◆ わからない問題はここに書いてね ５０ ◆
>>844
>>811をまとめてきますた。テストガンガってください。
x=au,y=bv,z=cwとおくと，
dxdydz=abc*dudvdw
u^2+v^2+w^4≦1・・・ア
求める体積をVとすると，
V=∫∫∫dxdydz=abc∫∫∫dudvdw・・・イ である。
変数変換を以下のようにする。
u=rcosθ
v=rsinθ
w=w
ヤコビアンを求めると，
J(r,θ,w)=([cosθ,-rsinθ,0][sinθ,rcosθ,0][0,0,1])
となるから,|J|=r である。
また，アを考えて，
0≦r≦1，0≦θ≦2π，-(1-r^2)^(1/4)≦w≦(1-r^2)^(1/4)
よって，
イ⇔V/abc=∫∫∫dudvdw
⇔V/abc=∫∫∫rdrdθdw
⇔V/abc=∫[0,2π]dθ*∫[0,1]rdr*2∫[0,(1-r^2)^(1/4)]dw
⇔V/abc=4π*∫[0,1]r(1-r^2)^(1/4)dr
あとは∫[0,1]r(1-r^2)^(1/4)drを計算すれば（･∀･）ｲｲ!。
r=sinθとおくと，
∫[0,π/2]sinθ(cosθ)^(3/2)dθ となる。さらに，
cosθ=tとおくと，
∫[1,0]t^(3/2)*(-1)dt=∫[0,1]t^(3/2)dt=2/5 となる。
∴V/abc=4π*(2/5)⇔V=8abcπ/5・・・答
>>811をまとめてきますた。テストガンガってください。
x=au,y=bv,z=cwとおくと，
dxdydz=abc*dudvdw
u^2+v^2+w^4≦1・・・ア
求める体積をVとすると，
V=∫∫∫dxdydz=abc∫∫∫dudvdw・・・イ である。
変数変換を以下のようにする。
u=rcosθ
v=rsinθ
w=w
ヤコビアンを求めると，
J(r,θ,w)=([cosθ,-rsinθ,0][sinθ,rcosθ,0][0,0,1])
となるから,|J|=r である。
また，アを考えて，
0≦r≦1，0≦θ≦2π，-(1-r^2)^(1/4)≦w≦(1-r^2)^(1/4)
よって，
イ⇔V/abc=∫∫∫dudvdw
⇔V/abc=∫∫∫rdrdθdw
⇔V/abc=∫[0,2π]dθ*∫[0,1]rdr*2∫[0,(1-r^2)^(1/4)]dw
⇔V/abc=4π*∫[0,1]r(1-r^2)^(1/4)dr
あとは∫[0,1]r(1-r^2)^(1/4)drを計算すれば（･∀･）ｲｲ!。
r=sinθとおくと，
∫[0,π/2]sinθ(cosθ)^(3/2)dθ となる。さらに，
cosθ=tとおくと，
∫[1,0]t^(3/2)*(-1)dt=∫[0,1]t^(3/2)dt=2/5 となる。
∴V/abc=4π*(2/5)⇔V=8abcπ/5・・・答
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