四元数って何？

>>113
では、x^2=-1の実数解を求めてくれないか？
１元数が定義できるって事は、１元数で定義される世界は全て１元数で完結してる
必要があると思うんだけど。
そういう意味では、実数とは複素数の部分集合でしかなく、
すなわち実数＝２元数であることがわかる。
１元数が定義できるというのなら、１元数で完結した数世界を示してくれないか？

燃料投下(･∀･)ｲｲﾖｲｲﾖｰ

新たなる電波到来のﾖｶｰﾝ

>>118
そうか。やはり凡人の脳みそ程度では電波としか思えないんだな。

天才が訪れるスレはここですか？

>>116
> １元数が定義できるって事は、１元数で定義される世界は全て１元数で完結してる
> 必要があると思うんだけど。

ハァ？

まあ、n元数をどう定義しようが勝手だが、その定義を他人に押し付けるなよな。>>116
あと、自家撞着は程々にしておこうな。

もし実数が１元数だというのなら、３元数だって定義できるよ。
４元数を定義して、うち１元を常に０にしておけばいいんだから。
でも、元数ってそういうものじゃないんだろ？

７次元から見ると低級な議論ですな。

結局ここも1+1=2や1=0.999･･･と同系統なんだね。

真意の分かりにくいレスはちょと困るのです

>>123
> ４元数を定義して、うち１元を常に０にしておけばいいんだから。
０と１は１次独立ではないでしょ？

４元数は適当に定義した数体系でなくて、「複素数のある一部の性質を拡張する」という大義名分で定義されたものなの。
だから、そういう「通常の意味」での４元数のアナロジーとしてのn元数を考える以上は、
定義として「必然」の部分とそうでない部分がある。
で、>>123の主張は必然の部分に反しているし、>>116の性質は必然でない部分。

で、あなたらがそういう「通常の意味」でないn元数を考えるのはあなたらの勝手だけれど、
それはあなたの勝手な世界だってこと。
面白ければ誰かが興味を持つし、つまらなければ誰も興味を示さない。

というか、脳内で自分勝手に考えるだけでなく、ちゃんと色々な文献を調べようね。

>>127
３元数が定義不可能であることは理解できたが、
そうすると逆に実数が２元数でなく１元数であるということが理解いかなくなる。
複素数の１元を常に０としたのが実数なんじゃないの？

>>128
そうすると逆に複素数が４元数でなく２元数であるということが理解いかなくなる。
４元数の２元を常に０としたのが複素数なんじゃないの？

>>128
> >>127
> ３元数が定義不可能であることは理解できたが、
> そうすると逆に実数が２元数でなく１元数であるということが理解いかなくなる。
> 複素数の１元を常に０としたのが実数なんじゃないの？
理解できてねーじゃん（ｗ
>>129に答えてみそ。

>>129
４元数と２元数（複素数）はお互い干渉し合わないだろ。
だけど実数は複素数に干渉するし、逆もまた然り。
つまり実数は１元数ではなく２元数だということを示している。
なのに実数が２元数でなく１元数だというのなら、
x^2=-1の実数解が存在しなければ不自然極まりないではないか！
そんな数体系はつぎはぎだらけで全然美しくない。
２元数に干渉する１元数なんてのを認めてたら、
それこそ５元数だって６元数だってＯＫってことになるが？

>４元数と２元数（複素数）はお互い干渉し合わないだろ。
>だけど実数は複素数に干渉するし、逆もまた然り。

干渉とは？R⊂C⊂Hだが。

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　 Y!　 |ゞ- ..;,,,,,, ____　＿,!:;;r'~`;,:ゞr---ゞ＿ニｒ―‐i=＝) 　 >
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　　 `'''''"　　　　　　　　　 ヾニ"::ノ　　　　　　　 `''''''''"

あのう、すみません適当なスレを見つけられなかったんで、ここで聞かせてもらいます。

複素数を2次の正方行列で表すと以下のように表せますよね。
ちと冗長な書き方ですけど。

| 1 0 | | -1 0 | | 0 -1 | | 0 1 |
| 0 1 | = 1, | 0 -1 | = -1, | 1 0 | = i, | -1 0 | = -i

| a 0 | | -a 0 | | 0 -a | | 0 a |
| 0 a | = a, | 0 -a | = -a, | a 0 | = ai, | -a 0 | = -ai

| a -b | | a b | | -a -b | | -a b |
| b a | = a+bi, | -b a | = a-bi, | b -a | = -a+bi, | -b -a | = -a-bi

任意の2次正方行列を１つの数と見立てた数体系ってありませんかね。
たとえば以下のように考えるとか。

| -1 0 | | 1 0 | | 0 1 | | 0 -1 |
| 0 1 | = j, | 0 -1 | = -j, | 1 0 | = k, | -1 0 | = -k

| -a 0 | | a 0 | | 0 a | | 0 -a |
| 0 a | = aj, | 0 -a | = -aj, | a 0 | = ak, | -a 0 | = -ak

i・i = -1, j・j = 1, k・k = 1, ij = -k, ji = k, ik = j, ki = -j, jk = i, kj = -i

| a b | (a+d)+i・(c-b)+j・(d-a)+k・(b+c)
| c d | = -------------------------------------------
2

なんか複素数から四元数への自然な拡張手順が導けるような気がして
ちょっと勉強したくなったんで、ここで聞くのが適当かなと思いました。
なんか良い文献とかあったら教えてください。

くずれまくってわけわかりませんね。

行列環は四元数よりも基本的な数体系だよ、念の為。
ちなみにHamiltonの四元数より一般の四元数を数体上で考える事は
二次形式の分類に対応して、数論的に面白い現象がいろいろ現れる。

>>134
要するに、四元数の複素行列による表現を求めたいということ？

>良い文献とかあったら教えてください。
代数初歩の入門書全般
具体例をたくさん見たいなら、横田一郎「古典型単純リー群」

>>134
複素正方行列として
j={(i,0)(0,-i)},k={(0,i)(i,0)}
としてやると
j^2=k^2=-1,ij=k,jk=i,ki=j,ji=-k,kj=-i,ik=-j
となって四元数と同型になる。

「任意の２次正方行列を１つの数に見立てる」ってのを詳しく知りたかったら
群論を勉強するといいよ。

>>136-138
ありがとうございます。
勉強するのに書籍等を探したかったんですけどキーワードがわかりませんでした。

>>136
やっぱりハミルトンの四元数は特殊なんですね。
そうなんです、一般の四元数を考えたかったんです。

>>137
横田一郎「古典型単純リー群」さっそく探してみます。

>>138
群論にやはり手をつけねばなりませんか、食わず嫌いせずに挑戦してみます。

>>131
>４元数と２元数（複素数）はお互い干渉し合わないだろ。
>>132が既に書いてますけども、干渉しまくります。
あなたは要するに４元数を全く理解できていないということだ。

>なのに実数が２元数でなく１元数だというのなら、
>x^2=-1の実数解が存在しなければ不自然極まりないではないか！
「n元数係数方程式の解は必ずn元数の中に存在する」ことを要請したいんだろうけど、
それがn元数の定義に必要であるという正当性はどこにもなく、あなたの独り善がり。

>そんな数体系はつぎはぎだらけで全然美しくない。
何が美しく何が美しくないかは人それぞれ。何の根拠にもならない。
俺は結合律の成り立たない４元数体系など美しいとは思わない。
「n元数は美しい数体系でなければならない」ということなら、
いわゆる４元数はn元数の定義に反している。

結合律が？

結局>>128は無知なだけだったと。つまらん。

あー俺何書いてんだ。＜結合律
>>128レベルな間違いを犯してしまった。逝ってくる。

だから１元数って何よ？
オレにとっては４元数よりもこっちのほうが重要だ。

実数

だから、n元数の定義を>>108みたいな感じで定義すれば「１元数＝実数」だってば。
そうでない定義でn元数を定義するのは否定はしないけど、ちゃんと定義してくれ。
>>111とかが既に書いてるが。

実数は２元数だろ。
１元数の正体は？

>>147
他人の話を聞け。それができないなら逝け。

１元数→実数
２元数→複素数
４元数→Hamilton数
８元数→Cayley数
は体の性質を持つ

やはりオレには実数２元数であるとしか思えない。
実数が１元数だとしたら、３元数や５元数までもが定義可能なはずだから。
ということで、実数は１元数であるということを証明した文献を
探しに行きます。あるのかなあ。

>>150
日本語が読めない方ですか？
いまい級だなあんた。
いっとくけど、3元数やら5元数も存在しうるよ。
「n元数」の定義を、あんたみたいに勝手な定義にしたらね。
でも、普通に考えうる定義でいけば、
3元数は存在しないし、1元数イコール実数ってこと。
というか、あんた過去レス中の一時独立とか>>108とか基底とか体の定義とか
まったく理解してないでしょ。感覚だけでレスされてもねえ…。
とりあえずシュプリンガーの「数」上下を読破しておいで。

８元数って、体なの？
結合、満たす？

>>150
>ということで、実数は１元数であるということを証明した文献を
>探しに行きます。

他人の文章を理解できないあなたには無理です。

四元数体も斜体であって体では無いわな。交換法則が犠牲になっている。
８元数体は結合法則が犠牲になっているから環ですらない。

しかし共に乗法の逆元があるので体モドキと言ってもよいだろう。

四元数って、
x^2-1=0　の解は、1,-1の2個だけなのに
x^2+1=0　の解は、i,-i,j,-j,k,-kと６個もあるんだね。
バランス悪いな。

6個じゃないだろ。aia^{-1}の形が解全体。H^*/C^*分だけある。

多元数が２元、４元、８元でしか成立しないってのは証明されてるの？

もしかして、四元数ってクオータニオンのこと？？

>>157
証明されている。

http://freeweb2.kakiko.com/dengeki/indexe.htm

次のように定義すれば交換法則くずさないよね。
i^2=-1
j^2=-1
k^2=1
ij=ji=k
ik=ki=-j
jk=kj=-i

でも次のようになるから都合が悪いか。
(a+bi+cj+dk)(a-bi-cj-dk)=a^2+b^2+c^2+d^2+2*(cdi+bdj-bck)

とりあえず実数が2元数だとか逝ってるヤシ、実数から基底を取り出して、要素数数えてくれ。

>>156
それって、数式の意味が学習不足で分かりません、すみません。
ただ、指摘されたことから以下のようなイメージが頭の中に浮かびました。

0≦θ＜2π　として

実軸とi軸とj軸の三次元直行座標を考えた場合
実軸の原点と直角に交わるi,j平面に描かれる
原点を中心とした距離1の円周上の全ての点の値
p1 = i・sinθ+j・cosθ

実軸とj軸とk軸の三次元直行座標を考えた場合
実軸の原点と直角に交わるj,k平面に描かれる
原点を中心とした距離1の円周上の全ての点の値
p2 = j・sinθ+k・cosθ

実軸とk軸とi軸の三次元直行座標を考えた場合
実軸の原点と直角に交わるk,i平面に描かれる
原点を中心とした距離1の円周上の全ての点の値
p3 = k・sinθ+i・cosθ

p1,p2,p3 となる値は全て2乗すると-1になるので解ということ？

（＾＾）

age