礎数学は初版(1978年)のを持ってる｡
ｱﾚは例が豊富だし初学者にも具体的なｲﾒｰﾂﾞが掴めて分かり易いからｵｽｽﾒ｡
今はどｰか分からないけど初版のは3分冊になってて全部読むには結構ｽ夕三ﾅが居るけど､作用素論とかやるならｲｲと思ﾜﾚ｡
漏ﾚは現在､1分冊3章Hilbert空間の｢Rieszの表現定理｣をやってて､そこから｢Lax-Milgramの定理｣へと入ろうとしてるところ｡
しかも3分冊合わせると500頁ぐらいになるけど､1冊は160頁ぐらいだから持ち運びやすくて肌身離さず持ち歩いて暇になったらﾉｰﾄに書きながら読んでるよ｡

藤田､黒田､伊藤の｢関数解析｣岩波基礎数学がいいのは確かなんだけど
ある程度やると物足りなくなる。
具体的には偏微分方程式がらみで使うソボレフ空間の説明がほとんど無いこと。
これはかなり痛い。

>>562
２chだからといってオマエみたいな中身の無い引きこもりばかりではない。
おれは>>555ではなく>>556,>>564を書いた。
おまえも書けよ。

確かにSobolev空間については例としてちょっと出てくるだけだね｡
定義(と言えるか分からないぐらい)しか書かれていない｡
漏ﾚもSobolev空間は別な本で補う必要が出て来た気がする｡
あとBanach環の話も殆ど無いとか聞いた事が有る｡
やはりｱﾚは初学者向けなの?
つｰか､教科書で使ってるｾﾞﾐとかは有るのかな?

>>565
禿同｡
吉田耕作の｢ﾋﾙﾍﾞﾙﾄ空間論｣ったらあの青っつｰか水色の本でしょ?
活字は汚いし一部旧字体が出てくる｡
例えば｢数｣が｢數｣
でも数学専攻の人にも割と読み易そう｡

活字が汚いと言えば､理工学社の｢関数解析｣が有るけど､ｱﾚはどｰ?

藤田､黒田､伊藤｢関数解析｣岩波基礎数学
はよくできた教科書です。
もちろん優秀な人向け。
ソボレフ空間は
ハイム.ブレジス「関数解析」産業図書
が一番役に立つ。
辞書的には
K. Yosida "Functional Analysis" Springer
もいい。
この２つもルベーグ空間とソボレフ空間の説明が分かりやすい。
岡本久・中村周「関数解析(１・２)」岩波講座 現代数学の基礎
谷島賢二「ルベーグ積分と関数解析」朝倉書店

いまこの２つを教科書に採用するところは無いでしょう。採用しても入手困難だから。
藤田宏・黒田成俊・伊藤清三「関数解析」岩波基礎数学選書
吉田耕作・河田敬義・岩村聯「位相解析の基礎」岩波書店

Banach環の話については
コルモゴロフ・フォミーン「関数解析の基礎(下)」岩波書店
の後ろに補遺として詳しく書かれているのがお勧め。

どちらにせよ、一冊では済ませられないので
藤田宏・黒田成俊・伊藤清三「関数解析」岩波基礎数学選書
を読んでるなら
K. Yosida "Functional Analysis" Springer
を辞書的に使うのが便利かもしれない。
でも個人的にはブレジスとコルモゴロフ・フォミーンを勧めたい。

宮地｢関数解析｣理工学社
ソボレフ空間の説明がないから、偏微分方程式にどのように用いるかは，
やはりブレジスなどを読む必要があると思います。
でも分かり易そう。
増田久弥「関数解析」裳華房
なんかと同じように最小限度に内容を絞ってるので試験勉強とか定理を覚える時には特に役に立つでしょう。

>>565
>>549は十分内容があると思うが。
内容が無いと思うのは、そちらの問題だろう。
あれで十分だと思うが因みにもっと言うと
Arzelaの定理で一時、ここがにぎわったが、あれにも
かなり貢献してる。例えば、英語で書かれた参考文献を
紹介してあるやつは俺がコピって投稿した。
あれは、俺がsci.mathに質問したものへ誰かが回答してくれたものだ。

共立のほうの黒田はどう？

>>574
漏れも訊こうと思った。
誰か読んでる人いないのかな。

>>574 じゃなくて >>572 でした。

漏れに聞かれても困るぜ

>>571
いつまでもぐだぐだいってんじゃねえ。
昔の実績を自慢する老教授か？
>>549は全く無内容！
『内容ある事を書け！』
脳みそねぇのか、てめぇは？
これだから引きこもりは困るんだよ（ｗ

>>576
何興奮してんだ、アホか？

いいか、よくその少ない脳みそを振り絞って考えてみろ。
数理物理の知識がなくて関数解析やってどうする気だ？

質の悪い燃料だね

>>579
意味不明

>>578
素直に数理物理を語るか別スレに逝け！
煽りしか出来ない屑野郎が。

燃料再投下

ソボレフ空間の説明はこの本でも詳しかったが絶版ですね。

田辺広域「関数解析(上・下)」実教出版(1978)

>>578
数理物理以外にいくらでも関数解析は使える。
数理物理オタは他の分野を過小評価したがる。

>>570
宮寺 功｢関数解析｣理工学社
が正しい著者名でした。

>>584
いくらでもってのは言い過ぎ。
確率論とか数理経済のことを言ってるのだろう。
これらにしても数理物理と関係大有りだろう。
要は数理物理で出てくる偏微分方程式とか積分方程式の
ことを知らないで関数解析をやってもほとんど無意味。

幾何方面でも最近使われ始めてますが何か?

幾何が数理物理と関係ないとでも？

>>587
幾何方面では昔から使ってますが何か？
日本で関数解析が輸入された当初(ｒｙ

なんでそんなに必死に数理物理と結びつけたがるんだろう？？？

少しでも活躍すると何でもかんでも在日認定したがるチョンと同じ心境だろ。

>>590
好意的に解釈すると、1932年にバナッハ、ストーンとともに
出版された教科書、フォン・ノイマン「量子力学の数学的基礎」が
関数解析の始まりの一つだからでしょう。

最近の数理物理ヲタの数学板でのイタさにはうんざりだから、
止めて欲しいと思うけどね。

ノイマンの平均エルゴード定理は関数解析黎明期の重要な研究
の一つ。もちろん、関数解析のルーツは積分方程式だけど。

その辺を知らずに、関数解析の抽象論しか見てないと
研究がやせ細ってくるのは間違いないけどね。

俺は数理物理オタじゃないって言ってるだろう。
関数解析のスレで数理物理の話が出てくると
なんで感情的になって数理物理オタ攻撃になるんだ？
異常だよ。お前らよっぽど数理物理が嫌いらしいな。
それだと解析では大成しないよ。よけいなお世話だろうが。

>>593
おいおい、逆だろ。感情的になって痛いレスをしているのは君じゃないか。
>>592は客観的で冷静なレスをしていると思うけど。

もう少し言わせてもらえば、
＞解析では大成しないよ。
こういう考え方は、間違っていると思う。
アブストラクト・ナンセンスと言われていて、後々になって実は重要な
概念だった、なんてものはいくらでもある。
こういうやり方だと大成しない、こういうやり方だと大成するなんて考えながら
研究する方が結局時流に流されているわけで、見ていて痛々しい。

>>594
>>595
馬鹿を晒しアゲ

>>596
常駐ご苦労様。
わざわざsageてあげたのに、自分で自分の首をしめて
楽しいですか？

>>594
スレの流れを見てないようだな。
俺は>>592に返事したわけじゃない。
感情的になってるのは俺じゃないよ。

549 ：１３２人目の素数さん ：03/08/11 07:08
函数解析をやる前に数理物理をやったほうがいいと思うが。

552 ：１３２人目の素数さん ：03/08/11 07:36
>>551
俺は別に数理物理オタクじゃない。
ただ数理物理を知らないで関数解析をやっても、
あまり意味がないってこと。

578 ：１３２人目の素数さん ：03/08/11 21:21
いいか、よくその少ない脳みそを振り絞って考えてみろ。
数理物理の知識がなくて関数解析やってどうする気だ？

>>599
で何が言いたいんだ？
>>578は俺の常識的なアドバイスに対してなにをとち狂ったか
興奮して暴言を吐いたアフォに対してのものだ。

600 ：１３２人目の素数さん ：03/08/12 23:50
>>599
で何が言いたいんだ？
>>578は俺の常識的なアドバイスに対してなにをとち狂ったか
興奮して暴言を吐いたアフォに対してのものだ。

>>592
その辺の話を詳しく聞きたいのですが、お願いできますか？
歴史的な話から関数解析を俯瞰するような視点で是非おねがいします。

たしかその頃の解析はフランス、ドイツ、イタリア、ポーランド、ハンガリー辺りの
国が中心になっていたと思うのですが。

あとフレドホルムのノルウェーも入れとかないといけないのかな。

日本は入れておいても良いのかな？
吉田耕作先生や加藤敏夫先生などの大御所が居るから入れてもいいんだよね。

1903年、Acta Mathematicaという北欧のマイナーな雑誌に掲載されたフレドホルムの
論文が積分方程式にとって大事な論文。フレドホルムはミッターク・レフラーの弟子。

ミッターク・レフラーとコワレフスカヤは恋人どうしだったから、想像だけどフレドホルムはコワレフスカヤの影響も受けているかも。

バナッハの"Theorie des operations lineaires"は1932年に刊行。

フォン・ノイマンの「量子力学の数学的基礎」も1932年に刊行。

ストーン（M.H.Stone）の論文も1932年に発表された。

On one-parameter unitary groups in Hilbert space, Ann. of Math. 33 (1932), 643-648

この論文でストーンの定理が証明された。
ストーンの定理はボホナーの定理やナジーの定理とほぼ同等なものである。
このストーンの定理からスペクトル分解定理がでてくるし、
ボホナーの定理でリースの表現定理が説明できるなど、
非常に重要な定理である。

フレドホルムの仕事に触発され、ヒルベルトが積分方程式の仕事をしている。
1906年にl^2空間を導入した。これがヒルベルト空間の歴史上はじめての登場。
1912年に『線型積分方程式の一般論概要』という280ページ程の本にまとめている。

1909年にF.リースはl^2空間とL^2空間が同一であることを証明。
現在、フィッシャー・リースの定理として引用されるこの定理によって
抽象ヒルベルト空間が発見され、ここから関数解析が始まったとする人は多い。

>>604
「ワイル-ストーン-ティッヒマーシュ-小平の展開定理」の小平邦彦先生もよろしく。
どうでもいいがこの定理名は長いよね。

1924年にバナッハはバナッハ空間の公理を与えた。

1929年にバナッハは「汎関数について」という論文でハーン・バナッハの定理として引用される定理を証明している。

関数解析の始まりはフレドホルム、ヒルベルト、バナッハ、ノイマン、ストーン辺りというのは共通認識として確立されたものなんですか？

ベールのカテゴリー定理はいつ頃登場したの？

ハウスドルフやフレシェは何をやった？

>>601
だから正当な理由もなく暴言を吐かれたら、こちらも人間だ、
乱暴な言葉になることもある。そのことから、こちらが
物理数学に関して感情的になってるということは、
出てこないだろ。奴が先に暴言を吐いたんだよ。
よっぽど物理数学つまり偏微分方程式や積分方程式が嫌いなんだろ。
それで関数解析やってどうするんだ。

616 ：１３２人目の素数さん ：03/08/13 10:38
>>601
だから正当な理由もなく暴言を吐かれたら、こちらも人間だ、
乱暴な言葉になることもある。そのことから、こちらが
物理数学に関して感情的になってるということは、
出てこないだろ。奴が先に暴言を吐いたんだよ。
よっぽど物理数学つまり偏微分方程式や積分方程式が嫌いなんだろ。
それで関数解析やってどうするんだ。

>>616
あなたにピッタリのスレ↓があります。ごゆっくりどうぞｗ
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1024149701/l50

関数の関数、即ち汎関数、の研究が始まったのは、1906年のフレシェの学位論文
「関数解析におけるいくつかの問題について」においてである。
ここでフレシェはコンパクト集合の概念を明確化し、抽象空間論の観点が登場した。

1914年にハウスドルフは「集合論概要」という480ページ程の本を出版した。
この本でカントールは位相空間論を展開した。それはカントールの集合論に基礎を置くものだった。

ハウスドルフの位相空間論は、ボレルやルベーグに影響を与え、測度論やルベーグ積分やルベーグ空間が登場してくる。

>>616
でもやっぱり関数解析をやってて､その応用に関する文献を見ると､つくづく知っておきたい事が多いなって実感する｡
関連分野の多さに魅力を感じる反面､どこに焦点を当てて研究しようか迷う事も有るのは事実で､その一つに数理物理も有るのは確かだけどさ､必ずしも数理物理を知らないと無意味かは別だと思うよ｡


まあ､それだけ関数解析は元気な学問って事で>>616を放置ﾌﾟﾚｰしてｲｲんじゃないの?
どうせ>>616は物理的なｲﾒｰﾂﾞが無いと数学が理解出来ない貧脳な香具師なんだからさ｡

>>616
邪魔！

（・∀・）？

>>618
どうせろくでもないスレだろ。見ないよ。
俺も結構このスレに貢献してるだろ。
そう邪険にするな。
今話題になっている関数解析の歴史も俺のレスがきっかけだろ。
つまり物理数学が関数解析の母体だからね。

>>625
黙れ小僧！おまえに(ry

625 ：１３２人目の素数さん ：03/08/13 11:17
>>618
どうせろくでもないスレだろ。見ないよ。
俺も結構このスレに貢献してるだろ。
そう邪険にするな。
今話題になっている関数解析の歴史も俺のレスがきっかけだろ。
つまり物理数学が関数解析の母体だからね。

>>622
関数解析が元気ってのは嘘。
もう昔みたいに流行ってない。

これだから、物理数学厨はダメなんだよ。はぁ………。

1902年に当時弱冠２８歳のルベーグは学位論文「積分、長さ、面積」において、
極限概念を測度の中に取り入れた測度論を展開した。

その後、1910年代にカラテオドリやハウスドルフが測度論の現代化に努めた。

そして1916年、この「ルベーグ積分」という言葉がシュタインハウスとバナッハ＆ニコディムを出合わせ、バナッハを関数解析の桧舞台へ誘うことになるのである。

関数解析ってのはもはや単なる道具であって、それ自体の研究はもうｵﾜｯﾃﾙのでは？

だから放置ﾌﾟﾚｰはダメなんだよ。
このスレに貢献してるとか言い出すし・・・
これ以上荒らすならサーバーのIPからプロバイダーに苦情を言って、
利用制限をかけたほうがいい。

「○○は××に関係している」
から
「○○は××にとって不可欠」
は
出てこない。

それと、
「○○は××に関係している」
を
ただ繰り返すのではなく、もっと踏み込んだ話を聞きたいものだ。

馬鹿ばっかりだな。

>>632のアフォは放置

>>634
自己紹介ですか？

635 ：１３２人目の素数さん ：03/08/13 12:00
>>632のアフォは放置

1932年にバナッハが刊行した"Theorie des operations lineaires"という本の柱は二つある。

[1]抽象的な一般論の柱：
・ハーン・バナッハの汎関数の拡張定理
・共役空間の定理
[2]具体的な応用例を持つ柱：
・バナッハ空間上の線型作用素の性質

このように抽象的な一般論と具体的な応用例という２つの足場を持っているところがバナッハの強みである。

きゃんきゃんとよく吠えること（ｗ

>>633
自分で踏み込んだ話を始めればいいだろうに、はぁ〜・・・

数理物理が関数解析に必須なのではなく
関数解析が数理物理に必須なのだよ。そこんとこ勘違いしないように。

ageんな。うぜえから。

549 ：１３２人目の素数さん ：03/08/11 07:08
函数解析をやる前に数理物理をやったほうがいいと思うが。

552 ：１３２人目の素数さん ：03/08/11 07:36
>>551
俺は別に数理物理オタクじゃない。
ただ数理物理を知らないで関数解析をやっても、
あまり意味がないってこと。

578 ：１３２人目の素数さん ：03/08/11 21:21
いいか、よくその少ない脳みそを振り絞って考えてみろ。
数理物理の知識がなくて関数解析やってどうする気だ？

　


　　　　　　　　s　a　g　e　厨　降　臨　！　！　！

549 ：１３２人目の素数さん ：03/08/11 07:08
数理物理をやる前に 関数解析をやったほうがいいと思うが。

552 ：１３２人目の素数さん ：03/08/11 07:36
>>551
俺は別に 関数解析オタクじゃない。
ただ 関数解析を知らないで数理物理をやっても、
あまり意味がないってこと。

578 ：１３２人目の素数さん ：03/08/11 21:21
いいか、よくその少ない脳みそを振り絞って考えてみろ。
関数解析の知識がなくて 数理物理やってどうする気だ？

数理物理をしらない奴が幾何をやっても意味がない。

幾何をしらない奴が数理物理をやっても意味がない。

数学を知らない奴が物理をやっても意味がない。

物理をしらない奴が数学をやっても意味がない。

数学を知らない奴が生きていても意味がない。 　

生きてない香具師が数学していても意味が無い。

>>631
もとから関数解析は道具の色合いが強い分野。
道具と目的を混同するのはよくある間違いだな。

生きていない奴が数学をやっても意味がない。

数学は意味がない。

かぶった…。

生きていても意味がない。

人生は意味がない。

また、かぶった…。

意味はない。

いちいちかぶったかぶった言うな、意味が無い。

ない。　

い。

数学は味がない。

意味なんていらない。

いらないなんて意味。

>>625って具体的なこと、何も書いてないな。

>>666
だから？

572 ：１３２人目の素数さん ：03/08/11 16:25
共立のほうの黒田はどう？

573 ：１３２人目の素数さん ：03/08/11 20:05
>>572
漏れも訊こうと思った。
誰か読んでる人いないのかな。

『数理物理を知らん奴が関数解析やっても無意味』

このスレでも上のコンセンサスは取れたように思えるが。

うむ。
『数理物理を知らん奴が関数解析やっても物理をやるには無意味』
というコンセンサスは取れている。

　　　 (⌒V⌒)
　　　│ ＾ ＾ │＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　⊂|　　　　|つ
　　　（＿）（＿）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎パン

7

ｷﾀ━━━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━━━ !!

もしわかれば、教えていただけると助かります。
（ヒントだけでもいいです...）

「命題：
可分でないヒルベルト空間Ｈの正規直交系をＭとする。
任意のベクトル f ∈ Ｈ に対し、
(f,e) ≠ 0 (e ∈ Ｍ) の集合は高々可算個である。
（具体的に書くと、(f,e_1), (f,e_2), (f,e_3),...
(e_1, e_2, e_3,... ∈ Ｍ)）」

||f||^2 = Σ_{e ∈M} | (f,e) |^2 < +∞

A := { e ∈M | (f,e)≠0 }

A_1 := { e ∈M | |(f,e)| > 1}　←有限個
A_2 := { e ∈M | |(f,e)} > 1/2 }　←有限個
…
A_n := { e ∈M | |(f,e)} > 1/n}　←有限個
…

A = ∪{ n ∈ N}A_n　←高々可算

(φ)　　←　オマン個

>>675
お忙しいところありがとうございます。
図書館へ行って勉強してきます…。

>>676
お忙しいところありがとうございます。
ソープへ行って勉強してきます…。

>>676
お忙しいところありがとうございます。
ﾄﾙｺへ行って勉強してきます…。

　　 ／⌒ヽ
　　/　‘д‘）　　　 ／⌒ヽ 　ちょっと通りますね、ここ通らないと行けないので・・・
　　|　 　　/ 　　　/　‘д‘）
　　| /|　| 　　　　|　 　　/ 　　　　 ／⌒ヽ 　ﾁｬﾌﾟｯ
　 //　| | 　 　　　| /|　| 　　　　　/　‘д‘）
　Ｕ　 .Ｕ 　　 　 //　| | 　　　　　|　 　　/ 　　　　　 ／⌒ヽ 　ﾌﾟｸﾌﾟｸｯ　　　　　　ﾌﾟｸﾌﾟｸﾌﾟｸ・・・・
　　　　　　　 　 Ｕ　 .Ｕ 　　　　二| /|　|二-＿　 -_/＿‘д‘）二-　　　　- ／⌒ヽ=　_　　　　　　　　_　　　ｯ・・・・・
　　　　　　　　　　　　　　　　　￣-￣-￣　　　　─　　─ ￣-　　　　　￣-￣　￣-

単調族定理の証明をしていています．

CをXの部分集合からなる有限加法族とし，Cを含む最小の単調族を M(C) とする．

また，A ∈M(C)に対して，M_A=｛B ⊂X:A ∩B ∈M(C)｝とおくとき，

M_A が単調族になることは証明しました。

C ⊂ M_A

となることを証明したいのですが，うまくいきません．

どなたかヒントを下さい．

>>681
∀S⊂Xに対し、S∈C⇒S∈M_Aを示せばよい。
S∈CならばS∈M(C)は明らか。A∈M(C)だから、（単調族が∩について閉じて
いることが既知ならば）S∩A∈M(C). よってS∈M_A.

>>682
レスありがとうございます．

「単調族が∩について閉じていること」の証明がどうやればいいかわからないので，

これもヒント下さい．

抽象関数解析はいまでもゲンキですよ。
９８年にもバナッハ空間論の研究者がフィールズ賞貰っていますし。
バナッハ空間論も作用素環論も大部分は数理物理とも微積分とも無関係っスね。

関数解析やるには、吉田先生の本が一番でしょうか？

>>685
研究の方向性によって分かれてくると思う。
吉田先生（＝耕作先生）の本って、偏微分方程式に向けた本って感じがする。

>>686
thx

ブルバキの｢位相線形空間｣は、どうですか？　読んだ人の御感想を
お聞かせ下さい。

>>683
A,B ∈ M(C) ならば、A⊇(A∩B) で A∩(A∩B)=A∩B だから、単調族の定義より
明らかに A∩B∈M(C).
（可算個の減少列の∩について閉じているのだから、有限個についてももちろん閉じている）

>>685
山上先生の関数解析の講義ノートがあるよ。

あ、忘れてた。ごめん。

http://suuri.sci.ibaraki.ac.jp/~yamagami/kankai.html

親切にありがとうございます:D

将来、解析系に進みたいと思っていまして、
関数解析といっても、正直その先に何があるのかよく理解してないんですが、
参考にしてみたいと思います。

コルモゴロフ・フォミーンの「函数解析の基礎」（岩波書店）の英語版ってどっち？

Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0486406830/

Introductory Real Analysis
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0486612260/

過去ログ読んだらElements〜とIntroductory〜の両説あるけど、版が違うの？

ルベーグ可測関数列で、λ-a.e.収束も測度収束もしないが、
L^p収束はするような関数列の例はありますか？
出来れば証明もおながいします。

ａｇｅ

作用素論の中で､最近のﾎｯﾄな研究ﾃｰﾏってなんでつか?

>>696
なんだろ？漏れも知りたい。
不等式の研究とか、特定の空間上の作用素を研究したり、
（偏）微分方程式から出てくる微分作用素の研究とかもあるし…
不変部分空間の問題とか未だだったような…
（何回か「解けた！」って論文が出たみたいだけど…）

その道の先生にお話を聞くってのも良いかも。
F田一派はしらん。

やはり偏微分方程式への応用がﾒｼﾞｬｰなのかな
つｰかこないだ工学部の教授が分かりもしない癖に解析系を馬鹿にしてたぞ
さもさも分かってるかの様に彼曰く､｢所詮､解析系なんて不等式使って0か有限か∞かを調べるだけの学問だろ｣との事
工学部は石村本でも読んでろって感じ

Re:>694 f_1=1_[0,1],f_2=1_[2,3],f_3=1_[0,1],f_4=1_[2,3],…

と思ったけど[>699]は無し。

>>698
日本で出されている関数解析系の教科書は、殆どと言っていいほど、
偏微分方程式を主眼に書かれていますからね…

解析と言っても、作用素環論はちっと別。

Bをb次元ボレル集合体，Dをd次元ボレル集合体とし，
Tをb次元ボレル集合，Yをd次元ボレル集合とする。
T'＝｛A⊂T：A∈B｝
Y'＝｛A⊂Y：A∈D｝
とおく。
また，T×YをTとYの直積，T'×Y'をT'とY'の直積σ集合体とする。

f:T×Y→R（実数）をT'×Y'可測関数とする。

このとき，t∈Tを固定すれば，g:Y→R:g(y)=f(t,y)はY'可測関数である。

これって真ですか？偽ですか？

ボレル集合ってのが効いて，真になるような気がするんですけど，
どうですかね？

>>703
i:Y → T×Y　:i(y)=(t,y)
とするとg(x)=f(i(x))だから、iの可測性がいえればいいわけだ。
確か、iによる引き戻しが可測になるようなT×Yの部分集合全体を考えればできたはず。

ルベグ積分では、可測関数の値域を有限に分割し、それぞれの区間の引き戻しの測度に高さをかけて単関数を作ります。ここで疑問なのは、
Ｘ軸に導入する測度ですが、この測度が完全加法性を満たしている必要はあるんでしょうか？値域の分割を細かくして単関数で近似していく様子を考えてみても、Ｘ軸上の測度が完全加法性を満たさねばならない
必要性はないと思います。
学校の授業では完全加法性が必要条件だという風ないい方をしていましたが、ホントでしょうか？測度が完全加法的であると、可測な函数
がたくさんになると言うだけで、ルベグ積分の技術で
決定的な意味をもっているとまでは言えないのではないでしょうか。

>>705
測度が完全加法性をもつことと、連続性をもつことは同値なので、
（測度μの連続性とは、集合En→E(n→∞)のときμ(En)→μ(E)となること）
完全加法性をもたない測度で構成した積分は∫[En]f(x)dμ→∫[E]f(x)dμが必ずしも
成り立たないことになる。

ついでにこっちにもレスしとこう（遅レススマソ。久しぶりに来たので）>>694

Lp収束⇒測度的収束だから（チェビシェフの不等式により証明される）、そのような例は作
れない。

ちなみに、「大数の弱法則」は、ふつう確率収束の形で述べられており、「証明はチェビシ
ェフ」と盲目的に覚えていたりするが、本質はL2収束で、L2収束から確率収束を導くところ
にチェビシェフが必要になっているだけである。（そのことに注意した本を見たことがない
ので一応）

>>706
レスサンクスです。じゃ、ルベグ積分は定義できるが、その積分のもつ性質が
あまりよくないという事でよろしいでつか？

YESだけど、完全加法的でない有限加法族（たとえばジョルダン可測集合族）Mと有限
加法的測度μ（たとえばジョルダン測度）を用いて可測性と積分をルベーグ式に定義し
た場合どうなるのか（極限定理の成立が不十分だとしても、リーマン積分程度のもの
にはなるのか、もしかしてその定義でもリーマン積分に一致するのか、等）について
書いてある本を見たことがないので、少し注意しとく：

その場合でも「積分」は定義されるが、リーマン積分でも持っている基本性質で
ある「加法性」すら成り立たない。
（理由） E∈Mを共通部分を持たない可算個の集合 E1,E2,…（∈M）に分割する。
f=1-2^(-n) on En, g=2^(-n) on En と定義する(∪Enの外では0）と、f,gは単関数
で、積分の定義によって、∫fdμ=Σ(1-2^(-n))μ(En), ∫gdμ=Σ2^(-n)μ(En) となる。
いっぽう、f+g=1 on E,=0 (Eの外）だから、∫(f+g)dμ = μ(E)となる。
よって、この場合に∫(f+g)dμ =∫fdμ+∫gdμ が成り立つためには、μ(E) = Σμ(En)
でなければならない。

>>706
まじ参考になりました。有難うです。
俺、最初>>705の考えを思いついた時は、
俺って頭イイ−とか勘違いしたけど、やっぱり人の意見聞いたり
何度も考えないとあかんって分りました。
測度論はルベグ積分で殆ど「決定的」な役割を果たしてたんですね。
あのまま突っ走ってたら大恥かくとこだった（ｗ

ちょと訂正。Mやμが抽象的に｢有限加法的」という場合はたしかに709のとおりだけど、
Mがジョルダン可測集合族、μがジョルダン測度の場合は、μはM上で完全加法性をもつ
ので、709のような問題は生じない。（Mが可算演算に対して閉じていないという問題
は残る---したがって極限定理は不十分にならざるをえない---が、μがσ(M)上の完全
加法的測度に拡張できるならば、μはM上ですでに完全加法的でなければならない。
Hophの拡張定理。）

てことは、μがジョルダンの場合は、ルベーグ式に定義した積分は、M可測な関数に対す
るリーマン積分に一致するのかな？ 少し考えてみないとわからん。そういうことをはっ
きり書いてある本は知らないし。
（一次元の場合、fのリーマン可積分性と、fのグラフの下の面積のジョルダン可測性は
一致することから考えて、一致するような気がする）

余談ですが、よく「ルベーグ積分はわかりにくい」と言われるけど、単に「こうすれば
うまくいく」という解説書ばかりで、そうする必然性（そうしないとどこで困るのか、
どう自然なのか、いろいろな定義の関係はどうなっているのか）に対する解説がなさす
ぎるのが原因ではないか？
たとえば、正値可測関数の積分を、単関数の積分のsupで定義する流儀とlimで定義す
る流儀があるが、両者の同値性を保証するのがエゴロフの定理（なので、そのこと
が必要になる場合には定理が引用される）。後者の方法だと、単関数列の取り方によ
らないことの証明が必要だが、前者は不要。しかし前者だと積分の加法性の証明が
面倒で、結局エゴロフで後者に帰着してたりする。……とか、いうようなことが全部
見えるようになって初めて分かった気がした。
（そういう意味ではまだ分からん点がいくつも残ってたり）

http://202.212.248.37/cgi-bin/up/img/37156.jpg
http://no.m78.com/up/data/up054755.jpg
http://no.m78.com/up/data/up054756.jpg
http://no.m78.com/up/data/up054757.jpg
http://www.42ch.net/UploaderSmall/source/1067442086.mpg

http://no.m78.com/up/data/up054785.jpg
http://no.m78.com/up/data/up054782.jpg

>>711
持つカレー。
参考になりました。がんばって函数解析につなげるつもりであります。

とりあえず、そういうことしたいなら、
Lebesgue積分だけじゃなく、他の積分論を学んだほうがよろし。

>>709で気づいたこと。

その場合でも「積分」は定義されるが、リーマン積分でも持っている基本性質で
ある「加法性」すら成り立たない。
（理由） E∈Mを共通部分を持たない可算個の集合 E1,E2,…（∈M）に分割する。
f=1-2^(-n) on En, g=2^(-n) on En と定義する(∪Enの外では0）と、f,gは単関数
で、積分の定義によって、∫fdμ=Σ(1-2^(-n))μ(En), ∫gdμ=Σ2^(-n)μ(En) となる。
いっぽう、f+g=1 on E,=0 (Eの外）だから、∫(f+g)dμ = μ(E)となる。
よって、この場合に∫(f+g)dμ =∫fdμ+∫gdμ が成り立つためには、μ(E) = Σμ(En)
でなければならない。

ここホントにこうなのですか？ｆとｇは単函数では無い気が。
値域を有限個に分割してその引き戻しを用いて変域を分割するのだから、
Ｅ＝Ｅ1＋Ｅ２+・・・・Ｅｎと有限個の類の直和に表現されるはず。
なんか変。

有限加法族Mと有限加法的測度μに対し、まず先に可算個の集合E1,E2,…∈M
で∪En=E∈Mとなるものをとり、それらの定義関数の一次結合として単関数
f,gを作るわけ。「単関数」として可算個の値をとるものまで許す流儀と、
有限個の値をとるものに限る流儀があるが、後者だとしても、f,gに収束する
単関数列で定義したf,gの積分値は、結局709のとおりになることはほぼ明ら
かでしょう。

余談だが、(X,M,μ)を（完全加法的）測度空間とするとき、X上の実数値関数
fが「可測」であることを、すべてのボレル集合Bに対しf^(-1)(B)∈Mとなる
ことで定義し、可測集合の定義関数の有限個の一次結合である関数を「単関数」、
可算個の一次結合である関数をσ-単関数とでも呼ぶことにすると、次の(1)〜
(5)はすべて同値であることに注意されたし。（証明は良い演習だろう）

(1)fは可測関数である
(2)fはσ-単関数列の一様極限である。
(3)fは単関数列の各点極限である。
(4)fは階段関数列のほとんどいたるところの極限である。
(5)fは階段関数列の測度的極限である。

さらに、Xがユークリッド空間の部分集合で、有限測度の場合は、次の(6)〜
(8)も同値。

(6)∀ε>0に対して、μ(E)<εとなるEが存在して、X-E上でfは連続関数列の
一様極限である。
(7)∀ε>0に対して、μ({x;f(x)≠φ(x)})<εとなるX上の連続関数φが存在する。
(8)fは連続関数列のほとんどいたるところの極限である。

>>714
(ﾟДﾟ)ﾊｧ?
「ルベーグ積分論」というとき、ユークリッド空間のルベーグ測度およびそれに
もとづく積分論のみ意味する場合と、測度空間の一般論とそれにもとづくルベー
グ式積分論を意味する場合があるけれど、現在たいていの教科書は後者を意識し
ているはずで（特に確率論への応用を考える場合は必然）、「ルベーグ積分論を
学ぶ」とかいうとき、基本的に後者を想定している。（もちろんスティルチェス
積分も範疇に入る。）

711の教科書批判も、抽象積分論に対して言っているので、一般測度空間で理
論展開しようがユークリッド空間であろうが、問題点に変わりないと思うが。

　それとも、「他の積分論」というのは、ダンジョワ積分とかファインマン積
分とか伊藤積分とかetc？（まさかね。そんなのは（抽象）ルベーグ積分論が完
全にわかった上での話だ）

うわぁぁぁあああああ。
>>709氏、気合入りまくりの書きこマジ持つカレーです。
やり始めて一ヶ月で分らんことばかり、マジわからん。
>>715では妙な事言って失礼しました。
また励みます。

たかだかルベーグ積分で必死なこったねぇ・・・・

たかだかねぇ．．．

ﾙﾍﾞｰｸﾞ積分における高々加算個とは…

たかがルベーグ積分、されどルベーグ積分。
たかだかなどと言えるヤシはいいよな。無知なだけかもしれんが。(w

集合の測度をσ拡張する際には、外から近似する（被覆のinfで外測度を定義するなど）。
関数の積分をσ拡張する際には、下から近似する（単関数積分の単調増加列とかsupとか）。
集合の測度定義と関数の積分定義は本質的に対応しているはずだが、なぜ集合の場合は
上からで、関数の場合は下からでやるのか。

答えられるヤシいる？

誰からの受け売り？

>>724
もし723のことを言っているなら、受け売りじゃないよ

もし同じ問いまたは答がどっかにあったなら教えてくれ。

>>723
集合の方は、下から近似したら、近似の仕方によって発散してしまう例が
作れるんじゃなかったっけ？
関数の方は、何だろう…

>>726
＞集合の方は、下から近似したら、近似の仕方によって発散してしまう例が

それって、曲面積の話じゃ？
ベクトル解析的な話はリーマン積分でまにあうので、ルベーグ積分とはあん
まり関係ないと思う。

測度の公理を満たさない場合が出てくるからでしょ。
R*R／（有理数の全体）には片開区間を含ませることが出来ないから、
測度0となっちまう。ｍ（有理数の全体）＝0だから、
R*R＝0+0＝0？？？？？？？？？？？？？？？？

そんなところで積分考える必要あるんだろうか

728はやや意味不明気味だが、言おうとしていることはこのこと↓なのだろうと思う。

ルベーグ測度の定義では「内測度」を考えることもある（内測度と外測度が一致するとき
可測とする）が、内測度の定義は外測度と双対に「含まれる区間隗の測度の上限」とはせ
ず、補集合の外測度を利用する（だから結局外測度だけで話をしているのとあまり変わら
ない）。
　で、その理由としてよく引き合いに出されるのが内点を持たない集合（で正測度の
もの）、たとえば一次元なら[0,1]の無理点全体など。この場合、外測度は1だが、
内測度を「含まれる区間」で考えようとしても不可能。「1-(補集合の外測度)」なら
1-0=1で外測度と一致する。

学生時代に授業中に寝ていて、当てられて、
判んないから適当に１と答えたら合ってた。

確かに∞と言うよりは当たりそうだ罠

age

溝畑のルベーグ積分を読んでるけど分かりやすい良い本だなと自分は思う。
しかし数学板の色々なスレを見る限り伊藤のが評判良いらしい。
どんな本なのか気になる。

伊藤のルベーグ積分を読んでるけどしっかりした良い本だなと自分は思う。
しかし、>>734曰く溝畑のルベーグ積分は良いらしい。
どんな本なのか気になる。

∫|>>734(x)->>735(x)|^2dx=0 a.e.

そういうレスいいね（ｗ

∫|神(x)->>736(x)|^2dx=0 a.e.

共立の復刊したUMEGAKIの｢作用素代数入門｣って証明の行間とか取り上げられてる内容とかどｰなんだろ
今関数空間終えてこれから作用素論に入ろうとしてるんだけど

>>736
積分値はひとつの実数だろーが。

∫|>>734(x)->>735(x)|^2dx=0

か

>>734(x)->>735(x)=0 a.e.

かどっちかにしてホスィんですけど(w

>>734-735
ルベーグ積分の導入法についていえば、

溝畑：積分が先、測度が後 ／ 可測関数…階段関数の測度的極限
　／ 積分…階段関数の積分の極限 ／ 非有界区間・非有界関数へ順次拡張／
　／ 有界収束定理→単調収束定理→ルベーグの収束定理

伊藤：測度が先、積分が後 ／ 可測関数…測度による一般的定義、単関数の各点極限として特徴づけ
　／ 積分…単関数の積分の極限 ／ 測度および関数が非有界な場合を最初から含める／
　／ 単調収束定理→ルベーグの収束定理→有界収束定理

であり、いろいろある中で対照的な選択ばかりしてくれているので、全体として両極端
になっている。

だから逆に、この２つを両方読むと、路線乗り潰しには効果的か？(w
あとはコルモゴロフ・フォミーン（非常にユニーク）と竹之内（読みにく
いがかなりユニーク）あたりを加えればほぼすべての路線がカバーできる。

L^2のるむの収束でちゅか

>>740
さんくす。溝畑も読んでみたくなったよ。

って、絶版なんだな…溝畑

>>740
自分も感謝します。
溝畑のが終わった後に伊藤の方も見てみる事にします。

解析を専門にしないなら、伊藤先生のを読んだほうがいいよ・・・。

>>745
そうか？漏れはむしろ逆だと思うが。
分量からいっても溝畑の方が読みやすいだろうし、
なによりてっとりばやくルベーグ積分の概念に到達できる。

解析 -> 関数解析方面 -> 測度論はとりあえず後回し -> 溝畑
解析以外 -> 確率論方面 -> 測度論が目的 -> 伊藤

ではないかと >>745 の意図を推測してみるテスト

>>747
確率論は解析ではないのか、と小一時間

たとえば、複素幾何で L2コホモロジー必要な人とか、
Lie群やっててHaar測度がいるとか、解析を専門にしない
人で積分論に興味ある人は普通にたくさんいる。

測度の一般論は確率論以外でも大事だと。

>>748
サードの定理とかでもでてきますね。

サードの定理って特に深い解析の知識を使うわけでもないと思うのだが・・。

フォン・ノイマンの「量子力学の数学的基礎」を読むのにはルベーグ積分３０講くらいで
十分でしょうか？物理専攻で、ヒルベルト空間をある程度（そんなに厳密にじゃなく）理解したいのですが。

十分。どっちかというと関数解析の本を読んだ方がいいんじゃない？

>>753
ありがとうございます。物理科なもんで、関数解析自体よく知らないのですが、
手頃な入門書のオススメを教えてください。

関数解析で手頃と言ったら増田久弥
http://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN4-7853-1407-9.htm

>>755
ありがとうございます。
それは定評のある本ですか？
そんなに高くないようですし、欲しいですね。

>>756
http://blueskyproject.net/book/masuda_hisaya.html

>>756
余計なお世話ですが、数学科以外の人が独学するなら理解の助けとするために
少しやさしめの本も視野に入れておいたほうがいいかもしれません。
州之内治男　「関数解析入門」　サイエンス社
荷見 守助　「関数解析入門」　内田老鶴圃

すいません、以前分からない問題スレで質問したのですが
答えてもらえなかった問題を質問します。

レリッヒ・コンドラコフの定理で、
指数がq=np/n-p（臨界指数）の時に成り立たないのは何故ですか？
田中和永著『非線形問題２』岩波書店に成り立たない例があるのは
知っているのですが・・・。

>>758
その２冊のほうが増田さんのより易しいのですか？
数学専門ではないので、易しいほうが良いのですが・・・

あ、A4だ。物理板ではいろいろ大変だね。
定評があるわけではない(と思う)けど、サイエンス社のは易しいと思うよ。
http://www.saiensu.co.jp/books-htm/ISBN4-7819-0742-3.htm

黒田成俊さんのはむちゃくちゃ難しい?

>>761
おお！俺を知っているのか。
情報ありがとう。サイエンスのを注文したよ。安いし、目次みたらよさそうだった。

>>762
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/juhan/j01106-6.html
分厚い分、丁寧そうな感じが。

>>752も、A4さんなんですか？
物理板をしきってるA4さんが、フォン・ノイマン読むのに「ルベーグ積分３０講」っすか・・・
なんかイメージ狂うな。

A4は、解析概論や佐武は難し過ぎ、とかそんなことを言ってたし、
>>752がA4でも別に意外ではないような。

752は俺じゃないが、数学に弱いのは確か。でも解析概論難しすぎとは言ってないぞ。
佐武は言ったかもしれない。あと、そもそも俺はフォン・ノイマン持ってない。

てかさー、物理とかでＬ２空間の完備性やヒルベルト空間の性質を知っている
必要があるのはわかるけど、Ｌ２空間の完備性の「証明」まで知っている必要
ってあるの？？

ルベーグ積分そのものを勉強しなくても、「積分をルベーグの意味で定義して
おけば、Ｌ２空間は完備」とかの事実だけ知ってればいいんじゃないん？

物理のための確率論（確率過程とか）のためだったら
伊藤と西尾のどちらがいいですか？

関数解析と表現論が関係してるらしい話を聞いたのですが本当ですか？
だとしたらどの様に関係しているか教えて欲しいのですが…

>>770
例えば、リー群の無限次元ユニタリ表現なんて、もろ関数解析と
関係してますが。

>>770
調和解析とか？

>>769
伊藤ってどの本のこと？ 岩波の古いやつ？

学部2年なのに全くルベーグ積分の本を読んでないよ…
溝畑のほうをとりあえず買いに行ってきます…

確率論―確率の解析的理論 現代数学の系譜
伊藤 清, 樋口 順四郎 単行本 (1986/11) 共立出版
通常11〜13日以内に発送
価格： ￥10,000

8. 確率論 新数学講座
伊藤 雄二 (著), その他 単行本 (2002/04) 朝倉書店
通常3日間以内に発送
価格： ￥5,200

9. 確率論 岩波基礎数学選書
伊藤 清 (著) 単行本 (1991/05) 岩波書店
おすすめ度：
在庫切れ
価格： ￥4,400

>>743曰く絶版らしいのだが…

>>769
西尾はとてもいい本だけど数学者向きと思う。
それと、離散時間どまりなので、連続時間の確率過程が必要なら不十分。

>>777
そうなんですか。
フェラーとかどうですかね？

Williams, "Probability with Martingales" とかコンパクトで良さそう。
でも、文章がうざいらしい。

(X，A，μ)をσ有限な測度空間とする。
P_0,P_1はμに関して確率密度関数p_0，p_1を持つものとする。

このとき，
∫ φ(x)p_0μ(x)=0かつ∫ φ(x)p_1μ(x)=1
となるA可測関数φ：X→[0,1]は存在しない。

この命題、合ってると思うのですが、うまく示すことができません。
反例はあるのでしょうか？
また、示すとしたらどのような手続きをとるのでしょうか？
どなたかヒントを下さい！

>>780
思いつきだけど、こんな反例はどう？

Ｘ＝［０，１］、ＡはLebesgue可測集合、μはLebesgue測度とする。
Ｐ_０、Ｐ_１を夫々［０，０．５］，［０．５，１］の一様分布確率測度とする（これらはμ−絶対連続）。
すると、ｐ_０、ｐ_１は、夫々［０，０．５］，［０．５，１］の定義関数の二倍になっている。
φを［０．５，１］の定義関数とすると、φはＡ可測で、
∫φ（ｘ）ｐ_０（ｘ）ｄμ（ｘ）＝∫φ（ｘ）ｄＰ_０（ｘ）＝０　∧　∫φ（ｘ）ｐ_１（ｘ）ｄμ（ｘ）＝∫φ（ｘ）ｄＰ_１（ｘ）＝１

その通りですね。

α∈(0,1)とする。
∫ φ(x)p_0μ(x)<αかつ∫ φ(x)p_1μ(x)=1
となるφが存在しない。

という条件を加えて問題は解決しました。

ぼるじょあさんには前にも答えたもらいますた。
ありがとうございますた。

素股age

3人から2人を選んでｾｸｰｽする順列は?

須之内さんの関数解析入門買ったよ。
確かに易しい本だね。
物理屋ならこれで十分かな。

伊藤清三「ルベグ積分入門」ｐ６４　補助定理（エゴロフの定理の前振り）
が理解できん。関数列がｆに収束するって書いてあるけど、
一様収束じゃないと無理っぽくない？来週関数解析のテスト。まじでヤヴァイ。

lim E_n = E のところかね？
{E_n}が単調増加だから
lim E_n = ∪E_n
これがEと等しいことをいうには
x∈E に対してx∈∪E_nをいえばいいんだから
あるnがあってx∈E_nをいえばよい。後は簡単だよね

明日卒研発表会
漏ﾚは数学科じゃないが卒研で関数解析のｾﾐﾅｰ受けてる
発表会では20分で数学をろくに氏らない厨達に弱解の存在と一意性を発表する罠

>>787
のわぁぁぁ。すまんすまん。ちょっと考えてようやく
エゴロフの考えが理解できた。あのままでオッケイだった。
わからんかったらまたお願いします。

723 ：１３２人目の素数さん ：03/11/02 19:54
たかがルベーグ積分、されどルベーグ積分。
たかだかなどと言えるヤシはいいよな。無知なだけかもしれんが。(w
集合の測度をσ拡張する際には、外から近似する（被覆のinfで外測度を定義するなど）。
関数の積分をσ拡張する際には、下から近似する（単関数積分の単調増加列とかsupとか）。
集合の測度定義と関数の積分定義は本質的に対応しているはずだが、なぜ集合の場合は
上からで、関数の場合は下からでやるのか。答えられるヤシいる？

亀レスだが、今重要なトコで同じ疑問に突き当たり、一つの考えが浮かんだので書いておく。
つーか、間違ってたら指摘キボンヌ。
可測な函数に対して単関数積分の単調増加列で面積を下から漸近させるとあるが、
つまり、
ｆｎ＝ｋ−1/２＾ｎ　但し　ｘがＥ（ｋ−1/２＾ｎ＝＜ｆ＜ｋ/２＾ｎ）の元の時
　　　　　　　　　　ＯＲ
　　　　ｎ　　但しｘがＥ（ｆ＞＝ｎ）の元の時
でしたから近似するってことだよね。でも、よく考えたら、別の単函数の列
ｇｎ＝ｋ/２＾ｎ　但し　ｘがＥ（ｋ−1/２＾ｎ＝＜ｆ＜ｋ/２＾ｎ）の元の時
　　　　　　　　　　　　　　ＯＲ
　　　　∞　　但しｘがＥ（ｆ＞＝ｎ）の元の時
を考えたら、任意のｎで、∫ｆｎ＝＜∫ｆ＜＝∫ｇｎが成り立つ。
ｆが一様有界の時（或るＭに対して、任意のｘでｆ（ｘ）＜＝Ｍ）ならば、
∫ｆｎ＝∫ｇｎは容易に示せる。つまり、目に見えない形で上下から
実数軸の一点に積分の値を追いこめている（挟み撃ちの定理）ってことじゃないの?
逆に聞きたいのは、可測函数ｆが一様有界でない時や、∞の値を取る場合には、
今のように上下から単函数列でサンドイッチする作業が出来ない場合があると思うが、どうよ？
つまり、リーマン式で言う広義積分（＝積分もどき）になっちまう。でもルベ−グ式では特に二つの間に区別が無い。
これってなんかおかしくね？

間違えた。訂正。

ｆが一様有界の時（或るＭに対して、任意のｘでｆ（ｘ）＜＝Ｍ）ならば、
∫ｆｎ＝∫ｇｎは容易に示せる。つまり、目に見えない形で上下から
実数軸の一点に積分の値を追いこめている（挟み撃ちの定理）ってことじゃないの?
↓
limn→∞∫ｆｎ＝limn→∞∫ｇｎは容易に示せる。

測度が有限でないときでも容易に示せる？

>>792
∫ｇｎが無限になれば∫ｆｎも無限になるから、Ｓは∞。

∫ｇｎが有限になれば∫ｆｎも有限になるから、どっちにせよ

limn→∞∫ｆｎ＝limn→∞∫ｇｎは容易に示せる。さっきも書いたけど、
あくまでｆが一様有界な場合の話ね。

ほんとに測度が有限でないときも容易に示せる？

ぐぁぁぁ。外側から押さえつける単函数の面積が無限になっちまう。
でも、測度空間全体の測度が無限の場合は、古典論の言葉遣いで言えば、
広義リーマン積分に相当するわけじゃないの?じゃあ、俺の論理がこの場合
に対して適切な記述を与えられなくても、全否定される謂れは無いと思うのだが。。。。。

>>795
全否定してほしかったのか？

ちょっと疑問なのですが
σ有限測度でなくても広義リーマン積分に相当するのでしょうか

>>796?
基本的な場合（ｆが一様有界、測度空間の測度が有限）には、
俺の方法で下と上から押さえつけて実数の一点に面積を追い込めるってのは同意してくれるわけ?

リーマン積分と違って
挟まなくても収束することが言えるしねえ
挟むなら0≦f≦φな可積分関数φがある場合は
上から >>790 にある単関数 g_n の代わりに
min(g_n, φ)とか使うほうが自然な気がする

物理板の者ですが、ヒルベルト空間論のよい本ありませんか？
定番でもいいです。

>>800
石村園子
すぐ分かるﾋﾙﾍﾞﾙﾄ空間

>>800
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/432001703X/
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4535608822/

>>802
それの下の奴はちょっと・・・
上のヒルベルト空間論というのは定番なんですか？復刊されたみたいですが。

>>803
吉田耕作のヒルベルト空間論は、定番中の定番ですね。

>>804
そのわりにはあまり話題に出てこないような・・・

関数解析の教科書キボンヌ、ルベグ積分は目処つきました。

増田って人のが良さそうだよ。

>>790-798
スマソ、しばらくアクセスしてなかった。（年末は忙しい〜）

有限測度空間で、一様有界な関数に対しては、単関数による上からの積分近似と下か
らの積分近似が一致することと、可測であることは同値になる。
>>798の主張と同じ内容を明確に述べているものとしては、たとえば谷島賢二「ルベーグ積
分と関数解析」（朝倉書店 講座 数学の考え方）p.51定理4.12がある。：
「m(E)<∞, f:E→Rは有界とする。このとき、
inf{∫_E ψ : ψは単関数,ψ≧f} = sup{∫_E φ : φは単関数,ψ≦f}
であることとfが可測であることは同値である。このとき、上の両辺は∫_E f に等
しい。」
（証明の考え方もほぼ>>790と同じ。主張はsup,infになっているが、証明では上下
からの単調列のlimを使う）

>>723
レスサンクス子でつ。てことは概略において俺の考えは正しいわけですね。
聞きたいのは>>723氏は>>706から俺に教えてくれてた人でつか?

>>807
増田久弥でつか？アレはちょっとやさしすぎる気が。ブランド好きな漏れとしては
もう少しアカデミックな雰囲気の奴キボン。

>>810
ブレジスとかコルモゴロフ＆フォーミンではいかかでしょう？

コルモゴロフでつか。なるほど。図書館で見ましたが、手強そうでした（ｗ
Air4th ◆xWn.OsrdWE氏は物理版の住人なのに、
数学にも強いでつね。数学専攻の漏れが負けては話にならないので励みまつ。

>>812
いや〜コルモゴロフは名前知ってるだけで読んだことはないよ。
増田さんのが易しいなんて君のほうが数学強いんじゃない？
俺は物理屋だから須之内で十分だね。
コルモゴロフ読んだら感想きかせてね〜

ｱﾚ嫁。岩波。

ヒルベルト空間と量子力学
黒田の関数解析
あたりがいいんじゃない？

黒田先生は共立がいいと思います。
L^2のFourier解析とかもあるけど。

>>815
新井さんのだよね？
タイトルに量子力学ってあるけど、内容は数学科向け？

Yes

日本ってBanach algebrasを学部でやる？ちなみにBanach algebraとは

In functional analysis, a Banach algebra is an associative algebra over the real or complex numbers which at the same time is also a Banach space.
The algebra multiplication and the Banach space norm are required to be related by the following inequality:

||xy|| ≤ ||x|| ||y|| for all x and y

いきなりブレジスは無理だろー
突然ハーンバナッハが出てきて困惑するんだ
間違いない

増田か黒田がいいんじゃないの

ブレジスはあの日本語に困惑するんだ
間違いない

>>809
イエス。>>706=>>723でつ。
ここに書き込んでるヤシってせいぜい数人かも(w

コルモゴロフ・フォミーンは数学屋にとっては分かりやすく書かれていると思う。
ちなみに、ルベーグ積分の定義で、「単関数」を定義関数の可算無限個の一次結合で
定義して、無限級数の絶対収束で｢単関数」の積分を定義し、可測関数が「単関数」
の一様収束極限であることを使う流儀は、この本が元ネタではないかと思うのだが…。

コルモゴロフ・フォミンって日本語版と英語版どっちが
いいんですか？ 日本語版のほうが中身が多いって聞いた
ことがあるんですが。

つか結局>>693ってどっちなの?

http://webcatplus.nii.ac.jp/tosho.cgi?mode=tosho&NCID=BN00646773
http://webcatplus.nii.ac.jp/tosho.cgi?mode=tosho&NCID=BN00664006

この辺によると Elements のほうっぽいのだが…。

>>823
http://webcatplus.nii.ac.jp/tosho.cgi?mode=tosho&NCID=BN00646773
には 原書第4版(Москва : 《Наука》, 1976)の全訳 って書いてるけど、
http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/0486406830/
には 1957 ed. って書いてある。

なんかでも、Introductory Real Analysis のほうが新しいみたいだな。
Introductory Real Analysis は新しい版の訳なのかな?

加藤敏夫の「位相解析」ってどうなんですか？

``Introductory Real Analysis'' from Dover looks so different from the books from Iwanami.
(First of all, it has only some 400 pages.  The books from Iwanami consists of vol. I and II)
The other one might be the translated book.

Nihongo henkan ga sinjatta yo...

作用素環論における近年の研究の主流は何でつか?

220

R^n上の凸集合の境界をA、R^n上のルベーグ測度をμとおくとき，
μ(A)=0
となりますか？
なるのならどういう方針で証明すると思いますか？

>>830

eps^n の小箱で覆う方法が最初に思い浮かびますが
これでは証明できない簡単なありますか？

>>831

それって有限個の小箱で覆うのですか？
また、どのような定理から覆えることが補償されるのでしょうか？

age

L^2(Ω)の定義をおしえてくらさい。

うん？ルベーグ？なつかしい。

>>834　（・３・）工エェー

Ｌ²（Ω）が定義できるためには、前提として、Ωには可測集合と測度が定義されていることが必要だＹｏ。
（Ω，Ｂ，μ）がこの測度だとするＹｏ。
ＫはＲまたはＣとし、ｐ≧１とするとき、
　Ｌ＾ｐ（Ω）：＝｛ｆ：Ω→Ｋ｜ｆはＢ可測∧∫_Ω|ｆ|＾ｐｄμ＜∞｝
だＹｏ。

>836　ｔｈｘ。
一応自分なりにも調べてみました。
測度空間Ｘ上の可測関数 f(x) が

∫　|f(s)|^p dx < ∞
　Ω
を満たすとき f(x) はＬp(Ω)に入るという．ただし，1≦p＜+∞ である.

こんな感じでいいですかね？

パロマ湯沸器は世界初の不完全燃防止装置を開発。以来今日まで、25年間不完全燃焼無事故！！
http://www.paloma.co.jp/products/kettle/kettle.html
の謳い文句を見て中古の湯沸し器を買った漏れなわけだが・・・　今のところ快適ﾓﾅｰ

>>837
誤字を除けば、それでいい。

＞測度空間Ｘ上の可測関数 f(x) が
⇒測度空間Ω上の可測関数 f(x) が

＞∫　|f(s)|^p dx < ∞
⇒∫　|f(x)|^p dx < ∞
等

ちなみに、Ωの測度がμのとき、∫|f(x)|^p dx　は、μを明示して　∫｜ｆ｜＾ｐｄμ、∫｜ｆ（ｘ）｜＾ｐｄμ（ｘ）　等と書く方が無難

フーリエ・ラプラス変換と演算子法、微分方程式での応用ついて、
コンパクトで原理的な解説の教科書って無いですか？テストまじかなので。

スペクトル定理わからん。なにが言いたいんだ。

スペクトルマン 変身せよ

空手踊り

>>839
積分における測度の明示の仕方って、

∫ |f|^p dμ、 ∫|f(x)|^p dμ(x)、 ∫|f(x)|^p μ(dx)

のどれがbestと思う？

>>840
本当の意味で「原理的な」解説はみたことない。（だから自分でまとめようとした
ことはあるが）
テストのレベルならまあ適当でもいいんだろうけどさ…
漏れの認識はこうなので↓

・フーリエ変換とラプラス変換は実は同じ（実軸上のξで定義されたフーリエ変換
を上半平面に解析接続したものがラプラス変換）

・フーリエ展開とローラン展開は実は同じ（単位円の周上で定義されたξを内部
に解析接続）

・ミクシンスキー演算子法と漸化式（差分方程式）の生成関数法は実は同じ

・微積分法と和差分法（組合せ解析）は実は同じ。ラプラス変換とＺ変換（生
成関数法と同値）が対応し、超関数のレベルまでいくと演算子法（ミクシンス
キーはもちろん、線形微分方程式の一般解を求める演算子法）やグリーン関数
のレベルまですべて対応

・上記全ては同じ原理で統一できる

>>841
有限次元の場合を理解すればいい。
線形作用素というのは、無限次元線形空間の上の線形写像だから、有限次元線
形空間の場合は行列のことになる。

単純な場合、対称行列（orエルミート行列）Aは、固有値をλ1,…,λn, 各固
有空間への射影行列をP1,…,Pnとすると、A = λ1P1 + … + λnPn とあらわせる。
これがスペクトル展開。

ちなみに、適当な境界条件をつけた関数空間で、ベクトルと思った関数を「直交基
底」sinnx,cosnxで成分表示したのがフーリエ展開だが、二階微分作用素A=d^2/dx^2
が（適切な設定のもとで）「エルミート」になり、その固有値nの固有空間が{sinnx,
cosnx}になる。フーリエ展開と二階微分方程式の相性がいいのは、作用素の「対角
化」になってるから。
（細かい問題はいろいろあるが、認識論だけなら小針「確率・統計入門」（岩波）の
真中へんに「フーリエ変換」という短い解説がある。あと、志賀30講シリーズ
の「固有値問題」あたりもわかりやすい。）

Re:>>837
それはp乗可積分の説明でしかない。
L^pというのは、p乗可積分関数全体のなす集合の、{殆ど至る所0となる関数}による類別によって定義される。
どうしてこんな面倒なことをするかと云うと、L^pにノルムの構造を入れたいからだ。
L^pの元[f]の代表元をfとするとき、汎関数
||[f]||_p=(∫|f|^pdμ)^(1/p)
によってノルムが与えられる。同値類をとらないと、セミノルムにしかならない。
(ちなみに、通常はL^pの元は同値類らしい書き方がされていない。通常の関数と同じに書くことが多い。これは初心者が引っかかるところだ。)

ほとんどいたるところ一致する関数を同一視するのって、ルベーグ測度論やったあと
ではかなり自然に思えるけど、リーマン積分できない関数として有名な、[0,1]の有理
数全体の定義関数（有理数で1,無理数で0）も、なんのことはない、いたるところ0と
いう連続関数と同値になってしまうんだよね。
　初学者の頃ってこういうあたりの感覚的理解があいまいだったりするかも。

伊藤清三の『ルベーグ積分入門』の定理4.2(p.19)の証明って
かなり飛躍がありませんか? 特に(第3段)のところで(4.21)式
を満足する区間J_nの存在は、I_nが非有界かつm(I_n)が有限な
場合には自明ではないと思う。右連続性とmの定義を使ってここ
を詰めるのは結構面倒な気がする。

>>849
>かなり飛躍がありませんか? 特に(第3段)のところで(4.21)式
>を満足する区間J_nの存在は、I_nが非有界かつm(I_n)が有限な
>場合には自明ではないと思う。右連続性とmの定義を使ってここ
>を詰めるのは結構面倒な気がする。

なんで？ あるνで、区間の左は議論に関係ないから∞でも問題なく、区間の右が∞のと
きはそのまま同じ∞。したがってν成分については同じ区間のままだが、測度も同じま
まだからべつにかまわない）。

>>849
飛躍はないと思うけど、伊藤清三のこの部分の運びは気に入らないな。

この定理（定理4.2）はユークリッド空間のルベーグ測度構成の基本部分（一般に、
有限加法族F上の測度mが完全加法的ならば、mをFの生成する完全加法族σ(F)上の
完全加法的測度に拡張できるので、ユークリッド空間の場合は区間塊が作る有限
加法族F上で普通の体積mがF上完全加法的であることを示すことが基本になる）。

（なお、この証明にはどうしても(4.21)式＋有界閉集合のコンパクト性が必要で、
その部分がもっとも本質的。コンパクト概念のひとつの起源にもなった。）

それを、最初から非有界な区間塊を扱い、しかもいきなりスティルチェス測度の場合でや
るものだから、証明がいたずらに長くなってて、本質が見えにくい。

第一に、mが有限加法的測度であるとき
「mが完全加法性をもつ ⇔ mが完全劣加法性をもつ ⇔ mが完全被覆劣加法性をもつ」
で、これらは一般論で簡単に言えるので、そのことは分離したほうが見通しがいいの
に、伊藤清三は定理4.2の中でまとめてやっている。
（(第3段)をみると分かるように、結局は完全被覆劣加法性を示す。）

第二に、有限加法族Fとして有界な区間塊だけ考えても、どうせσ(F)は同じボレル集
合族になるのに、なぜわざわざ最初から非有界を含めて話を面倒にするのかがわからん。

>>850
> なんで？ あるνで、区間の左は議論に関係ないから∞でも問題なく、区間の右が
> ∞のときはそのまま同じ∞。したがってν成分については同じ区間のままだが、
> 測度も同じままだからべつにかまわない）。

m(I)はIが非有界な区間の場合には、それに含まれる有界区間Jに
ついてのm(J)の上限として定義されているのだから、Iが有界で
ない場合にもm(I)が成分毎の積で表されることが示されてなければ、
この成分に関する議論は通用しないでしょう。

続き。で、あるνについて区間左端が-∞、右端が実数b_νのとき、
その成分について、f_ν(b_ν) - inf f_ν(x)がf_νの単調増加
から出てくるわけだけど、やっぱり一言欲しいというのが感想です。

>>852
ああなるほど。Iが非有界な場合のm(I)を、成分ごとのsupの積として定義してあれば
よかったのかな。
　あるいは伊藤の定義とこの定義が同値であることを先に示しておくとか。

　教科書は注意して書かないと非本質的なところでひっかかられるものなのだなあと
いう感想を持った。（非本質的部分だからこそ深く考えずに書いてしまうわけだが。）

折れの思い出。講義でルベーグ測度→ルベーグ積分のあと、変数変換公式の証明が
あった。ヤコビアンがかかるやつ。で、その証明中で平行四辺形の面積が行列式で
表されることを自明として使っているのが気になった。解析概論でその証明を調べ
ると、平行四辺形の面積の定義を底辺×高さとして証明していた。
　しかし傾いた平行四辺形の面積のルベーグ測度は、座標軸に平行な長方形の合併
（区間塊）で覆って、その面積の下限で定義するんじゃなかったか？ とすると、
その定義と初等的な面積の定義が一致することの証明が先に必要では？
　そのあたりの論理的整合性を深く考え始めるとだんだん混乱してきたので、講義
の先生に質問してみたが、「それは確かにそうだ」というだけで、具体的なことは
教えてくれなかった。「やればできる」が「たいしたことではない」ので「面倒」
だったのだろう。いまはわかる。

（有名な話として、lim(x→∞)(sinx/x)の証明は へたすると循環論法になるが、
それと似たようなものか）

訂正。lim(x→0)(sinx/x) ね。寝ぼけてる…

（・３・）
伊藤先生のLebesgue積分入門はとても良い本だと思うが、可測関数の説明は晦渋だ。可測関数を普通に
　ｆ：（Ω，Ｂ）→（Ω’，Ｂ’）が可測　⇔　∀Ａ∈Ｂ’ ｆ＾（−１）（Ａ）∈Ｂ
と定義すれば、後の記述で結構簡単化できるところが各所ある。
伊藤先生は、なぜこの様な記述方法にしたのだろうか。

>>857
たしかに伊藤流（測度→積分）ではそのほうがスマートな気がする。
基礎的な部分がところどころ洗練されてないような…。
（ちなみに漏れが気に入っているのは岩波「現代数学概説２」。）

まあ積分の導入をどうやるかによって、可測関数の定義はベストな選択が変わるとは思うが。
（>>717の(1)-(5)すべてのパターンが実際にある。）

関数解析とルベーグ積分にどういう関係があるのですか？

ルベーグ積分だと話が上手くいく。

積分で距離を定義した距離空間が完備になるというのが関数解析におけるルベーグ
積分の最大の意義かな。

高村多賀子’函数解析入門’なかなかイイと思って購入したが、
なんとｐ25に、’ルベーグ積分を仮定しないわれわれの立場’などと言う
台詞が。この本の位置付けってどうなんでしょう？
結構レベル高めと思って買ったが、そう思ったのは実は俺だけ？
あと、この本のスレを立てるか上げて欲しいんだが、見つからない。。。。。。

君いつも本ばっか買ってるね。

>>862
その本の専用スレなんて需要ないだろ。

Re:>>862
吾は「測度論を介さずにルベーグ積分に類する演算を定義できる。」という話を知っている。
(Rietz(スペルが怪しい。)が導入した積分論らしい。)

RietzじゃなくてRieszだった。

福田和也はちょっとねじゆるんでるとおもう。

で、結局さ、どのルベーグ積分を勉強するにはどの本がいいのさ？
伊藤清三よりいい本ってあるの？

３０講→伊藤でいいはず。俺はそうした。

リーマン積分は短冊をうーんと増やして足してるから
完全加法的測度ではないの？
DQNでスマソ・・・

>>861
それは違うだろ。抽象的な空間でも、測度空間ならなんでも
統一的に積分論が展開できることが　ルベーグ積分の強みだろう。

>>869 「３０講→伊藤でいいはず。俺はそうした。 」
嘘だろ。その程度ですむのか？その程度ですむような
範囲でしか使わないなら構わないが。
伊藤清三は基本中の基本。あれは本当に基本的なことしか
書いてないから、あれだけで十分だと思ったら大間違いですよ。

>>870
そういうこと。リーマン測度は、有限加法的測度。

>>872
レスありがとうございます。自分の表現がわるかったです。
リーマン積分は、短冊をうーんと（無限個まで）
増やしたのを足しているから完全加法的ではないかと思うのですが・・・。
ということなんです。
どうやらこの解釈は違うのですね・・・

あげ

リーマンは最初に有限個で覆ったのち、それを無限まで飛ばしてるだけだから有限加法的測度。
（だから[0,1]の有理数点は最初に有限個で覆えず、外測度と内測度が一致しない｡）
ルベーグはいきなり最初から加算無限個で覆えちゃう。これが完全加法的。
ということか！
間違ってたら指摘お願いします｡一人でうだうだすみません。

>>875
いいんでない。

>>871
>それは違うだろ。抽象的な空間でも、測度空間ならなんでも
>統一的に積分論が展開できることが　ルベーグ積分の強みだろう。

それはどっちかっていうと関数解析における意義というより、確率論における意義だ
ろう。汎関数積分にしても確率論的色彩が強いし。
関数解析で抽象積分が要ることはないではないけどさ。（連続スペクトルの積分とか）

２つ質問させていただきます。
(A)
「ほとんどいたるところで成立する」の定義が本によって違うのですが、
どちらが正しいのでしょうか?
測度空間(X,F,m)上で定義された可測関数列fn(x)がm-a.e.x∈Xで関数f(x)
に収束する、すなわちlim(n→∞)fn(x)=f(x) m-a.e.x∈Xを例に挙げます。
(1)A={x∈X:lim(n→∞)fn(x)≠f(x)}とおくと、m(A)=0が成り立つ。
(2)m(E)=0を満たすある集合E∈Fの点を除くすべての点x∈Xで
lim(n→∞)fn(x)=f(x)が成り立つ。
A⊂Eかつm(E)=0なので、Aがm-零集合であることが分かります。
(2)においては、(X,F,m)が完備測度空間またはf(x)が可測関数でなければ、
m(A)=0であることは言えないと思います。
そこで、次の質問です。
(B)
測度空間(X,F,m)上で定義された可測関数f(x)がm-a.e.x∈Xで関数g(x)に
等しい時、すなわちf(x)=g(x) m-a.e.x∈Xである時、
g(x)は可測関数である。これは正しいのでしょうか?
(B)に関しては、正しければ証明をお願いしたいです。
「測度空間(X,F,m)上で定義された可測関数f(x)が各点で関数g(x)に
等しい時、g(x)は可測関数である。」は証明済みとします。

追加です
｢ただし、(X,F,m)は完備測度空間でないものとします｣

>>877　ちゃうちゃう全然。関数解析だろうが確率論だろうが
関係ない。
汎関数積分？確率積分のことか？確率積分は
ルベーグ積分が前提だぞ。
連続関数の空間の上で積分するにはルベーグ（式）積分が必要だぞ。
関数解析での「抽象積分」ってなに？
連続スペクトルの積分？「スペクトル測度」による
ルベーグ（式）積分のことか？
ボホナー積分は関数解析では必須。その基礎となるのは
ルベーグ（式）積分論だよ。

880は知識が狭いんとちゃう？

>>878
(A)について
(1)の集合Aは、（測度空間が完備でなくとも）fnが可測関数ならば可測になる
ので、どちらの定義でもよい。
理由： A = ∪[ε>0] ∩[N≧1] ∪[n≧N] {x∈X ; |fn(x) - f(x)| >ε }
と書けることに注意すればわかる。（ε>0のところは、εn→0となる適当な可
算列で十分であることにも注意）

(B)について
測度空間が完備でない場合、成り立たない。
反例：Eを零集合とし、Eの部分集合で非可測なものをE'とする。gとしてE'の
定義関数をとれば、gは可測関数f≡0とX-Eで一致するが、非可測関数である。

測度論の理解を深める役に立つ良い質問と思いますが、ひとつだけ気になった
記述：

>「測度空間(X,F,m)上で定義された可測関数f(x)が各点で関数g(x)に
>等しい時、g(x)は可測関数である。」は証明済みとします。

各点で一致する関数というのは完全に同一物だから、「証明」するまでもなく
自明では？

(A)については
(1)のAは確かに可測でない場合がある。
m(A)=0というのは、
Aが可測であってさらにm(A)=0だといってるんだと思う。
これが成立すればf(x)は可測関数でもある
(2)のほうが普通の定義だと思うね
(2)が成立してもf(x)が可測関数とはいえないから、弱い定義。

P(x) a.e.の意味を普通は
m({x:P(x)でない})=0
ではなくて
∃A:可測集合 m(A)=0かつx∈AでないときP(x)が成立
と定義するのと同じこと

>>881
理由は？

８８１　君の知識を披露してくれ。何も知らないと思うが。

>>883は>>881と逆の主張をしている？

＞(1)のAは確かに可測でない場合がある。
＞(2)が成立してもf(x)が可測関数とはいえないから、弱い定義。

証明というか例キボン。

間違えた
>>883と>>882の話ね

(1)はコピペですまぬが
Eを零集合とし、Eの部分集合で非可測なものをE'とする。fとしてE'の
定義関数をとれば、f≡0とX-Eで一致するが、非可測関数である。
さらに、fn≡0 on X とすれば
A={x∈X:lim(n→∞)fn(x)≠f(x)}={x∈X:0≠f(x)}=E'
なのでAは可測ではない。
というか>>882 が同じこと書いてる気がする
一方、(2)はこの場合でも成立する

＞これが成立すればf(x)は可測関数でもある
ｽﾏｿ、これは嘘だ釣ってくる

なんかややこしくなってきたので、事実をまとめよう。
・fnが可測関数ならば、f=limfnも（存在する限り）可測関数である。（cf.伊藤清三 定理10.6）
・fn,fが可測関数ならば、A={x∈X:lim(n→∞)fn(x)≠f(x)}は可測集合である。cf.>>882
・fnが可測関数でも、fが可測関数でないならば、Aは可測集合とは限らない。cf.>>888
・P(x) a.e.の定義は、通常「∃A:可測集合 m(A)=0かつx∈AでないときP(x)が成立」とする。
・f=limfn a.e.を考えるときはfはX-E上でのみ定義されたものと考えるようである
（たとえば伊藤でegoroffの定理10.9の記述を、>>888の例を念頭において読むとよくわかる）。

伊藤のように「fとfnを別々に与える場合はつねに各点収束で考え、a.e.収束におい
てはfはlimfnにより定義された場合だけ考える」ようにして議論できるので、これで
問題はない。（一番上の主張のfは各点収束で定義されていることに注意）
しかしそれだと、「fとfnをX上の関数として別々に与えてa.e.収束を問題にする」よ
うな場合の記述が不便ではある。

P(x)a.e.を「A={x;P(x)が成立しない}とおくときAが可測でm(A)=0」と定義したほう
が本当はすっきりするように思うがどうだろう。（この定義だと>>878の質問(B)も真
になる。）

＞この定義だと>>878の質問(B)も真になる。
漏れも一瞬そう思ったが、それは間違ってる。
例えば、B,C を互いに交わらない非可測零集合で、B∪Cは可測集合とすると
0=χ_B(x)-χ_C(x) a.e.
だけど、右辺は可測関数ではない

>>891
おおなるほど、おっしゃる通り。

質問のお答えありがとうございます
>>882
(A)について
>(1)の集合Aは、（測度空間が完備でなくとも）fnが可測関数ならば
可測になるので、どちらの定義でもよい。

少し分かりづらかったかもしれませんが、f(x)が可測関数であるという
条件は付けていません。したがって、｢(1),(2)のどちらの定義でもよい｣
となるためには、｢f(x)が可測関数である，あるいは(X,F,m)が完備測度
空間である｣でないといけませんよね?

(B)について
>測度空間が完備でない場合、成り立たない。

その通りだと思います。
逆に、測度空間が完備な場合は成り立つと思います。

>各点で一致する関数というのは完全に同一物だから、「証明」するまでも
なく自明では？

すいません。少しぼけてました。
実は(B)のf(x)の部分はlim(n→∞)fn(x)だったのですが、勝手にf(x)に
変えたら、自明になってしまいました。

>>883
そう、(2)の方が弱い定義なんだよなあ。
だから、(2)を定義とするときは、上にも書いたように、｢f(x)が
可測関数である，あるいは(X,F,m)が完備測度空間である｣という
条件がなければ、よく本で使われている(1)を使うことはできない
と思います。

>>893を補足しておくと、
＞｢f(x)が可測関数である，あるいは(X,F,m)が完備測度空間である｣という
＞条件がなければ、よく本で使われている(1)を使うことはできない
というのはたしかにそうだけれども、本で(1)を使う場合は>>890にあるようにf(x)
はlimfn(x)によって定義されたものと考えているはずで、そのとき>>890の一番上
にあるようにf(x)は可測になる。
limfn(x)が定義できないxがある場合にどう約束するかとか、∞という値を許すか
どうかなどで、主張の記述に微妙な差が生じ、微妙だがtrivialでない問題を含む
のだが、そのへんを明確に書いてある本はほとんどない。>>893はそのあたりのひ
とつを浮き彫りにするいい指摘と思う。
（漏れも同様の問題意識から、｢単調収束定理」と「Beppo-Leviの定理」が本質的
に異なる主張であることに気づいたときは愕然とした）

f=g&g=h&f!=h

435

ルベ−グ積分入門（州之内治男）で質問です
この本は階段関数の積分の拡張として（測度論を使わずに）積分を定義するのですが、
測度0の集合の定義を階段関数の列の積分で言い換えたものらしいのですが

集合　Ｚ⊂（a,b）が測度0　⇔
任意のεに対し、階段関数の増加列
(3)　0≦φ1^(ε)≦φ2^(ε)≦φ3^(ε)・・・・
を選び、しかも
(4)　∫[a,b]φn^(ε)dx<ε
(5)　(Sup_n)φn^(ε)≧1　x∈Z
とできる

と書いてあります
最後の(5)はSupではなくてInfのような気がするのですけど。

木の精。

>>144
無いけど、去年の話か・・・

>>899
不存在証明ってどうやるの？

>>900
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1039581014/732

>>901
(2) だけれど、空でない R の G_δ集合ではなく R で稠密な G_δ 集合が正しい。

>>897
その命題の証明をちゃんと読めば分かるはずだが、直観的にピンとこないというの
であれば、次のことに注意すればよい：

単調非減少を仮定しているから (Inf_n)φn^(ε)は有限個のφnにしか関係しないが、
(Sup_n)φn^(ε)は無限個のφnに関係する。
あるいは、limφn^(ε)=(Sup_n)φn^(ε)だから、と言えばよいか？

最近サイエンス社から出た吉田善章氏の「応用のための関数解析」は結構いいかも．age

確率論以外では測度空間は大抵位相空間にもなっている。
だからラドン測度が重要だと思うんだが、これについて
扱ってる本って少ないよね？　さらにHaar測度も非常に基本的かつ
重要なんだが、これを扱った本も少ない。

売れそうもないから

リーマン「おい、おまいら！！積分できない関数発見しますた。集合しる！」
ジョルダン「詳細キボンヌ」
リーマン「上積分と下積分の値が違いますが、何か？」
ジョルダン「積分不可能な関数ｷﾀ━━━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━━━ !!!!!」
カラテオドリ「ｷﾀ━━━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━━━ !!!!!」
ルベ−グ「リーマン積分ごときで騒ぐ奴は逝ってヨシ」
カラテオドリ「オマエモナー」
ジョルダン--------終了-------
リーマン --------再開-------
ジョルダン「再開すなＤＱＮが！それより積分の改善うｐキボンヌ」
ルベ−グ「外測度うｐ」
リーマン「↑誤爆？」
カラテオドリ「ルベ−グ可測集合キボンヌ」
ルベ−グ「ほらよルベ−グ可測集合age＞関数」
リーマン「神降臨！！」
カラテオドリ「可測集合の別定義age」
ルベ−グ「糞定義ageんな！sageろ」
カラテオドリ「より抽象化した測度論age」
ジョルダン「抽象概念uzeeeeeeeeeeee！！」
ルベ−グ「ageって言ってればあがると思ってるﾔｼはＤＱＮ」
グロタン「イタイ名前の数学者がいるのはここですか？」
カラテオドリ「氏ね」
ルベ−グ「むしろゐ�`」
カラテオドリ「可測集合age」
グロタン「空　手　踊　り　、　必　死　だ　な　（　藁　）



2ch + 数学 = ?
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1078753069/

笑った

洋書の入門書で、

Introductory Real Analysis (Kolmogorov and Fomin)
Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis (Kolmogorov and Fomin)

Real Analysis (Royden)

Real and Complex Analysis (Rudin)
Functional Analysis (Rudin)

みたいのがあると思うんですが、
読んだことある人います？

積読。実際に読んでる人もいっぱいいるだろうけど、何が訊きたいの?

伊藤清三なんかと比べてどこが良いとか悪いとかですね。

測度論では測度空間の定義に
集合Ｘ　Ｘ上のσ体Ｍ　Ｍ上の非負かつσ加法的な集合関数μ
が与えられた時この組（X,M,μ）を測度空間、μを測度（後は略）とよぶ

となってますが、
R^n上のリーマン測度などを考えると
明らかにリーマン可測な集合の全体の集合はσ環ではありませんし
リーマン可測な集合族に対してだってσ加法的ではないです

てことはＲ^n上のリーマン可測な集合全体の集合やリーマン測度の組
(R^n.M,μ)などは測度空間とはいわないのでしょうか
またリーマン測度μも一般的には測度のうちには入らないのでしょうか

Re:>>912 吾はジョルダン可測とルベーグ可測は知ってるが、リーマン可測って何？

〜を面積確定あるいはリーマン可測（あるいはジョルダン可測）と呼ぶ　らしいです。

Re:>>912 リーマン測度の場合は、有限加法的測度空間になるだろう。

測度空間──┬──完全加法的
　　　　　　　　　│
　　　　　　　　　└──有限加法的


ってことですか？

複素関数のルベーグ積分はありますか？

あります。

R^kにおいて
ボレル集合全体⊂可測集合全体⊂部分集合全体
ですよね

可側ではない集合に付いては色々考察されてますけど
ボレル集合ではない可測集合ってあるんですか？
あるとしたら具体的にどのような集合になるのでしょう

>>919
吉田洋一著「ルベグ積分入門」新数学シリーズ23 培風館 1965
付録 反例そのほか §7. ルベグ可測な集合はボレル集合であるとは限らない

∫fXQdx+∫fXQcdx=∫1XQdx+∫0XQcdx=1*m(Q)+0*m(Qc)=0

X, Yが位相空間でZ=X×Yが直積位相空間のとき、Zのボレル集合族が、
Xのボレル集合とYのボレル集合の直積全体から生成されるσ-集合族に
一致するためには、XとYが第2可算公理を満たせば十分だと思うんですが、
これって必要条件でもありますか？

Re:>>922 有限直積の場合は直積位相空間と箱型位相空間が一致する。
σ(B(X)×B(Y))⊆B(Z) を示せば十分なわけだが、
これをどうやって示せばいいのかを考察することにしよう。

>>923
> σ(B(X)×B(Y))⊆B(Z) を示せば十分なわけだが、

これは一般に言えますが、こっちは？

B(Z)⊆σ(B(X)×B(Y))

O(X), O(Y), O(Z)をそれぞれX, Y, Zの開集合系とすると、一般には
O(Z)は開集合の筒集合の必ずしも可算とは限らない任意個の和になる
ので、可算和と可算共通分、及び補集合演算(まとめてススリン演算で
良かったのかな？)で、そもそもO(Z)自身が得られるとは限らないような。

お前等こういう話してて面白いと思ってるの？

Re:>>924 箱型位相、直積位相で同じO(Z)が得られる。

¬（∀ｘ（Ａ（ｘ）⇒Ｂ（ｘ））≡∃ｘ（Ａｘ）∧¬Ｂ（ｘ）

いやだから、箱型でも一般直積でも準基底から基底作って、その
「任意個」の和集合を開集合にするんでしょう？可算和ならばB(Z)
に入ることは定義から言えるけど、非可算和だとB(Z)に入らないZの
開集合が存在する可能性があるのでは？で、第2可算公理があれば、
O(Z)の基底(箱型だから筒集合からなる)として可算なものが取れて
Z自身第2可算公理を満たすから、O(Z)⊆σ(B(X)×B(Y))となって
等号成立となると。

う〜ん。間違ってるのかなぁ？

>>928
> O(Z)の基底(箱型だから筒集合からなる)として可算なものが取れて

「筒集合」じゃなくて「箱集合」だったかな？すんません。用語を忘
れてしまった。要するに開集合の直積。

ああ、完全におかしい。B(Z)じゃなくてσ(B(X)×B(Y))だ。再び訂正。

箱型でも一般直積でも準基底から基底作って、その「任意個」の和集合を
開集合にする。可算和ならばσ(B(X)×B(Y))に入ることは定義から言える
けど、非可算和だとσ(B(X)×B(Y))に入らないZの開集合が存在する可能性
があるのでは？で、第2可算公理があれば、O(Z)の基底で開集合の直積から
なる可算なものが取れて、Z自身第2可算公理を満たすから、

O(Z)⊆σ(B(X)×B(Y)) ⇒ B(Z)⊆σ(B(X)×B(Y))

となって等号成立。

Re:>>930 ルベーグ測度のときは、ユークリッド空間が可分であることを使っていた。
第二可算公理を仮定する必要が無いような気がするが、どうか？

ルベーグ測度って案外難しいのね・・・。

Re:>>932 ボレル測度、ルベーグ測度、ともに難しい。
ジョルダン測度はどうだろう？

>>931
距離空間だから可分と第2可算公理が同値。一般の位相空間では
そうはいかないでしょう。勿論ヒルベルト空間やバナッハ空間の
ようなノルム空間ならば、可分であればいいわけですが。ええと、
取りあえず知りたかったのは

O(Z)⊆σ(B(X)×B(Y))

から位相空間(X, O(X)),(Y, O(Y))が第2可算公理を満足することを
言えるかどうか、です。あるいは、第2可算公理を満たさない位相
空間の直積位相空間でボレル集合族がボレル集合の直積全体から
生成されるような例があるのか。

｜Ｚ｜＜｜Ａ｜でＢ⊂ＡがＢ＝Ａまたは｜Ｂ｜＜｜Ｚ｜のとき
ＢはＡの閉集合とするとＡは位相空間。