なんで東大入試で加法定理の証明がでたの？

おせーて

ｼｺｼｺしたからﾄﾞﾋﾟｭってでたんだよ

ほほう

新聞に書いてあった

>>4 なんて？

【東大】加法定理の証明は難しい【入試】
http://news.2ch.net/test/read.cgi/news/1027898647/l50

誰か証明してみせろよ

ドモワブルで終わり

http://sonic.t.u-tokyo.ac.jp/~asei/sinab.html

ところで、何でこんなに簡単な問題が、大学入試、それも、
東京大学に出たのであろう。

とあるが、ここに書いてあるような図形的方法でまじめに
証明しようとすると、けっこう手こずるぞ。ドモアブルや
一次変換の合成変換を使えばすぐにできることはわかって
いるけれど、なんとなく三角関数の証明であまり高級な
理論を使いたくない、という気がするし、おそらく設問者も
そういった回答を期待しているわけでもないだろう。

ちなみに、この問題は文系の問題だが、俺は試験監督中に
他の問題は頭の中ですいすいと解答が浮かんだが（具体的な
計算まではしなかった）、この問題は他の問題よりも
おもしろいし、手応えあるように感じた。

たしかに、中学の知識でできる、という意味では簡単だが、
簡単か難しいかは必要な知識で決まるわけでもないので、
いい問題だと思う。

理系でも同じ問題が出たよ

>>8

ドモアブルで解いたら0点。

>>9

回転行列で解いても0点。

本質的な証明になってないからな。

e^ix=cosx+isinxででるんじゃない？

>>12
それには、まずはその式を証明しないと。高校の範囲では習わないからね。

俺だったら、単位円か三角形を使って証明するかのどっちかに
するが、どうよ？

>>13
xを実数とし、cosとsinを次のように定義する。
とかいって
e^ix=cosx+isinx
を書いて、有無を言わせなければいいかと。

>>15
ではあなたの定義したcos、sinが、高校で習ったcos、sinと同じであることを示して下さい。
(ゴメンね。意地悪い質問しちゃって。。。)

>>16
もう意味わかんなくなりました

こんにちは。私がくだらん問題スレにいつか書いたんだが、
回転の変換を表す行列でやったら０点？

回転の行列も求めるという話でした。
しかし、図形でやる中学の幾何的な仕方は実は難しいのだ。
法則が成り立たない角度がありそうにみえる。
ちょっときただけなので、じゃあここで。

オレも出題者の真意はよくわからないんだけど。

sin(x+y)を示すとして、x,y,x+yが全部鋭角と仮定すれば、
ただの座標幾何の問題に過ぎないでしょう。

そのへんが90度より大きくなる状況（あるいは180度以上・・・など）でも
同じ式でいける、ということを説明するのは、かなり場合分けが面倒になる。
全部鋭角の場合の証明そのものより、そのあたりの説明能力・論理的な文章の書き方
あたりを調べたかったんじゃないかなあ。

理系・文系を問わず、「日本語による」説明がなく、計算式を書き連ねてるだけの
「答案」が多いように思う。

証明　cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB

2つの角A，Bとその和を考える。
http://210.153.114.238/img-box/img20020803035321.jpg
図に示すように原点からの距離がそれぞれ1である2つの点P，Qをとる。
この時、2つの異なる座標系を用いて、PからQへの距離を求める。

まず、普通の座標系を用いる。
http://210.153.114.238/img-box/img20020803035400.jpg
この時、Pの座標は(1，0)で、Qのそれは(cos(A+B)，sin(A+B))
で与えられる。したがってPとQの間の距離の平方は
sin(A+B)^2 + (cos(A+B)-1)＾2
つまりそれは
-2cos(A+B) + 2　に等しい。

次に図のような座標系を考える。
http://210.153.114.238/img-box/img20020803035440.jpg

この時、Pの座標は
(cosA，sin(-A)) = (cosA，-sinA)
で与えられる。Qのそれは単に(cosB，sinB)である。それゆえにPとQの間の距離の平方は
(sinB+sinA)^2 (cosB-cosA)^2
でありそれは
2 + 2sinAsinB-2cosAcosB
に等しい。
これで、P，Qの間の距離の平方を表す2通りの式を得た。そこで
それらを等しいとおけば、求める結果が得られる。

証明終わり

>>11
「本質的な証明」ってなんだよ

>>23
回転行列はともかく、ドモアブルは証明に加法定理が
使われるからな・・・・

>>24
だから加法定理の「本質的な証明」とやらを教えれ

与えられた実数 α に対して、

　　(x, y) = (cos(α＋β), sin(α＋β)),
　　(x, y) = (cosαcosβ - sinαsinβ, sinαcosβ + cosαsinβ)

はいずれも微分方程式

　　(dx/dβ, dy/dβ) = (- y, x)

の解で初期条件 (x(0), y(0)) = (cosα, sinα) を満たす。

よって、解の一意性により一致する。

>>26
三角函数の微分はどうやるんだ？

三角関数の微分の式出すのに、普通加法定理使うよな。
頑張れば使わないようにもできるだろうけど。

>>9linkは素直じゃないなぁ。
俺だったら角度0から時計回りにα、βとるけどね。

既存の数学が欠陥だけでなく、出題者も相当落ちこぼれですねぇ。
今井数学ではこんな問題は決してでないでしょう。
だめですかねぇ。

>>30
待ってました

出題者の意図は、加法定理のような基本的定理を丸暗記して
問題の解法のパターンばかりを追い求めるタイプの受験生に
対する「気付き」のきっかけというものであろう。

っていうか、そういう解説を予備校が解説で出してたと思うが。

まぁ、別に出ても良いんじゃない？
加法定理しか出なかったわけじゃないでしょ。

おれの時はベクトルと内積で証明やったけどな。今でも覚えているよ。
それが使えないとするときついなぁ。初等的に証明するの？面倒だけど…
まぁ歯ごたえはあるかもね。

$e^\mathrm{i}\theta$を駆使すれば比較的容易にできるのでは？？

>>35
既出です

三角形ABCにおいて、Aから辺BCに下ろした垂線の足をDとおき、
∠BAD=α、∠CAD=βとする。三角形の面積に着目して、
△ABC=△ABD+△ADC・・・・�@
ここで△ABC=1/2・AB・AC・sin(α+β)、△ABD=1/2・AB・AD・sinα
△ADC=1/2・AD・AC・sinβだから、�@に代入して
　1/2・AB・AC・sin(α+β)=1/2・AB・AD・sinα+1/2・AD・AC・sinβ
両辺を２倍して、AB・ACで割ると、
　sin(α+β)=AD/AC・sinα+AD/AB・sinβ・・・・�A
ここで、三角形ABD、ADCにそれぞれ着目すると、
　AD/AB=cosα、AD/AC=cosβ
だから、これを�Aに代入して、
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
他の加法定理は、この式と、三角比の相互関係から示される。

んじゃeの定義書いてオイラーって言うのが最も簡単な答えね。

>>38
テイラー展開の証明を書く必要があります。

なるほど、高校で習うものであっても証明できるものは全部証明するのね。
それならsinとcosの幾何学的定義から導くのが一番易しいのね、結局。

テイラーは高校で習わないよ

単に問題考えるのが面倒だったとかそういうオチだったりして

幾何で証明した陰だったら、alphaとかbetaが180度越えたり、
360度越えたり、マイナスだったりするときのことも
考えながらやらなきゃだわ。

高校の授業ではどう教えてるんだっけ？

>>43
sin(π/2+θ)=cos(θ)とか使ってどんどん拡張するんだよね。
俺も一年先に生まれたらそう書いていたと思う。

うがった見方をすれば、これは東大の採点から見れば特別新しい
問題ではない。採点の観点の一つは、厳格な論証能力があるかで、
それは多くの問題の採点でも問われている。それを受験生、受験業界が
知らないだけだ。有名予備校の模範解答を「東大の基準」で採点すれば
かなり悲惨な成績であることは、知っている人は知っている。

当時、某所で灯台の先生方が１０人くらい集まってこの問題について話してた時の結論
「級数で定義すればいいじゃん」

だから数学は数学者に任せないとだめなんだよな

確かこの問題は
1番がsin(cos)の定義を述べよ。で、
2番が1番の定義に従って、加法定理を証明しろ
だったはず。

１、sin(cos)の定義

比　の　一　種

と書いたら0点だろうか

それで加法定理を証明できればＯＫ

sin, cosってのは、もともとは三角形の辺の比だけど、関数としてみた場合は、
定義域に拡張が加えられているから、その点にも触れないとペケじゃなかろうかね。

というのは冗談で

微分可能な関数の組、f、gで
f'=g　および　g'=-f
を満足しまたf(0)=0、g(0)=1となるただ一組だけの関数を
sin、cosと定義しましょうｴﾍｴﾍ

文部省への皮肉だろ
単に

回転行列や複素平面での回転は、高校ではそれを「加法定理が成り立っているものとして」
導入しているから、この問題の証明で使ったら０点。循環論法です。
そうすると、やはり幾何的に証明するか、ベクトルの内積でもＯＫな気がする。

　ちなみに漏れはこの問題を受けたのだが（で、落ちた）、隣に座っていたﾔｼは
幾何的に解いていたなー。そいつは受かっていたが。

　要はこの問題はアレじゃないか。
>>45 が書いているようなことを言いたかったか
あるいは >>53 の言う通りかもしれんな。

不覚にも>>49にﾜﾗﾀ

確かこの問題って、あまりにもできが悪かったから
複素平面や回転行列を使った回答にも
点数を与えることにしたんじゃなかったっけ。

>>56
それに点を与えたら数学的に終わってるような気もするが。

俺は幾何で普通に解いたからどうでもいい。

>>56
採点基準を公式に発表することはあり得ないと思うが…

そもそも、複素数にしろ、回転行列にしろ、循環論法にならないように注意して
議論すれば、ちゃんと満点もらえるだろ。

複素数なら、絶対値1の複素数倍が回転を表すことを証明。
回転行列なら、a^2+b^2=1なるa,bについて、
a -b
b　　a
が回転を表すことを証明。

>>57
そもそも数学的には何も始まってない段階だから問題なし

>>58
確か、1年の数学Iの講義で谷島教授が
そんなような話をしてましたよ。3年以上も前の話だから、
はっきりと覚えとらんけど。

詳しく書かないけど、とんちんかんな意見が多すぎる。とにかく
東大（のようなちゃんとした大学）の数学の採点って、君達の
想像とちがうんですよ

＞詳しく書かないけど、とんちんかんな意見が多すぎる。とにかく
＞東大（のようなちゃんとした大学）の数学の採点って、君達の
＞想像とちがうんですよ

（＾∀＾）ｹﾞﾗｹﾞﾗ

君たちって誰じゃろう。

>>61の脳内講義に出席している脳内学生たちのことでしょう

>>58
そうだ！そうだ！そうやれば回転行列を使っても可だー。

どうやって証明するか、結構大変そうでない？

>>66
R^2の、固定点が一個の等長変換は回転に限る。
を使えば簡単。

>>54
隣に座っていたﾔｼは
幾何的に解いていたなー。そいつは受かっていたが。


カンニングかよ

暗に自分が東大生だと分かる不必要な一文を付け加えてるﾔｼが多いな

＞隣に座っていたﾔｼは
＞ 幾何的に解いていたなー。そいつは受かっていたが。

ひょっとして俺のこと？

東大生なんて別に珍しくもないけどな。

>>69
だから、何。

鈍いな

>>71
だな。ましてやスレタイに東大と入っているのだから
東大生多くて当然。いちいち反応する必要なし。

このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。

>>75
お前は本当にこの話題で新しいスレッドを立てさせたいのかと小一時間

灯台も今やﾊﾞｶばっかりという事で

みんな全ての定理、公式、証明を自分の手で作ってみよう！！
{任意の自然数}年後には素晴らしい人に・・・！！！

>78
自分の手で見つけて証明した定理がある（in 修論）のですが、なかなか「素晴らしい人」に
なれません。どうしたらいいでしょう。