くだらねぇ問題スレ ver.3.14159265358979

>>479
解析の教科書に証明はともかく結果は必ずのってますが
少しだけ書いときます。
直交座標から極座標への変数変換での積分の仕方は、
x=rcosΘ,y=rsinΘの関係によって∂x/∂rなど４つの偏微分からなる
行列D（ヤコビ）を求めて、その行列式（ヤコビアン）をＪとすれば、
J=rとなる。
ここでdxdy=JdrdΘ（極座標変換でなくとも同様の式が成り立つ）を使う。
あと積分領域をx、yからr、Θにもっていく。これでいい。
（x＝２tなどの簡単な変数変換の応用と思いますが・）

直感的には、xy平面を書いた時に半径rからr+drの領域の面積要素dSを
r、Θで表すと、dS=dr＊dl（半径rの円周上の線素）＝dr＊rdΘとなります。

また補足すると、行列Dのベクトル成分は互いに直交しますが、
xy平面のある点で座標r、Θに対応する直交軸を作ってることに
対応します。（点によって動く直交座標）
極座標の場合、軸が直交するから、行列式Jが簡単に計算できるんです。
（立体極座標の場合の３Ｘ３行列でも）
時間があったら、円の面積を各座標で計算してみればいいです。

あと、q（r,Θ）と書きましたが、q（x,ｙ）のx,yにそれぞれ
r,Θを代入したのとは違います。q（rcosΘ,rsinΘ）の意味です。