>>844 >>811をまとめてきますた。テストガンガってください。
x=au,y=bv,z=cwとおくと,
dxdydz=abc*dudvdw
u^2+v^2+w^4≦1・・・ア
求める体積をVとすると,
V=∫∫∫dxdydz=abc∫∫∫dudvdw・・・イ である。
変数変換を以下のようにする。
u=rcosθ
v=rsinθ
w=w
ヤコビアンを求めると,
J(r,θ,w)=([cosθ,-rsinθ,0][sinθ,rcosθ,0][0,0,1])
となるから,|J|=r である。
また,アを考えて,
0≦r≦1,0≦θ≦2π,-(1-r^2)^(1/4)≦w≦(1-r^2)^(1/4)
よって,
イ⇔V/abc=∫∫∫dudvdw
⇔V/abc=∫∫∫rdrdθdw
⇔V/abc=∫[0,2π]dθ*∫[0,1]rdr*2∫[0,(1-r^2)^(1/4)]dw
⇔V/abc=4π*∫[0,1]r(1-r^2)^(1/4)dr
あとは∫[0,1]r(1-r^2)^(1/4)drを計算すれば(・∀・)イイ!。
r=sinθとおくと,
∫[0,π/2]sinθ(cosθ)^(3/2)dθ となる。さらに,
cosθ=tとおくと,
∫[1,0]t^(3/2)*(-1)dt=∫[0,1]t^(3/2)dt=2/5 となる。
∴V/abc=4π*(2/5)⇔V=8abcπ/5・・・答