一番でかい数出した奴が優勝

>>317-319をまとめて、ふぃっしゅ数を以下のように
定義しなおす。

　B(0,n)=f(n)
　B(m+1,0)=B(m, 1)
　B(m+1,n+1)=B(m, B(m+1, n))
　g(x)=B(x,x)

としたときに、
　S:[m,f(x)]→[g(m),g(x)] という自然数と関数のペアから、自然数と関数の
ペアへの写像S（Ｓ変換）を定義する。

自然数、関数、Ｓ変換から同様の組を生み出す
写像SSを、
　SS:[m,f(x),S]→[n,g(x),S2]
　ただし S2=S^f(m), g(x)=S2[m,f(x)], n=g(m)
と定義する。

このとき、[3,x+1,S]にSS変換を63回繰り返した
結果得られる自然数、関数、S変換について、
自然数をふぃっしゅ数、関数をふぃっしゅ関数とする。

ふぃっしゅ数の大きさは、グラハム数を越えることは
もちろん、想像を絶する大きさとなっている。

SSSS:[m,f(x),S,SS,SSS]→[n,g(x),S2,SS2,SSS2]
と定義していけば、さらに大きくなるとは思うのだけど、
とりあえずこんなところでいかがでしょう。

ちなみに、ふぃっしゅ数は>>161のような形では
「書き下し不可能」です。なにしろ、書き下せない
ほど大きな数をつくってしまったわけですから。

直前のレスに1足せば絶対負けないのになんか意味あるのか

ログ読まないでレスするアホって、どこにでもいるんだね。

じゃあ16はどこかで否定されてるのか。

されてたな

361が優勝？

「ふいっしゅ数」への質問
>>308の厨房です、毎度スミマセン

「あっか−まんカンス−」の増大率が半端じゃない事や、Ｓ変換の回数をＳＳ変換
で急激に増大させるような点はわかりましたが、
いかんせんその他の記号がさっぱりわかりません。

B(0,n)=f(n)
B(m+1,0)=B(m, 1)
B(m+1,n+1)=B(m, B(m+1, n))g(x)=B(x,x)

としたときに、
S:[m,f(x)]→[g(m),g(x)]
とする。少なくとも、これ以上に大きいＳ変換はこれまでに
あらわれていない。したがって、たとえば[3,f(x)=x+1]に
このS変換を10回ほど繰り返せば、ゆうに>>161を越える。

だそうですが、この辺から手ほどきおねがいできませんでしょうか
たとえば[3,f(x)=x+1]にＳ変換を１回やった数というのはどのくらいなんでしょう？
何回も話題に成ってるグラハム数と上記の【[3,f(x)=x+1]に１回Ｓ変換】あたりを
比べていただけると、少しはピンとくるかもしれません。
お願いします

>>328
[3,f(x)=x+1]にＳ変換を1回すると、

　B(0,n)=n+1
　B(m+1,0)=B(m, 1)
　B(m+1,n+1)=B(m, B(m+1, n))
　g(x)=B(x,x)
となるので、B(m,n)はあｋｋ−あまん関数と一致し、
g(x)=A(x,x)となるため、
　S:[3,x+1]→[A(3,3),A(x,x)]
となる。
　http://tuk.t.u-tokyo.ac.jp/~hosoyama/softkiso/soft55.html
より、A(3,3)=61なので、Ｓ変換1回ではまだたいした
大きさにはならない。Ｓ変換2回目から、すごいことに
なっていく。

┌─┐
　　　　　　　　　　　　　　　　　｜も.｜
　　　　　　　　　　　　　　　　　｜う　|
　　　　　　　　　　　　　　　　　│来│
　　　　　　　　　　　　　　　　　│ね│
　　　　　　　　　　　　　　　　　│え .|
　　　　　　　　　　　　　　　　　│よ .|
　　　　　　ﾊﾞｶ　　　　ｺﾞﾙｧ　　│ !!.│
　　　　　　　　　　　　　　　　　└─┤　　　　ﾌﾟﾝﾌﾟﾝ
　　　　ヽ(´Д｀)ﾉ　ヽ(`Д´)ﾉ　　(`Д´)ﾉ　　　 （　`Д）
　　　　|￣￣￣|─|￣￣￣|─|￣￣￣|─□（ ヽ┐U
〜 〜　￣◎￣　　.￣◎￣　　￣◎￣　　 ◎−>┘◎
ば〜かっ！！もう来ねーよチンカス野郎っ！！死ねっ！！

Ｓ変換の2回目。今度は、

　B(0,n)=A(n,n)
　B(m+1,0)=B(m, 1)
　B(m+1,n+1)=B(m, B(m+1, n))
　g(x)=B(x,x)
となるが、このg(x)関数はとてつもない関数になる。

　g(1)=B(1,1)=B(0,B(1,0))=B(0,B(0,1))=B(0,A(1,1))
　　　=B(0,3)=A(3,3)=61

　g(2)=B(2,2)=B(1,B(2,1))=B(1,B(1,B(2,0)))
　　　=B(1,B(1,B(1,1)))=B(1,B(1,61))
　　　=B(1,B(0,B(1,60)))

このあたりで、すでに書き下すことが困難になってくる。
　B(1,1)=61
　B(1,2)=A(61,61)
　B(1,3)=A(A(61,61),A(61,61))
という調子で関数が増えていくので、B(1,61)はとんでも
ない数。g(2)=B(1,B(1,61))なので、g(2)ですでに
グラハム数を超えているように思う。

g(2)ですでグラハム数を超えてしまい、さらにg(x)は
xが増えるにつれてものすごい勢いで増えるので、
g(61)の大きさは想像を絶する。
Ｓ変換2回目にして、g(61)というとんでもない数が
得られることになる。

あと、細かいことだが>>320で

　SS:[m,f(x),S]→[n,g(x),S2]
　ただし S2=S^f(m), g(x)=S2[m,f(x)], n=g(m)

と書いたが、g(x)=S2[m,f(x)]という書き方は良くない。

　SS:[m,f(x),S]→[n,g(x),S2]
　ただし S2=S^f(m), S2:[m,f(x)]→[n,g(x)]

という書き方の方が正確だ。

具体的な数字つかったらどうせ[9]しか使わないんだから
いっそある数[a]しか使わないようにして
aを使った一番大きい関係を考えた方が純粋じゃない？

グラハム数はＡckermann函数表記だと、どのくらいの値になるんだろうか
「数の事典」によると（3.4）←（4.3の間違いか？）
で、2の65536乗（１９７２９桁）だそうだが。

もうひとつ疑問Ａckermann関数の（61.61）はどれくらいになるのかな？
これがおよそわかれば、ふぃっしゅ数の巨大さが掴めそう

ｱｯｶ-ﾏﾝ関数の驚異的増大率は知ってるけど、なんとなくグラハム数のほうが
乗法のタワ−を使ってる部分に関しては、効率が良さそうに見えてしまう
3↑3＝27だが　3↑↑↑↑3で宇宙をＡ（10.10）桁重ねても書けない数が出現
するわけで、↑が３個増えた増大率はすごいものがある
低い段階の数字（グラハム数の場合の3↑↑↑↑3のように）でｱｯｶ-ﾏﾝ関数の
増大率を示す適当な例があれば、誰か示して欲しい。
上記のＡ（61.61）やのような‥‥。

∞
やったー
どんな数よりも大きいや
俺が優勝！

【ルール】
・お前は　真の意味での人間ではないものとする。
・「理論上では」というのは禁止。
・基本的にはどのような式などを使っても良い。
・どれが一番でかいかという審査もこのスレ内で行う

ありりー
∞いけないのねん？
じゃあ素数思いつくだけ足し合わせた数でいいよ
矢ター
俺が優勝だー

素数思いつくだけ足しても、グラハム数や上記ふぃっしゅ数の足元にも
およばん。

じゃあぼくたんは何をすればいいの？
勉強してもっとハイレベルな数学を学べっちゅうことなのに？

>>341　とりあえずこれでも読め、このスレの入門編

非負整数 x, y, z (但し z ≧ 2) に対し
ak(x, y, 0) = x + y,
ak(x, y, 1) = xy,
ak(x, y, 2) = x^y,
ak(x, 0, c + 1) = x,
ak(x, y + 1, z + 1) = ak(x, ak(x, y, z+1), z)
とする。これを Ackermann 函数と呼ぶ。同様のことを tower というものを用いて次のように表現する。
x↑y = x^y,
x↑↑1 = x↑x, x↑↑y = x↑(x↑↑(y - 1)),
x↑↑↑1 = x↑↑x, x↑↑↑y = x↑↑(x↑↑↑(y - 1)),
x↑↑↑↑1 = x↑↑↑x, x↑↑↑↑y = x↑↑↑(x↑↑↑↑(y - 1))
と決める。上述の Ackermann 函数との関連を述べるために,
簡単にx↑^2 y = x↑↑y, x↑^3 y = x↑↑↑y等と書くことにすれば, 上記の定義は
x↑^m 1 = x↑^(m−1) x, x↑^m y = x↑^(m−1) (x↑^m (y−1)) と比較的簡単に書け,
x↑^m y = ak(x, y, m+1) であることが確かめられる。
グラハム数とは３↑^4 ３という数だけ、３の間に↑が挟まった数をａ1として
ａ1の数だけ３の間に↑が挟まった数をａ2
ａ2の数だけ３の間に↑が挟まった数をａ3‥‥‥というように繰り返していき
ａ63がグラハム数に成る　

グラハム数↑(Xグラハム数)グラハム数

1番でかい数出して何になるの？

よく天文学的数字という言葉を聞くが、どのような分野の単位や量を表す巨大数字も
数学の世界に出現する数に比べれば、全くなんてことのないショボ数字
この有限の世界をすべて数値化できるとしたら、唯一、数学という学問自身だけが
無限空間に広がっている。
　まあ、その実空間よりはるかに広大な空間でどこまで数を伸ばしていけるかという
遊びなんだろうな。

それは・・・なぜかオナニーにも似て、僕は・・・・・・

A(1,n)=A(0,A(1,n-1))=A(1,n-1)+1=A(1,0)+n=A(0,1)+n=n+2

A(2,n)=2n+3

A(3,n)=2n+3-3

A(4,n)=EXP(n+4)-3

……
函数EXP2(n)

EXP(1)=2

EXP(2)=2EXP(1)=22

EXP(3)=2EXP(2)=24

EXP(4)=2EXP(3)=216

EXP(5)=2EXP(4)=265536

訂正

A(1,n)=A(0,A(1,n-1))=A(1,n-1)+1=A(1,0)+n=A(0,1)+n=n+2

A(2,n)=2n+3

A(3,n)=2^(n+3）-3

A(4,n)=EXP^(n+4)-3

……
函数EXP2(n)

EXP(1)=2

EXP(2)=2EXP^(1)=2^2

EXP(3)=2EXP^(2)=2^4

EXP(4)=2EXP^(3)=2^16

EXP(5)=2EXP^(4)=2^65536

再訂正

A(1,n)=A(0,A(1,n-1))=A(1,n-1)+1=A(1,0)+n=A(0,1)+n=n+2

A(2,n)=2n+3

A(3,n)=2^(n+3）-3

A(4,n)=EXP(n+4)-3

……
函数EXP2(n)

EXP(1)=2

EXP(2)=2EXP^(1)=2^2

EXP(3)=2EXP^(2)=2^4

EXP(4)=2EXP^(3)=2^16

EXP(5)=2EXP^(4)=2^65536

349は
ＥＸＰ（6）だと＝２ＥＸＰ＾（5）＝〈２＾65536）＾（２＾65536）‥‥19729桁＾19729桁

ってこと？

ちなみに
Ａ（5.ｎ）だと　どんな感じですか？

左の方のＥＸＰの（　）の数字はどの数に対応してんの？

ふぃっしゅ数は、グラハム数超えたのか？
俺は、ずっとグラハム数スレ見てきたんだが、ふぃっしゅ数の下敷きになってる
アッカ−マン関数より増大率がはるかに高い気がしてしまうのは同感
指数を重ねて後ろから計算した時の増加はともかく
その3の3乗の指数の重なりを示す↑の圧倒的な量が、グラハム数の巨大イメ−ジを掻きたてる
たぶん、グラハム数の方は、いろんな人が苦労して指数の塔の量を他のものに置き換えたり
してるんで、その驚異的増大のすさまじさがわかりやすいんだろうけど。
349でアッカ−マン関数の増大の凄さの入り口程度は見えたが、もう少し上の方まで
見てみたい。ふぃっしゅ数の方がデカイという事は説明読んでわかってるつもりだが、
なんせ、世界最大の数を初めて超えたと思われる数なので、覇者交代の大切な部分なんで
わたしらのような数学オンチにもなんとか納得できるような結果で示して欲しい。
もし、支持者が増えたら、名実ともに今のところの従来の巨大数を使用しないで作った「世界最大の数」
に認定されるんじゃあないかな。ま制作者はそんな大げさな事を考えてないだろうが

とりあえず、>>331のg(2)がどの程度の大きさになるか、
そしてg(3)がどの程度の大きさになるか、あたりから
誰か説明できないかな？

俺も考えてみたが、たしかにg(2)ですでにグラハム数を
超えそうな気がしている。うまく表現できないが。

ふぃっしゅ数にはどんな意味があるんですか？

それから、どうもアッカーマン関数に2種類あるようだけど、
アッカーマン関数どうしの比較はどうなるんでしょう？

3↑↑↑↑3とak（61.61）はどっちが大きいの？
ついでに
3〜（3↑↑↑↑3個の↑が挟まる）〜3　と　ak（61.61）はどっちが大きいの？

>>356
記号↑を使うと、ak(x,y)=2↑…↑(y+3)-3　ここで↑の数は(x-2)個。
グラハム数の勝ちでしょう。

>>352
グラハム数も、アッカーマン関数を下敷きにしている。
ひとたびアッカーマン関数を定義してしまうと、
>>317に書いたように

たとえば３↑↑↑↑３は、自然数
４と、f(x)=３（↑がx個）３からf(4)とあらわされる。
３↑↑↑↑３個だけ↑がはさまった数、はf(f(4))である。
したがって、これを64回繰り返した数はf^64(4)となり、

すなわち、a_0=4, a_n+1=f(a(n))と原始帰納的に
あらわされてしまう。アッカーマン関数を下敷きに、
さらにアッカーマン関数的に２項漸化式で関数を
増やす方が、ずっと大きくなることは明白。

>>354
意味もなく大きい

>>357
どうして、>>331でg(2)はグラハム数よりも大きい、
と書いているのに、誰も比較しようとしないんだろう。

>>355
とてもいい質問だ。２変数のAckermann関数をA(m,n),
３変数のAckermann関数をac(m,n,x)と表記すると、
>>349よりA(m,n)はおよそac(2,n,m-1)のオーダーになる。
したがって、
ac(3,3,n)<A(n+2,n+2)
ということになると思う。
つまり、３（↑がn個）３よりも、A(n+2,n+2)がずっと大きい。

あとは、>>331の漸化式より、
B(1,2)>3↑↑↑↑3
B(1,3)>a1 (>>342の定義）
B(1,4)>a2
B(1,65)>a63

すなわち、B(1,65)はグラハム数よりも大きい
g(2)=B(1,B(1,61))は、グラハム数よりもずっと大きい

というか、>>357で
A(x,y)=ac(2,y+3,x-2)-3
と正確に比較されているのでこれを元にすると
ac(3,3,n)<ac(2,3,n+1)<A(n+3,n+3)
といった感じか。それでもやはりB(1,65)はグラハム数よりも
大きくなるけど。

このスレ内の最大数＋１

361の馬鹿具合を数値化したもの

>>362の数値＋１

>>1000ｹﾞﾄした奴が勝者。

>>357　でＡ（61.61）をグラハム数的に表すと

Ａ（61.61）＝2↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
　　　　　　　　↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑64　-3

つうことかな？　――んでもって
Ｂ（1.2）であるＡ〔（61.61）.（61.61）〕は

Ａ（（61.61）.（61.61））＝２↑〜【2〜（59個の↑）〜61−３個の↑】〜↑（2〜（59個の↑）〜61−３）−３
つうことかな？

Ｂ（1.2）でグラハム数のａ1を超えたわけね
やっぱり、似た形で表すとわかりやすい
でも365はあってるのか？

いや、a1を超えるのはB(1,3)だろう
>>331 >>359 参照

9999の9999999999999999999999999999999999999999999999乗

任意の数Mに対してM<NなるN。これ最強！！

ざっとこのスレを読んでみましたが, >>114ルールの元で

【10文字部門】
9を99!回階乗する 　　(>>151)

【20文字部門】
f(n):=nに階乗をn回
f^9!(9)　　　　　　　(>>297)

【30文字部門】
f(n):=nに階乗をn回
f^(f^(99!)(9))(9)　　(>>297)

【文字数無制限部門】
ふぃっしゅ数（>>320、長いので略)

といったところが一番大きそうです。
ただ, ふぃっしゅ数についてはなんだかよく分からず。

それで、Ｂ（1.2）からＢ（1.65）でグラハム数本体を抜いて
ｇ（2）は、Ｂ（1.そのばかでかい数）ってことか
ｇ（61）は、　う〜ん確かにでかい！

で？　Ｓ変換の３回目ってのはどうなるの？　（ごめんアホなもんで）

B(0,n)=（ここには何が入るの？）
　B(m+1,0)=B(m, 1)
　B(m+1,n+1)=B(m, B(m+1, n))
　g(x)=B(x,x)

ついでにＳＳ変換もイマイチわからん
Ｓ^ｆ(m)ということで１回目が４回変換ということだが、3＋1＝4ということか？
２回目は、どこの数字をもとに計算すんですか？　（ホントにアホでごめんね）

>>368
いきなり何て小さい数字を出すんだ！　びっくりしたじゃないか！

>>76
高校生です。グラハム数ってなんですか？
最初に出す人は定義するのではないですか？

>>374
寝ろ

ここで定義された数の和。
これ最強。

Ｓ変換の３回目ってのはどうなるの？　（ごめんアホなもんで）

B(0,n)=（g61の数　．g61の数）
　B(m+1,0)=B(m, 1)
　B(m+1,n+1)=B(m, B(m+1, n))
　g(x)=B(x,x)

それとも

B(0,n)=（g61の数をak表記したもの）
　B(m+1,0)=B(m, 1)
　B(m+1,n+1)=B(m, B(m+1, n))
　g(x)=B(x,x)

あとＳＳ変換２回目って

Ｓ変換４回ぶんでもとめられた数の回数だけ変換するってこと？

>>377
とりあえずS変換の３回めについては
　B(0,n)=g(n)
　B(m+1,0)=B(m, 1)
　B(m+1,n+1)=B(m, B(m+1, n))
　gg(x)=B(x,x)
としたときのgg(x)かな。

>>378
その通り。答えてくれてありがとう。
これを>>331に習って計算すると

　gg(1)=B(1,1)=B(0,B(1,0))=B(0,B(0,1))=B(0,g(1))
　　　=B(0,61)=g(61)

　gg(2)=B(2,2)=B(1,B(2,1))=B(1,B(1,B(2,0)))
　　　=B(1,B(1,B(1,1)))=B(1,g(61))

　B(1,1)=g(61)
　B(1,2)=g(g(61))
　B(1,3)=g(g(g(61)))

つまり、gg(2)は61をg(x)に代入して…とg(61)回繰り返した数。
この調子でgg(3),gg(4)...と増えていき、gg(g(61))がS変換を
３回繰り返した数。

>>377
SS変換２回目は、>>332の

　SS:[m,f(x),S]→[n,g(x),S2]
　ただし S2=S^f(m), S2:[m,f(x)]→[n,g(x)]

を読み下すと、SS変換１回によって得られたm,f(x),S
に対してS^f(m)とする、すなわちS変換（つまり最初の
S変換を４回繰り返す変換）をf(m)回繰り返す。ここで、
f(m)回とはSS変換１回、つまりS変換４回によって得られる
大きな数mを、これまたS変換４回によって得られる増加率の
大きな関数f(x)に代入した数なので、とてつもなく大きな数。
その数だけ、新S変換を繰り返す、ということ。

つまり、大きな数と関数から大きな数と関数を生み出し、
その生み出された大きな数と関数から大きなS変換を
生み出し、大きなS変換がさらにとてつもなく大きな数と
関数を生み出す、とお互いがお互いを増幅させていく。

ということで、>>371-372にも答えたことになるかな。
S変換１回めは、最初の数が３、f(x)=x+1なので、
代入してf(3)=3+1=4と計算されるということ。