四元数って何？

何？意味が分からん．詳しく教えてくれ
あと，何に役立つのかも教えて

sine

ここへ行け↓
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1024699741/l50

>>3
四元数はくだらないのか？

i^2=-1,j^2=-1,k^2=-1
ijk=-1,i≠j≠k

>>5
それがわからんのだよ!

>>4
はい。

>>5

非可換体として
(a + bi + cj + dk)(a - bi - cj - dk) = a^2+b^2+c^2+d^2
を成立させるために

そう定義する。

ここに、ttp://www.mcc.pref.miyagi.jp/people/ikuro/koramu/complex.htm
＞１６個の基底元をもつ同様の代数を構成しようと試みられましたが、それは成功するはずはありませんでした。

とあるのですが、数学的に不可能だったってこと？

私は、某大学数学科に在籍しています。
元カノと、遠距離恋愛になってしばらくすると、彼女は何か隠し事している様子でした。実は、ほかの男とできちゃった結婚していたそうです。
人生で一番悲しい瞬間でした。
新しい恋には、一生踏み出せそうにありません。
私はこのまま、ハミルトンみたいになりそうです。

人生は数学とは違う。
精子の濃い奴が勝つ。

>>11
濃くても使えない奴は駄目。
薄くても使う相手が多いほうが勝ち。

確かミンコフスキーの四次元だと、
座標をx,y,z,t（時間）の4つの変数を使って
　(x,y,z,it)
として、ユークリッド空間みたいに扱えるんだっけ？

せっかくボケたのにこの時間じゃレスがつかない……鬱だ……

四元数(Quaternions)

　普通は「しげんすう」と読むみたいです。

　昔の私は「よんげんすう」と読んでいましたが、今は「よげんすう」と読
んでいます。

前、四元数のまねをして、f≠1,f^2=1,・・・
z*N(z) = a^2+...+d^2-w^2-...
という４つの要素を加えた数を考えて
大学の先生に話したら、１９世紀にケイリー
という数学者がやっている事だと言っていた。

それで、「要素は何個ですか」と聞かれたので
「８個です」と答えたら、「たぶん８個なら
大丈夫でしょう。でも、いくつまで、
こういうことができるかですね。」
と言っていた。

間違えた。f≠±1,
N(Z) = a^2+...+d^2-w^2-... だった。恥ずかしい。。。
正しく、打ち込んだつもりだったのに。

前、四元数のまねをして、f≠±1,f^2=1;g≠±1,g^2=1;・・・
N(Z) = a^2+...+d^2-w^2-...
というさらに４つの要素を加えた数を
勝手に考えて、演算を定義して
大学の先生に話したら、１９世紀にケイリー
という数学者がやっている事だと言っていた。

それで、「要素は何個ですか」と聞かれたので
「８個です」と答えたら、「たぶん８個なら
大丈夫でしょう。でも、いくつまで、
こういうことができるかですね。」
と言っていた。

成り立つかどうかわからないけど。。。

この思いつきは別におかしくないですよね？

数年前、本をみてみたら、
複素数の他に、実数体を含む数の体系として、
a + e*b (e^2=0) dual number,(e^2=1) anormal complex number,
というものが作れ、R[0],R[1],いずれも体にはならない。
R[δ]={[[a,b],[δ*b,a]]|a,b∈R}。

順序対を用いて演算を定義して、まず、
複素数を拡張するとき、可換則を犠牲にしてハミルトンの４元数、
さらに結合則を犠牲にして８元数（ケイリー代数）。

i^2=-1以外にも様々な数の体系が作れ、
例えば、e^2=0 のときは、異なる２点を通る直線が無限に
存在する幾何となり、エルムスレフ幾何と呼ばれる、
とありました。

こういった様々な数の体系はどのようなところに
応用されていますか？
また、要素の数がある程度大きくなると
こういった数の体系が定義できなくなるのですか？
このことに詳しい文献はありますか？

「数」上下２冊を読め。

のびたの机の中

前、四元数のまねをして、f≠±1,f^2=1;g≠±1,g^2=1;・・・
N(Z) = a^2+...+d^2-w^2-...

↑すごいね。僕はこんな文章書けないや。

九大の某先生の言葉を借りれば

多次元化なんて誰でも最初に思いつく
恥も外聞もない一般化ですが

劣等感の誤魔化し。

Rにｘ＾２＝−１なる元を付け加えると、Cになる。これは、ｘ＾２＋１が素イデアル
だから、問題なくOK。ここで、ｘ＾２＋１＝０の解をｉとする。
ところが、Cにｉとは異なる、ｘ＾２＝−１なる元（つまりｊ）を付け加えると、
これは、Ｈになると考えるには、いろいろと、考えなければいけない点はあるけど
（例えばｘ＾２＋１が素イデアルで無い）拡大次数はちゃんと２になるんだよな〜
同様に、ｉ、ｊ、ｋをｅ１、ｅ２、ｅ３とし、この3つとは異なるｘ＾２＝−１なる
元ｅ４を付け加えるとなぜか、また、次元は８になり、[K8:R]=[K8:H][H:C][C:R]
とうまく行くんだけど・・・。
詳しい人、色々ご指摘下さい。

老婆心に四元数の行列表示書いておきます。
（以下|を行列式のカッコじゃなくて行列のカッコ:(と思って読んでください）

|1 0 0 0|=e
|0 1 0 0|
|0 0 1 0|
|0 0 0 1|

|0 0 0 -1|=i
|0 0 -1 0|
|0 1 0 0|
|1 0 0 0|

|0 -1 0 0|=j
|-1 0 0 0|
|0 0 0 1|
|0 0 1 0|

|0 0 1 0|=k
|0 0 0 1|
|-1 0 0 0|
|0 -1 0 0|

これで四元数と同じ性質を持ちます。
ケーリー数は結合法則が成り立ちませんが行列は結合法則が成り立つので
ケーリー数を行列表示出来るかどうか考えてます。
ただ８次正方行列で計算するのがめんどい…

ずれた…
正しい状態を予想して読んでください。

>>28
ケーリー数は結合法則が成り立たないので、行列表示はできないのでは？
私は成り立たないと思いつつも実際やってみてむりでした。

jk= i, ki= j, ij= k,
kj=-i, ik=-j, ji=-k

>>28

普通の方法じゃできないけど・・・。
なんかどうにかして出来る方法あるのですか？

>>24
やっぱり無理なんですかねえ。
でも四元数が出来るなら…って思ってしまいません？
特別な制限（要するに結合法則が成り立たないように）付けたら出来るのかな？
もう少し駄目元で考えてみます。

>>28
すくなくとも四元数の表現みたくは私の場合うまくいきませんでしたが・・・。
結合律が成り立たないから無理なのじゃーって思うのですけど・・・。
行列は結合律が成り立つじゃないですか？
なんか特殊な方法でもあるんですか？

”エビングハウス他　数　シュプリンガー東京”を参照

>>31
i^2=j^2=k^2=ijk=-1

Cの拡張はわかるんだけど、何がいったいうれしいの？
四元数を使ったうれしい定理って何があります？

>>37
非可換な体の例であることがとても嬉しい。

>>37
うれしいかどうかは判らないけれど、ゲームとかの計算過程でメチャメチャ使われているらしいよ。
これを使って任意軸周りの回転を表現すると計算量が少ないのがミソです。
iがベクトル化してi,j,kになって、オイラーの公式とからんでくるところも面白いです。

>>37

四元数が代数的閉体みたいな性質をもつんじゃー？って思った事があるんだけど
論文検索してみたら、実際一番左に係数を集めた場合についてはそれが成り立つ
って言う定理あったんだよね。

ガロアセオリーみたいにうれしい定理あったら良いんだけど、普通のやり方じゃ
できないだろうなー、非可換なガロアセオリーは・・・。

グラフィックス関連。
空間内での直線（対象物）の回転等の載っている本を覗けば出ていると思うよ。四元数。

>>38-40
なるへそー。どうもです。3DのCAD系には有効みたいですね。
四元数で検索したらそういうのがたくさんヒットしました。

非可換なガロア理論は・・・
たぶん、ガロア理論が上手くいくのは、Cが代数的閉体だから
なんでしょーね。Hにするのはめんどくさそう。。

みんなで非可換ガロア理論を作ろうよ！

http://tigers-fan.com/~pppnn


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　　ロリロリ児童とHな？
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>>42
＞3DのCAD系

って？素人でも分かるように説明してくださいませんか？

有効って言う事はどういう事かも加えて、宜しく！

>>45
CAD(Computer-Aided Design)。コンピュータを使って設計とか製図をしたり
することの総称です。有効性は詳しくはわからないけど、上のみなさんも
書いているように、3D（立体）の回転や振る舞いをすっきり記述できるそうです。
スペースシャトルの制御にも利用されているみたい。
googleで「四元数」で検索したらそれらしきものが一番上にでてくるよ。
この他には、電磁気学や相対論やゲージ理論にも使われてるみたいだね。

>>46

分かり易い説明どうもありがとう！

（`O∀0`）

>>43
賛成！
でもそれぐらい、既にどっかの誰かが考えてたりしそうだ。

複素数平面での乗算による回転がわかれば、三次元での回転は四元数を使うと、
そのまま延長線上になるから簡単でいいんですよ。
ややっこしい回転の計算が高校レベルに毛の生えたものになっちゃいます。

四次元を簡単に説明すると通常空間に時間軸がかかわってくるわけ

1とi,j,kの４つが空間３つと時間に対応するんですか？

>>51
四次元と四元数は違いますですぅ
>>52
それは物理板にいって聞いたらどうだろう？

>>52
ij=k,jk=i,ki=j,ji=-k,kj=-i,ik=-j
って所はそのままで
i^2=j^2=k^2=0
とすると３次元を上手い具合に表すそうです。
つまり時間軸は無い。
数学的には時間軸が負の方に進んでも一向に構わないと思うんですが
物理学敵には熱力学の法則で禁止されてますからね。

倍率と、立体の三軸（x､y､z軸）を示したりする。

あっ、軸上の回転ね。

>>24,28
q1,q2∈Ｈで
q1((1 0)(0 1))+q2((0 -1)(1 0))
の形の数の集合から８元数(の同型)を作れないかな、と思ったんだけど
何か違うみたいね。
i((0 -1)(1 0))=-((0 -1)(1 0))iってならないから？

((1 0)(0 1))とかは行列を行毎に書いたやつね。
分かりにくかったらスマソ。

体なにがしについてほげほげ・・・っていう課題やってて、
斜体について考慮してないっていってばっさり減点されたことある。

悲しかった。

>>57
行列の行列（によって行列の中に虚数単位を持ち込む）
とかも考えてみましたがなかなか出来ませんねぇ。

「倍率と、立体の三軸の回転（x､y､z軸）を示したりする。」ね
ＣＧの本には載っているものが結構あると思う。
行列は｛(1 0)(0 1)｝と書くんじゃなかったかな？充分わかるけど。

位数４の群の分類ですか？

>>54
このやり方は知らなかった。
俺が知ってるのは
{a+bi+cj+dk∈H;a=0}=H'としたとき
H'∋x→qxq^(-1)∈H',q∈H
という変換を考えるとこれはSO_3(特殊直交群)と同型になる、ってやつ。
もちろんH'~=R^3ね。

行列の表記には{}を使うのか。これからはそうするわ。

age

　最初に謝っとこ。素人のたわごとですまん。

○ij=k
○ji=-k

　不思議な数もあるんだな。と思ったが、
ベクトル積（受験時代は外積と教わった記憶が）って
順序変えると符号も変わったと記憶してるが、これって
使えんですか？

外積？

外積ってのは　|α||β|sinθ　でしたっけ？
二つのベクトルが為す平行四辺形の面積に等しいスカラーになる
とかだったはず

>>67
ちょと違うよ。
ベクトル積ってのは２つのベクトルに垂直な長さ|α||β|sinθのベクトルを対応させるもの。
んで外積ってのは別にあって色んなベクトル空間上で構成される。
でもまあR^3の外積とベクトル積は全く無関係ってことはない。

せっかく美しい複素数の体系があるのに、三次元空間の回転を記述するために
乗法の交換法則を壊してまで四元数を作ったんですよね。
さらに乗法の結合法則を壊して八元数も作ったわけだから
分配法則を壊して十六元数、加法の交換法則を壊して三十二元数、
加法の結合法則を壊して六十四元数とか作らんのですかね。

>>69
自分でやってみて。
出来たらここで発表して。

Brauer群はガロアコホモロジーだから非可換な体の意義は分かるんだが、
結合則を壊した場合、こういう事は考えられるの？

>>69
くりふぉーど代数とかで調べてミソ

8元数の定義教えてください。

８元数の板を作ったら教えてやる。

>>74
ていうか、ｎ元数ってどういう事よ？
ネットスレで小川がありえない3元数なんてことを言っていたが。
ｎ元数って定義したらなんになるの？
自分の理解してる所によるとR上のベクトル空間でその元数なるものってーのは
例えば４元数では｛１、ｉ、ｊ、ｋ｝のことかと思ってるのだけど、それが
ｎ元数体の正規直交基底になってるそういうもののことか？
だとすると３元数ってーのはありえないよな。

http://web2.incl.ne.jp/yaoki/i.htm
『ｉの嵐』

>>69
16元数以上は出来ないことが証明されているはずだが？
似非16元数のようなものは在るだろうが・・・。

>>76
大体しか読んでないけど、積に関して閉じているように創る事は出来ないんで
しょ？

言い忘れましたが、３元数体についてです。結局のところ、３元数体は存在しな
のですよね？

>>75
『なっとくする電磁気学』に，3元数を作ろうとして失敗した学生の話が
載ってたっけ．

納得する電磁気学ってHPですか？

>>81
成書だよ．
講談社から出てたような．
あの本で勉強したのに1年の電磁気学落ちたなあ（;´Д｀）

>>82
教えて下さってありがとうございます。

ｎ元数って何？と言う問いには答えていただいていないような気がしますが、
７５に書いた私の考え方で宜しいのでしょうか？
どなたか答えて下されば幸いです。

>>75
言おうとしていることが理解できん。
それと"ｎ元数"なるものの定義はないと思う。

>>85
私が思ってる所を言いますと。Rにｘ＾２＝−１なる元を付け加えていくと、それ
はRの直交補空間の元になるわけで、互いに異なるｘ＾２＝−１なる元を付け加え
ればそれは、Rの直交補空間の中で互いに直交する訳でしょ、だから、そうやって
創ったものは例えば四元数の場合１とｉ、ｊ、ｋで張られるベクトル空間でかつ
体になるわけで、１とｉとｊとｋは正規直交基底になっているでしょ？
つまり、元数って言うのは、ｘ＾２＝−１を満たす出来上がった体の正規直交基
底になるものなのですか？

＞Rにｘ＾２＝−１なる元を付け加えていくと、それはRの直交補空間の元になる

　　　　わけわからん

>>87
例えば複素平面でｉだったらどう思います？

どうって言われても・・・。

>>89
ｉはｘ＾２＝−１を満たすし、Ｒの直交補空間の元だよね。

>>86
直交というからには内積をどう入れ、それと積構造の関係は何なのか？

まさか、こういった事も考えずに人に聞いてるんじゃないよね？

>>90
あぁーーワケわからん。
誰か答えてあげてage。

>>91
>>92

申し訳ありません。実軸と虚軸がｉが90度回転であることから、そういうイメー
ジで話しておりました。
ｘ＾２＝−１になる物を複数付け加えればやはり、実軸と直交する所に元が出来
あがる・・・。
内積についてはいまから考える事に致します。
お時間取らせまして、スミマセン。
恐らく内積は自然に入るものと思われますが。
複素数のｘ＋ｙｉを（ｘ、ｙ）とすれば普通の内積で上手く行くと思います。

では、内積空間にどうやって積を入れるのか？
回転をイメージしているらしいが、それならそれを積の言葉に自分でなおすべし。
もしそれで分からない事があれば何が分からないかをはっきりさせて人に聞けば良い。
自分で考えるべき事も考えずに人と話をしようなんて間違ってない？

>>94
分かりました。というか、自分で考えるべき点がはっきりしたと言う事において
はずかしいとは思いますが、自分にとって尋ねた事は有用性があったと、答えて
下さった方々に感謝します。
お時間取らせて申し訳有りませんでした。
ところで、
＞直交というからには内積をどう入れ、それと積構造の関係は何なのか？
という事ですが、内積は例えばｘ＋ｙｉを（（ｘ、ｙ）ｚ＋ｗｉを（ｚ、ｗ）
とすれば、（（ｘ、ｙ）、（ｚ、ｗ））＝ｘｚ＋ｚｗとすれば、例えば
１とｉは直交しますが・・・。積構造とは何をさすのか、申し訳ないですが
教えて頂けませんか？
＞自分で考えるべき事も考えずに人と話をしようなんて間違ってない？
もう少し、気を付けて考えれば、考えるべき事が見えてきたかも知れないですね
もうちょっと、これから気を付けますんで、申し訳ありませんでした。

「資源数って何？」だと？
資源板でも行け。

物理の４元ベクトルとの対応は
http://216.239.33.100/search?q=cache:1wEg70pH9HgC:www2s.biglobe.ne.jp/~hanabow/lib/labo/yongensu/yongensu.txt+4%E5%85%83%E6%95%B0+%E7%9B%B8%E5%AF%BE&hl=ja&ie=UTF-8&inlang=ja
ってページがある（Google キャッシュにしか残ってないけど）。
４元数ではなく１６元数の単位うちの４つをもって
４元ベクトルの基底とする、という風になってる。
確かにスカラー、擬スカラー、ベクトル、擬ベクトル、テンソルの
１６個の基底を表すには１６元数じゃないとダメだなー、
と思いますた。

でも、検算してないあってんのか知らんが。
面倒なんで興味があれば自分で確かめて。

あっ、そこのサイト消えちゃったんだ？
似非１６元数
自分のホームページからリンク貼っといたんだけど・・・
公表はしていない自分用のhtmlの事だけど・・・
何でだ？何か抗議が多くなったのか？

>>97
どうもありがとうございます。

>1
独立変数３つの空間が三次元ならば、
４つの空間が四次元。

>>97
yongensuと書いてあるから？shigensuuにあったり・・・

>>101
TOP ページ自体からして消えてる。

age

四次元はシジゲンって言わないね

でもさあ、四元数が定義できるのなら、三元数も定義できるでしょ。
ただし、二元数に対する実数と同じで、解なしの方程式が存在することになるけど。
ところで、四元数って二元数とどういう関係にあるんだろ？

定理：R^nに零因子をもたない双線形な積演算が存在　⇒　nは２のべき

絶対関係だけじゃなく、相対関係もウプキブンヌ

ゆんゆんスレの予感

まあ、何でもありならどんな定義もできるわけで。
複素数のもつ性質をできる限り保存するようにつくってるところに
四元数の意味があるわけね。
具体的には、>>108が書いてるような性質ね。
三元数はどんな風に定義しても上の性質は崩れるわけだから、
まず、上とは別の性質で、かつ有用な性質を提示しなければならないね。

実際の所、１元数って定義できないよな？

１元数＝実数

108の証明キボンヌ

シュプリンガーの「数」に載ってなかったっけ？

>>113
では、x^2=-1の実数解を求めてくれないか？
１元数が定義できるって事は、１元数で定義される世界は全て１元数で完結してる
必要があると思うんだけど。
そういう意味では、実数とは複素数の部分集合でしかなく、
すなわち実数＝２元数であることがわかる。
１元数が定義できるというのなら、１元数で完結した数世界を示してくれないか？

燃料投下(･∀･)ｲｲﾖｲｲﾖｰ

新たなる電波到来のﾖｶｰﾝ

>>118
そうか。やはり凡人の脳みそ程度では電波としか思えないんだな。

天才が訪れるスレはここですか？

>>116
> １元数が定義できるって事は、１元数で定義される世界は全て１元数で完結してる
> 必要があると思うんだけど。

ハァ？

まあ、n元数をどう定義しようが勝手だが、その定義を他人に押し付けるなよな。>>116
あと、自家撞着は程々にしておこうな。

もし実数が１元数だというのなら、３元数だって定義できるよ。
４元数を定義して、うち１元を常に０にしておけばいいんだから。
でも、元数ってそういうものじゃないんだろ？

７次元から見ると低級な議論ですな。

結局ここも1+1=2や1=0.999･･･と同系統なんだね。

真意の分かりにくいレスはちょと困るのです

>>123
> ４元数を定義して、うち１元を常に０にしておけばいいんだから。
０と１は１次独立ではないでしょ？

４元数は適当に定義した数体系でなくて、「複素数のある一部の性質を拡張する」という大義名分で定義されたものなの。
だから、そういう「通常の意味」での４元数のアナロジーとしてのn元数を考える以上は、
定義として「必然」の部分とそうでない部分がある。
で、>>123の主張は必然の部分に反しているし、>>116の性質は必然でない部分。

で、あなたらがそういう「通常の意味」でないn元数を考えるのはあなたらの勝手だけれど、
それはあなたの勝手な世界だってこと。
面白ければ誰かが興味を持つし、つまらなければ誰も興味を示さない。

というか、脳内で自分勝手に考えるだけでなく、ちゃんと色々な文献を調べようね。

>>127
３元数が定義不可能であることは理解できたが、
そうすると逆に実数が２元数でなく１元数であるということが理解いかなくなる。
複素数の１元を常に０としたのが実数なんじゃないの？

>>128
そうすると逆に複素数が４元数でなく２元数であるということが理解いかなくなる。
４元数の２元を常に０としたのが複素数なんじゃないの？

>>128
> >>127
> ３元数が定義不可能であることは理解できたが、
> そうすると逆に実数が２元数でなく１元数であるということが理解いかなくなる。
> 複素数の１元を常に０としたのが実数なんじゃないの？
理解できてねーじゃん（ｗ
>>129に答えてみそ。

>>129
４元数と２元数（複素数）はお互い干渉し合わないだろ。
だけど実数は複素数に干渉するし、逆もまた然り。
つまり実数は１元数ではなく２元数だということを示している。
なのに実数が２元数でなく１元数だというのなら、
x^2=-1の実数解が存在しなければ不自然極まりないではないか！
そんな数体系はつぎはぎだらけで全然美しくない。
２元数に干渉する１元数なんてのを認めてたら、
それこそ５元数だって６元数だってＯＫってことになるが？

>４元数と２元数（複素数）はお互い干渉し合わないだろ。
>だけど実数は複素数に干渉するし、逆もまた然り。

干渉とは？R⊂C⊂Hだが。

　　　　　_,,,...... . . ----------- .....,,,,_
　 　 　 /――ｒ''''"~~~「 r''''"~￣￣￣~`;､
　　　　/　　　 ;!　　　　 '!:l,　´,_ゝ`）ﾌﾟｯ　':;、
　　　/ゞ..,,_＿,;!..........(ﾆi.,i 〉、　,,,,,.... .............,)}...,,,_
　　/　　　　 /-　　　　 ﾞﾞ:,　　　　　　 ,,._　　　　　￣｀,;ｒ-、 　／
　 {,,r=､,　　 i　　　　　　　:, 　　　 　 （::::）r;:=＝＝＝=i､.,;! 　 >
　 ;!,r=､i:! 　 :　　　　　　　,:'"三ﾐ:､ 　 　,','（::）:;:;:;:;:;:;:;（::）:| 　＜　（　´,_ゝ`）ﾌﾟｯ
　 Y!　 |ゞ- ..;,,,,,, ____　＿,!:;;r'~`;,:ゞr---ゞ＿ニｒ―‐i=＝) 　 >
　　iヾノ:;;ﾘ　￣~~~`'''''―' :;|　　ﾘ;;;;;!二二..,,,,,,,,:!---',,;:;:;! 　　　＼
　　 `'''''"　　　　　　　　　 ヾニ"::ノ　　　　　　　 `''''''''"

あのう、すみません適当なスレを見つけられなかったんで、ここで聞かせてもらいます。

複素数を2次の正方行列で表すと以下のように表せますよね。
ちと冗長な書き方ですけど。

| 1 0 | | -1 0 | | 0 -1 | | 0 1 |
| 0 1 | = 1, | 0 -1 | = -1, | 1 0 | = i, | -1 0 | = -i

| a 0 | | -a 0 | | 0 -a | | 0 a |
| 0 a | = a, | 0 -a | = -a, | a 0 | = ai, | -a 0 | = -ai

| a -b | | a b | | -a -b | | -a b |
| b a | = a+bi, | -b a | = a-bi, | b -a | = -a+bi, | -b -a | = -a-bi

任意の2次正方行列を１つの数と見立てた数体系ってありませんかね。
たとえば以下のように考えるとか。

| -1 0 | | 1 0 | | 0 1 | | 0 -1 |
| 0 1 | = j, | 0 -1 | = -j, | 1 0 | = k, | -1 0 | = -k

| -a 0 | | a 0 | | 0 a | | 0 -a |
| 0 a | = aj, | 0 -a | = -aj, | a 0 | = ak, | -a 0 | = -ak

i・i = -1, j・j = 1, k・k = 1, ij = -k, ji = k, ik = j, ki = -j, jk = i, kj = -i

| a b | (a+d)+i・(c-b)+j・(d-a)+k・(b+c)
| c d | = -------------------------------------------
2

なんか複素数から四元数への自然な拡張手順が導けるような気がして
ちょっと勉強したくなったんで、ここで聞くのが適当かなと思いました。
なんか良い文献とかあったら教えてください。

くずれまくってわけわかりませんね。

行列環は四元数よりも基本的な数体系だよ、念の為。
ちなみにHamiltonの四元数より一般の四元数を数体上で考える事は
二次形式の分類に対応して、数論的に面白い現象がいろいろ現れる。

>>134
要するに、四元数の複素行列による表現を求めたいということ？

>良い文献とかあったら教えてください。
代数初歩の入門書全般
具体例をたくさん見たいなら、横田一郎「古典型単純リー群」

>>134
複素正方行列として
j={(i,0)(0,-i)},k={(0,i)(i,0)}
としてやると
j^2=k^2=-1,ij=k,jk=i,ki=j,ji=-k,kj=-i,ik=-j
となって四元数と同型になる。

「任意の２次正方行列を１つの数に見立てる」ってのを詳しく知りたかったら
群論を勉強するといいよ。

>>136-138
ありがとうございます。
勉強するのに書籍等を探したかったんですけどキーワードがわかりませんでした。

>>136
やっぱりハミルトンの四元数は特殊なんですね。
そうなんです、一般の四元数を考えたかったんです。

>>137
横田一郎「古典型単純リー群」さっそく探してみます。

>>138
群論にやはり手をつけねばなりませんか、食わず嫌いせずに挑戦してみます。

>>131
>４元数と２元数（複素数）はお互い干渉し合わないだろ。
>>132が既に書いてますけども、干渉しまくります。
あなたは要するに４元数を全く理解できていないということだ。

>なのに実数が２元数でなく１元数だというのなら、
>x^2=-1の実数解が存在しなければ不自然極まりないではないか！
「n元数係数方程式の解は必ずn元数の中に存在する」ことを要請したいんだろうけど、
それがn元数の定義に必要であるという正当性はどこにもなく、あなたの独り善がり。

>そんな数体系はつぎはぎだらけで全然美しくない。
何が美しく何が美しくないかは人それぞれ。何の根拠にもならない。
俺は結合律の成り立たない４元数体系など美しいとは思わない。
「n元数は美しい数体系でなければならない」ということなら、
いわゆる４元数はn元数の定義に反している。

結合律が？

結局>>128は無知なだけだったと。つまらん。

あー俺何書いてんだ。＜結合律
>>128レベルな間違いを犯してしまった。逝ってくる。

だから１元数って何よ？
オレにとっては４元数よりもこっちのほうが重要だ。

実数

だから、n元数の定義を>>108みたいな感じで定義すれば「１元数＝実数」だってば。
そうでない定義でn元数を定義するのは否定はしないけど、ちゃんと定義してくれ。
>>111とかが既に書いてるが。

実数は２元数だろ。
１元数の正体は？

>>147
他人の話を聞け。それができないなら逝け。

１元数→実数
２元数→複素数
４元数→Hamilton数
８元数→Cayley数
は体の性質を持つ

やはりオレには実数２元数であるとしか思えない。
実数が１元数だとしたら、３元数や５元数までもが定義可能なはずだから。
ということで、実数は１元数であるということを証明した文献を
探しに行きます。あるのかなあ。

>>150
日本語が読めない方ですか？
いまい級だなあんた。
いっとくけど、3元数やら5元数も存在しうるよ。
「n元数」の定義を、あんたみたいに勝手な定義にしたらね。
でも、普通に考えうる定義でいけば、
3元数は存在しないし、1元数イコール実数ってこと。
というか、あんた過去レス中の一時独立とか>>108とか基底とか体の定義とか
まったく理解してないでしょ。感覚だけでレスされてもねえ…。
とりあえずシュプリンガーの「数」上下を読破しておいで。

８元数って、体なの？
結合、満たす？

>>150
>ということで、実数は１元数であるということを証明した文献を
>探しに行きます。

他人の文章を理解できないあなたには無理です。

四元数体も斜体であって体では無いわな。交換法則が犠牲になっている。
８元数体は結合法則が犠牲になっているから環ですらない。

しかし共に乗法の逆元があるので体モドキと言ってもよいだろう。

四元数って、
x^2-1=0　の解は、1,-1の2個だけなのに
x^2+1=0　の解は、i,-i,j,-j,k,-kと６個もあるんだね。
バランス悪いな。

6個じゃないだろ。aia^{-1}の形が解全体。H^*/C^*分だけある。

多元数が２元、４元、８元でしか成立しないってのは証明されてるの？

もしかして、四元数ってクオータニオンのこと？？

>>157
証明されている。

http://freeweb2.kakiko.com/dengeki/indexe.htm

次のように定義すれば交換法則くずさないよね。
i^2=-1
j^2=-1
k^2=1
ij=ji=k
ik=ki=-j
jk=kj=-i

でも次のようになるから都合が悪いか。
(a+bi+cj+dk)(a-bi-cj-dk)=a^2+b^2+c^2+d^2+2*(cdi+bdj-bck)

とりあえず実数が2元数だとか逝ってるヤシ、実数から基底を取り出して、要素数数えてくれ。

>>156
それって、数式の意味が学習不足で分かりません、すみません。
ただ、指摘されたことから以下のようなイメージが頭の中に浮かびました。

0≦θ＜2π　として

実軸とi軸とj軸の三次元直行座標を考えた場合
実軸の原点と直角に交わるi,j平面に描かれる
原点を中心とした距離1の円周上の全ての点の値
p1 = i・sinθ+j・cosθ

実軸とj軸とk軸の三次元直行座標を考えた場合
実軸の原点と直角に交わるj,k平面に描かれる
原点を中心とした距離1の円周上の全ての点の値
p2 = j・sinθ+k・cosθ

実軸とk軸とi軸の三次元直行座標を考えた場合
実軸の原点と直角に交わるk,i平面に描かれる
原点を中心とした距離1の円周上の全ての点の値
p3 = k・sinθ+i・cosθ

p1,p2,p3 となる値は全て2乗すると-1になるので解ということ？

（＾＾）

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