フィボナッチ数列

フィボナッチ数列の一般項の求め方

F(n+2)=F(n+1)+F(n)より、
　　F(n+2)-αF(n+1)=β( F(n+1)-αF(n) )　…（ア）
　　F(n+2)-βF(n+1)=α( F(n+1)-βF(n) )　…（イ）
ここで、α、β（α<β）は方程式 x^2-x-1=0の2解で、
解と係数の関係より
　　α+β=1　αβ=-1　β-α=√5
である。
（ア）と（イ）より
　　F(n+1)-αF(n) = {F(2)-αF(1)}β^(n-1) = (1-α)β^(n-1)　…（ウ）
　　F(n+1)-βF(n) = {F(2)-βF(1)}α^(n-1) = (1-β)α^(n-1)　…（エ）
（ウ）―（エ）より
　　(β-α) F(n) = (1-α)β^(n-1) - (1-β)α^(n-1)
あとは、βとαの対称式、交代式が出てくるから、
中ほどの解と係数の関係を使ってあげればいい。