【緊急実験】猿レベルの人間に数学part3

>>950
できるところからやってください。
復習を積み重ねているとあるとき結果があらわれるはず。

>>949先生　レスありがとうございます。b'の公式使ってんのに係数を2で割り忘れてたりという間抜けなことをしていました。この辺の流れをどうまとめたらいいのか
解らないでメモに書き散らしてたんですが、頂いたレスを参考に公式等解く手順を
うまくまとめる事が出来ました。ありがとうございました。

すみません、質問です。
以前>>761-770で教えて頂いた様な指定された解の存在範囲のaを訊かれる類の問題
解いてると、途中で何やってんだか自分で解らなくなってくるんです。
頂点と軸の位置を固定（限定？）して考えればいいのでしょうか？

[今やっている問題と答え] f(x)=x^2-4ax-aについて　
f(x)=0が-1＜x＜1の範囲に異なる２つの実数解を持つ為の条件は　
(-1)/3＜a＜(-1)/4または0＜a＜1/5

>>954
その気持ちはわかりますよ。
数学やってて分からなくなるのはだいたいそういうときだと思います。
そんな状態で無理に先に進めるとだんだん嫌になってくるので、
混乱してきたらまず落ち着いて今までの流れを見直して
なぜそのような式が出てきたのかを思い出してみるといいでしょう。
自分が展開してきた議論が本当に正しいと納得できれば
何をやっているのかわからないということは無くなるはず。

二次関数って何でこう入り組んだ問題が多いんでしょうね？
これがまともに解けるようになれば数学的な推論能力はかなりつくかも・・・

問題は、多くの人が暗記に走ってしまう所ですか。

>>954
（後半の問題は）それであっていると思います。
f(x)=0の解は、y=f(x)のグラフとx軸との交点のx座標として
図形的に捉えられるわけだから、まずグラフを描きましょう。

y=f(x)のグラフが-1<x<1においてx軸と2ケ所で交わるためには、
・（判別式）D>0
・-1<2a（放物線の軸）<1
・f(-1)>0
・f(1)>0
の4つの条件が必要となります。

この問題では、上に挙げたどの条件も外すことはできません。そ
のことを確認するために、4つある条件から3つの条件を適当に選
び、その条件下でx軸とy=f(x)のグラフがどういった位置関係にな
るか考察してみるのがいいと思います。そうすることによって、
どの条件も必要であることが実感できるのではないでしょうか。

こういった地道な作業を通して、条件の必要性を感じることが理解
に繋がるものと考えます。長文ｽﾏｿ。

>>955>>957先生
丁寧な解説ありがとうございます。暑さのせいもあってか、
今日も>957の二つ目の条件あたりでのぼせてくたっとなってしまいました。
明日また条件一つずつ潰してみて、自分が理解出来ていないところはどこなのか
見直してみます。

【ﾋﾄﾘｺﾞﾄ】頭あつーくなるのｲﾔﾀﾞ(ﾉД`) ハチマキ状のアイスノンってないかなぁ

>>956
必要条件、十分条件、かつ、または、などの
論理的思考力が必要になる問題ですからねぇ...。

>>958
ここは、確か半年前くらいに数学野郎さんがつまずいたところ。
彼に理解する過程を聞いてみては。
確か、誰かが親切に書いてくれた画像がいくつかあったはず。

>>958
条件が4つ揃っていると、y=f(x)のグラフとx軸が2ケ所で
交わるように放物線を描くと、どうやっても-1<x<1の間で
交わるはずです。一方、条件を外していくと・・・。
いろいろやってみてください。では。

>ハチマキ状のアイスノン
昔、確かあったはず、まだ売ってるかどうかわからんが

>>957
追記。
まず、y=f(x)のグラフが-1<x<1においてx軸と2ケ所で交わるためには、
　（判別式）D>0
が「必要」となります。この条件がないとダメですからね。
（これがいわゆる必要条件ってやつです）
ただ、もちろんこの条件だけではダメで、
放物線の軸が-1より小さいところや1より大きいところにあっては
絶対に条件にあいません。
ということで
　-1<2a（放物線の軸）<1
が「必要」となってきます。あくまでも「必要」なのです。
しかしこの二つをみたしたからといって
「-1<x<1においてx軸と2ケ所で交わる」ための条件にはなりません。
（厳密に言うと「必要条件」にはなっています）
頂点のy座標が小さいと外側で交わってしまいますからね。
そこで、x軸と交わっている部分に着目。
（つづく）

（つづき）
頂点より右側でx軸と交わっているところに着目しましょう。
交わっているx座標が１より大きい放物線と小さい放物線の
二つを書いて下さい。
当然、１より小さくなればいいんですよね。。。
しかしそれを式にするとちょっと面倒。

そこで発想の転換をします。
x=1というy軸に平行な直線を引きましょう。
二つの直線はx=1とどのへんで交わっていますか？


....こんな感じでわかるかな？
分からなかったら教えて下さい。

>>眠男さん
フォロー、サンクスです。

>>961
ttp://www.hakugen.co.jp/products/icenon_2.html

>>959-963先生　詳しく丁寧なアドバイスありがとうございます。
スレPart1の>>348-581、隔離質問スレPart2>>815-821も併せて見て、
じっとレス見てたら早くもこの時間から煮えてしまったので、
一旦頭冷やしてから改めて>>963の返答をさせて頂きます。

>>965先生　こんな独り言にまで構って頂いて恐れ入ります。ありがとうございます。
今日歯医者行くので帰りに近所の薬局で売ってるかどうか探してみます。

もうちょっと

【ﾋﾄﾘｺﾞﾄ】頂点…

デコデコクールをゲットしﾋﾝﾔﾘ、そして遂に解りましたヽ(ﾟ∀ﾟ≡ﾟ∀ﾟ)ノﾋｬｯﾎｳ
解ったんですけど、>963の眠男 ◆v7zkIA5r1E 先生の
>二つの直線はx=1とどのへんで というのがちょっと解んないです。すみません。

そして、どう解ったのか日本語で説明がしにくいです…(･x･;)

わかったところをまとめてみます。
先生方のアドバイスを参考にして、このようにして解きました。

f(x)=x^2-4ax-aについて　
f(x)=0が-1<x<1の範囲に異なる２つの実数解を持つ為の条件

[1]解の条件について、どのような要素が「最低でも必要」なのか考えました。
[2]なければならない条件とは？　
　　（1）グラフは-1<x<1の範囲にいる
　　（2）よこ（軸）　放物線谷の底は-1<x<1にある
　　（3）たて（頂点）　さらに頂点はy=0よりも下でなければいけない
[3]ではどうすれば問いに対する条件が限定出来るか？
　　（1）とりあえず代入して指定された区間の端点から端点まででのaの値を
　　　　　限定してみる。（-1/3<a<1/5）…<1>
　　（2）<1>だけでは頂点は指定された範囲から上や左右に逃げそうなので
　　　軸と頂点を限定。
　　　　　軸 　平方完成して　x=2a,　-1<2a<1 これを解いて　
　　　　　　　　　-1/2<a<1/2…<2>
　　　　　頂点　解が２つある→f(x)=0の判別式>0より　D/4=4a^2+a>0
　　　　　　　　　解いてa<-1/4, 0<a…<3>
　　（3）<1><2><3>の大小関係が解らないので数直線をピーッと引いて描いてみる。
　　　でこの３つの条件がかぶる-1/3<a<-1/4と0<a1/5が正解。

こんな感じで理解しました。>>957->>961先生、眠男 ◆v7zkIA5r1E 先生、
本当にありがとうございます。まだ抜けてることろがありましたら
ご指摘下さると嬉しいです。

>>969
すみません。書き方が数学的でなかったですね。

x=1の時のf(x)の値、すなわちf(1)が
f(1)>0
となっていることが必要ではないですか？
グラフがきちんとかけていれば大丈夫です。
同様に、
f(-1)>0
が必要な条件だというのも分かりますか？
以上の条件を全て満たすと、
「f(x)=0が-1＜x＜1の範囲に異なる２つの実数解を持つ為の条件」
となります。

>>970
論述の仕方はともかく、理解はできている...と思います。
きちんと見てみないと分かりませんが。

>>971-972　眠男先生　早速返レスありがとうございます(・∀・)

※レス数残り少なくなって来たんで書き込みに緊張感が。
次スレは990超えてから、平日深夜でないとまずいですよね。

>>973
980超えたくらいで立ててもいいと思いますよ？
テンプレはできていましたっけ？

私は必要な条件を D → 軸 → f(k) の順で考えていますが、
猿人さんは条件を f(k) → D → 軸 の順で考えている...のかな？

それから、下記の意味がよく分からなかったです。
説明お願いします。
>（1）とりあえず代入して指定された区間の端点から端点まででのaの値を
>限定してみる。（-1/3<a<1/5）…<1>

眠男先生
>>971　頂点の座標がx軸より上に来るんですよね。解ってないかもです。(´･ω･｀)
>>974　については、f(1)=1-5a>0とf(1)=1-5a>0を解いてa<1/5とa>-1/3
をひとまとめにしました。yの変域からaの変域を出してるつもりです。

あっ二つ目式間違えました　f(-1)=1+3a>0がa>-1/3　ですっ

次スレテンプレ作ってみました。
ttp://rx.sakura.ne.jp/~yuhgi/high/img-box/img20030703003031.txt

駄レスで伸ばしててすみません…･ﾟ･(ﾉД`)･ﾟ･｡

>>猿人さん
970あたりのカキコを見ていると、よさそうな感じ
を受けます。

>>974
> 私は必要な条件を D → 軸 → f(k) の順で考えていますが、
> 猿人さんは条件を f(k) → D → 軸 の順で考えている...のかな？

これはどっちでもよいよね。一般的にいえば、次の事実に帰着させているので:
「実数値をとる関数 y = f(x) のグラフが s < x < t でつながってさえいれば、
f(s) < 0 < f(t) か f(t) < 0 < f(s) なら、 s < z < t と f(z) = 0 を満たす
z が少なくとも一つ存在する」

とくに f を a≠0 とする二次関数 f(x) = ax^2 + bx + c とすれば、a > 0 のとき
　　s < t < -b/2a ならば f(s) > f(t)　　(f(x) は軸 x = -b/2a の左では減少関数)
　　-b/2a < s < t ならば f(s) < f(t)　　(f(x) は軸 x = -b/2a の右では増加関数)

だから、a > 0 のとき頂点 (-b/2a, f(-b/2a)) と与えられた α<β に対して
α < -b/2a < β かつ f(-b/2a) < 0 かつ f(α) > 0 かつ f(β) > 0 を満たせば、
α < -b/2a かつ f(-b/2a) < 0 < f(α) より
　　α < z < -b/2a と f(z) = 0 を満たす z が少なくとも一つあり、
-b/2a < β かつ f(-b/2a) < 0 < f(β) より
　　-b/2a < z < β と f(z) = 0 を満たす z が少なくとも一つある。
それと f(x) = 0 は高々二つの実数解しか持たないことから
結局 f(x) = 0 のすべての解が α < x < β に二つともあると。
んで、a > 0 のときは f(-b/2a) < 0 が D = b^2-4ac > 0 と同じというわけですな。

>>979先生　なんとスキのない文章。
>f(x)=0は高々二つの実数解しか持たない　とか　余裕が感じられてｶｺｲｲ!(ﾟ∀ﾟ)

【ﾋﾄﾘｺﾞﾄ】二次関数残り8問。まだ初めの方なのに不安。

>>数学野郎 ◆eNwncubcDk先輩　
すみません、そろそろ新スレお願いしますです。（最近私ばかり駄レスつけてて
申し訳ありません）やっぱり>>1は先輩でないと駄目です。

>>980
> >>979先生　なんとスキのない文章。

そうでもないんだけどね。詳しくいえば二次関数 f に関して
「y = f(x) のグラフが s < x < t でつながって」いるということを
示さないと >>979 で示した「事実」は使えない。まあ、二次関数のグラフが
つながっているのは数IAの範囲では示す必要のない事実と考えるのが普通なわけで。
つーか、数IAの範囲では二次関数のグラフがつながっていることを示せないし。
また >>979 で「事実」と呼んでいる自体が高校の範囲では証明できないんだけど、
これも少なくとも数IIBまでは当たり前とされることですな(数IIIでは要確認)。

そんな細かいことはどうでもよくて、>>979 はグラフを意識して書いてあるので、
「α < -b/2a < β かつ f(-b/2a) < 0 かつ f(α) > 0 かつ f(β) > 0」から
どれか一つでも条件を外したら>>970にあるように結論が言えなくなることを
グラフを使って再確認してもらうのがささやかな目的だったんだな。
まあ >>970 を見る限り分かっているっぽい。

ちょっと難しめの応用問題として、
「f(x) = x^2-4ax-a とするとき x の二次方程式 f(x) = 0 が
-1 < x < 1 の範囲にちょうど一つの実数解を持つ為の条件を求めよ」
が考えられますね。

またグラフ魔と化しています。

>>981先生　つながってないグラフってどんな式で表せるんですか？見ても理解は
出来ないだろうけど好奇心が沸きます。ついでに参考書眺めてたんですけど
IIIＣで扱う放物線って色んな種類があって面白いですね。減衰振動とか不思議。

>ちょっと難しめの応用問題として
解が一つだけなら直ぐ出来そうな気が…頂点がx軸にくっついてるんですよね？
やってみます。

要するに自分が理解できていなかったのは、例えば　3<a　と出てきたとき、
「aは3を含まない3けれどに限りなく近いところから
大きい(数直線にするとそこから右側の)数字全部」
という基本的な不等号の意味かもしれません。

>>982
> >>981先生　つながってないグラフってどんな式で表せるんですか？

式というのはちょっと良くない。図形 G がつながっている(連結である)とは、
次の四つの条件をすべて満たすような二つの開集合 A と B が
存在しないことであると定義されます。
A∩G ≠ { }，B∩G ≠ { }，(A∩G)∪(B∩G) = G，(A∩G)∩(B∩G) = { }

> 「aは3を含まないけれどに限りなく近いところから
> 大きい(数直線にするとそこから右側の)数字全部」

はしっこのことを考えると夜も眠れなくタイプですな。
3 よりも大きな最小の実数が存在しないというのは確かにややこしい。
もし存在するなら、それを 3+e とすると、3+e/2 は 3+e よりも小さく、
3 よりも大きい実数なので、3+e が3よりも大きな最小の実数であることにﾑｼﾞｭｰﾝ
…これは実数の定義に関わることなので、実際それほど当たり前ではありません。
岩波文庫『数について』に詳しく書かれていますが、残念ながら品切重版未定。
とりあえず上の証明を受け入れておくのが受験生的には安全ですｗ

>>983
> >ちょっと難しめの応用問題として
> 解が一つだけなら直ぐ出来そうな気が…頂点がx軸にくっついてるんですよね？

重解であるとは限りませぬ。ご注意。

>>982
> >>981先生　つながってないグラフってどんな式で表せるんですか？見ても理解は

あ、もしかして、つながってないグラフを持つ関数の例が知りたかったのかな。
そうだったらごめん。例えば y = 1/x のグラフは x=0 で切れてます。

>>923-985先生
>>923の条件が興味深かったので単語を拾って検索かけたら「位相」とか出現、
これはちょっと…今のところはあんまり考えないでおきます。

>はしっこ　そう、私はy=tanxのグラフ見てもy軸上下∞が気になる人です。
3<a　については3とaの境界がどこなのか考えてました。

>>984 >重解であるとは限りませぬ。　 ガ━━(ﾟДﾟ;)━━ン!!!!

>>985　双曲線になるんですよね？グラフを教科書に載ってるのを
眺めるのと自分で書いてみるのと衝撃(?)の度合いが違いますね。

またグラフ魔に化して来ます。>>983-985先生　ありがとうございました。

>>952眠男さん
長い目で見てくださっていつもありがとう。
応用問題を取り組みつつ基礎問題も並行してやっています。

PC部品故障のため日誌をできなくて申し訳ありませんでした。
故障回復したのでまた平常通り日誌を書き込んでいきます。

http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057336611/

新しいスレッドをたてました。

>>988-989 スレ建てお疲れさまです。ありがとうございます。
ご不在の間に駄レスでレス消費してて申し訳ありません。

う

僭越ながら埋め立てさせていただきます

　　　　　　　　　　　　

もうpart4ですか

手伝うぞい

しかし

　　　　　　　　　

お疲れさん

1000だからってageちゃ駄目よ

おわ！びっくり(w

このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。