フィボナッチ数列

〔問題585〕　フィボナッチ数列を三角関数で表現しなさい。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1220115988/585
東大入試作問者スレ１６

>>312

　φ = (1+√5)/2,　-1/φ = (1-√5)/2,
とおくと、
　φ + (-1/φ) = 1,
　φ - (-1/φ) = √5,
　φ^2 + (-1/φ)^2 = 3,
　φ･(-1/φ) = -1,
これと「ビネの公式」より
　F_n = {φ^(n+1) - (-1/φ)^(n+1)} / √5,
　　　= Π[k=1,[n/2]] {3 + 2cos(2kπ/(n+1))}
　　　= Π[k=1,[n/2]] {1 + 4cos(kπ/(n+1))^2},

〔補題〕 n≧2 のとき
　x^(n+1) - y^(n+1) = (x-y)Π[k=1,n] {x - y･exp(2ikπ/(n+1))}
　= (x-y){(x+y)^d}Π[k=1,[n/2]] {x^2 +y^2 -2xy･cos(2kπ/(n+1))}.
　nが偶数のとき　d=0, nが奇数のとき d=1,

〔参考〕
1.　数セミ増刊「数学100の問題」, 日本評論社 (1984.9) ISBN:4-535-70405-8
　　　p.90-92, 細矢治夫, 「フィボナッチ数の問題」
2.　P.W.Kasteleyn, <<Physica>>, ２７, p.1209-1215 (1961)
　"The statistics of dimers on a lattice"
　正方格子上のある量(分配函数Z)を統計力学的に数え上げた際に出てきた式の副産物とか。

>>312-313

定理スレにそろえれば、
　F_n = {φ^n - (-1/φ)^n} / √5,
　　　= Π[k=1,[(n-1)/2]] {3 + 2cos(2kπ/n)}
　　　= Π[k=1,[(n-1)/2]] {1 + 4cos(kπ/n)^2},

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1073918716/421-422
定理スレ