●●５次方程式の解の公式●●

小学生ならガロア理論なんかよりゲームの裏技を独力で発見する方がクラスのヒーローになれるのに。

http://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory

>>817
5次の一般方程式が可解でないというだけなら、アーベルの証明を現代化簡単化
してやればそんなにかからないよ。

ガロアの基本定理から何から、ガロア理論と群論をごっそり用意しようとか
思うから大変になるだけで。

ｎ次方程式でもニュートン方みたいなのがあるからいらない。

数値解法はあくまで数値解法

Möbius Transformations in Dimension <Emphasis Type="Italic">n ...
The general n-dimension MObius transformation is conjugate ..... The table indicates the conjugacy classes of Yn for n -- 1, 2, 3, 4. The ...
www.akademiai.com/index/7V3877P846521032.pdf - Similar pages
by JB Wilker - 1983 - Cited by 1 - Related articles

フム、±乗除√のみでは解けぬか

タワー表記（の簡易表示）^^, ^^^, …とか階乗、超階乗はどうじゃろ？
それぞれ ^ に対する√みたいな物も発見する必要がありそうじゃが

>>826
タワーは自明にダメ。
階乗は非整数に対する階乗をどう定めるかによるが
Γ関数による普通の定義とかではダメ。

うるさい。

六年二時間。

>>827
そうなのか有難う

123

711

解は最大五つですね？

age

620

952

こら横山！！

613

438

>>735,>>736,>>739,>>769,>>770,>>773,>>779,>>786,>>787,>>788,>>789,>>790,>>794,>>795,>>798,>>799
なるほど。

このスレ的には可解な場合の５次方程式の解の公式を超幾何関数で書かないことには終わらないわけだな。

(X-a-b-c-d)(X-a+b+c+d)(X+a-b+c+d)(X+a+b-c+d)(X+a+b+c-d)
=X^5+(a+b+c+d)X^4 -2[(a+b+c+d)^2-2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)]X^3
　-2[(a+b+c+d)^3-2(a+b+c+d)(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+4(abc+abd+acd+bcd)]X^2
　[(a+b+c+d)^4-4(a+b+c+d)^2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+16abcd]X
　+(a+b+c+d)^5+8(a+b+c+d)^2(abc+abd+acd+bcd)
　-4(a+b+c+d)^3(ab+ac+ad+bc+bd+cd)-16abcd(a+b+c+d) 〜となります。
したがって f(X)=X^5+AX^4+BX^3+CX^2+DX+E=0 で係数と比べていくと
a+b+c+d, ab+ac+ad+bc+bd+cd, abc+abd+acd+bcd, abcd の値が決まります。
p=a+b+c+d, q=ab+ac+ad+bc+bd+cd, r=abc+abd+acd+bcd, s=abcd と置いて
4次方程式 T^4-pT^3+qT^2-rT+s=0 を解けば a,b,c,d が定まり、したがって
X=a+b+c+d, a-b-c-d, -a+b-c-d, -a-b+c-d, -a-b-c+d　と5次方程式の解が
求まる？・・・これのどこが間違ってるんでしょうか？

>>842
相当血の巡りが悪いらしいなｗ
f(X)=(X-a)(X-b)(X-c)(X-d)(X-e)
f(X)=X^5+AX^4+BX^3+CX^2+DX+E=0
で係数を比べて解を求めるんだから、
a,b,c,d,eをA,B,C,D,Eで表わせよ。

>>841
可解ってのは代数的に可解（四則と冪根で書ける）あるいは同じことだが
ガロワ群が可解群になるって意味で使うのが普通だろうから、
超幾何使うのに可解性を仮定する意味はあまり無いと思うのだけど…。

x^3+ax+b=0は
(x+y+z)(x+ωy+ω^2z)(x+ω^2y+ωz)=x^3+y^3+z^3-3xyz=0
として、やってみれば簡単だし、
x^4+ax^2+bx+c=0は、
(x^2+k)^2=s(x+t)^2
とかいて係数比較すれば三次方程式になって簡単なのに
なんで高校生でやらないんだろう？？

代数的に解くアルゴリズムがあるとわかる以上の益があまり無いからだろう。

>>842
X^4の係数から順に決めていったとしましょう。
そうすると、Xの項で決めたときに、
もうすでに、４次方程式の解と係数の関係の数値が決まってしまいます。
そして、最後の定数項はそれによって決まってしまいますね。
ですが一部の形の四次方程式に関しては有効であるとおもいます。

>>846
教科書の一ページに乗っていたら、東工大あたりの
重い問題の座標で解く幾何とかの
途中過程でそういう三次方程式が出てきても
面白いなとおもったんだけど。

ちっ

ht tp://moourl. com/nyzhg

>>848
無駄に面倒なだけの、計算量で解答時間を無理矢理削るようなその場凌ぎの
悪問をつくったところで、何も面白くないと思うけど。
むしろ、問題作成者の能力と人間性が疑われるだけの結果が待ってると思う。

>>851
解と係数の応用って感じだし、全然時間かからないし
幾何の問題ってことで十分
考えられそうな感じになりそうなんだけどな。
どっかの塾の数学発展演習でもでてたぞｗｗ

>>843
f(X)=(X-a)(X-b)(X-c)(X-d)(X-e)
=X^5 -(a+b+c+d+e)X^4 +(ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de)X^3
　-(abc+abd+abe+acd+ace+ade+bcd+bce+bde+cde)X^2
　+(abcd+abce+abde+acde++bcde)X -abcde　〜となりますね。
A= -(a+b+c+d+e)、B=ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de・・・の
ようになりますがここからどういう計算をしてa, b, c, d, e に
たどりつくんでしょうか？私の力量ではこの先、進めませんです。

>>847
おっしゃるとおりでXのところまできた時、なぜか定数項が決まって
しまう不都合なことになってしまいます。それで「どこかおかしい
はず」と思い、質問してみました。

ニュートン公式

>>853
＞ようになりますがここからどういう計算をしてa, b, c, d, e に
＞たどりつくんでしょうか？私の力量ではこの先、進めませんです。

>>840のリンク先をまずは読め。アーベルの定理って知ってるか？
そうするとエルーミートの解き方が出てくる。
もうひとつの解き方が超幾何関数による方法。
いまのところ知られているのはこの２つだけ。

あ

842のやつ、X→X-(a+b+c+d)/5と全体を置き換えてみたらいいような
気がしないでもないけど、また五次方程式に帰着されそうだなｗｗｗ
もう結果が出てるわけだし。

>>855
http://www.sci.hokudai.ac.jp/science/science/H12_10/math/Math_2000_3.htm

・アーベル、ガロワの結果の意味するところは、全ての n で解公式を得ようとすると何らかの超越的関数が必要ということです。

・一つは、エルミート、クロネッカーが 5次方程式の解公式を楕円関数という関数を使って表したのに始まり、
　クライン、ジョルダンが一般の代数方程式の解公式を保型関数という関数を使って表したという流れ

・もう一つの流れは、超幾何関数(級数）を使うという流れです。・・・19 世紀末から 20 世紀前半にかけて、
　ビルクラント、カペリ、ベラルディネリ、メリン、マイヤーといった人たちが仕事をしました。
　また、数年前には、シュトゥルンフェルズが 1980 年代からのゲルファントらの研究を受けて今挙げた 20 世紀前半の人たちの研究をより詳しく発展させました。

>>853
楕円関数のような「代数的でない」道具を使わなければ5次以上の代数方程式は解くことができないということです。
たとえば，梅村 浩著，「楕円関数論」，東京大学出版会(2000) の第6章6.4 からの解説をご覧ください。

477

七年三十七日九時間。

737

ガロア理論が確立した現在から見ると、自然数ｎ≧３に対し、
基礎となる体を、たとえば標数０で、１のｎ乗根をすべて含む可換体として
一つ決めておくと、

（１）ｎ次代数方程式のガロア群が可解群＜＝＞ｎ次代数方程式は"代数的に解ける"
（２）ｎ次対称群が可解群＜＝＞ｎ＝３　Ｏｒ　ｎ＝４
（３）ｎ次代数方程式のガロア群がｎ次対称群となるものが存在する

が成立するから、

（４）ｎ次代数方程式が代数的に解ける＜＝＞ｎ≦４

ということ（アーベルの主張！）が言える。

ガロア理論（的視点）を理解せずに、アーベルの原論文を理解しようと
すると結構大変だったりする。まあ、これは俺だけか？

高木貞治　「代数学講義」共立出版
を読んで理解しておくといいはず。

>>550
　x^3 -3ax + b = 0 の実根は　b^2 -4a^3 ≧ 0 のときは１つで、
　x = {[-b +√(b^2 -4a^3)]/2}^(1/3) + {[-b -√(b^2 -4a^3)]/2}^(1/3),

　x^3 -x -1 =0 の実根は
-1.3247179572447460259609088544778

カルダノの解法ですね。よくまあ小さい桁まで計算されてますなあ。
そして複素数解は −0.663 ± 0.562i です。
チラシの裏でちまちま計算していましたが、面倒なのでエクセルに入れてます。
完成に3年かかりましたが、答えが瞬時に現れ面白いです。
864さんの実根が一つは証明済みでしょうか。
三次方程式の解は以下四つのパターンになります。
�@異なる三つの実数解。
�A二つの実数解。片方が重解。
�B一つの実数解。三重解。
�C一つの実数解と二つの複素数解。
エクセルだから証明はできません。ただ数値が求められるだけです。
x^3 -x -1 =0 の場合は�Cでしたが、私のエクセルの計算結果では864さんの
不等式は�A、�B、�Cを含みます。つまり重解の場合もあるのです。
そのことを私は証明できていません。ただ経験的に得られただけです。

>>845
亀だが、3次方程式の解の公式は「発展」項目で掲載されている高校教科書がある（あった？）。

4次の方は、そこまで知ってるなら分かるだろうが、その後全部書くと
かなり長くなるので無理（大学と違って、高校教科書だと途中省略しにくい）。

＞５次方程式の解の公式
＞なんでないの？

いっとくけど、解はあるよ。
解を求める数値解析アルゴリズムもあるよ。

「公式」というけど、四則演算とベキ根しか使わないなんて偏狭。

＞数値解法はあくまで数値解法

ベキ根を解くのも結局数値解法ｗ

ベキ根を認めなければ、そもそも２次方程式に解の公式がないｗ
そしてその証明は「例えば２の平方根が有理数にならない」
という性質に帰着する。

またベキ根を使うとしても、複素数のベキ根を使わない、
というなら、３次でもムリ。

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