真である全ての命題は、背理法を使って証明できる？
1 ：１３２人目の素数さん：
「真である全ての命題は、背理法を使って証明できる？」
という命題は真であるか否か
この命題が真であるとすればそれを証明できるか
否であるとすれば反例はどのようなものか
という命題は真であるか否か
この命題が真であるとすればそれを証明できるか
否であるとすれば反例はどのようなものか
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2 ：1：03/01/20 05:44
3 ：１３２人目の素数さん：03/01/20 07:34
ここは超論理的なインターネットですね
4 ：１３２人目の素数さん：03/01/20 08:01
数理論理学はよく知らないが、
真であるが証明できない命題が存在するんじゃなかったっけ？
真であるが証明できない命題が存在するんじゃなかったっけ？
5 ：１３２人目の素数さん：03/01/20 08:06
これが真であるとすると、背理法を使うかどうかに関わらず
「真である全ての命題は証明可能である」という事になるわけだが
たとえ真であっても、それを証明する方法があるとは限らないわけで。
（ただ、「証明することができる」という、メタレベルの命題を考えるために
まずは「証明する」とはどういうことか？というあたりから始めないといけないが。）
それとも「真である命題」とは、「真であることが証明されている命題」のこと？
それなら、命題を否定したものを仮定すれば、
真であることを証明したのと同じ過程によって、矛盾を導ける。
「真である全ての命題は証明可能である」という事になるわけだが
たとえ真であっても、それを証明する方法があるとは限らないわけで。
（ただ、「証明することができる」という、メタレベルの命題を考えるために
まずは「証明する」とはどういうことか？というあたりから始めないといけないが。）
それとも「真である命題」とは、「真であることが証明されている命題」のこと？
それなら、命題を否定したものを仮定すれば、
真であることを証明したのと同じ過程によって、矛盾を導ける。
6 ：１３２人目の素数さん：03/01/20 08:42
背理法を使って証明できない命題は、全て偽である？
7 ：１３２人目の素数さん：03/01/20 08:54
>>6
他人のレスを嫁。
他人のレスを嫁。
8 ：１３２人目の素数さん：03/01/20 10:56
9 ：１３２人目の素数さん：03/01/21 14:46
証明できるすべての命題は背理法を用いても証明できる。
論理の基本中の基本。こんどからくだらねえすれいちいちたてねえで
論理学スレでききたまい。
終了
論理の基本中の基本。こんどからくだらねえすれいちいちたてねえで
論理学スレでききたまい。
終了
10 ：１３２人目の素数さん：03/01/22 15:06
証明できない命題ってあるの？
そういうのあったら例を教えてください
証明できないことの証明はどうやってやるのかも
そういうのあったら例を教えてください
証明できないことの証明はどうやってやるのかも
11 ：１３２人目の素数さん：03/01/22 15:25
P=NP
これは「証明されていない命題」か
これは「証明されていない命題」か
12 ：１３２人目の素数さん：03/01/22 16:12
「ﾕﾙﾋｭﾝは存在する」
13 ：１３２人目の素数さん：03/01/22 20:29
>>10
命題P：「命題Pは証明不可能」
という命題。もっともありがちな例だが。
つーか俺は本質的にこれと異なる例を聞いたことがない。
これが証明されれば矛盾だし、
証明不可能ならば、真であるのに
証明不可能な命題ということになる。
命題P：「命題Pは証明不可能」
という命題。もっともありがちな例だが。
つーか俺は本質的にこれと異なる例を聞いたことがない。
これが証明されれば矛盾だし、
証明不可能ならば、真であるのに
証明不可能な命題ということになる。
14 ：１３２人目の素数さん：03/01/23 04:17
背理背理ふれ背理法ー（ほっほっほほ）
背理背理ふれっほっほー
大きくなれよー
丸大ハンバーグ♪
背理背理ふれっほっほー
大きくなれよー
丸大ハンバーグ♪
15 ：１３２人目の素数さん：03/01/23 08:27
連続体仮説ってのはどうなの？
16 ：１３２人目の素数さん：03/01/23 14:27
>>13
そのPが命題であることはどうやって証明するのですか？
そのPが命題であることはどうやって証明するのですか？
17 ：１３２人目の素数さん：03/01/23 14:54
>>15
真か否かわからないので今の話題と関係ない。
真か否かわからないので今の話題と関係ない。
18 ：１３２人目の素数さん：03/01/23 14:56
>>16
それを質問したいなら、まず命題の定義を明確にしないとな。
それを質問したいなら、まず命題の定義を明確にしないとな。
>>13
http://mathworld.wolfram.com/NaturalIndependencePhenomenon.html
で挙げられてる例の，例えばラムゼイ命題
http://mathworld.wolfram.com/RamseysTheorem.html
まだ解説記事を読んでるだけなんですが,うちの学校の先生が，これが自己言及と本質的に異なる例
である，と言っていたような記憶があります．
論理スレで訊けば一発かな？
http://mathworld.wolfram.com/NaturalIndependencePhenomenon.html
で挙げられてる例の，例えばラムゼイ命題
http://mathworld.wolfram.com/RamseysTheorem.html
まだ解説記事を読んでるだけなんですが,うちの学校の先生が，これが自己言及と本質的に異なる例
である，と言っていたような記憶があります．
論理スレで訊けば一発かな？
20 ：１３２人目の素数さん：03/01/23 15:50
>>19
それは先生が自分の誤りに気づいていないだけでしょう（ｗ
それは先生が自分の誤りに気づいていないだけでしょう（ｗ
組み合わせ論の命題だそうです．
>>20
おおっ，解説キボン！論理スレにもかいてかいて！
おおっ，解説キボン！論理スレにもかいてかいて！
23 ：１３２人目の素数さん：03/01/23 16:08
丸大ハンバーグって息が長いな。
24 ：１３２人目の素数さん：03/01/23 16:43
ありゃ
26 ：１３２人目の素数さん：03/01/23 17:27
27 ：１３２人目の素数さん：03/01/23 18:03
（わからないふりして13にヒントを出そうとしたら煽られてしまった・・・）
28 ：１３２人目の素数さん：03/01/23 21:48
>>22
ﾜﾗﾀ。まああまり気にすんなや。
ﾜﾗﾀ。まああまり気にすんなや。
29 ：１３２人目の素数さん：03/01/26 12:45
30 ： ：03/01/26 12:53
31 ：１３２人目の素数さん：03/01/26 12:57
>>29
俺は>>13ではないが、もう少し正確に言うと、「命題Ｐは証明不可能」という命題そのものを考えるのでなく、
「ゲーデル数」という、論理式全体から自然数へのコード化関数を構成し、
「xが命題Pのゲーデル数のとき、Pは証明可能」となる述語Proof(x)を構成する。
で、ある真な命題Pのゲーデル数であって、「Proof(x)の否定」が成り立つようなxの存在を示す。
詳しくはゲーデルの不完全性定理を勉強すればわかるよ。
俺は>>13ではないが、もう少し正確に言うと、「命題Ｐは証明不可能」という命題そのものを考えるのでなく、
「ゲーデル数」という、論理式全体から自然数へのコード化関数を構成し、
「xが命題Pのゲーデル数のとき、Pは証明可能」となる述語Proof(x)を構成する。
で、ある真な命題Pのゲーデル数であって、「Proof(x)の否定」が成り立つようなxの存在を示す。
詳しくはゲーデルの不完全性定理を勉強すればわかるよ。
32 ：１３２人目の素数さん：03/01/26 13:30
背理法でしか証明できない命題とはオカシイのではないか?
33 ：１３２人目の素数さん：03/01/26 17:44
>>32
どこにそんなことが書いてあるの？
どこにそんなことが書いてあるの？
34 ：１３２人目の素数さん：03/01/27 16:36
LISPのプログラムの例題のTHEOREM PROVER（RESOLUTION）の
話をしているんだろう？ 総称と単称記号がなければOKというあれか？
話をしているんだろう？ 総称と単称記号がなければOKというあれか？
僕が新しい命題を提言します。それは、
「ルールがあるなら世界ができる。」です。
たとえば、野球には野球のルールがあるから、野球の世界ができるわけで、
ほかには、歌い手は歌を歌うことをルールとすれば、歌い手の世界ができる。
などです。
「ルールがあるなら世界ができる。」です。
たとえば、野球には野球のルールがあるから、野球の世界ができるわけで、
ほかには、歌い手は歌を歌うことをルールとすれば、歌い手の世界ができる。
などです。
数学板で、ここまで激しくﾜﾗﾀのは久しぶりだ
「真である全ての命題は、背理法を使って証明できる」
という命題は真であるか否か
というのがここでの証明すべき命題だが、
例えば、すべての人間をそれぞれ真である命題だとすると、
そこから生まれるものが真であるかどうかという命題が考えられる、
このとき、生まれたものが偽だと言い切れるかどうかだ。
偽ではないなら、それは真であると言うのが背理法だったと思うので、
どんどん真であると言うのが、広められるのではないだろうか。
っと、このたとえ話は本題から離れているようなのでこの辺で
という命題は真であるか否か
というのがここでの証明すべき命題だが、
例えば、すべての人間をそれぞれ真である命題だとすると、
そこから生まれるものが真であるかどうかという命題が考えられる、
このとき、生まれたものが偽だと言い切れるかどうかだ。
偽ではないなら、それは真であると言うのが背理法だったと思うので、
どんどん真であると言うのが、広められるのではないだろうか。
っと、このたとえ話は本題から離れているようなのでこの辺で
38 ：１３２人目の素数さん：03/01/27 22:18
「カコワルイ」を恐れずにマジレスに走ります。
>>37
> このとき、生まれたものが偽だと言い切れるかどうかだ。
> 偽ではないなら、それは真であると言うのが背理法だったと思うので、
背理法の定義が全く違いますな。
ついでに、「偽だと言い切れない」と「偽ではない」は全く違いますな。
つまり何も言えないですな。ということは、
> すべての人間をそれぞれ真である命題だとすると、
という仮定からは何の結論も出てきませんな。
>>37
> このとき、生まれたものが偽だと言い切れるかどうかだ。
> 偽ではないなら、それは真であると言うのが背理法だったと思うので、
背理法の定義が全く違いますな。
ついでに、「偽だと言い切れない」と「偽ではない」は全く違いますな。
つまり何も言えないですな。ということは、
> すべての人間をそれぞれ真である命題だとすると、
という仮定からは何の結論も出てきませんな。
僕が言いたかったのは、すべての人間を一つのある集合に含めて、
その人たちが感じている集合の壁が、閉集合のようになっているか、
開集合のようになっているか、ということだったんです。
開集合の壁を感じているならば、そこから新たな要素を含められると思ったんです。
その人たちが感じている集合の壁が、閉集合のようになっているか、
開集合のようになっているか、ということだったんです。
開集合の壁を感じているならば、そこから新たな要素を含められると思ったんです。
39:なんか乱暴な終わり方みたいだったのですいませんでした。
41 ：１３２人目の素数さん：03/01/27 22:45
42 ：１３２人目の素数さん：03/01/28 00:31
>>33
ブラウワーか君は（ｗ？
ブラウワーか君は（ｗ？
43 ：１３２人目の素数さん：03/01/28 00:39
>>33
ブラウワーか君は（ｗ？
>>19
先生は別に間違ってないと思うぞ。ぐぐれ、、、っていいたいとこだが
適当な日本語のコンテントがないな、、、
例えば、広瀬健編著：入門 現代の数学[12] 数学基礎論の応用，数学セミナー増刊，
日本評論社 に同様の記述がある。
しかし、前から思ってるんだけど、日本語のコンテントはあんまり訳に
たたねえなあ。
ブラウワーか君は（ｗ？
>>19
先生は別に間違ってないと思うぞ。ぐぐれ、、、っていいたいとこだが
適当な日本語のコンテントがないな、、、
例えば、広瀬健編著：入門 現代の数学[12] 数学基礎論の応用，数学セミナー増刊，
日本評論社 に同様の記述がある。
しかし、前から思ってるんだけど、日本語のコンテントはあんまり訳に
たたねえなあ。
>>43
記憶をたどって検索→林晋先生のサイトで論文著者名発見
→あてずっぽうのスペルParisで検索→wolfram→レビュー発見
http://wwwmath.uni-muenster.de/math/inst/logik/org/staff/weiermann/
の ParisHarringtonsummary.ps
（→したり顔でレス→突っ込み入る→具体的なことを何も知らないのであせる
→逃げの一手！→煽られてた？→（+д+）ﾏｽﾞｰ → 43 →（ﾟдﾟ）ｳﾏｰ）
記憶をたどって検索→林晋先生のサイトで論文著者名発見
→あてずっぽうのスペルParisで検索→wolfram→レビュー発見
http://wwwmath.uni-muenster.de/math/inst/logik/org/staff/weiermann/
の ParisHarringtonsummary.ps
（→したり顔でレス→突っ込み入る→具体的なことを何も知らないのであせる
→逃げの一手！→煽られてた？→（+д+）ﾏｽﾞｰ → 43 →（ﾟдﾟ）ｳﾏｰ）
>>45
らじゃー。気にしないでちょ。
らじゃー。気にしないでちょ。
48 ：１３２人目の素数さん：03/02/04 14:48
>>46
その論文には、証明不可能の証明のやり方は書いてないだろ。
実は、
PHからPAの無矛盾性が証明できる
→PAではPAの無矛盾性は証明できない。
→したがってPAでPHの証明ができると矛盾。
→（ﾟдﾟ）ｳﾏｰ
というわけだ。
つまりね、ゲーデルの結果を経由しなければ
独立命題だって分からないわけで、その意味では
自己言及と「本質的に」異なるとはいえないわけ。
「ゲーデル命題と見た目上異なる例」というならOKなんだが（ｗ
その論文には、証明不可能の証明のやり方は書いてないだろ。
実は、
PHからPAの無矛盾性が証明できる
→PAではPAの無矛盾性は証明できない。
→したがってPAでPHの証明ができると矛盾。
→（ﾟдﾟ）ｳﾏｰ
というわけだ。
つまりね、ゲーデルの結果を経由しなければ
独立命題だって分からないわけで、その意味では
自己言及と「本質的に」異なるとはいえないわけ。
「ゲーデル命題と見た目上異なる例」というならOKなんだが（ｗ
49 ：１３２人目の素数さん：03/02/04 14:55
>>48
で、そもそも「見た目上自己言及がない」というなら、
PAの無矛盾性だって、かまわないわけ。
でもそれがNGなのは、結局
PAの無矛盾性からPAに関するゲーデル命題が証明できる。
→PAからPAに関するゲーデル命題が証明できない。
→したがってPAでPAの無矛盾性証明ができると矛盾。
→（+д+）ﾏｽﾞｰ
だからだよ。
で、そもそも「見た目上自己言及がない」というなら、
PAの無矛盾性だって、かまわないわけ。
でもそれがNGなのは、結局
PAの無矛盾性からPAに関するゲーデル命題が証明できる。
→PAからPAに関するゲーデル命題が証明できない。
→したがってPAでPAの無矛盾性証明ができると矛盾。
→（+д+）ﾏｽﾞｰ
だからだよ。
50 ：１３２人目の素数さん：03/02/04 22:01
というか「本質的に同じ」とか「本質的に異なる」ってどういう意味よ？
そこんとこはっきりしてもらわないとどちらの主張も微妙。
そこんとこはっきりしてもらわないとどちらの主張も微妙。
51 ：１３２人目の素数さん：03/02/05 09:32
それは19の学校の先生に聞いてくれ（ｗ
53 ：１３２人目の素数さん：03/02/05 23:04
54 ：１３２人目の素数さん：03/02/06 17:30
ところで、46にも名前のある林晋氏によれば、
「どんな体系も自分自身の無矛盾性を証明できない」
というのは、無条件に正しいわけではないそうだ。
証明の形式的定義の仕方によっては、自分自身の無矛盾性が
証明できる場合があって、このような現象が証明論自体の
正当性を大いに危うくしているそうな。
なお、これは第二不完全性定理の問題であって、
どんな体系にも決定不可能命題がある、という
第一不完全性定理を免れることはできない。
「どんな体系も自分自身の無矛盾性を証明できない」
というのは、無条件に正しいわけではないそうだ。
証明の形式的定義の仕方によっては、自分自身の無矛盾性が
証明できる場合があって、このような現象が証明論自体の
正当性を大いに危うくしているそうな。
なお、これは第二不完全性定理の問題であって、
どんな体系にも決定不可能命題がある、という
第一不完全性定理を免れることはできない。
55 ：１３２人目の素数さん：03/02/06 21:22
>>54
> ところで、46にも名前のある林晋氏によれば、
> 「どんな体系も自分自身の無矛盾性を証明できない」
> というのは、無条件に正しいわけではないそうだ。
そりゃそうだ。
つーか、どちらかというと 「自分自身の無矛盾性を証明できない」 体系の方が（感覚的には）珍しい。
実際に扱う体系には自然数体系が入ることがほとんどだから、そういう体系ばかり見るわけで。
> ところで、46にも名前のある林晋氏によれば、
> 「どんな体系も自分自身の無矛盾性を証明できない」
> というのは、無条件に正しいわけではないそうだ。
そりゃそうだ。
つーか、どちらかというと 「自分自身の無矛盾性を証明できない」 体系の方が（感覚的には）珍しい。
実際に扱う体系には自然数体系が入ることがほとんどだから、そういう体系ばかり見るわけで。
ん，55（ペアノの数論を含む体系は～）と54（証明の形式的定義によっては～）は
ちょと違うのでは？
ちょと違うのでは？
57 ：１３２人目の素数さん：03/02/11 15:02
>>48
いやね、そういう自己言及命題ではなく、普通に解釈できる
自然数論の命題で PA で証明不能な例が発見されたという事実は
君が何といおうとそれだけで重要なわけで、だからこそあの時期
探されたという事実はわすれてはならん。
それに自己言及がどうとかいうならブーロスの不完全性定理証明は
どうするよ。あれは自己言及を使ってないはずだぞ。
いやね、そういう自己言及命題ではなく、普通に解釈できる
自然数論の命題で PA で証明不能な例が発見されたという事実は
君が何といおうとそれだけで重要なわけで、だからこそあの時期
探されたという事実はわすれてはならん。
それに自己言及がどうとかいうならブーロスの不完全性定理証明は
どうするよ。あれは自己言及を使ってないはずだぞ。
58 ：１３２人目の素数さん：03/02/11 15:07
前原先生があれでは第2不完全性定理がでないのではとコメントしたんだけど、
のちに菊池先生が改良してその方針で台に不完全性定理まで証明している
ベリーのパラドックスを利用する証明だよ。
のちに菊池先生が改良してその方針で台に不完全性定理まで証明している
ベリーのパラドックスを利用する証明だよ。
59 ：１３２人目の素数さん：03/02/11 17:32
>>56
寧ろ、>>54の一段落目と二段落目にギャップがあると指摘するのが正しい。
「証明の形式的定義」というのが厳密には何を指しているのかが不明だが、
少なくとも、「通常の証明の形式定義」の話に限定したとしても、
「どんな体系も自分自身の無矛盾性を証明できない」 というのは正しくない。
寧ろ、>>54の一段落目と二段落目にギャップがあると指摘するのが正しい。
「証明の形式的定義」というのが厳密には何を指しているのかが不明だが、
少なくとも、「通常の証明の形式定義」の話に限定したとしても、
「どんな体系も自分自身の無矛盾性を証明できない」 というのは正しくない。
60 ：１３２人目の素数さん：03/02/12 09:07
>>55
正しくは、「自分自身の証明可能性を記述できる」理論が
「特殊だ」というべきだろう。
>>57
「普通に解釈できる」というのは気分の問題だろう。
（見た目上）自己言及がないという意味なら、
無矛盾性命題でも構わない
>>58
ブーロスの証明は微妙だな。
ベリーのパラドックスは、命題の大きさに関する
「自己言及」を使っているともいえる。
ところで、雑誌「現代思想」での前原氏のコメントは正確には
「ゲーデルの不完全性定理では真概念を用いない」
というところ。ただ、実際には真概念を用いない形にするのは
容易なのでそこは問題ではない。
（第二不完全性定理の証明はまた別の話）
正しくは、「自分自身の証明可能性を記述できる」理論が
「特殊だ」というべきだろう。
>>57
「普通に解釈できる」というのは気分の問題だろう。
（見た目上）自己言及がないという意味なら、
無矛盾性命題でも構わない
>>58
ブーロスの証明は微妙だな。
ベリーのパラドックスは、命題の大きさに関する
「自己言及」を使っているともいえる。
ところで、雑誌「現代思想」での前原氏のコメントは正確には
「ゲーデルの不完全性定理では真概念を用いない」
というところ。ただ、実際には真概念を用いない形にするのは
容易なのでそこは問題ではない。
（第二不完全性定理の証明はまた別の話）
61 ：１３２人目の素数さん：03/02/12 09:15
ブーロスの証明の「タネ」は
「数の表現の長さを表す数は、数がある上限を超えると
その数自身よりも必ず小さくできる」
ということ。
ちなみに掛け算が使えないとこうはいかない。
「数の表現の長さを表す数は、数がある上限を超えると
その数自身よりも必ず小さくできる」
ということ。
ちなみに掛け算が使えないとこうはいかない。
62 ：１３２人目の素数さん：03/02/12 11:38
>>61後半
ていうかそもそも掛け算ない場合はRE公理化可能で完全な体系があるんでは
ていうかそもそも掛け算ない場合はRE公理化可能で完全な体系があるんでは
63 ：１３２人目の素数さん：03/02/12 11:58
64 ：１３２人目の素数さん：03/02/12 12:01
>>63
ぶっちゃけていえば、記号として表現するのに素数を使っているから。
ぶっちゃけていえば、記号として表現するのに素数を使っているから。
65 ：１３２人目の素数さん：03/02/12 12:23
66 ：１３２人目の素数さん：03/02/12 12:53
67 ：１３２人目の素数さん：03/02/12 14:20
>>66
ステートメントだけ読んでる人って>>64のことですな
可証性述語は別に素数を使わなくても書けるんだから
「掛け算のない体系では素数を形式化できない」
というだけでは完全性の足しにはならん罠
掛け算や足し算のない体系での完全性が
「掛け算か足し算を欠く体系では*いかなる手段を用いても*
可証性述語が書けない」
というずっと強い主張になってるのがわからないかな？
ステートメントだけ読んでる人って>>64のことですな
可証性述語は別に素数を使わなくても書けるんだから
「掛け算のない体系では素数を形式化できない」
というだけでは完全性の足しにはならん罠
掛け算や足し算のない体系での完全性が
「掛け算か足し算を欠く体系では*いかなる手段を用いても*
可証性述語が書けない」
というずっと強い主張になってるのがわからないかな？
68 ：１３２人目の素数さん：03/02/14 13:26
69 ：１３２人目の素数さん：03/02/14 13:33
＞「掛け算のない体系では素数を形式化できない」
＞というだけでは完全性の足しにはならん罠
では足しになることを逝ってくれ
＞というだけでは完全性の足しにはならん罠
では足しになることを逝ってくれ
70 ：１３２人目の素数さん：03/02/14 21:38
>>65
＞Boolos-Jeffreyにも載ってるよ
chapter 15に10進法を利用したコード化が出てるね。
ところで、10進法は掛け算を用いてるよ。
>>62
＞掛け算ない場合はRE公理化可能で完全な体系がある
chapter 21に上記体系の決定性に関する
Presburgerの結果が紹介されている。
＞Boolos-Jeffreyにも載ってるよ
chapter 15に10進法を利用したコード化が出てるね。
ところで、10進法は掛け算を用いてるよ。
>>62
＞掛け算ない場合はRE公理化可能で完全な体系がある
chapter 21に上記体系の決定性に関する
Presburgerの結果が紹介されている。
（＾＾）
72 ：ﾎﾞｯｷ：03/04/05 00:37
勃起
73 ：１３２人目の素数さん：03/04/15 02:09
論理学は数学の基礎ではあっても、数学とは異なったなにものかだな。
（＾＾）
∧＿∧
（ ＾＾ ）＜ ぬるぽ（＾＾）
（ ＾＾ ）＜ ぬるぽ（＾＾）
76 ：１３２人目の素数さん：03/04/26 21:40
77 ：１３２人目の素数さん：03/04/26 21:52
78 ：ななし：03/04/26 23:49
∀ε＞０， ｜Ａ｜＜ε ⇒ Ａ＝０．
これって背理法を使わないで証明できる？
これって背理法を使わないで証明できる？
79 ：１３２人目の素数さん：03/04/26 23:57
任意のεに対し、Ａの絶対値がεで抑えられるというのだから、Ａは０。
80 ：１３２人目の素数さん：03/04/26 23:59
>>79
問題文を言い換えただけなのでは・・・
問題文を言い換えただけなのでは・・・
81 ：１３２人目の素数さん：03/04/27 00:01
証明なんてものはそもそも問題文を言い換えるだけの事なんだし。
82 ：１３２人目の素数さん：03/04/27 00:05
↑ネタ？
83 ：１３２人目の素数さん：03/04/27 00:09
ヽ(｀Д´)ノ
じゃあ何だよ、おまい。証明とは何か言ってみろよ
じゃあ何だよ、おまい。証明とは何か言ってみろよ
84 ：１３２人目の素数さん：03/04/27 00:14
本気だったのか・・・ちょっとﾜﾗﾀ
85 ：１３２人目の素数さん：03/04/27 04:01
背理法じゃない方法で証明してみせよう。
Ａが実数だとすれば、それは０もしくは正もしくは負である。
０だとすれば、成立する。
正だとすると、その値をδとすれば、任意のεに対して
δがεよりも小さいという主張になるが、それはεをδの
半分に取れば成り立たないから、成立しない。
負だとすると、その絶対値をδとして同様に考えると
成立しない。
Ａが０、正、負の三通りについて調べてみた結果、
成立させることができるのはＡ＝０の場合だけで
あることがわかったので、Ａ＝０でなければならない。
Ａが実数だとすれば、それは０もしくは正もしくは負である。
０だとすれば、成立する。
正だとすると、その値をδとすれば、任意のεに対して
δがεよりも小さいという主張になるが、それはεをδの
半分に取れば成り立たないから、成立しない。
負だとすると、その絶対値をδとして同様に考えると
成立しない。
Ａが０、正、負の三通りについて調べてみた結果、
成立させることができるのはＡ＝０の場合だけで
あることがわかったので、Ａ＝０でなければならない。
86 ：１３２人目の素数さん：03/04/27 08:47
>>85
問題文を言い換えただけなのでは・・・
問題文を言い換えただけなのでは・・・
87 ：１３２人目の素数さん：03/04/27 09:41
88 ：１３２人目の素数さん：03/04/27 09:47
89 ：１３２人目の素数さん：03/04/27 09:48
>>87
そうだな。
ただ、一口に背理法といっても、
「存在すると矛盾するから存在しない」
というのは問題ない気がする。
「存在しないと矛盾するから存在する」
というほうはどう構成するかという問題があるが。
そうだな。
ただ、一口に背理法といっても、
「存在すると矛盾するから存在しない」
というのは問題ない気がする。
「存在しないと矛盾するから存在する」
というほうはどう構成するかという問題があるが。
90 ：１３２人目の素数さん：03/04/27 11:16
まず「背理法を使わない証明」とやらを定義しなければ。
排中律を使わない、でいいのか？
排中律を使わない、でいいのか？
91 ：１３２人目の素数さん：03/04/28 10:09
ユークリッド幾何の有名な平行線の公理（注意：オリジナルの表現では異なる）
「一直線があるときに、それに含まれない一点を通ってもとの直線と
交わらない直線はちょうど１本だけ存在する。」
これは、きっと他の公理から導かれる定理だろうと後の世の人々の多くが
考えて、その証明をいろいろ試みたが、誰も成功しなかった。方針は
主張を否定して矛盾を導くというものだったが、一見正しそうな証明に
成功したりするのだが、そのどれも厳密な論理としては破綻していた。
平面上に図形を描いて説明したり考察してしまうと、論理が成り立たなくても
正しいと見えてしまうのも困り物だった。
「一直線があるときに、それに含まれない一点を通ってもとの直線と
交わらない直線はちょうど１本だけ存在する。」
これは、きっと他の公理から導かれる定理だろうと後の世の人々の多くが
考えて、その証明をいろいろ試みたが、誰も成功しなかった。方針は
主張を否定して矛盾を導くというものだったが、一見正しそうな証明に
成功したりするのだが、そのどれも厳密な論理としては破綻していた。
平面上に図形を描いて説明したり考察してしまうと、論理が成り立たなくても
正しいと見えてしまうのも困り物だった。
92 ：１３２人目の素数さん：03/04/28 11:52
>1
「真である全ての命題は、背理法を使って証明できる？」
という命題は真であるか否か
ゲーデルの不完全定理によって，真であっても証明できない
数学の文（真理値関数：0か1）が存在する
「真である全ての命題は、背理法を使って証明できる？」
という命題は真であるか否か
ゲーデルの不完全定理によって，真であっても証明できない
数学の文（真理値関数：0か1）が存在する
93 ：１３２人目の素数さん：03/04/28 12:08
ロジックの素人なんですが、質問です。
高校数学でよくやる「√２は無理数である」の証明、これは背理法の例として紹介されますが、
「無理数の定義が有理数でない実数」である以上、有理数ではないと証明するしか方法がないと
思うのです。
こういうのも「背理法」なんですか？ それとも定義に従った証明なんですか？
高校数学でよくやる「√２は無理数である」の証明、これは背理法の例として紹介されますが、
「無理数の定義が有理数でない実数」である以上、有理数ではないと証明するしか方法がないと
思うのです。
こういうのも「背理法」なんですか？ それとも定義に従った証明なんですか？
94 ：１３２人目の素数さん：03/04/28 12:33
95 ：mathmania ◆uvIGneQQBs ：03/04/28 12:55
背理法とはあまり関係ないが、
√２が無理数であることを証明するには、
√２が実数であることを証明しないといけない。
まず、x^2-2=0の複素数解が高々２つであることは当然のこととしよう。
x^2-2が連続であることも当然のこととしよう。
これにx=-2,-1,1,2を代入すると、
2,-1,-1,2となる。
よって、-2<x<-1,1<x<2にそれぞれ一つずつ解があることが
中間値の定理によってわかる。
よって、√２は実数である。
別証明としては、
1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,99/70,...がコーシー列であることを示し、
(よって収束列である。)この数列の２乗の極限が２になることを示せば良い。
√２が無理数であることを証明するには、
√２が実数であることを証明しないといけない。
まず、x^2-2=0の複素数解が高々２つであることは当然のこととしよう。
x^2-2が連続であることも当然のこととしよう。
これにx=-2,-1,1,2を代入すると、
2,-1,-1,2となる。
よって、-2<x<-1,1<x<2にそれぞれ一つずつ解があることが
中間値の定理によってわかる。
よって、√２は実数である。
別証明としては、
1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,99/70,...がコーシー列であることを示し、
(よって収束列である。)この数列の２乗の極限が２になることを示せば良い。
96 ：１３２人目の素数さん：03/04/28 13:06
97 ：１３２人目の素数さん：03/04/28 14:08
>>94 サンクス。
となると、これを「背理法なし」で証明する方法はあるのでしょうか？
>>95 高校の指導要領に従うと（従う必要などないのかも知れませんが）、
中間値の定理は数Ⅲだと思います。
√２が無理数だという証明は今までの課程（数Ａ）でも、今年からの課程（数Ⅱ）でも
論理的に無茶をしてますよね。まあ実数論を正面から扱うのを避けてますからねえ。
となると、これを「背理法なし」で証明する方法はあるのでしょうか？
>>95 高校の指導要領に従うと（従う必要などないのかも知れませんが）、
中間値の定理は数Ⅲだと思います。
√２が無理数だという証明は今までの課程（数Ａ）でも、今年からの課程（数Ⅱ）でも
論理的に無茶をしてますよね。まあ実数論を正面から扱うのを避けてますからねえ。
98 ：１３２人目の素数さん：03/04/28 19:18
>>97
じゃあ, 無理数であることを直接定義して, √2 がその定義に従うことを示せば？
じゃあ, 無理数であることを直接定義して, √2 がその定義に従うことを示せば？
99 ：１３２人目の素数さん：03/04/28 19:55
>1
「真である全ての命題は、背理法を使って証明できる？」
という命題は真であるか否か
ゲーデルの不完全定理によって，真であっても証明できない
数学の文（真理値関数：0か1）が存在する
なんで，ゲーデルの不完全定理をしていれば，こんなに簡単な事は，すぐわかるんじゃないかなぁ？
この定理って，この題目の意味を含んでるんだよ．数学において「完全」の定義は，
「真な命題は必ず証明可能だ」というもので，もしも「真だけれど証明不可能な命題」が存在すれば，
もはや完全ではなくなるので，「不完全」ということになる．それを，証明したしたのがゲーデルで
しょう？ただ，真である「全ての」命題は・・・となっているのは何故？何に対して「全て」なのか．
「ある理論体系において」というのならば，「真である全ての命題は、背理法を使って証明出来る」
という命題は，「否」です．ゲーデルの不完全定理より，反例の存在が証明されているので．
これ以上の事って言うことあるかな？
「真である全ての命題は、背理法を使って証明できる？」
という命題は真であるか否か
ゲーデルの不完全定理によって，真であっても証明できない
数学の文（真理値関数：0か1）が存在する
なんで，ゲーデルの不完全定理をしていれば，こんなに簡単な事は，すぐわかるんじゃないかなぁ？
この定理って，この題目の意味を含んでるんだよ．数学において「完全」の定義は，
「真な命題は必ず証明可能だ」というもので，もしも「真だけれど証明不可能な命題」が存在すれば，
もはや完全ではなくなるので，「不完全」ということになる．それを，証明したしたのがゲーデルで
しょう？ただ，真である「全ての」命題は・・・となっているのは何故？何に対して「全て」なのか．
「ある理論体系において」というのならば，「真である全ての命題は、背理法を使って証明出来る」
という命題は，「否」です．ゲーデルの不完全定理より，反例の存在が証明されているので．
これ以上の事って言うことあるかな？
100 ：１３２人目の素数さん：03/04/28 21:36
100
101 ：１３２人目の素数さん：03/04/29 05:25
歴史的には、√２は無理数かどうかではなくて、√２が図形の長さなどの
量としては当然存在しなければならないはずなのに、それを整数の比と
してあらわせないことが示せたので、矛盾に思えた。
今のわれわれからみればまったく矛盾ではないが、ゼノンのパラドックスも
そうだが、当時は実数論が充分にはできていなかったからだ。
量としては当然存在しなければならないはずなのに、それを整数の比と
してあらわせないことが示せたので、矛盾に思えた。
今のわれわれからみればまったく矛盾ではないが、ゼノンのパラドックスも
そうだが、当時は実数論が充分にはできていなかったからだ。
102 ：１３２人目の素数さん：03/05/16 02:37
グリーンジャイアント曰く
はいり、はいりふへ、はいりほー、はりはりふれーほーほー、
大きくなれよ。
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━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―
∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ ( ＾＾ ） ＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
＝〔~∪￣￣〕
＝ ◎――◎ 山崎渉
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105 ：１３２人目の素数さん：03/06/07 07:54
7
106 ：１３２人目の素数さん：03/07/04 08:55
15
107 ：１３２人目の素数さん：03/07/21 11:00
19
108 ：１３２人目の素数さん：03/07/21 11:57
命題: P=NP
(ⅰ) P≠0ならば両辺を0で割ればN=1のときのみ成立することがわかる
(ⅱ) P=0ならば任意のNについて成立する
こんな問題もわからねーの？
(ⅰ) P≠0ならば両辺を0で割ればN=1のときのみ成立することがわかる
(ⅱ) P=0ならば任意のNについて成立する
こんな問題もわからねーの？
109 ：１３２人目の素数さん：03/07/21 17:59
>>108
(i)がどうにも納得し難いな
(i)がどうにも納得し難いな
110 ：１３２人目の素数さん：03/07/21 18:07
111 ：１３２人目の素数さん：03/07/21 18:22
命題Aを証明しますた
背理法を使って証明するには
命題Aが成り立たないとかていすると
命題Aがなりたたないので
公理に反する
■
背理法を使って証明するには
命題Aが成り立たないとかていすると
命題Aがなりたたないので
公理に反する
■
112 ：１３２人目の素数さん：03/07/21 18:22
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113 ：１３２人目の素数さん：03/07/21 18:46
あれだろ
114 ：１３２人目の素数さん：03/07/21 18:51
あれだな
115 ：１３２人目の素数さん：03/07/21 19:03
なんだろ
あれか？
あれか？
116 ：１３２人目の素数さん：03/07/21 20:33
。。
。 。 + ヽヽ なに言ってんだよ
゜ 。・ 。 +゜ ｡･ﾟ (;ﾟ｀Дﾌ。 うわぁぁぁん
ノ( /
/ >
117 ：１３２人目の素数さん：03/07/28 07:49
命題: P=NP
P(N-1)=0であるので、零因子が無いとすればP=0であるかN=1でなければならない。
P(N-1)=0であるので、零因子が無いとすればP=0であるかN=1でなければならない。
118 ：１３２人目の素数さん：03/07/28 07:51
∩ .' ，
⊂､⌒ヽ .∴ '
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿__ ⊂（ ｡▽｡）つ←>>117
はっはっは・・・ /ヘ;;;;;──── / ,──ヽ-─-- ヽ Ｖ Ｖ
見ろ！ ,／';=r=‐ﾘ // || || ヽヽ ';*;∵
人がゴミのようだ ,／ ヽ二/ // || || ヽヽ ・.;,;ヾ∵..:
＿_∠_＿⊆⌒⊆___）＿_// ニ）＿＿_||＿＿||＿ノ ゝ__ :,.∴ '
／ ￣￣￣_ ＿／ | | | ヽ ∴ ';*;∵; ζ。∴
／/ ＿＿Ｃ＿＿ ／￣ ﾉ | ⊂⊃| ⊂⊃ / ロ /| .∴'
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|￣ └[と2003]┘ ￣￣ ／;;;;;;;ヽ | ￣￣￣|￣￣ ／;;;;;;;;ヽ ﾉ 三三三三:, .
|二) └──┘ (二二)__|＿|:（∴）:|__|＿＿＿___|_＿＿|:（∴）:|____ﾉ三三三 :, .
￣￣ゞゝ;;;;ノ￣￣￣￣ ゞ_ゝ:＿ノ ゞ;;;;;;ノ ゞゝ:＿ノ 三三
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
⊂､⌒ヽ .∴ '
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はっはっは・・・ /ヘ;;;;;──── / ,──ヽ-─-- ヽ Ｖ Ｖ
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￣￣ゞゝ;;;;ノ￣￣￣￣ ゞ_ゝ:＿ノ ゞ;;;;;;ノ ゞゝ:＿ノ 三三
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119 ：１３２人目の素数さん：03/07/28 08:51
>117 でどっちなんだ？
120 ：１３２人目の素数さん：03/07/28 09:05
>>119
なにが？
なにが？
121 ：１３２人目の素数さん：03/07/28 09:28
>>120
P=0 か N=1 かってことだろう。
で、Pは Polynomial 、N は NOn-deterministic だから共に成立
しない。よって P=NP は成立しない、が結論。
もともと、2つの命題の同値性の問題だから、P≡NP って式を解く
べきだろう、ってんでどうだ。
P=0 か N=1 かってことだろう。
で、Pは Polynomial 、N は NOn-deterministic だから共に成立
しない。よって P=NP は成立しない、が結論。
もともと、2つの命題の同値性の問題だから、P≡NP って式を解く
べきだろう、ってんでどうだ。
122 ：１３２人目の素数さん：03/07/28 17:23
＞もともと、2つの命題の
命題ちゃうで
命題ちゃうで
125 ：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU ：03/08/02 03:19
∧＿∧ ∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ （ ・３・） ( ＾＾ ） ＜これからも僕たちを応援して下さいね（＾＾）。
＝〔~∪￣￣￣∪￣￣〕
＝ ◎――――――◎ 山崎渉&ぼるじょあ
ﾋﾟｭ.ｰ （ ・３・） ( ＾＾ ） ＜これからも僕たちを応援して下さいね（＾＾）。
＝〔~∪￣￣￣∪￣￣〕
＝ ◎――――――◎ 山崎渉&ぼるじょあ
126 ：１３２人目の素数さん：03/08/03 01:30
おれには行列の問題に見えるが、、、
(⌒V⌒)
│ ＾ ＾ │＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
⊂| |つ
（＿）（＿） 山崎パン
│ ＾ ＾ │＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
⊂| |つ
（＿）（＿） 山崎パン
128 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 05:53
8
129 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 22:50
そもそも、背理法という証明法そのものは正確なのですか？
つまり偽である命題を背理法で真であると証明しようとしたとき、
矛盾は絶対に見つからないのでしょうか？
また、そのことは証明されているのでしょうか？
＃ここまで書いて気づいたのですが、「偽である命題を背理法で証明しようとして
矛盾が見つかれば背理法が正しくない」というのも背理法に基づくものですね。
何となくパラドックスの予感。
つまり偽である命題を背理法で真であると証明しようとしたとき、
矛盾は絶対に見つからないのでしょうか？
また、そのことは証明されているのでしょうか？
＃ここまで書いて気づいたのですが、「偽である命題を背理法で証明しようとして
矛盾が見つかれば背理法が正しくない」というのも背理法に基づくものですね。
何となくパラドックスの予感。
130 ：ななし：03/09/23 23:10
久しぶりにブルーバックスから出ている現代数学小辞典を見た。
ブラウエルの直観主義（背理法を使わない）では、Wierstrass の最大値
最小値定理を断念しないといけなくなる、って書かれていた。
背理法を使わない立場で、数学はどの辺まで進めることが出来るの？
ブラウエルの直観主義（背理法を使わない）では、Wierstrass の最大値
最小値定理を断念しないといけなくなる、って書かれていた。
背理法を使わない立場で、数学はどの辺まで進めることが出来るの？
131 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 23:11
小学生の頃、クラスにＷさんという女子がいた。彼女は先天的な病で体がただれていて、声もうまく発声できなかった。
大人しい子でいつも本を読んでいた。
男子の友人はいなかったが、女子の友人は不思議と多いようだった。
修学旅行で旅館に泊まった時、友人が女子の部屋に遊びに行こうと言い出した。
俺も同意して、どうせだからこっそり行って驚かせてやろうってことになった。
そしてクラスで一番人気のあった女子のいる部屋に行く事となった。
こっそりドアを開けると（どのように鍵を開けたかは忘れた）恐ろしい光景が。
体育座りで座り込むＷさんを円になって囲むようにクラスの女子全員が立っていた。
そして、Ｗさんに対して「豚」「焼けど野郎」などと罵声を浴びせていた。
さらにクラスで最もかわいかった子が「じゃあ、カツラはずしまーす」と笑いながら言ってＷさんの頭に手を伸ばした。
次の瞬間、Ｗさんの髪の毛が全部その女の手にあった。Ｗさんは頭皮も病気で、髪の毛が生えないためカツラをしていたのだ。
男子は誰もそれを知らなかった。ショックで何が何だかわからない俺の前で女子はＷさんを蹴飛ばしたりカツラをライターであぶったり。
Ｗさんはかすれた声でうめく。助けを呼びたくても呼べないのだ。
俺と友人は無性に怖くなって見つからないように逃げた。
次の日、Ｗさんもクラスの女子も何事も無かったように京都を観光していた。
それが一番怖かった。
時がたって同窓会が開かれた。Ｗさんはすでに亡くなっていた。
俺は思い切って女達に修学旅行でのことを聞いてみた。
すると例の一番かわいかった女の子が「あんなの別に死んだっていいじゃん」といった。
このスレの趣旨とはちょっと違うかもしれないが、これが俺の経験した最も怖い話です。
大人しい子でいつも本を読んでいた。
男子の友人はいなかったが、女子の友人は不思議と多いようだった。
修学旅行で旅館に泊まった時、友人が女子の部屋に遊びに行こうと言い出した。
俺も同意して、どうせだからこっそり行って驚かせてやろうってことになった。
そしてクラスで一番人気のあった女子のいる部屋に行く事となった。
こっそりドアを開けると（どのように鍵を開けたかは忘れた）恐ろしい光景が。
体育座りで座り込むＷさんを円になって囲むようにクラスの女子全員が立っていた。
そして、Ｗさんに対して「豚」「焼けど野郎」などと罵声を浴びせていた。
さらにクラスで最もかわいかった子が「じゃあ、カツラはずしまーす」と笑いながら言ってＷさんの頭に手を伸ばした。
次の瞬間、Ｗさんの髪の毛が全部その女の手にあった。Ｗさんは頭皮も病気で、髪の毛が生えないためカツラをしていたのだ。
男子は誰もそれを知らなかった。ショックで何が何だかわからない俺の前で女子はＷさんを蹴飛ばしたりカツラをライターであぶったり。
Ｗさんはかすれた声でうめく。助けを呼びたくても呼べないのだ。
俺と友人は無性に怖くなって見つからないように逃げた。
次の日、Ｗさんもクラスの女子も何事も無かったように京都を観光していた。
それが一番怖かった。
時がたって同窓会が開かれた。Ｗさんはすでに亡くなっていた。
俺は思い切って女達に修学旅行でのことを聞いてみた。
すると例の一番かわいかった女の子が「あんなの別に死んだっていいじゃん」といった。
このスレの趣旨とはちょっと違うかもしれないが、これが俺の経験した最も怖い話です。
132 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 23:38
133 ：１３２人目の素数さん：03/09/24 00:34
背理法はある強い（一般には複数の）前提条件と生贄とする
（否定したい）命題Xを仮定すると強い前提条件の否定が出てくる
ので、Xを拒否する方法。
例えば√２が有理数であるという命題をPとし、有理数は既約分数で
表されるということと既約分数には互いに素であるという２つの命題
をA,Bとすると、P&A&B＝＞~Bが出てくるのでpが拒否されるということに
なる。この時~Pは強い命題（定理）の仲間に入れる。こうして定理を
増やしていくプロセスが背理法。ある意味、仲間外れ法かも知れない。
強い命題をＱ、否定を証明したい命題をＰとおいた時
Ｑ＆（Ｐ＆Ｑ=>~Ｑ）＝＞~Ｐは命題論理レベルでは恒真な式であるが、
背理法を数学の証明として正当なものとする根拠となっているが。
>>131の女の子も、ある種の背理法でいじめられたのかも知れない。
となると背理法を駆使する数学というのは、女性的陰湿さとは縁が深い
のかも知れない。陰湿な背理法を使わずに済ます表現方法はある。
「任意の有理数が既約分数で表されなおかつ、√２が有理数である
ことは両立しない」というような表現を取るほうがいいのかも知れ
ない。
（否定したい）命題Xを仮定すると強い前提条件の否定が出てくる
ので、Xを拒否する方法。
例えば√２が有理数であるという命題をPとし、有理数は既約分数で
表されるということと既約分数には互いに素であるという２つの命題
をA,Bとすると、P&A&B＝＞~Bが出てくるのでpが拒否されるということに
なる。この時~Pは強い命題（定理）の仲間に入れる。こうして定理を
増やしていくプロセスが背理法。ある意味、仲間外れ法かも知れない。
強い命題をＱ、否定を証明したい命題をＰとおいた時
Ｑ＆（Ｐ＆Ｑ=>~Ｑ）＝＞~Ｐは命題論理レベルでは恒真な式であるが、
背理法を数学の証明として正当なものとする根拠となっているが。
>>131の女の子も、ある種の背理法でいじめられたのかも知れない。
となると背理法を駆使する数学というのは、女性的陰湿さとは縁が深い
のかも知れない。陰湿な背理法を使わずに済ます表現方法はある。
「任意の有理数が既約分数で表されなおかつ、√２が有理数である
ことは両立しない」というような表現を取るほうがいいのかも知れ
ない。
134 ：１３２人目の素数さん：03/09/24 00:58
前提１ p ⇔ q
前提２ not q ⇔ r
目的 Ｘ が ｒ であることを示す
背理法
Ｘ が p であると仮定する ならば 矛盾
よって Ｘ は not q ∴ Ｘ は r である
背理法の対偶論法
Ｘ が p でないならば 矛盾はない
よって Ｘ は not q ∴ Ｘ は r である
…自明じゃ駄目？
前提２ not q ⇔ r
目的 Ｘ が ｒ であることを示す
背理法
Ｘ が p であると仮定する ならば 矛盾
よって Ｘ は not q ∴ Ｘ は r である
背理法の対偶論法
Ｘ が p でないならば 矛盾はない
よって Ｘ は not q ∴ Ｘ は r である
…自明じゃ駄目？
対偶論法はちょっと違うな…。
すまん忘れてくれ…。
すまん忘れてくれ…。
136 ：１３２人目の素数さん：03/09/24 02:14
あほな高校生です。
「√２が無理数である」ことを証明する背理法の論法に違和感を覚えてます。
背理法とは、「結論を否定を仮定して、もとの仮定に矛盾を生じさせる論法」
すなわち、対偶命題の証明で元命題が真であることを示す論法。
と聞いているのですが「√２が無理数である」という命題のどこが仮定の部分
なのか、（ひょっとして「√２が実数であるとわかっているときに」という隠
された仮定が存在するのか←でも、論法ではこれに矛盾していない）
結論の否定を仮定して、結論に矛盾を生じるような論法を背理法というのか？
既約分数にならないからといって、約分する前の分数になる可能性はないのか？
すべての有理数は既約分数で表現できることは証明不要なのか？
どなたか教えてくださ～い。
「√２が無理数である」ことを証明する背理法の論法に違和感を覚えてます。
背理法とは、「結論を否定を仮定して、もとの仮定に矛盾を生じさせる論法」
すなわち、対偶命題の証明で元命題が真であることを示す論法。
と聞いているのですが「√２が無理数である」という命題のどこが仮定の部分
なのか、（ひょっとして「√２が実数であるとわかっているときに」という隠
された仮定が存在するのか←でも、論法ではこれに矛盾していない）
結論の否定を仮定して、結論に矛盾を生じるような論法を背理法というのか？
既約分数にならないからといって、約分する前の分数になる可能性はないのか？
すべての有理数は既約分数で表現できることは証明不要なのか？
どなたか教えてくださ～い。
137 ：１３２人目の素数さん：03/09/24 02:24
＞すべての有理数は既約分数で表現できることは証明不要なのか？
厳密にいえばこれは必要だな。
＞背理法とは、「結論を否定を仮定して、もとの仮定に矛盾を生じさせる論法」
＞すなわち、対偶命題の証明で元命題が真であることを示す論法。
これはどうだろう？オレ的には背理法とはP⇒Qを証明するためにそれと同値な
P＆notQ⇒⊥（⊥は矛盾の意)を証明することだと解釈してるけど。
｢P⇒Q｣と｢P＆notQ⇒⊥｣が同値であることはこだわるタイプのひとにとっては
結構納得しづらいかもしれない。大学はいって論理学の授業があったらそこでは
おしえてもらえるし記号論理学とかいてある教科書にはのってるので独学できないでも
ないが瑣末なもんだいなので伊藤家風にいえば｢なるものはなる｣でとりあえずあとまわし
にしとけ。
厳密にいえばこれは必要だな。
＞背理法とは、「結論を否定を仮定して、もとの仮定に矛盾を生じさせる論法」
＞すなわち、対偶命題の証明で元命題が真であることを示す論法。
これはどうだろう？オレ的には背理法とはP⇒Qを証明するためにそれと同値な
P＆notQ⇒⊥（⊥は矛盾の意)を証明することだと解釈してるけど。
｢P⇒Q｣と｢P＆notQ⇒⊥｣が同値であることはこだわるタイプのひとにとっては
結構納得しづらいかもしれない。大学はいって論理学の授業があったらそこでは
おしえてもらえるし記号論理学とかいてある教科書にはのってるので独学できないでも
ないが瑣末なもんだいなので伊藤家風にいえば｢なるものはなる｣でとりあえずあとまわし
にしとけ。
138 ：ポン：03/09/24 02:40
バカ院生が集まる部屋というのはここですか？
139 ：１３２人目の素数さん：03/09/24 07:28
140 ：１３２人目の素数さん：03/09/24 08:02
141 ：１３２人目の素数さん：03/09/24 11:22
そもそも>>136は背理法が正しいことを納得していないように思うのだがどうか
142 ：１３２人目の素数さん：03/09/24 11:48
>>136
その方針でやるのは、無矛盾性の反例を出そうとするやり方。
つまり強背理法であり、その方法である命題の証明に成功したと同時に
その命題を含む体系全体の信頼性が極度に低下するのでかなり破壊的な
方法です。
数学でそれをやろうとするのはかなり勇気が必要、というか今まで成功
した奴はそう居ないでしょう。
自分で強背理法であると思っていても、実はそれはもろにそれは普通の
背理法だったりすることが殆どです。
その方針でやるのは、無矛盾性の反例を出そうとするやり方。
つまり強背理法であり、その方法である命題の証明に成功したと同時に
その命題を含む体系全体の信頼性が極度に低下するのでかなり破壊的な
方法です。
数学でそれをやろうとするのはかなり勇気が必要、というか今まで成功
した奴はそう居ないでしょう。
自分で強背理法であると思っていても、実はそれはもろにそれは普通の
背理法だったりすることが殆どです。
143 ：136：03/09/24 13:57
>>137
>>142
いろいろ説明いただきありがとございます。
>>141
背理法が正しいことは納得しています。
「√２が無理数であることを証明せよ。」
という問題は、教科書の命題と集合という単元で、先に述べた
背理法の説明
「元命題の仮定を否定して、元命題の仮定に矛盾を生じさせる論法」
の後に載っています。
そこで、この問題（命題）の仮定の部分を考えたのですが、
よくわからないので変だと思いました。
>>142
いろいろ説明いただきありがとございます。
>>141
背理法が正しいことは納得しています。
「√２が無理数であることを証明せよ。」
という問題は、教科書の命題と集合という単元で、先に述べた
背理法の説明
「元命題の仮定を否定して、元命題の仮定に矛盾を生じさせる論法」
の後に載っています。
そこで、この問題（命題）の仮定の部分を考えたのですが、
よくわからないので変だと思いました。
144 ：１３２人目の素数さん：03/09/24 14:07
数学やそれを対抗的基礎にしている古典論理では、古
い時期に確信された命題の否定を生じさせた場合、自
動的に新しい命題が棄却されるという推論システムを
取っているわけで、
>元命題（証明すべき新しい命題）の仮定を否定して
>元命題の仮定に矛盾を生じさせる
というのは、新しい命題が自己矛盾をしている
というのを示す意味に取れるんだが、これは違う。これは
背理法でも何でもない。
背理法は新しい命題と古い命題が両立しないので、古く
信頼出来る命題を残して新しい命題を棄却するという原理
い時期に確信された命題の否定を生じさせた場合、自
動的に新しい命題が棄却されるという推論システムを
取っているわけで、
>元命題（証明すべき新しい命題）の仮定を否定して
>元命題の仮定に矛盾を生じさせる
というのは、新しい命題が自己矛盾をしている
というのを示す意味に取れるんだが、これは違う。これは
背理法でも何でもない。
背理法は新しい命題と古い命題が両立しないので、古く
信頼出来る命題を残して新しい命題を棄却するという原理
145 ：１３２人目の素数さん：03/09/24 14:26
有理数でないなら無理数である
146 ：１３２人目の素数さん：03/09/24 14:27
無理数でないなら有理数である
147 ：１３２人目の素数さん：03/09/24 14:28
有理数であるなら無理数でない
148 ：１３２人目の素数さん：03/09/24 14:29
無理数であるなら有理数でない
>>143
納得していないのとはちょっと違うのかな。
教科書の説明が一般性を欠いていると思う。
背理法による命題Pの証明とは
「命題Pが偽とすると矛盾が出るから、Pは真である｣
というもので、その教科書の説明はPがQ⇒Rの形の場合にあたる。
一般のPも" ⇒P"と解釈すればいいといえばそうなのだが、
それじゃ逆に分かりにくいだろうね。
納得していないのとはちょっと違うのかな。
教科書の説明が一般性を欠いていると思う。
背理法による命題Pの証明とは
「命題Pが偽とすると矛盾が出るから、Pは真である｣
というもので、その教科書の説明はPがQ⇒Rの形の場合にあたる。
一般のPも" ⇒P"と解釈すればいいといえばそうなのだが、
それじゃ逆に分かりにくいだろうね。
150 ：１３２人目の素数さん：03/09/25 12:59
命題Pを否定を決定するのに、
弱い背理法：
（既に証明された）任意の真である（とされた）命題Qに対し、Q&Pが偽である
ことを示す方法。日常世界の論理はこれに近い。
強い背理法：
（既に証明された）ある真である（とされた）命題Qを用いてQ&Pが偽である
ことを示す方法。数学では一般に強い背理法が使われる。
法治国家・官僚の論理はこれに近いものがある。
矛盾法：P&(~P)が真であることを証明する。その体系に真である命題集合が存在
しようがしまいが無関係。排中律よりこの命題P自体が真偽決定不能として
排除される体系が多い。普通の数学はこの立場を取る。よって数学では矛盾法が
使われることは滅多に無い
弱い背理法：
（既に証明された）任意の真である（とされた）命題Qに対し、Q&Pが偽である
ことを示す方法。日常世界の論理はこれに近い。
強い背理法：
（既に証明された）ある真である（とされた）命題Qを用いてQ&Pが偽である
ことを示す方法。数学では一般に強い背理法が使われる。
法治国家・官僚の論理はこれに近いものがある。
矛盾法：P&(~P)が真であることを証明する。その体系に真である命題集合が存在
しようがしまいが無関係。排中律よりこの命題P自体が真偽決定不能として
排除される体系が多い。普通の数学はこの立場を取る。よって数学では矛盾法が
使われることは滅多に無い
151 ：１３２人目の素数さん：03/09/27 19:38
普段やってるような形式的でない推論が無矛盾でないと仮定する。
矛盾。
よって仮定は否定され、形式的でない推論は無矛盾である。
こんな背理法は嫌だ。
矛盾。
よって仮定は否定され、形式的でない推論は無矛盾である。
こんな背理法は嫌だ。
152 ：１３２人目の素数さん：03/09/27 21:18
153 ：１３２人目の素数さん：03/10/05 00:20
「真である全ての命題は、背理法を使って証明できる」→偽
反例：「背理法を使って証明した事柄が正しい」ことを
背理法を使って証明するのは不適切
反例：「背理法を使って証明した事柄が正しい」ことを
背理法を使って証明するのは不適切
154 ：１３２人目の素数さん：03/10/13 01:12
Q：背理法による証明が正しいことを証明せよ.
A1：まず,結論を否定してみる
「背理法による証明は正しくない」
ところが,いまやろうとしている証明は背理法を使おうとしている
ので正しくない.よって仮定である「背理法による証明は正しくない」
は正しくないことが示されたので,証明が終了する.
A1：まず,結論を否定してみる
「背理法による証明は正しくない」
ところが,いまやろうとしている証明は背理法を使おうとしている
ので正しくない.よって仮定である「背理法による証明は正しくない」
は正しくないことが示されたので,証明が終了する.
155 ：１３２人目の素数さん：03/10/13 08:28
「真である全ての命題は、背理法を使って証明できる？」
存在そのものが矛盾です。
数学は、矛盾がでたらそれを切り捨てることから始まってます。
矛盾なので数学に含めません。
完了
存在そのものが矛盾です。
数学は、矛盾がでたらそれを切り捨てることから始まってます。
矛盾なので数学に含めません。
完了
156 ：１３２人目の素数さん：
15