一番でかい数出した奴が優勝

手元にふぃっしゅ数の文章（>>317->>321）をまとめてみた。
自分で解釈していこう…
えーと。

＞「いかにして大きな数を作るか」という
＞プロセスを一般化すると、大きな数と増加の程度が大きい関数を
＞生み出していくプロセス

関数ってなんだ。調べてみよう。xの値が決まるとyの値が一意に決まるのか。
つまりxをyに変えるマシーンが関数なんだな。そのマシーンが強力だと
しょぼい数からすげえ数が作れる訳か。つまりマシーンの開発競争。

＞たとえば、「mという数にf(x)という変換をn回繰り返す」という
＞表現をするときに、m,f(x),nに使えるのは今までに定義された
＞数と関数のみ。そこで、数と関数を双方ともに帰納的に定義して
＞いくプロセスを追っていくことにする。

えーと、わからん。また今度。

細かいところは飛ばして本題の理解にいこう。

＞そこで、自然数mと関数f(x)のペアから、自然数nと関数g(x)の
＞ペアを生み出す変換（写像）を
＞　S:[m,f(x)]→[n,g(x)]
＞と表記することにすると、たとえば３↑↑↑↑３は、自然数
＞４と、f(x)=３（↑がx個）３からf(4)とあらわされる。

写像？どうやら数と関数のペアをまるごと変換するマシーンらしい。
上の場合、(mという自然数とf(x)という関数のペア)に対して(Sという写像)を
かますと、(nという自然数とg(x)という関数のペア)に変換されるということかな。

ここで、グラハム数＝３↑↑↑↑３というものらしいが、これを上の考え方で
表記すると、ここでのf(x)が、「３と３の間に↑をx個並べる」というマシーンで
あると決めたとき、グラハム数の↑の数は４個だから、f(4)と書くことができると。

そんで、

＞３↑↑↑↑３個だけ↑がはさまった数、はf(f(4))である。
＞したがって、これを64回繰り返した数はf^64(4)となり、
＞この操作はg(x)=f^64(x)という関数を自然数64と関数f(x)から
＞生み出す操作にほかならないため、
＞　S:[m,f(x)]→[f^m(m),f^m(x)]
＞と書くと、m=64,f(x)からグラハム数よりも大きいf^64(64)
＞という数が生み出される。

f(f(4))というのはつまり、f(4)というのは一つの数として定まるからこういう
書き方ができるのかな。すでにグラハム数が屁のツッパリにもならない領域だ。
これはf(4)を2回繰り返したということなのかな。f(f(4))=f^2(4)でいいのかな。
いいとしよう。f(4)を64回繰り返すとf^64(4)と表記することができるらしい。
ここで、(64という自然数とf(x)という関数のペア)に対して(Sという写像)を
かますと、(f^64(64)という自然数とf^64(x)という関数)に変換することが可能らしい。

ここで出てきたf^64(64)という数、３↑↑…(64個)…↑↑３　が第１段階。
３↑↑…((３↑↑…(64個)…↑↑３)個)…↑↑３　が第２段階。
これを第６４段階までやった数というから凄い。
ところで、↑ってなんだっけ？

↑(タワー)の基本的な約束としては、

＞　x↑y＝x^y
＞　x↑…(m個)…↑１＝x↑…(m-1個)…↑x
＞　x↑…(m個)…↑y＝x↑…(m-1個)…↑(x↑…(m個)…↑(y−1))

ということらしい。
↑について理解してみよう。上の約束に従って、グラハム数＝３↑↑↑↑３に挑んでみる。

３↑↑↑↑３＝３↑↑↑(３↑↑↑↑２)
　　　　　　＝３↑↑↑(３↑↑↑(３↑↑↑↑１))
　　　　　　＝３↑↑↑(３↑↑↑(３↑↑↑３))
　　　　　　＝３↑↑↑(３↑↑↑(３↑↑(３↑↑↑２)))
　　　　　　＝３↑↑↑(３↑↑↑(３↑↑(３↑↑(３↑↑↑１))))
　　　　　　＝３↑↑↑(３↑↑↑(３↑↑(３↑↑(３↑↑３))))
　　　　　　＝３↑↑↑(３↑↑↑(３↑↑(３↑↑(３↑(３↑↑２)))))
　　　　　　＝３↑↑↑(３↑↑↑(３↑↑(３↑↑(３↑(３↑(３↑↑１))))))
　　　　　　＝３↑↑↑(３↑↑↑(３↑↑(３↑↑(３↑(３↑(３↑３))))))
　　　　　　＝３↑↑↑(３↑↑↑(３↑↑(３↑↑(３↑(３↑２７))))))
　　　　　　＝３↑↑↑(３↑↑↑(３↑↑(３↑↑(３↑(３↑7625597484987))))))

こいつは一大事だ。しかしこれでもf(4)なのであって、f(64)には遠く及ばない。
f^64(64)の破壊力は推して知るべしだ。怖い怖い。そしてまだふぃっしゅ数の定義にすら
踏み込んでないというのはどういうことだろう。

＞これまでのスレッドにかかれた数は、いろいろなタイプの
＞S変換を数回、>>161でもせいぜい10回程度行っているに
＞すぎない。S変換については、上記のS変換よりも、
＞AckermannタイプのS変換の方がより関数を増加させる。

S:[m,f(x)]→[f^m(m),f^m(x)]　のような、「もとの関数をm回繰り返す」というような
タイプの写像マシーンはまだまだ手ぬるいらしい。ではどんなのが凄いのか。
「AckermannタイプのS変換」がどうやら関数を爆発的に増加させるらしい。
それはどんなものかいな。

＞その第１段階として、Ackermann関数にならい、
＞　B(0,n)=f(n)
＞　B(m+1,0)=B(m, 1)
＞　B(m+1,n+1)=B(m, B(m+1, n))g(x)=B(x,x)
＞としたときに、
＞　S:[m,f(x)]→[g(m),g(x)]
＞とする。少なくとも、これ以上に大きいＳ変換はこれまでに
＞あらわれていない。したがって、たとえば[3,f(x)=x+1]に
＞このS変換を10回ほど繰り返せば、ゆうに>>161を越える。

数式の意味するところが分かりません。ヘルプ。

gg(2)=B(2,2)=B(1,B(2,1))=B(1,B(1,B(2,0))) =B(1,B(1,B(1,1)))=B(1,g(61))
Ｂ(1,1)=g(61)
Ｂ(1,2)=g(g(61))
Ｂ(1,3)=g(g(g(61)))
Ｂ(1,4)=g(g(g(g(61))))
Ｂ(1,5)=g(g(g(g(g(61)))))
Ｂ(1,6)=g(g(g(g(g(g(61))))))
Ｂ(1,7)=g(g(g(g(g(g(g(61)))))))
Ｂ(1,8)=g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))
Ｂ(1,9)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))
Ｂ(1,10)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))
Ｂ(1,11)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))
Ｂ(1,12)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))))
Ｂ(1,13)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))
Ｂ(1,14)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))))
Ｂ(1,15)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))))))))
Ｂ(1,16)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))))))
Ｂ(1,17)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))))))))))
Ｂ(1,18)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))))))))
Ｂ(1,19)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))))))))))))
Ｂ(1,20)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))))))))))
Ｂ(1,21)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))))))))))))))
Ｂ(1,22)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))))))))))))
Ｂ(1,23)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))))))))))))))))
Ｂ(1,24)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))))))))))))))
Ｂ(1,25)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))))))))))))))))))
Ｂ(1,26)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))))))))))))))))
〜
Ｂ(1,ｇ(61)）=g(g(g(g(g(g(【〜ｇ(61)個〜】g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))【〜ｇ(61)個〜】))))))

比べようも無いくらい ｇ(61）＞グラハム数

>>713,714さんヒント感謝。ではあらためて。

【自然数mと関数f(x)】から【自然数g(m)と関数g(x)】を生み出す
上記の【Ｓ変換】の仕組みには、まず
　g(x)＝B(x,x)　がある。これによると、例えば【自然数3と関数x+1】が与えられたとき、まずは
　g(3)＝B(3,3)　である。
このB(3,3)は、上記のルールに基づいた計算により、最終的に一つの自然数として
表現することが可能である(実際問題はともかく)。
式変形を進めると、

B(3,3)＝B(2,B(3,2))
　　　＝B(2,B(2,B(3,1)))
　　　＝B(2,B(2,B(2,B(3,0))))
　　　＝B(2,B(2,B(2,B(2,1))))
　　　＝B(2,B(2,B(2,B(1,B(2,0)))))
　　　＝B(2,B(2,B(2,B(1,B(1,1)))))
　　　＝B(2,B(2,B(2,B(1,B(0,B(1,0))))))
　　　＝B(2,B(2,B(2,B(1,B(0,B(0,1))))))

ここでB(0,1)というものが出てきた。ルール　B(0,n)＝f(n)　より、
B(0,1)＝f(1)＝1+1＝2 となるので、上の式は続けて

　B(2,B(2,B(2,B(1,B(0,2))))))
＝B(2,B(2,B(2,B(1,3))))))
＝B(2,B(2,B(2,B(0,B(1,2)))))))
＝B(2,B(2,B(2,B(0,B(0,B(1,1))))))))
＝B(2,B(2,B(2,B(0,B(0,B(0,B(1,0)))))))))
＝B(2,B(2,B(2,B(0,B(0,B(0,B(0,1)))))))))
＝B(2,B(2,B(2,B(0,B(0,B(0,2))))))))
＝B(2,B(2,B(2,B(0,B(0,3)))))))
＝B(2,B(2,B(2,B(0,4))))))
＝B(2,B(2,B(2,5)))))
…
のように進んでいく。この程度ならプログラミングなど使えば最後までいけるだろう。
ともかく、S変換によって【自然数B(3,3)と関数B(x,x)】が生み出された。
これを更にS変換すると何が起こるのだろう。

S変換のルール(おさらい)

B(0,n)=f(n)
B(m+1,0)=B(m, 1)
B(m+1,n+1)=B(m, B(m+1, n))
g(x)=B(x,x)

のとき、

S:[3,x+1]→[B(3,3),B(x,x)]　(S変換１回目)
S:[B(3,3),B(x,x)]→[h(B(3,3)),h(x)]　(S変換２回目)

を考えてみましこ。
h(x)というのはS変換２回目で生まれる新しい関数だと思いねぇ。このとき、

C(0,n)=g(n)=B(n,n)
C(m+1,0)=C(m, 1)
C(m+1,n+1)=C(m, C(m+1, n))
h(x)=C(x,x)

という新ルールが同時に発生する模様。C(n,n)ってのはB(n,n)とは別もの。
なぜなら　B(0,n)=n+1　であるのに対し、C(0,n)=B(n,n)　だからです。
根っ子の計算がいきなりパワーアップしてます。つまり、S変換を繰り返す度に、
生まれる自然数とそれを増加させるルールがそれぞれ爆発的に狂暴化されるのが
この例で分かったような分からないような。次回からとうとうふぃっしゅ数本体の攻略です。
お楽しみに(俺だけ)

Ｂ(1,1)=g(61)
Ｂ(1,2)=g(g(61))
Ｂ(1,3)=g(g(g(61)))
Ｂ(1,4)=g(g(g(g(61))))
Ｂ(1,5)=g(g(g(g(g(61)))))
Ｂ(1,6)=g(g(g(g(g(g(61))))))
Ｂ(1,7)=g(g(g(g(g(g(g(61)))))))
Ｂ(1,8)=g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))
Ｂ(1,9)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))
Ｂ(1,10)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))
Ｂ(1,11)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))
Ｂ(1,12)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))))
Ｂ(1,13)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))
Ｂ(1,14)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))))
Ｂ(1,15)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))))))))
Ｂ(1,16)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))))))
Ｂ(1,17)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))))))))))
Ｂ(1,18)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))))))))
Ｂ(1,19)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))))))))))
Ｂ(1,20)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))))))))))
Ｂ(1,21)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))))))))))))))
Ｂ(1,22)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))))))))))))
Ｂ(1,23)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))))))))))))))))
Ｂ(1,24)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))))))))))))))
Ｂ(1,25)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))))))))))))))))))
Ｂ(1,26)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))))))))))))))))
Ｂ(1,27)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))))))))))))))))))))
Ｂ(1,28)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))))))))))))))))))
Ｂ(1,29)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))))))))))))))))))))))))))
Ｂ(1,30)=g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(g(61)))))))))))))))))))))))))))))))
Ｂ(1,ｇ(61)）=g(g(g(g(g(g(【〜ｇ(61)個〜】g(g(g(g(g(g(g(g(61))))))【〜ｇ(61)個〜】))))))

ふぃっしゅ数の定義。

＞　　B(0,n)=f(n)
＞　　B(m+1,0)=B(m, 1)
＞　　B(m+1,n+1)=B(m, B(m+1, n))
＞　　g(x)=B(x,x)
＞　としたときに、
＞　　S:[m,f(x)]→[g(m),g(x)] という自然数と関数のペアから、自然数と関数の
＞　ペアへの写像S（Ｓ変換）を定義する。
＞　自然数、関数、Ｓ変換から同様の組を生み出す
＞　写像SSを、
＞　　SS:[m,f(x),S]→[n,g(x),S2]
＞　　ただし S2=S^f(m), g(x)=S2[m,f(x)], n=g(m)
＞　と定義する。
＞　このとき、[3,x+1,S]にSS変換を63回繰り返した
＞　結果得られる自然数、関数、S変換について、
＞　自然数をふぃっしゅ数、関数をふぃっしゅ関数とする。

要点を抜き出すと、

ふぃっしゅ数＝[3,x+1,S]にSS変換を63回繰り返した結果得られる自然数

のことだそうな。
ではプロセスを最初から見ていこう。まず第１段階では、

[3,x+1,S]→[g(3),g(x),S2]　が行われる。(この変換がSS変換)

S2=S^f(m), g(x)=S2[m,f(x)], n=g(m) より　
S2=S^f(3), g(x)=S2[3,f(x)], n=g(3)　だから、

[g(m),g(x),S2]＝[g(3),S2[3,x+1],S^(3+1)]
　　　　　　 　＝[g(3),S^4[3,x+1],S^4]　　　となる。

>>719の下から３行目の、S2[3,f(x)]はS2[3,x+1]に訂正。

つまり、第１段階を行うことによって生まれるものは、

自然数　g(3)
関数　　S^4[3,x+1]
写像　　S^4

である。ここで関数　S^4[3,x+1]　を、もう少し進めてみる。
これは　[3,x+1]　にS変換を４回繰り返した結果得られる関数のことなので、
S変換の１回目は

S:[3,x+1]→[B(3,3),B(x,x)]　となり、３回目は

S^2:[3,x+1]＝S:[B(3,3),B(x,x)]→[h(B(3,3)),h(x)]　ただし

C(0,n)=B(n,n)
C(m+1,0)=C(m, 1)
C(m+1,n+1)=C(m, C(m+1, n))
h(x)=C(x,x)

となる(>>715-717参照。)。同様にして３回目は

D(0,n)=h(n)=C(n,n)
D(m+1,0)=D(m, 1)
D(m+1,n+1)=D(m, D(m+1, n))
i(x)=D(x,x)

S^3:[3,x+1]＝S:[h(B(3,3)),h(x)]→[i(h(B(3,3))),i(x)]　となる。

同様にして４回目、

E(0,n)=i(n)=D(n,n)
E(m+1,0)=E(m, 1)
E(m+1,n+1)=E(m, E(m+1, n))
j(x)=E(x,x)

S^4:[3,x+1]＝S:[i(h(B(3,3))),i(x)]→[j(i(h(B(3,3)))),j(x)]

こうして生まれる関数j(x)が、SS変換１回目において生まれる関数g(x)である。
(S変換１回目で生まれる関数と名前が被るといかんので、そっちはシカト)
ともかくg(3)だ。g(x)=j(x)=E(x,x)のxに3を代入すると、SS変換１回目で生まれる自然数が
得られる。できるとこまでやってみよう。

E(3,3)＝E(2,E(3,2))
　　　＝E(2,E(2,E(3,1)))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(3,0))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(2,1))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(2,0)))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(1,1)))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(0,E(1,0))))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(0,E(0,1))))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(0,D(1,1)))))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(0,D(0,D(1,0))))))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(0,D(0,D(0,1))))))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(0,D(0,C(1,1))))))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(0,D(0,C(0,C(1,1)))))))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(0,D(0,C(0,C(0,C(1,0))))))))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(0,D(0,C(0,C(0,C(0,1))))))))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(0,D(0,C(0,C(0,B(1,1))))))))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(0,D(0,C(0,C(0,B(0,B(1,0)))))))))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(0,D(0,C(0,C(0,B(0,B(0,1)))))))))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(0,D(0,C(0,C(0,B(0,2))))))))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(0,D(0,C(0,C(0,3)))))))))
　　　＝E(2,E(2,E(2,E(1,E(0,D(0,C(0,B(3,3)))))))))

ホゲー。

さてSS変換２回目。

SS^2:[3,x+1,S]＝SS:[E(3,3),E(x,x),S^4]→[w(E(3,3)),w(x),S^E(3,3)]

w(x)って名前は適当です。でもって
w(x)=S^E(3,3)[E(3,3),E(x,x)]　です。そういうもんだからです。
まとめると、SS変換２回目の操作によって、

自然数　w(E(3,3))
関数　　S^E(3,3)[E(3,3),E(x,x)]
写像　　S^E(3,3)

が得られます。こいつらの変態っぷりを説明すると、
関数w(x)とは、関数E(x,x)をE(3,3)回もパワーアップさせた　変態(x,x)　です。
多分そういう表記ができます。そんでw(E(3,3))　とは、すなわち
　変態(E(3,3),E(3,3))
＝変態(E(3,3)-1,変態(E(3,3),E(3,3)-1))
＝変態(E(3,3)-1,変態(E(3,3)-1,変態(E(3,3),E(3,3)-2)))
＝変態(E(3,3)-1,変態(E(3,3)-1,変態(E(3,3)-1,変態(E(3,3),E(3,3)-3))))
…

てな具合です。すばらしい変態です。

変態の申し子であるSS変換を第６３段階まで繰り返したとき、そこで得られた
自然数がふぃっしゅ数で、関数がふぃっしゅ関数なんだそうです。
無理矢理表記すると、

SS^63:[3,x+1,S]　においては、

ふぃっしゅ数　　完全究極変態(究極変態,究極変態)
ふぃっしゅ関数　完全究極変態(x,x)

みたいな形なのかな。
変態にもほどがあります。最高。ひとまず終了。
しかし合ってるのかなこれ。御粗末でした。