面積最大の三角形

さくらスレ146にあったYo

461 ：１３２人目の素数さん ：04/06/27 17:18
F(x,y) = sin(x) + sin(y) + sin(x+y)
の最大値、最小値を教えてください。公式通りにやってもうまく行きませんでした
たのんます

http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1087307114/461


半径1の円周上に3点とり、中心角を 2x,2y,2(π-x-y) とすると、
周長=2･F(x,y), 面積=(1/2)F(2x,2y)

>199
面積の式おかしくね？

>198
F(a-t,a+t) = sin(a-t) + sin(a+t) + sin(2a) = 2sin(a)･cos(t) + sin(2a).
∴ - 2|sin(a)| + sin(2a) ≦ F ≦ 2|sin(a)| + sin(2a), 等号は t=nπ (n∈N)のとき.

ところで、2{1±cos(a)}･|sin(a)| = 2(1±c)･√(1-c^2)
= (1/2)√{27 - (-1±2c)^2･[(3±2c)^2 + 2]} ≦ (√27)/2 = 3(√3)/2.
∴ -3(√3)/2 ≦ F ≦ 3(√3)/2, 等号成立は-1±2c=0 のとき, a=60°,120°,････のとき