すべての素数の積は4π^2になるらしい。【新定理】

>>922が数学をどの程度勉強してる人かによって、答えが変わってくるような気がするが
例えば、zeta関数を知ってるのかとか
複素関数論は勉強した事あるのかとか
etc

>>923
大学の教養レベルまでしか勉強してません。
厳しいですか？

とりあえず複素関数論やったら？
岩波講座の入門シリーズとかいいと思うよ

>>924
923だけど…
マグロウヒルのはどうでしょう
>>925に書いてあるのでもいいのでは。

亀ﾚｽｽﾏｿ

>>925
>>926
ありがとうございます。
専門が数学じゃないんで数学の勉強に使える時間は限られているんですけど、
時間を見つけて理解していきたいです。
まずは「ζ関数」と「複素関数論」とやらを頑張ろうと思います。

age

>>921
√3

背理法の練習

√２が有理数(a/b)であると仮定する(a,bは互いに素な数)
⇒aは偶数
⇒bも偶数でなければならない
よって偽
∴√２は有理数ではありえない。

ζ(s)のsをある過程を踏むことで、複素数に拡張することができる。と仮定する
⇒省略
⇒ζ(0) = 1 + 1+ 1+ 1+・・・・ = -1/2
よって偽
∴「ζ(s)のsを複素数に拡張する過程が論理的に誤っている」

と何故そうならないのか?

自分は解析接続によるその過程をある程度知ってはいるが、
矛盾した結果を得ているのに
その拡張への過程そのものを疑うことは何故許されないのか?

というより、疑うことはひとまずおいておくんだろう

最後の「⇒」が違うな。

>>930
言いたいことはよく解る。そう思ったこともあるが、俺は答えられない。
エライ奴、答えてやってくれ。

>>930
932 で尽きているが、あんたの論理なら

f(s)=Σ[n:0→∞]s^n のsをある過程を踏むことで、複素数に拡張することができる。と仮定する
⇒省略
⇒f(-1) = 1 - 1+ 1- 1+・・・・ = 1/2
よって偽
∴「f(s)のsを複素数に拡張する過程が論理的に誤っている」

とならないかい？

>>930
ζが自然数のs乗の無限和という形で表現されるのはs>1の時であり、解析接続によってそれをs=1を除く全複素平面に定義域を広げた場合にはζは別の表現になってしまっているということでは？
だから解析接続によってsの定義域を拡張してやることでf(-1)=1/2は成立するけれど、そのfの本来の表現になっている「1-1+1-…」はs=0という定義域外で、もはや意味を持っていないということ。
そもそも留数計算なり、積分表示からΘ変換公式を使って解析接続をするともはやζは素朴に「自然数のs乗の和」という形にはなっていないでしょう、いないからこそ定義域を拡張していけるわけだし、文字通りの「解析接続」になるのでは？

>>935
それをやって、論理的に不自然な結果が出るということは、その手法が間違えているということではないのか？
ζ関数をΓ関数を用いて表すことができ、それをすることで
sの複素数への拡張ができることは解る。
s>1(∈R)のゼータ関数はその一部であることもOK。
しかし、Γ関数で表す過程はs>1の時のみ成り立つのでは？
それが複素数でもOKだとしたのは何故か？
私はこの辺に現代数学のあやふやさが感じられてしかたが無い。

この拡張には、e^xを複素数へ拡張したときの簡潔さはそこにはもはや無い。
思い返してみよう。
e^(i*x) = cosx + i*sinx
を定義したとき
結果として、e^(iπ) = -1となるが、これは不自然ではなく、偽にはならない。
なぜなら左辺を評価する既知の手法が無いから、演繹で正しいと認めざるを得ないのだ。
またその後の加法定理などの考察にもその真実性が如実に現れている。
しかし、
ζ(s) = Σk^(-s)(k=1 to ∞)
という定義から出発しておきながら、
途中で既知の手法で「無限大に発散するべき和」を有限値に収めてしまう矛盾をなぜ受け入れなければならないのか？
リーマンのζ関数と素数分布との深い関係は事実だろうし、その有用性は認めざるを得ない。
しかし、整数の問題を何故に不自然な定義を受け入れてまで、複素数界から見渡さないといけないのか？
私は整数論のためのもっと簡潔な理論が存在するはずだと、疑って止まない。

>論理的に不自然な結果が出るということは
出てませんよ。
> 私はこの辺に現代数学のあやふやさが感じられてしかたが無い。
あなたの解析接続の理解があやふやなんだと思います。

> すべての素数の積は4π^2になるらしい。

なりません。（証明終）

>>936
934 の例にあてはめると
f(s)=Σ[n:0→∞]s^n =1/(1-s)
として、|s|>1 にも拡張するのはあやふやですか、そうですか。

簡単に言うと
ζ(0) = 1+1+1+1+1+1+1+...
であり、
ζ(0) = -1/2
でもあるけれども、
1+1+1+1+1+1+1+...=-1/2
にはならないということです。

すごいですね〜〜；；；
どのくらいのレベルの数学なんですか？

『　数　学　の　本　質　は　そ　の　自　由　性　に　あ　る　』

だからと言って何をしても良い訳ではない。

>ζ(0) = 1+1+1+1+1+1+1+...
>であり、
違いますよ。

破綻してなくなくなくない？

だから、解析接続した時には
ζ（0）=-1/2
にはなるけど、
ζ(0)=1+1+1+1+…
にはならないということです（それを「解析接続」というんでしょ）。
ζの解析接続については

「ベルヌーイ数とゼータ関数」
荒川恒男・伊吹山知義・金子昌信著　牧野書店

にコンタワー積分を使う方法、オイラー・マクローリン和を使う方法、テータ変換公式（ポアソン和）を使う方法の三つがそれぞれ非常に詳しく書かれています。
また、p進数から考える方法があるようですがそれは

岩波の現代数学の基礎
「数論�T、�U」

にありましたが、そちらはノータッチなのでなんとも言えません。
また、ローラン展開して発散に寄与する項を差っぴいてから極限をとるという荒技（物理でいういわゆる「くりこみ」）でもゼータの特殊値の解釈が出来るようです（オイラー・マクローリン和の手法に似ていますが）。

> すべての素数の積は4π^2になるらしい。

これは読んだ瞬間にまるでウソだとわかる。
次は、もしや？と思わせるタイトルがいいな。

絞込みという計算です
＝の意味がふだんの数学を違うだけです

破綻してる。

ζ（0）=-1/2 ・・・�@
ζ(0)=1+1+1+1+… ・・・�A
で�Aは正しくない。
ならば、証明に�@と「�Aから得られるζの無限積表示」を
使ってる>>1の主張は誤っているということですね。

完

関わらないでおこう。。

おい、次スレは？

馬鹿を徹底的に叩きのめそうぜ。

とりあえず、誤ってることがわかって良かった。数学の完全性は守られた。

馬鹿はおいといて、>>1が本当に正しいのなら、
この手の数学はある種宗教じみてるな。

アホか。正しいところで
良くある等式の一つに過ぎんだろ。

認めん、認めんぞぉ〜。こういうのは詭弁に他ならない。
数学の簡潔さを危うくする詭弁だよ。あってはならない詭弁！

この件についてちょっと語ってもいいかなぁ？

>>957
どぞ

と思ったが、レス番が、、。

私はこの件について、抜き差しならない不安を感じている教育者です。
というのも、この直感とかけ離れた押し付けがましい結論は
若者の、特に高校大学生の数学離れを助長しているのではないかと思うのです。
素数というものの意味、その定義を習った者がこのような結論を知れば、
自分の数学認識というものに強い不安を感じることだろうと思います。
そして彼らは教師に質問するでしょう。
しかし、彼らを満足させる良い説明は存在しません。
それは彼らを本当の意味での数学の面白さに惹きつける前に
彼らに数学へのある種の不気味な困惑を植えつけてしまうのではないかと思います。

これらの議論はおそらく、正しいのでしょうが、
それはこの手の数学が初歩で扱う数学の意味を大きく歪めてしまい、
まさに数学というものを自然科学の基底から
まさに一部のプロフェッショナルにしか意味を持たないもの、
古典文学のようなものに置き換えてしまったということではないでしょうか？

では余白が足りないので、この辺で。

(1+2+3+4+…=) ζ(-1)=-1/12 をわかっていない人が
参加しても意味のないスレだったんだけどね・・・

>>960
＞これらの議論はおそらく、正しいのでしょうが、
　
正しくないっつーの。

>>959
>>960
>直感とかけ離れた押し付けがましい結論
確かに直感とはかけ離れている、が、どこが押し付けがましい結論なわけ？
そもそも、これこそが数学の醍醐味なわけでクソ面白くもねぇ学校の数学なんざより一兆倍面白かったぜ。
逆にこういうメチャ面白え数学を教えてくれないでつまんねぇ話ばっかりするからいけないんだと個人的には思うけどね。
ただ確かなのはオレはゼータに出会わなかったら数学なんてやらなかったろうってこと。
オレはたまたま高一の時にゼータのことを知った。
その時、偶数の特殊値を見て驚き、負の特殊値を見て驚き、函数等式を見て驚き、Riemann予想を見て驚いた。
インチキだとは思わなかった。インチキというにはあまりに美しかったから…。
どうしてもその秘密を知りたいと思った、ここにオレの知らない驚愕の世界があると思ったから…。
そしてEuler先生を知り、ただただ先生の壮大なロマンに圧倒された。
その大いなる足跡を辿り、その中で「数学夢」を見る者たち、数学者って人種がいることを知った。
「数学夢」、例えるならそれは神々と人間の織り成す久遠の記憶であり、未来の思い出…。
オレもそんな夢を見てみたい、そう思って今に至った。
考えてみれば、全部「ゼータがみさま」のおかげ…。
だから、そんな「ゼータがみさま」が「高校大学生の数学離れを助長している」なんてことはありえないと思う。

>>963
「お兄ちゃん、あたしのおっぱいみて♥」
まで読んだ。

Re:>>964 おっぱい見てねんねしてろ。

>>965
kingは池沼
まで読んだ。

Re:>>966 池沼に入ってねんねしてろ。

二年二百六十九日。

age

next stage
【妹に】すべての素数の積は4π^2 II【解析接続】
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1119721758/

宮内

9-7=2