ゼータ関数について教えて下さい

注１：関数―続き３
私が今、言いたいのは、つまり、「抽象化」に関する事だ。
抽象化で全てを理解して一段高い見地から物事全てが明らかになって、
物事全てが理解していけるなどと言うのは、大きな「盲信」だ。
実際には、駆け足で「早い、安い、うまい」くて、祭り上げられている話で
あればあるほど「まゆつば」物だ。

実際には「何もわかってなどいない」のかもしれない。
この懐疑主義には私自身でもうんざりするが、それはほんとうの話だ。

私は「定理」や「定義」、「知識」に「名詞」が大嫌いだが、
ここで一つの定理を挙げておこう。

「道は特殊例の特殊性の一般化で劇的に展開していく」
例としては、人間の「知性」をあげれば、充分だろう。

私の「哲学志向性」はあるいは聞き手に嫌われるだろうが、
多くの人は「数学」の背後にある「豊穣なイメージの海」を忘れているのだ。
「数学」は純客観等では、決してない。
オイラーの数学はオイラーの「主観」に満ちている。
ラマヌジャンの数学はラマヌジャンの「主観」に満ちている。
同じ様に「現代数学」は現代数学の「主観」に満ちている。
時代の「主観」に満ち満ちている。

注の内容は私の「主観」に満ち満ちている。
反論、他、たくさんあるだろうが、これが、私の主観だ。
少し、書き過ぎたので、今日はこれで「失礼」する。
気分を害された方がいたら、先に「申し訳ない」とだけ言っておきたい。

なかなかエロい官能SSだ。オナホールには劣るがな。

あの世でπかとも思ったがちがったのかもしれない。
次にπ/2かとも思ったが、それも違ったのかもしれない。
どちらからも、有理数に似た数が立ち上がってくるだけだ。
私はまた嘘をついいた。>>822はまだ試していない。
f(ω)=e^((1)ω+(2)/2*ω^2+(3)/3*ω^3+,,,,)
を調べて何かきれいな値をさがしていただけだ。

結局の処、(1)はloglogn+なんたらの夢幻で、f(1)はlogn+γの無限なのだ。
私は２つをつなぐ”形”を式にした訳だ。
私には何もわかってやいないのだ。4-2に群の出てくる理由もわからない。
しかし、4-2のパターンは重複順列のパターンでΓ関数そのもののパターンだ。
数学は同じ形や似た形を探し続けるゲームで、
ある人々はあまりに同じなので、
「おいおいおまえらいいかげんにしろよ」
と言って「言葉」で分類し整理し書き下し、「知識」にするのだが、無駄な事だ。
「構造」なんか、4の上での素数と自然数の上の関数にも見られるし、
したがって
πx/sin(πx)=e^(ζ(2)x^2+ζ(4)/2x^4+,,,)
って言う私には見た事もない式が立ち現われてくる様は確かに美しいのだが、、、、
「最も肝心な事」はいつだって「目には見えない」からだ。
大体、分類したって、同じ形は次から次に現れるし、君らは
単に「名詞」にして「殺して」しまい「わかった」気になり、
安心したいだけだろう？
考えるのをやめてしまって、、、、。

さて、今の生のパズルを御紹介する。
f(x)の(1)を変数と見よう。
f(t;x)=e^(tx+(2)/2x^2+(3)/3x^3+,,,,,)とする。
α(t)={f(t:1)+f(t:ω)+f(t:ω^2)}
β(t)={f(t:1)+ω^2*f(t:ω)+ω*f(t:ω^2)}
γ(t)={f(t:1)+ω*f(t:ω)+ω^2*f(t:ω)}
としよう。そうして、(α-β)^2,(β-γ)^2,(γ-β)^2の全体
(α-β)^2+(β-γ)^2+(γ-β)^2に対する比を見る。なぜかって？？
理由なんか私は知らない。そこに有理数っぽい数が「何故か」立ち現われてくるからだ。

t=πにすると、1万以下の素数、30までのべき和したがって、(30)までを利用して計算すると、
何故か(α-β)^2に0.666604721が現れる。

t=π/2にすると、
何故か
4*(α-β)^2/(β-γ)^2が
359.0007729
になる。こいつはとても、sexyだ。これが今の私のパズルだ。

この奥には、mod3での指数部での余り1と2の差が関係しており、
直接にはζ(3)のきれいな形にはつながらないかもしれない。
つながるかもしれない。関係があるのは間違いない。

あんまり、今すぐ聞くかたにはちんぷんかんぷんかもしれない。
私は生きたパズルを御見せしたかっただけなのだが、、、、、。

しかし、次回はわかる様に結果を整理した物を御見せしよう。約束する。

t=πにすると、
=>
t=logπ-{(2)/2+(3)/3+,,,,,}にすると

t=π/2にすると
=>
t=logπ-log2-{(2)/2+(3)/3+,,,,,}にすると

4*(α-β)^2/(β-γ)^2が
=>
2*(α-β)^2/(β-γ)^2が

自然数のゼータを指数表示すると以下が得られる。
ζ(1)=e^((1)+(2)/2+(3)/3+(4)/4+,,,,,)
ζ(2)=e^((2)+(4)/2+(6)/3+(8)/4+,,,,,)
ζ(3)=e^((3)+(6)/2+(9)/3+(12)/4+,,,,,)
,,,,,
ζ(n)^(1/n)を考えよう。すると以下だ。
ζ(1)=e^((1)+(2)/2+(3)/3+(4)/4+,,,,,)
ζ(2)^(1/2)=e^((2)/2+(4)/4+(6)/6+(8)/8+,,,,,)
ζ(3)^(1/3)=e^((3)/3+(6)/6+(9)/9+(12)/12+,,,,,)
,,,,
ζ(1):調和級数が全ての自然数のゼータζ(n)の遺伝情報を持っている事がこれで
明瞭になった。つまり、３(>>865)がこれで明示的になった訳だ。

ζ(2n)に関して以下が知られている。
ζ(2)=π^2/6=e^(2logπ-log2-log3)
ζ(4)=π^4/90=e^(4logπ-log2-2log3-log5)
ζ(6)=π^6/945=e^(6logπ-3log3-log5-log7)
,,,,,,
ζ(n)^(1/n)を考えよう。すると以下だ。
ζ(2)^(1/2)=e^(logπ-1/2log2-1/2log3)
ζ(4)^(1/4)=e^(logπ-1/4log2-1/2log3-1/4log5)
ζ(6)^(1/6)=e^(logπ-1/2log3-1/6log5-1/6log7)
,,,,,,
してみると、ζ(1)の指数表示の中にlogπがどこかに潜んでいるに違いない。だが、どこに、、、？
eの右上にlogπが潜んでいるなら、ζ(1)のどこかにπが棲んでいるはずだ。
こいつ　ζ(1)　はあの世じゃ　π　だったかもしれない。

f(x)を整理する。
f(x)=π 1/(1-x/p)=e^((1)x+(2)/2*x^2+(3)/3*x^3+,,,,,)
今後は(1)ではなくζ(1)を変数とみる。

ζ(1)=f(1)=e^((1)+(2)/2+(3)/3+,,,,)より
(1)=loζ(1)-(2)/2-(3)/3-,,,,,)を代入する

f(x)=e^((loζ(1)-(2)/2-(3)/3-,,,,,)x+(2)/2*x^2+(3)/3*x^3+,,,,,)
=ζ(1)^x*e^((2)/2(x^2-x)+(3)/3*(x^3-x)+(4)/4*(x^4-x)+(5)/5*(x^5-x)+,,,,)
=ζ(1)^x*e^[x(x-1){(2)/2+(3)/3*(x＋1)+(4)/4*(x^2+x+1)+(5)/5*(x^3+x^2+x+1)+,,,,}]
役者が次々と出揃って行く。実にきれいだ。
以降、このf(x)を用いる。文脈でわかりにくいときにのみ
f(ζ(1):x)と表記する。例えば、f(π:x)と言うように、、、、。
それ以外は特に断らない。

ここで、ラグランジュ・パターンを　n=3　の場合のみ、再掲する。
私はこれをn=8までに関して式化した。今、n=9でつかえている。
太古の昔にはたくさん計算されているので、結果はどこかにあるはずだ。
私は、単に自分で見つけていくのが好きな、物好き　なのでこのパズルは
n>=9に関しては　私にはまだ解けていないパズルだ。

さて、
α:自然数のうちで素因数の個数が(mod3)に関して0である数の逆数和
β:自然数のうちで素因数の個数が(mod3)に関して1である数の逆数和
γ:自然数のうちで素因数の個数が(mod3)に関して2である数の逆数和
とする。ことわっておくが、通常の意味ではζ(1)もαもβもγも無限大だ。
当座は、
「ζ(1)がある有限な値で、ζ(n)は知られている収束値であるゼータの世界」
を考えていただきたい。この架空の世界でなにか臭い事実を機能的に見つけて
いこう。と言うのが大体の方針と思っていただいて、結構だ。

ζ(3)=π(1/(1-1/p^3))=π(1/(1-1/p))・π(1/(1-ω/p))・π(1/(1-ω^2/p))
=(α+β+γ)(α+ωβ+ω^2γ)(α+ω^2β+ωγ)
=(α+β+γ){(α-β)^2+(β-γ)^2+(γ-α)^2}/2
=ζ(1){(α-β)^2+(β-γ)^2+(γ-α)^2}/2

この式は以下よく出てくるので再掲した。
つまり、

ζ(3)/ζ(1)={(α-β)^2+(β-γ)^2+(γ-α)^2}/2

注意して欲しいのは
ζ(1)が変われば、α,β,γも変わって行くと言う事実だ。すぐに式化する。

機能＝＞帰納

であった。

ζ(2)のラグランジュ・パターンは実に単純だ。
しかし、注意すべきだ。
何事であれ、全ては単純な形の「積み上がり」にすぎないのだ。
私はこの事実を「ガウスの整数論」から学んだ。

ζ(2)=(α+β)(α-β)=ζ(1)(α-β)=π^2/6
α={ζ(1)+ζ(2)/ζ(1)}/2
β={ζ(1)-ζ(2)/ζ(1)}/2

1)ζ(1)=πの時
α={π+π^2/6/π}/2=7π/12
β={π-π^2/6/π}/2=5π/12

2)ζ(1)=π/2 の時
α={π/2+π^2/6/π*2}/2=5π/12
β={π/2-π^2/6/π*2}/2=π/12

3)ζ(1)=π/3 の時
α={π/3+π^2/6/π*3}/2=5π/12
β={π/3-π^2/6/π*3}/2=-π/12

4)ζ(1)=2π/3 の時
α={2π/3+π^2/6/π*3/2}/2={2π/3+π/4}/2={8π/12+3π/12}/2=11π/24
β={2π/3-π/4}/2={8π/12-3π/12}=5π/24

5)ζ(1)=π/n の時
α={π/n+π^2/6/π*n}/2={1/n+n/6}*π/2={6/(6n)+n^2/(6n)}π/2=(6+n^2)π/(12n)
β={π/n-π^2/6/π*n}/2=(6-n^2)π/(12n)

6)ζ(1)=mπ/n の時
α={mπ/n+π^2/6/π*n/m}/2={m/n+n/(6m)}*π/2={6m^2/(6mn)+n^2/(6mn)}π/2=(6m^2+n^2)π/(12mn)
β={mπ/n-π^2/6/π*n/m}/2=(6m^2-n^2)π/(12mn)

さて、順序が逆だった。私はまず、f(x)に関して述べるべきであった。
この様に、「オイラーの様」に、また、「ガウスの様に」歩んで行くのは、とてもむずかしい。
単純な事実を当たり前の様に積み上げていくのは、特に現代ではとても困難だ。
皆、「便利」に慣れすぎているからだ。

f(x)=ζ(1)^x*e^((2)/2(x^2-x)+(3)/3*(x^3-x)+(4)/4*(x^4-x)+(5)/5*(x^5-x)+,,,,)

f(1)
=ζ(1)*e[1*0*{(2)/2+,,,,}]
=ζ(1)

f(-1)
=ζ(1)^(-1)*e^[2{(2)/2+(3)/3*0+(4)/4+(5)/5*0+,,,,}]
=1/ζ(1)*e^[2{(2)/2+(4)/4+,,,,}]
=1/ζ(1)*e^[(2)+(4)/2+,,,,}]
=1/ζ(1)*ζ(2)
=ζ(2)/ζ(1)

今、b=(2)/2+(4)/4+,,,,,とすると
b=logπ-1/2log2-1/3log3=(2)+(4)/2+,,,,
がわかっている事に注意して欲しい。と言うのも
3以上でこれらを明確にしていくのが今後の「オイラーの宝探し」であるからだ。

b=logπ-1/2log2-1/3log3=(2)+(4)/2+,,,,
b=logπ-1/2log2-1/3log3=(2)/2+(4)/4+,,,,

f(x)=ζ(1)^x*e^[x(x-1){(2)/2+(3)/3*(x＋1)+(4)/4*(x^2+x+1)+(5)/5*(x^3+x^2+x+1)+,,,,}]

今、
a=(4)/4+(7)/7+(10)/10+,,,
b=(2)/2+(5)/5+(8)/8+,,,
c=(3)/3+(6)/6+(9)/9+,,,
とする。
ζ(3)=e^(3c)なので、cに「きれいな形」を与えるのが私の目的だ。

ζ(3)=f(1)f(ω)f(ω^2)
ω^3=1、ω^2+ω+1=0、ω=-1/2-√3/2,ω^2=-(ω+1)=-1/2+√3/2

f(1)=ζ(1)

ω^3=1、ω^2+ω+1=0、ω=-1/2-√3/2,ω^2=-(ω+1)=-1/2+√3/2

ω^3=1、ω^2+ω+1=0、ω=-1/2-√3/2*i,ω^2=-(ω+1)=-1/2+√3/2*i

f(ω)=ζ(1)^ω*e^[ω(ω-1){(2)/2+(3)/3*(ω＋1)+(4)/4*(ω^2+ω+1)+(5)/5*(ω^3+ω^2+ω+1)+,,,,}]
=ζ(1)^ω*e^[(ω^2-ω){(2)/2+(3)/3*(-ω^2)+(4)/4*0+(5)/5*1+,,,,}]
=ζ(1)^ω*e^[(ω^2-ω){b-c*ω^2]
=ζ(1)^ω*e^[(ω^2-ω)b-(ω^4-ω^3)c]
=ζ(1)^(-1/2+√3/2*i)*e^[-√3ib-(ω-1)c]
=ζ(1)^(-1/2+√3/2*i)*e^[-√3ib-(-1/2+√3/2*i-1)c]
=ζ(1)^(-1/2+√3/2*i)*e^[-√3ib-(-3/2+√3/2*i)c]
=ζ(1)^(-1/2+√3/2*i)*e^(3/2*c)*e^[-√3i{b+1/2*c}]
=ζ(1)^(-1/2)*e^(3/2*c)*e^i*{√3/2*logζ(1)}*e^[-√3i{b+1/2*c}]
=ζ(1)^(-1/2)*ζ(3)^(1/2)*e^[i*√3/2*{logζ(1)-(2b+c)}]
=[ζ(3)/ζ(1)]^(1/2)*e^[i*√3/2*{logζ(1)-(2b+c)}]

今、θ=√3/2*{log(ζ(1)-(2b+c)}と置く。
以下、計算過程は略そう。是非、御自分で行う事を御勧めする。おもしろいから、、。
しかし、むしろ、私がまだやってない事をやった方がおもしろいかもしれない。
4をフィボナッチ数で考えるとか、、、、。Ramanujyan路線を進んでみるとか、、、。

f(ω^2)=[ζ(3)/ζ(1)]^(1/2)*e^[i*(-√3/2)*θ]

f(ω^2)=[ζ(3)/ζ(1)]^(1/2)*e^[i*(-√3/2)*θ]

f(ω^2)=[ζ(3)/ζ(1)]^(1/2)*e^[-i*θ]

f(ω)=(α+ωβ+ω^2γ)/3
f(ω^2)=(α+ω^2β+ωγ)/3
より
α=[ζ(1)+2√{ζ(3)/ζ(1)}*cosθ]/3
β=[ζ(1)+2√{ζ(3)/ζ(1)}*cos(θ+2/3*π)]/3
γ=[ζ(1)+2√{ζ(3)/ζ(1)}*cos(θ-2/3*π)]/3

f(1)=(α+β+γ)/3が抜けてた。

α-β=2/√3*√(ζ(3)/ζ(1))sin(θ-2/3*π)
β-γ=2/√3*√(ζ(3)/ζ(1))sin(θ)
γ-α=2/√3*√(ζ(3)/ζ(1))sin(θ+2/3*π)

(α-β)^2/2=2/3*(ζ(3)/ζ(1))sin^2(θ-2/3*π)
(β-γ)^2/2=2/3*(ζ(3)/ζ(1))sin^2(θ)
(γ-α)^2/2=2/3*(ζ(3)/ζ(1))sin^2(θ+2/3*π)

(α-β)^2/2=2/3*(ζ(3)/ζ(1))sin^2(θ+2/3*π)
(β-γ)^2/2=2/3*(ζ(3)/ζ(1))sin^2(θ)
(γ-α)^2/2=2/3*(ζ(3)/ζ(1))sin^2(θ-2/3*π)

2b+c=0.528999251　を用いた。それだけで計算は検証可能なはずだ。
θ=√3/2*{log(ζ(1)-(2b+c)}

1)ζ(1)=πの時
2/3*sin^2(θ+2/3π)=0.666604721

2)ζ(1)=π/2の時
[sin(θ-2/3π)/sin(θ)]^2=179.50007729≒359/2

3)ζ(1)=π/3 の時
[sin(θ+2/3π)/sin(θ-2/3π)]^2=0.35002396≒7/20

4)ζ(1)=2/3π　の時
[sin(θ-2/3π)/sin(θ)]^2=17.66696083≒53/3

5)ζ(1)=3/5π　の時
[sin(θ-2/3π)/sin(θ)]^2=81.1115055≒730/9

6)ζ(1)=π/6 の時
2/3sin^2(θ+2/3π)=0.00055000

まだ私の結果処理はおそらく不十分だろう。
だが、私にはこの先に

2b+c　のきれいな形があるだろうとしか思えないのだ。

2b+c=0.528999251　を用いた。それだけで計算は検証可能なはずだ。
θ=√3/2*{log(ζ(1)-(2b+c)}

1)ζ(1)=πの時
2/3*sin^2(θ-2/3π)=0.666604721

2)ζ(1)=π/2の時
[sin(θ+2/3π)/sin(θ)]^2=179.50007729≒359/2

3)ζ(1)=π/3 の時
[sin(θ-2/3π)/sin(θ+2/3π)]^2=0.35002396≒7/20

4)ζ(1)=2/3π　の時
[sin(θ+2/3π)/sin(θ)]^2=17.66696083≒53/3

5)ζ(1)=3/5π　の時
[sin(θ+2/3π)/sin(θ)]^2=81.1115055≒730/9

6)ζ(1)=π/6 の時
2/3sin^2(θ-2/3π)=0.00055000

まだ私の結果処理はおそらく不十分だろう。
だが、私にはこの先に

2b+c　のきれいな形があるだろうとしか思えないのだ。

これを使うと
2b+c≒
の形で、私には「百人のRamanujyan」が現出した様にしか見えなかった数式たちが現れる。
たしかに、logとatanは親戚筋なのだが、、、、。
どうも私には変換過程がよく見えなかった。
こんな事が今、ζ(3)だけで起これば、これから、3を増やした時には
確かに「百人のRamanujyan」が現れる。

しかし、私は何かを見落としているかもしれない。そんな事はしょっちゅうだから。
私は今の私の結果を正直にここに、書いた。
このOPENな心はAMERICA数学
アユーブやリーベンボウム及び、それを訳してくれた方々から学んだ。
皆さんも、是非、何かを読んだり、聞いたりしたら、その心を学んで欲しいと思う。
オイラーを読んだら、オイラーの心を
ブルバキを学んだら、創設者の熱い心意気を、アメリカを学んだら、そのOPENな心を
数学は職人の作業だ。上っ面の知識や技術やはやりすたりばかり学んでいても
何も得られない。数学は”知”で、”知”は力だが、力は正義でもなんでもない。
だれかより、成績がよくても、決してだれかを「踏みつける」事ばかり学んではいけないよ。
これは、年長者からのセツなる「御願い」です。
今回はこれで失礼します。次回は
「百人のRAMANUJYAN」からです。私にはまだ、理由がわからないのだから、、、、。

α-β=2/√3*√(ζ(3)/ζ(1))sin(θ+2/3*π)
β-γ=2/√3*√(ζ(3)/ζ(1))sin(θ)
γ-α=2/√3*√(ζ(3)/ζ(1))sin(θ-2/3*π)

ω^3=1、ω^2+ω+1=0、ω=-1/2-√3/2,ω^2=-(ω+1)=-1/2+√3/2

ω^3=1、ω^2+ω+1=0、ω=-1/2+√3/2*i,ω^2=-(ω+1)=-1/2-√3/2*i

β=[ζ(1)+2√{ζ(3)/ζ(1)}*cos(θ-2/3*π)]/3
γ=[ζ(1)+2√{ζ(3)/ζ(1)}*cos(θ+2/3*π)]/3

アペリーのζ(3)の無理数性の証明の手計算では実行不可能な部分ってどの箇所です？
フランス語ですが↓
http://www.math.u-bordeaux1.fr/~molin/notes/zeta_3.pdf

|an+bnZ|->0 as an/bn=-int(10^mZ)*10^-m

＞手計算では実行不可能
って、アペリーの証明は間違っていたってこと？

>>912
Beukersが後付けで理屈（笑）つけてんだし、間違ってるわけねーじゃん。

じゃあ、ζ(3) の無理性を証明したのは、Apery じゃなくて、Beukers ってこと？

>>913
知らねえ奴は黙ってろ

アペリーは証明に十数年かかってたなんて言われてなかったっけ
手計算では実行不可能、じゃなくて手計算では滅茶苦茶しんどいってことなんだろう
そういう訳で間違ってる訳ではない

722

絶対数学
http://www.nippyo.co.jp/book/5408.html

ところで、GO MAXIMAはどこに行ったの？

現代思想　２０１０・9月号
http://www.seidosha.co.jp/index.php?%B8%BD%C2%E5%BF%F4%B3%D8%A4%CE%BB%D7%B9%CD%CB%A1

特集＝現代数学の思考法　数学はいかにして世界を変えるか
【垂直的拡張】
〜導入〜
　　現代数学の抽象化・物質現象認識の抽象化　／　小島寛之
〜幾何学〜
　　幾何学的探究　／　砂田利一
　　数学を理解するということ　／　深谷賢治
〜代数学〜
　　絶対数学の発見　／　黒川信重


ゼータネ申が執筆している。

>>919
「多重三角関数講義」（日本評論社）
「現代三角関数論」（岩波書店）
が近刊予定って書いてあった。

>>920
多重三角関数ってオイラー積を使った定義しかないの？
オイラー積ってイマイチわかりにくくて・・・

他の方法から定義の出現キボン

ウェイユ

>>921
今年の東工大前期の講義で黒川さんがフルヴィッツゼータ使って定義してた希ガス
http://homepage2.nifty.com/hiranouchi/seminar/040521.pdf

絶対数学
http://www.amazon.co.jp/gp/product/453578552X

この本、表紙だけみるとトンデモ本に見えるな。

小山先生って長野に家買ったとかどこかに書いてたけど、なんでそんな田舎に？

リーマン予想の数理物理 - ゼータ関数と分配関数
（サイエンス社、近刊、黒川・小山）