◆ わからない問題はここに書いてね ３７ ◆

>>679
G∋a を含む G/Z(G) の同値類を [a] と書くことにする.
G/Z(G) は cyclic だから, G/Z(G) = <[a]> となる
a ∈ G が存在する. このとき
任意の b ∈ G に対して, [a], [b] ∈ G/Z(G) を考える.
G/Z(G) はcyclic だから, ある整数 n が存在して,
[b] = [a]^n = [a^n] となる.
従って [b] ∋ b = a^n g となる g ∈ Z(G) が存在する.
さて, a b = a^(n+1) g であるが, g ∈ Z(G) より,
a b = a^n g a = b a.
すなわち, a と b は可換である.
ここで, 任意の b, c ∈ G を考えると,
ある整数 m と g ∈ Z（G） が存在して, c = a^m g と書ける.
このとき, b c = b a^m g = a^m b g = a^m g b = c b.
これより, G は abel 群である.

雑な証明なので, 細かいところは自分で埋めてください.
もっとスマートな証明があるんじゃないかと思いますよ.