◆ わからない問題はここに書いてね ５７ ◆
>>819
略解
a(k)=2cos{kπ/(n+1)} (1≦k≦n)
P_n(x)=Π[k=1,n](x-a(k)) (n≧1)を示す
漸化式とP_0(x)=1，P_1(x)=xから帰納的に
P_n(x)はx^nの係数が1のn次式
α=cos{kπ/(n+1)}-isin{kπ/(n+1)}
β=cos{kπ/(n+1)}+isin{kπ/(n+1)}とすると
αβ=1，α+β=a(k)，β-α≠0
漸化式の特性方程式λ^2-xλ+1=0と
3項間漸化式を解く要領でx=a(k)とすれば
(β-α)P_n(a(k))
=(β^n-α^n)P_1(a(k))+(β*α^n-α*β^n)P_0(a(k))
=β^(n+1)-α^(n+1)
=2isin(kπ) (n≧2)
∴P_n(a(k))=0 (k=1，2，3，・・・，n)
n個のa(1)，a(2)，・・・，a(n)は全て異なるので
最高次の係数1と合わせて
P_n(x)=Π[k=1,n](x-a(k))と決まる (n≧2)
これはn=1でもok
n=0では解なし
略解
a(k)=2cos{kπ/(n+1)} (1≦k≦n)
P_n(x)=Π[k=1,n](x-a(k)) (n≧1)を示す
漸化式とP_0(x)=1，P_1(x)=xから帰納的に
P_n(x)はx^nの係数が1のn次式
α=cos{kπ/(n+1)}-isin{kπ/(n+1)}
β=cos{kπ/(n+1)}+isin{kπ/(n+1)}とすると
αβ=1，α+β=a(k)，β-α≠0
漸化式の特性方程式λ^2-xλ+1=0と
3項間漸化式を解く要領でx=a(k)とすれば
(β-α)P_n(a(k))
=(β^n-α^n)P_1(a(k))+(β*α^n-α*β^n)P_0(a(k))
=β^(n+1)-α^(n+1)
=2isin(kπ) (n≧2)
∴P_n(a(k))=0 (k=1，2，3，・・・，n)
n個のa(1)，a(2)，・・・，a(n)は全て異なるので
最高次の係数1と合わせて
P_n(x)=Π[k=1,n](x-a(k))と決まる (n≧2)
これはn=1でもok
n=0では解なし
|
|
|