問題に答えた人が次の問題を出すスレ

Re:312
ヒントが間違っていると云いたいのか。

>>313
答えが間違っていると言いたい。

306の答え: Summation[k=0 to n-1]((-1)^k*n!/k!/(n-k)!*(n-k)^m)
問題: x^8+64を有理数の範囲で因数分解せよ。

第一段階
(x^4+4x^2+8)(x^4-4x^2+8)
さらに因数分解したけど、√2がでてくるあたりで
めんどくさくなってきた
でもおもろい！！！

こんなのみつけたよ☆
http://accessplus.jp/staff/in.cgi?id=10645
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A.x^8+64=Π(x-zi)と複素数上で分解した時、|zi|=2^(3/4)となる。
　仮に有理数で因数分解出来たとすると、各定数項はΠziで表されるが
　これが有理数であるためには|Πzi|も有理数でなければいけない。
　よって316の4次多項式の積しか分解出来ない。一意性はQ[x]が一意分解整域である事を使う。

Q.最近あった「数学に関係あるちょっといい話」を何かしれ。

4行目、「積しか」→「積までしか」。と訂正

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

最近、歩案彼予想が解けたという噂があるが、本当か？
Q.(1+x/n)^n~(sum(k=0 to n)x^k/k!)を示せ。

問４　　450Ｇ
問５　　6531Ｇ
問６　　Ｘ（Ｘ＾ｎ　−１）/（Ｘ−１）　　Ｇ

　　　 　∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　(　　＾＾ ） ＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣〕
　　＝ ◎――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉

A.(1+x/n)^n=Σ_{k=0}^{n}n!/k!/(n-k)!*x^k/n^k=Σ_{k=0}^{n}n!/(n-k)!/n^k*x^k/k!
よってΣ_{k=0}^{n}x^k/k!-(1+x/n)^n=Σ_{k=0}^{n}(1-n!/(n-k)!/n^k)x^k/k!
=Σ_{k=0}^{N-1}(1-n!/(n-k)!/n^k)x^k/k!+Σ_{k=N}^{n}(1-n!/(n-k)!/n^k)x^k/k!
任意のε>0が与えられたとき、適当なNと、十分大きいn>Nに対してこの式が-εより大きくなることをしめすには、
第一項は1-n!/(n-k)!/n^kが0に近いことと、第二項はx^k/k!が十分に小さいことに着目してやれば良い。
よって(1+x/n)^n~Σ_{k=0}^{n}x^k/k!が示された。
Q. 数学的帰納法によって、非負整数nに対して(a+b)^n=Σ_{k=0}^{n}n!/k!/(n-k)!*a^k*b^(n-k)が成り立つことを証明せよ。

Q.manって、難しい問題に答えられるのに、出題するときは…

>>325
A.http://phaos.hp.infoseek.co.jp/part2/sequence/others.htm#sect5

Q.どの面も面積が等しい四面体はどの面の三角形も合同であることを示せ。

A. 四面体A-BCDのどの面も面積が等しいとき、ヘロンの公式より、
√((AB+BC+CA)(-AB+BC+CA)(AB-BC+CA)(AB+BC-CA)/16)
=√((BC+CD+DB)(-BC+CD+DB)(BC-CD+DB)(BC+CD-DB)/16)
=√((CD+DA+AC)(-CD+DA+AC)(CD-DA+AC)(CD+DA-AC)/16)
=√((DA+AB+BD)(-DA+AB+BD)(DA-AB+BD)(DA+AB-BD)/16)なので、各辺２乗して16を掛けると、
-AB^4-BC^4-CA^4+2(AB^2BC^2+BC^2CA^2+CA^2AB^2)
=-BC^4-CD^4-DB^4+2(BC^2CD^2+CD^2DB^2+DB^2BC^2)
=-CD^4-DA^4-AC^4+2(CD^2DA^2+DA^2AC^2+AC^2CD^2)
=-DA^4-AB^4-BD^4+2(DA^2AB^2+AB^2BD^2+BD^2DA^2)が成り立つ。
示すべきことはAB=CD,AC=BD,AD=BCである。
これを示すにはAB^4-CD^4=AC^4-BD^4=AD^4-BC^4=0を示せば良い。
Q. 327の問題の完全な解答を与えよ。(後は頼んだぞ。)

お前がやってくれや

A.四面体ABCDで、
AB<CD(AB>CDのときも同様。)として、さらに△ACD=△BCD,△CAB=△DAB
としよう。このとき、Aと直線CDの距離と、Bと直線CDの距離は等しい。
さらに、Cと直線ABの距離とDと直線ABの距離も等しい。
AB<CDから、△ABC<△ACDとなる。
よって、四面体の各面が合同でないとき、面積の異なる2面が存在する。
Q. 327の問題の厳密な解答を与えよ。

　　_, ._
（　ﾟ Дﾟ）

マセマニアっていろんな問題知ってる世ねえ

すごいと思う

さりげなく同意しておこう。

３つの円柱が交わる部分、計算がﾏﾝﾄﾞｸｾ

　__∧＿∧_
　|（　　＾＾ ）|　＜寝るぽ（＾＾）
　|＼⌒⌒⌒＼
　＼ |⌒⌒⌒~|　　　　　　　　　山崎渉
　　 ~￣￣￣￣

11

7

Q.327
等面四面体： 対稜の長さがすべて等しい四面体をいう。
四面体ABCDが等面になる条件は：
(�@)各面が合同な三角形。
(�A)高さがすべて等しい。即ち各面が等面積。
(�B)重心G、内心I、外心Oのうち，いずれか２つが一致する。
(�C)各頂点における面角の和が，180°なること。
(�D)各稜の共通垂線の足が、その稜の中点となること。
(�E)AG1=BG2=CG3=DG4 なること。
(�F)任意の１点から下ろした垂線の代数和が一定となること。
岩田至康 編「幾何学大辞典」槇書店(1974)§1.13

本題は(�A)→(�@)を示すこと。

>>315,316
有理整数の範囲では？
第二段階
ガウス整数の範囲では
x^8＋64 ＝ (xx+2+2i)(xx+2-2i)(xx-2+2i)(xx-2-2i)
だろうか。

ここにもいねー

age

5

問題。

16

20

Q.327
等面4面体 ⇔ 各頂点から対面までの高さが等しい｡
重心Gから各面への距離はその1/4となって等しくなるから, 重心G＝内心I.
ABの中点をN, CDの中点をM とおくと, MNの中点はG=I.
内心IからABC面, ABD面への距離はrで等しい｡
外接平行6面体のうちABおよびCDに平行な面を考えると、これはABおよびCDの稜角の外2等分面である｡ ∴ABMはこの面に垂直｡ MNはこの面の法線である｡ MN⊥CD, MN⊥AB すなわち, MNはABおよびCDの共通垂線となる. ∴GA=GB, GC=GD.
同様にして, GA=GC, GB=GD となるから, 重心G＝外心O.

外心Oから各頂点への距離はR, 内心Iから各面への距離はrであるから,
各面の外接円の半径は √(R^2-r^2) で, みな等しくなる。よって,
∠BAC=∠BDC=u, ∠ACD=∠ABD=u',
∠ABC=∠ADC=v, ∠DAB=∠DCB=v',
∠BCA=∠BDA=w, ∠DAC=∠DBC=w'.
となるから,
u +v +w =π (�僊BC)
u'+v'+w =π (�僖AB)
u +v'+w'=π (�傳CD)
u'+v +w'=π (�僂DA)
から、u=u', v=v', w=w'.
∴ 各面は相似となり, 1辺を共有するから合同となる｡ q.e.d.

-等面4面体の性質-
(�G) 外接平行6面体が直方体である(orthorhombic)｡
(�H) 対稜の中点を結ぶ3線が互いに直交する(共通垂線)｡

【問題】対稜がそれぞれ垂直である4面体を「直稜4面体｣と言うそうな｡
(1) 頂点から対面への垂線の足は底面三角形の垂心である｡
(2) 頂点から対面への垂線は、1点Hに会する｡
(3) HはMonge点Mに一致する｡ よって,O,G,Hは1直線上にある｡
【注】各稜の中点を通り対稜に垂直な6平面は, 1点Mに会する｡ GはOMの中点である｡
【文献】Amer.Math.Monthly,４１,p.499(1934)

A.347
(1) 頂点Aから対面BCDに垂線AHを下ろすと, AH⊥CD.
また直稜だから, AB⊥CD. ∴BH⊥CD, etc. ∴Hは△BCDの垂心｡
(2) 頂点A,Bから対面に垂線AH1,BH2を下ろすと, AH1⊥CD, BH2⊥CD.
また直稜だから, AB⊥CD.
∴AH1,BH2はCDに垂直な或る平面内にあり, 1点で交わる｡
4本の垂線のどの3本も共面ではないから,これらは1点に会する｡

Q.349
(1) ABCDが直稜4面体 ⇔ (AB^2)+(CD^2)=(AC^2)+(BD^2)=(AD^2)+(BC^2).
(2) 4面体ABCDの4面の面積をS_k (k=1,2,3,4) とすると,
F = (1/4){(AB^2)(CD^2)+(AC^2)(BD^2)+(AD^2)(BC^2)}−Σ[k](S_k)^2 ≧ 0.
(G.P.Berz)
ABCDが直稜4面体 ⇔ F=0.

(1)はﾍﾞｸﾄﾙの内積, (2)はﾍﾛﾝの公式を用いてF=平方和

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A.349
(1) Oを任意の点, OA↑=ａ, OB↑=ｂ, OC↑=ｃ, OD↑=ｄ (ﾍﾞｸﾄﾙ) とおく｡
BC^2+DA^2=x, CA^2+BD^2=y, AB^2+CD^2=z (ｽｶﾗｰ)とおく｡
x-y = |ｃ-ｂ|^2+|ａ-ｄ|^2-|ａ-ｃ|^2-|ｂ-ｄ|^2 = -2(ｂ,ｃ)-2(ａ,ｄ)+2(ａ,ｃ)+2(ｂ,ｄ)
= 2(ｂ-ａ, ｄ-ｃ) = 2(AB↑, CD↑).
∴ AB⊥CD ⇔ x=y.

(2) ﾍﾛﾝの公式から,
16(S_4)^2 = 2(BC^2･CA^2+CA^2･AB^2+AB^2･BC^2)−(BC^4+CA^4+AB^4).
16Σ[k](S_k)^2 = 2{(BC^2+DA^2)(CA^2+BD^2)＋(CA^2+BD^2)(AB^2+CD^2)＋(AB^2+CD^2)(BC^2+DA^2)
−(BC^4+DA^4)−(CA^4+BD^4)−(AB^4+CD^4)}
= 2{xy+yz+zx-x^2-y^2-z^2 + 2(BC^2･DA^2+CA^2･BD^2+AB^2･CD^2)}.
16F = 4{(AB^2)(CD^2)+(AC^2)(BD^2)+(AD^2)(BC^2)}−16Σ[k](S_k)^2
= 2(-xy-yz-zx+x^2+y^2+z^2) = (x-y)^2＋(y-z)^2＋(z-x)^2 ≧0.
∴ 直稜 ⇔ x=y=z ⇔ F=0.

易しすぎてｽﾏｿですた｡

Q.352
3稜OA,OB,OCが互いに直交するとき, 4面体O-ABCを｢3直角4面体｣と言うそうな｡
3直角4面体O-ABCで, OからABC面への垂線をOHとするとき,
(1/OA)^2＋(1/OB)^2＋(1/OC)^2 ＝ (1/OH)^2.
(△OAB)^2＋(△OBC)^2＋(△OCA)^2 ＝ (△ABC)^2.
(Descartes)

なにこれ？現在どうなってんの？どの問題が最後？
>>352？Qってなにが問題なの？

上記の等式が成り立つことを示してくださいです｡ おながいしまつ｡

>352
たぶん Descartes座標 を使って求めたのだろうな｡

272

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723

>>352は数セミ３月号の記事にあった問題だな…

359

545

795