松坂和夫の「解析入門第1〜6巻」って・・・

なんか読みにくいよね。

うん。

杉浦の「解析入門」の方が証明が簡潔な場合がある。

松坂の「解析入門」は本当に初学者向けの本なんだろうか？証明がわかりにくいところが多い。

誰かよんでいる人いる？

読んでいる人がいたら感想求む

第2巻の積分の証明はわかりにくすぎる。三村征雄の微分積分学の方がわかりやすいところがある。

>>7
そうだね

三村カヨ！

あの本はなぁー、初心者向けと思いきや、クソ本だね。

マっちゃんはダメ。

どうダメかというと欧米の人の書いた本を薄めたようなのしか書いてないから。

英語の本も含めてどの本がベストなんでしょうかね

>>13 自分がイイと思った本がベスト。（月並み）

解析学（微分積分）の名著
１．微分積分学�T・�U（三村征雄）
２．解析概論（高木貞二）
３．解析入門�T・�U（杉浦光夫）

名著、定番ばかり揃えて読んでもダメ。
リストにめったにあがらないでいい本というのがたいていある。

もちろん高木貞治のみたいな名著の洗礼を受けるのは重要だけどね。

どうしてダメかというと（笑）ひと通り知識を揃えようという発想が
そもそもヤバイ。

もう一度だけ言っておこう。

　　　　　　　　　　　　数学は自由だ。

「もう一度」？？？？

松阪さんの本はいいよ。解析入門も読んだけどかなりいいと思う。
証明も分かり易くて、気持ちいいくらいだ。

>>19
あ、そなの？　じゃ、ぼくちんも買ってみようかな。（優柔普段）

オイオイ！　＞２０

>>19
俺は解析系だけど、あの本は関数解析とか線型代数の（解析からみて）おいしいとこどり
みたいな要素もあって面白いし、それでいて意外に数学的にもしっかりしていたと思う。
但し、詳しい本ではないから補完の意味を込めて、問題は是非ともやっておいた方がいい。
問題自体も難易度のバランスがいいと思う。って誉めすぎかも。

松坂はＤＱＮ学生や数学科以外の人にはお薦めです。

悪い本じゃないんじゃないかな。

ただ6巻を全部読むのはきつすぎるかもな

>>25
確かにそうだね！

あの本は確かにクソ、うんこ

解析入門は良いと思うよ．
６巻の「ルベーグ積分」のところは平凡だけど，位相のところなどは分かりやすいし．
短い記述で難解に書かれているよりも，長めでもいいから丁寧に書かれてあるほうが
分かり易いでしょう．ただ６巻も買うのは金銭的にきついけど・・・．

>>28
位相のところなら、それこそ松坂和夫の「集合・位相入門」をびっしり読んだ方がいいだろうよ！

>>29
そうそう

松坂さんのご専門は？

自分も知りたい。
論理学の本も見たことがある。
専門は何だったんだろう。

>>32
それ松本和夫じゃねーの？

>>31
代数系統

松坂シリーズは解析入門以外はキボンヌ

そうだったの?
失礼。（ていうか、名前が似すぎ。）
数学とは少しずれているからしっかり見ていなかった。

解析入門の第２巻までは読めたが、第３巻の位相は簡潔にまとまりすぎてかえって
よみにくい。氏の「集合・位相入門」の方がわかりやすいところがある。

俺は物理学科の4年生。でも留年してるから今3年。数学を厳密に勉強したい
と思って、この本を6冊揃えてるんだけど、案外評価は良くないのかな。
物理学者になるには、そんなに厳密性に富んだ勉強をしなくていいのかな。
この本の第1巻の最初の部分の「実数の連続性」の部分、解析学の基礎の
基礎にあたる部分なんだけど、読んでいて本当に嫌になる。嫌になるのは
俺が単に度窮鼠だからなのか、それともどんな奴でもそうなのか、数学板の
皆様にお聞きしたい。有理数の切断を用いて、極めて厳密に実数の完備性を
定義している。この証明がなんとも砂を噛むように味気なく、面白くない。
ここをもっとちゃんと理解できれば、後はかなりスイスイ読めそうな気がする
のだが、ここで必ず挫折してしまう。ぶっちゃけ、あの本て、あんまし良くないの？

>>38
この本は読んだことがないのだが、一般的に言って、
有理数を実数に拡張する部分は、初等解析学の中でも
かなりエキサイチングな話題だと思うぞ。

細かい証明の内容を追うのはとりあえず置いといて、
まずは全体的なお話の流れを掴むのがいいと思う。
もちろん*その部分は*ね。

>そんなに厳密性に富んだ勉強をしなくていいのかな

うん

>>40
実際それは、周りの教官なんか見ていてもどうもそうみたいなんだけど
(物理では数学は必要なときに必要なことを勉強すればどうにかなるみたい)
なんか罪悪感があるんだよなあ。すっ飛ばして、ごまかしてやるというのが。
これも俺がおかしいんだろうけど、変に潔癖症みたいなところがあるね。
最初の部分にだけ拘泥して、結局物理をやるにはほんとに必要な数学の
勉強がお座なりになってしまうという、極めて良くない悪循環。駄目だねえ。

物理の世界にいると、数学のいる完全な抽象性がとてもスマートで美しく
見え、憧れを抱いたりするんだけど、いざこういった本格的な数学書に取り組むと、
とたんにその数式の羅列に味気ないものを感じて嫌になってしまう。数式の山に
埋没することなく、数学の世界に新鮮な感受性を維持しつつ、感動しながら難しい
勉強をすることは可能なんだろうか。数学者でさえ、自分の専門外の数学の本は
実に読みにくく、読むのに忍耐を要すると聞いたことがあるが、こういう人は
一体何に喜びを感じてその本を読むんだろうか。くだらない質問かも知れないけど、
数学や物理ってのは、定義や定理からの完全に筋道だった厳密な演繹、
取り組んでると疲れるし、やっぱり嫌になるよねえ。ご意見キボンヌ。

>>42
人には好き嫌いって言うモンがあって
君は数学が嫌いなんだよ

物理やってた方がいいよ
能力的適正の問題を言っているのではないよ

>>43
俺、物理学科の友達何人か（優秀な奴ら）に聞いてみたけど、みんな大なり
小なり、専門書はやっぱり読んでると嫌になると言ってました。誰でもある程度は
そうなんじゃないですか。

>>44
教育の問題もあるかもしれないな

教育ってのはカリキュラムを機械的にインプットさせるシステムな
わけで、学生の興味とは無関係

これを逆に考えれば、学校用とは別に時間を取って
自分の興味のある分野を自分でどんどん進めていけば
いいんじゃないかな

「嫌」の意味が人によって違うんじゃないのかなぁ〜

>>38
おれは物理じゃない (情報) けど、数学に対する感情はきみに近いかも。

昔は、一念発起して数学書を読もうとしては
初めの 10 ページほどで挫折する、の繰り返しだったけど、
去年の秋頃から杉浦をちょっとずつ読み進めていく内に、
今はわりと楽しく数学書を読むことができるようになった。

本格的な本を読む場合、1日に5ページも10ページも進むのは
ありえないという話があるけど、おれもその考えに基づき
はやる気持ちを押さえて、第1章をかなりゆっくり読んだ。

(まぁ、微積の教科書は「本格的な本」とは言えないと思うけど)

>>47
要するに、焦らずやれってことですかねえ…。でも、さまざまな事情から、
なかなかそうはいかないのが辛いところ。どうしても手っ取り早くやる方法は
ないものかと考えてしまう。そして結局どっちつかずになってしまう。

高木、小平、杉浦、松坂、それぞれ実数の導入の仕方が違っていて面白いＹＯ！

ファインマン並の天才的直観、物理的センス、のようなものを
持っているのでもない限り、数学はちゃんとやった方がいいと思う。

ファイマンはよく知らんが、『ファイマン計算機科学』はいただけない。

ところで、リブッチーがいい感じですね。
良スレage

話がずれてきてるぞ。松坂の本はいいのかどうかって話なんじゃないのか？

松屋は安くていいですね。
よーし、パパつゆだく頼んじゃうぞー

松坂の解析入門は良く網羅してあると思うけど工夫が無いと思う。
と言っても悪い本ではないけどね。
短時間で済ませたいなら
これをピックアップしろとか、アドバイスすると
６分冊でもいろいろな使い方ができるから読者層も限定されないで済む。
ほかにもいろいろ工夫すべきだとは思う。

この本は網羅性は高い。しかし、6冊分の内容的に難しいものを完読するのは
難しいかな。さすがに。

数学科以外の人が解析の基礎を一通り概観するにはとっても良い本だと思う。

>>56
概観するの難しいよ。
手短に概観するための手引きが書いてあったりすると
もっと便利になると思うな。
どんな感じで読むと良いショート・コースが出来るだろう？
目的別に色々と作れるな。面白そう。

多分、証明付きの本では最も易しい本。

位相やルベーグ積分のところは，概念をつかみたい時や
全体をサッと見渡したいときに使えばいいんじゃない？
数学科の人はこの本以外に杉浦光夫の「解析入門」
（東京大学出版会）や前述の「集合・位相入門」等で
厳密な理論を培えばいいだろうし，数学科以外の人は，
１・２巻で云えば岩波の数学入門コース「微分・積分」
や，５巻では石村女史の「線形代数」等で計算技術を
学んで，解析入門を理論背景にすれば良いと思うのですが．
いかかでしょう？

>>59
実数の導入の仕方や関数の連続の定義とか互いに補い合ってるから
杉浦との組み合わせはいいカモメ。

数学科から見てもいい本だよ。
箇所によってはそこら辺のお堅い本よりも内容がしっかりしてたと思うし
（確か、弧上連結性あたりの扱いが結構丁寧だった記憶がある。）、
詳細にこだわらないところも実戦的だと思う。独学向き。
だからと言って、必ずしも1〜6巻を全て読む必要はない。

あと章末問題も結構充実していたように思ふ

>>62
そうか？章末問題にはかなりマニアックな問題とかもあるぞ。例えば第3巻のガロア閉包って
なんだYo！

>>63
そういう問題まで扱っているからこそ充実してると>>62は言っているんだろ。
＞そうか？章末問題にはかなりマニアックな問題とかもあるぞ。
なんか日本語おかしくないか？

>>64
最後の2行は余分だってば。。

>>65
気になったのでつい。
>>63
ガロア閉包をここに持ち出した君のことを偉いとも思っている。
日本語については、漏れも人のことは言えんし（藁

ガロア閉包ってナンデスカ？

リーマン積分の証明のところがウザい

67=68か？

たとえばどのへん？＞６８

>>70
全部。三村征雄の微分積分学の方がわかりやすい。

この本は基本的には読み薦める際引っかかるようなことはない様にできてると思う。
だから、初学者向きだな。六巻とか分厚い割にはルベーグ積分についてあまり詳しくないよなあ。

>>71
３巻以降はやや駆け足の感もあるが、２巻まで（一変数の微分積分）の説明は
かなり詳しくて丁寧だと思うのだが、その丁寧さがウザいってこと？

>>67
漏れも良くわからないけど、敢えて想像しながら説明してみよう。
ガロア理論は知ってると前提するけど、
有理型関数の内、ガロア的な有理型関数が５種類あるという、
幾何学的なガロア理論があるんだけど、これと似た考え方を使うんだと思う。
他にも普遍被覆の内、ガロア的な被覆写像を考えたガロア被覆というのがある。

それから類推すると、たぶん普遍閉包とかいうのがあって、
その内で特にガロア的な閉包のことをガロア閉包と呼ぶんじゃないのかな？

違ってたらスンマソ。

図で示すと『以下のような包含関係を逆にする対応がある』
というのがガロア理論。

普遍閉包……普遍体……Gal()
　　　　　　　∪　　　　∩
ガロア閉包…ガロア体…Gal()
　　　　　　　∪　　　　∩
基礎閉包……基礎体……Gal()

ガロア閉包の話題はかなり高度。
解析入門の段階で、代数や幾何の知識を動員する話題にはついて行けない。

でも、良い問題だと思うけど。
理解できたら他の分野との繋がりも理解できるわけだしね。

ひとつのトピとしてとり上げるほどの本ではない。（￣＾￣）

>>77 じゃあとりあげるべき本を教えろよ。

松坂さんの本は初学者にとってはどれもいい本なのだ。（￣＾￣）
そんなこともワカランやつらの相手はしたくないなあ。（￣＾￣）

>>78
こいつは最近よく書きこんでる○ァカだから相手をしないようにお願いします。

>>80
おまえに頼まれたくないなぁ

○ァカ=ﾑﾙｱｶ？

ガロア対応になると綺麗な性質があると思うんだけど、
ガロア閉包の場合はどうなんでしょう？

ガロアコホモロジーの場合はどうなんでしょう？

>>79,>>81
ちょっと難しい質問するとダンマリかＹＯ！(藁

>>79
＞松坂さんの本は初学者にとってはどれもいい本なのだ。（￣＾￣）

>>77
＞ひとつのトピとしてとり上げるほどの本ではない。（￣＾￣）

こいつはかなり頭が悪いな（藁

86 はセイカクもアタマもわるそ。（￣藁￣）

>>87
不覚にもﾜﾛﾀ

>>87,88
出来そこないなりに頑張って>>83>>84ヲトイテネ
頭悪いと言えるかどうかはそれからだね

>>89
なぜ俺まで？しかもそんなに偉そうに。

つーか、何を解けばいいのかよく分からんが、まず>>86が解くべきなんじゃないか？
それとも>>89=「よっぽど悔しかった>>86」か？（ｗ

このスレで何でガロア理論の話が出てくるの？

>>92
少なくとも>>84は確信犯だと思われ。

age

数学の基本的なこと（線形代数、集合位相、代数）はみんな松坂の本で学んだ。
解析もあと5,6年早く出版してほしかったなぁ。

松坂株急上昇？

たしかにムラのない記述は見事だにゃ。

>>95
今おいくつなのですか？

>>92
松坂の解析入門３巻にガロア対応の節があるからだＹＯ！

http://web.agi.to/gousuto19/ PC

http://pucchi.net/7/palu22/ iモ−ド　

　　わりきり出会い
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2ちゃんねるで超有名サイトだよ

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100

>>91
結局出来んわけね（ｗ

このスレはクズしかいない様だから、
他のスレであそぼーっと。

単純な話だけど、諸末問題には詳細な解答をつけてほしい。松坂の本は結構省略が多い。
だけど、省略している問題は、解答なんかなくてもできるだろう、という前提なんだろう
か。

集合位相なんかはともかく、解析入門は他書（高木・杉浦等）と比較しても
解答は詳しいほうだったと思うのだが？

>>103
確かに。三村逝雄の微分積分学は解答ないもんね。

age

じゃあ章末問題解答集スレを立ててみようか
、、、、と思ったけど煽られそうなんでやめる。

やったら良いじゃないか
そこいらのクソスレより全然マシ

>>106
やってみてください。応援しますよ。

応援って・・・

そして最終的には有志が TeX で書く

>>109
何か文句あんのかよ！

そんじゃあ取り敢えずこのスレでsageながらやってみます。

第１巻 P9 問題1.1

１　y = (x-x)+y = (x+y)-x
ゆえにx+yを有理数とすると「有理数の全体は加減乗除の四則演算について閉じている」（P4）
によりyは有理数となり問題の仮定に反する。

２　y = (x/x)y = (xy)/x
ゆえにxyを有理数とすると「有理数の全体は加減乗除の四則演算について閉じている」（P4）
によりyは有理数となり問題の仮定に反する。

３　aが3の倍数でないとすると「a = 3k+n , n =1または2」と書くことができる。
n = 1ならn^2 = 1、n = 2なら n^2 = 4 = 3+1だから
a^2 = 9k+6kn+n^2 = 3(3k+2kn+m)+1, m = 0または1
と書くことができる。これはa^2が3の倍数であるという仮定に反する。
ゆえにaは3の倍数。

√3が有理数なら「√3 = m/n m,nは整数」と書くことができる。m,nがともに3の倍数なら
分母、分子を3で約してもっと簡約した形に表すことができるからm,nのうち少なくとも
一方は3の倍数でないとしてよい。上の式の分母をはらって２乗すれば m^2 = 3n^2
よってmは3の倍数。ゆえにm = 3k と書くことができて (3k)^2 = 3n^2　ゆえに
3k^2 = n^2を得る。ゆえにnが3の倍数となり仮定に矛盾。よって√3は無理数。
　

>>112
いいじゃん。その調子でやってくれ。

今度、松坂和夫総合スレでも立てようかな

>>114
このスレを有効利用してください。

>>115
そうします。

良スレだな。ageとくか。

第１巻 P25 問題1.2
１　帰納法（第１形式）の証明の最初「Ｓに含まれない自然数全体の・・・」から
「・・・n_0 > 0,n_0 - 1 >= 0であるが、」までは同じで、以下を次のように変える

n_0はＴの最少元であったから、n_0 より小さい自然数は全てＴの元でない、つまり
Ｓの元である。ゆえに(2)によりn_0はＳの元となる。これは矛盾である。

４　μ_i、mの定義からm/a,m/b,･･･,m/lが正整数なのはあきらか。
ゆえにmはa,b,･･･,lの公倍数。
ｎがa,b,･･･,lの公倍数ならば、つまりa,b,･･･,lがｎの約数ならばP22 I)(2)により
n={(p_1)^δ_1}{(p_2)^δ_2}･･･{(p_s)^δ_s}・ｑ　（ q >= 1）
と書くことができる。（ただしｑの素因数分解はp_i(i=1,2,･･･,s)を含まない）
このときあるkでδ_k<μ_kならばα_k,β_k,･･･,λ_kの中にδ_k<γ_kとなるγ_kが
存在することになる。γ_i(i=1,2,･･･,s)に対応するa,b,･･･,lの中の整数をｃとすると
ｃはP22 I)(2)によりｎの約数でない。これは仮定に反する。
よって任意のkに対して　δ_k>=μ_k　となる。
ゆえにq >= 1でp_i>1(i=1,2,･･･,s)だからn>=mとなりmは最少の公倍数となる。

最大公約数の場合も同様の考察によって示される。

眠いので今夜はここまでにしときます。明日も仕事なので６と７は日曜日になるかと思います。
もちろんお手伝いして頂ける方がいらっしゃったら是非お願いします。

つーことでおやすみなさい。

118の「最少」は全部「最小」でした。失礼しました。

>>DQN大使さん
HTMLにしてまとめてうpしてください．

第１巻 P25 問題1.2
６　p_1^α_1,p_2^α_2,･･･,p_s^α_s　はどの二つも互いに素だからP24例３により
1/{(p_1^α_1)(p_2^α_2)･･･(p_s^α_s)} = i_1/p_1^α_1 + i_2/p_2^α_2･･･i_s/p_s^α_s
を成り立たせるi_1,i_2,･･･,i_sが存在する。
この両辺にaをかければ与式が得られる。

７　aの素因数q(>1)がq<pだとするとqは2,3,5,･･･,pのうちの一つということになる。
つまり2*3*5*･･･*p/qは整数となる。
ゆえにa=2*3*5*･･･*p + 1 だからaをqで割った時の余りは1となりqがaの素因数であるという
仮定に反する。よってq>=pとなる。

素数が有限個だったとして、それらをp_1,p_2,･･･,p_sとすると
p_1*p_2*･･･*p_s+1もp_1,p_2,･･･,p_sのどれかで割り切れることになるが
それは上記の結果に反する。

数式書くのって思ったより面倒っすね。
取り敢えずの目標として第１巻を終わらせるということで
頑張っていきたいと思います。

引き続きお手伝いさん募集中！！

>>121
数式処理ソフト持ってないんで御勘弁下さい（^^；

訂正
Ｘ　p_1*p_2*･･･*p_s+1もp_1,p_2,･･･,p_sのどれかで割り切れることになるが
Ｏ　p_1*p_2*･･･*p_s+1の素因数もp_1,p_2,･･･,p_sのうちのどれかということになるが

age

age

第１巻 P35 問題1.3
１　(a)　a*a(-1)=1であるから公理群(M)を用いて
b=b*1=b(a*a^(-1))=(ab)a^(-1)=(ac)a^(-1)=c*1=c

(b)　(a)においてc=1とおけば、
a≠0、ab=aならb=1
これは乗法単位元1がただ一つであることを示している。

(c)　(a)においてc=a^(-1)とおけば、
a≠0、ab=a*a^(-1)=1ならb=a^(-1)
これはaの乗法逆元a^(-1)がただ一つであることを示している。

(d)　a*a^(-1)=1であるからaは1/aの乗法逆元である。
すなわちa=(a^(-1))^(-1)

(e)　x=ab^(-1)とおけば
bx=b(ab^(-1))=(b*b^(-1))a=1*a=a
一意性は
bx=a,by=aならbx=byだから(a)によりx=y

２　定理２により c = inf A が存在する。つまり

(1)任意のAの元aに対して a >= c
(2)rを r > c であるRの元とすれば r > x となるAの元xが存在する

ゆえに b ∈ -A ならば、 -b ∈ A だから -b >= c、つまり b <= -c
また r < -c ならば -r > c ゆえに(2)により-r > x をみたす x ∈ A が存在する
このとき -x ∈ -A で r < -x となる。
以上により -c = sup(-A) よって inf A = -sup(-A)

age

第１巻 P47 問題1.4
１　(1+h)^n ≦ 1+nh ならば nh^2 > 0 だから
(1+h)^(n+1) = (1+h)(1+h)^n ≦ (1+h)(1+nh) < 1+(n+1)h
これを使えば帰納法で示せる。

２　Ｍ１　α > 0*, β < 0* の場合のみ示す。
命題６により -β > 0*
ゆえに命題８M1+により α(-β) ∈ R+ ∴-α(-β) ∈ R
積の定義により -α(-β)=αβ だから　αβ ∈ R

Ｍ２　α > 0*, β < 0* の場合のみ示す。
αβ = -α(-β) = -(α(-β)) = -((-β)α) = -(-β)α = βα

Ｍ３　α > 0*, β > 0*, γ < 0* の場合のみ示す。
βγ = -β(-γ) <0* だから(∵命題８M1によりβ(-γ) ∈ R+)
(αβ)γ = -(αβ)(-γ) = -((αβ)(-γ)) = -(α(β(-γ))) (∵命題８M3)
= -(α(-(-(β(-γ)))) (∵Page42,line16)
= -α(-βγ) = -(-α(-(-βγ))) = -(-α(βγ)) (∵Page42,line16)
= α(βγ) (∵Page42,line16)

Ｍ４　α > 0* のときは命題８M4+による。
α = 0* のときは積の定義による。
α < 0* のときは
α1* = -((-α)1*) = -(-α) (∵命題８M4+)
= α (∵Page42,line16)

Ｍ５　α > 0*　のときは命題８M5+による。
α < 0* のときは -α > 0* ∴命題８M5+により(-α)γ = 1 となるγ>0が存在する。
ここでβ=-γとおくと αβ = α(-γ) = (-α)(-(-γ)) = (-α)γ = 1

３　α > 0*, β < 0*, γ > 0* のときは命題５A2により
α > 0*, β > 0*, γ < 0* のときと同様に証明できる。
α < 0*, β > 0*, γ < 0* のときは
α(β+γ) = -(-α)(β+γ) = -((-α)β+(-α)γ)
= ((-α)β-(-α)β) + ((-α)γ-(-α)γ) - ((-α)β+(-α)γ)
= (-(-α)β-(-α)γ) + (((-α)β+(-α)γ) - ((-α)β+(-α)γ))
= αβ+αγ

他の場合も同様に示せる。

(1.4)の感想

積を切断で定義するのはやっぱ大変だぁ〜なぁ
疲れたＹＯ！

Thanks
>>DQN大使

あげときますか。

x~でxの共役を表すものとする。

２　|1/β|=1/|β|を示せば命題５(c)により与式は得られる。
β = c + di とすると、1/β = (1/|β|^2)(c - di)
∴命題５(c)により|1/β| = (1/|β|^2)|c - di| = (1/|β|^2)|β| = 1/|β|

４　|α - β| = (α - β)(α~ + β~) = |α|^2 - αβ~ - α~β + |β|^2
= |α|^2 - 2Re(αβ~) + |β|^2
|α + β| = |α|^2 + 2Re(αβ~) + |β|^2
∴|α + β| + |α - β| = 2(|α|^2 + |β|^2)

６　命題５(e)により
|α_1 + α_2 +･･･+ α_(n+1)| ≦ |α_1 + α_2 +･･･+ α_n| + |α_(n+1)|
あとは帰納法。

７　|α| = 1 のとき
|1 - α~β| = |(α-αα~β)/α| = |α-β|/|α| = |α-β|
|β| = 1 のとき
|1 - α~β| = |(β~-α~β~β)/β~| = |(α-β)~|/|β~| = |α-β|

あ、すません。また間違えました。
４の|α + β|と|α - β| は|α + β|^2と|α - β|^2でした。

まだ間違ってるＹＯ！
もう一度全部書きます。

４　|α - β|^2 = (α - β)(α~ - β~) = |α|^2 - αβ~ - α~β + |β|^2
= |α|^2 - 2Re(αβ~) + |β|^2
|α + β|^2 = |α|^2 + 2Re(αβ~) + |β|^2
∴|α + β|^2 + |α - β|^2 = 2(|α|^2 + |β|^2)

第１巻 P67 問題2.1
１　仮定により、ある自然数N'が存在して n > N' ならば a_n ≦ b_n
(a) α > β と仮定して矛盾を導く。
α > β ならば (α - β)/2 > 0 となる。
lim a_n = α, lim b_n = β だから、ある２つの自然数Na,Nbが存在して
　n>Na ならば |a_n - α| < (α - β)/2
　n>Nb ならば |b_n - β| < (α - β)/2
∴N = max(N',Na,Nb) とすると、n > N ならば
a_n - b_n = (α - β) + (a_n - α) - (b_n - β)
　　　　　> |a_n - α| + |b_n - β| + (a_n - α) - (b_n - β)
　　　　　≧ 0
∴a_n > b_n
一方、n > N ならば n > N' だから a_n ≦ b_n となるので矛盾。

(b) 任意のMに対してあるNaが存在して
　n > Na ならば a_n > M
∴N = max(N',Na) とすると n > N ならば b_n ≧ a_n > M

(c) 任意の M > 0 に対してあるNbが存在して
　n > Nb ならば b_n < -M
∴N = max(N',Nb) とすると n > N ならば M > b_n ≧ a_n

２　任意のε > 0 に対してあるNが存在して
　n > N ならば |(a_n)^k| < ε^k
∴|a_n| = |(a_n)^k|^(1/k) < (ε^k)^(1/k) = ε

３　n = 2のときはあきらか。あるnでなりたてば
(1 + h)^(n + 1) ≧ (1 + h)(1 + nh + (n(n - 1)/2)h^2)
　　　　　　　　> 1 + (n + 1)h + (n(n - 1)/2 + n)h^2
　　　　　　　　= 1 + (n + 1)h + (n(n + 1)/2)h^2

４　あるN'が存在して
　n > N' ならば a_n ≦ b_n ≦ c_n
また任意のεに対してあるNa、Ncが存在して
　n > Na ならば |a_n - α| < ε ∴α- ε < a_n
　n > Nc ならば |c_n - α| < ε ∴c_n < α + ε
∴N = max(N',Na,Nc)とすると
n > N ならば α- ε < a_n ≦ b_n ≦ c_n < α + ε
∴|b_n - α| < ε

>>133は『第１巻 P54 問題1.5』でした。
書くの忘れてすまぬぅ〜

第１巻 P77 問題2.2
２　a_1 = 1 < 3, あるnに対して a_n < 3 なら a_(n+1) = (6 + a_n)^0.5 < (6 + 3)^0.5 = 3
∴a_n < 3
a_1 = 1 < 7^0.5 = (6 + a_1) = a_2, あるnに対してa_(n-1) < a_n ならば
a_(n+1) - a_n = (6 + a_n) - (6 + a_(n-1)) > 0
∴{a_n}は有界単調増加列となるので収束する。
その収束値をαとするとα = (6 + α)^0.5
∴α^2 - α - 6 = 0 で α > 0 なので α = 3

５　liminf a_n = α とすると
{a_n}のある部分列{a_(n_k)}が存在してlim(k → ∞) a_(n_k) = α
{a_n}の任意の部分列極限 lim(j → ∞) a_(n_j) = β に対して α ≦ β
このとき2.1定理３(b)により
lim(k → ∞)(-a_(n_k)) = -α、 lim(j → ∞)(-a_(n_j)) = -β、 -α ≧ -β
∴limsup(n → ∞)(-a_n) = -α= -liminf(n → ∞)(a_n)

６(a)　limsup(n→∞) a_n ≦ α のとき α + ε ≦ a_n となるnが無限個あるとすると
それらによって{a_n}の部分列{a_(n_k)}をとることができ、その任意の部分列極限βは
α < β となる。{a_(n_k)}の部分列極限は{a_n}の部分列極限でもあるからα < β と
なるのは上極限の定義に矛盾する。
∴ α + ε ≦ a_n となるnは有限個しかない。
任意のε>0に対してほとんどすべてのnについて a_n < α + εならば
a_n ≧ α + ε/2となるｎも有限個しかないことになるので、そうしたnで
部分列極限をとることはできない。
∴αよりも大きな任意の数α + εは部分列極限にはなりえないので
limsup(n→∞) a_n ≦ α

(b)　α ≦ limsup(n→∞) a_n = β とするとβに収束する{a_n}の部分列{a_(n_k)}を
とることができ任意のε>0に対してあるNが存在してn_k > N ならば
　β - ε < a_(n_k) < β + ε
α - ε< β - εなのでα - ε< a_(n_k)
∴α - ε< a_n をみたすnが無限に存在することになる。
α - ε< a_n をみたすnが無限に存在するならば、α - ε< a_(n_k) を満たす
{a_n}の部分列{a_(n_k)}が存在し、その任意の部分列極限γはα - ε< γとなる。
またγ ≦ limsup(n→∞) a_n なので結局α - ε ≦ limsup(n→∞) a_n となる。

８　nが偶数のとき　a_n = 1, b_n = -1 　nが奇数のとき　a_n = -1, b_n = 1
　ならば　limsup(a_n + b_n) = 0 だが　limsup a_n + limsup b_n = 2　となる。
　nが偶数のとき　a_n = -n, b_n = 0 　nが奇数のとき　a_n = 0, b_n = -n
　ならば　limsup(a_n + b_n) = -∞ だが　limsup a_n + limsup b_n = 0　となる。

１０　αが有限の場合のみ示します。
(1) limsup(n→∞) a_n ≦ α であること
α = inf{α_1,α_2,･･･}なので任意のε>0 に対してNが存在して α_N < α + ε となる。
α_N = sup{a_N,a_(N+1),･･･}なので、ほとんど全てのnに対して α_N < α + ε となる。
∴問６(a)によりlimsup(n→∞) a_n ≦ α

(2) limsup(n→∞) a_n ≧ α であること
α = inf{α_1,α_2,･･･}なので
＊１　任意のεに対して全てのnで α - ε < α_n
α_n = sup{a_n,a_(n+1),･･･}なので、α - ε < α_n ならば α - ε < a_N となる
Nが存在する。このとき、もしそうしたNが有限個しかなかったとすると、その中から
最大のものMを選ぶことができて n > M ならば a_n ≦ α - ε となり
α_n = sup{a_n,a_(n+1),･･･} ≦ α - ε となるが、これは＊１に矛盾する。
∴α - ε < a_N となるNは無限個あることになり問６(b)により
　limsup(n→∞) a_n ≧ α

１０は(1)と(2)で limsup(n→∞) a_n = α となるってことです。

良スレだね。ＤＱＮ大使殿、ご苦労様

いいっすねぇ。保存あげ。

ありがと、励みになるっす＞140､141

今日、３．１をやろうと思ってたのにサッカー見てたらできなかったよ。
こんなんで、今月中に１巻を終えられるかなぁ？

あげておこう

第１巻 P106 問題3.1
４　a_0 = a, a_n = a_(n-1) + 1 とおくと　{a_n} は単調増加で
{f(a_n)} は上に有界な単調増加列
∴lim(n→∞)f(a_n) = α となる実数αが存在する。つまり任意のε>0
に対してあるNが存在して　n>N ならば |f(a_n) - α| < ε となる。
このとき a_n < x < a_(n+1)となるxに対してはfは単調増加なので
f(a_n) ≦ f(x) ≦ f(a_(n+1)) ≦ α
∴x > a + N ならば |f(x) - α| < ε となり題意は示される。

５　lim(x→∞)f(x) (= c) が存在するならば、任意のε>0に対して
あるMが存在して x > M ならば |f(x) - c| < ε/2
∴x.x'>Mならば |f(x) - f(x')| ≦ |f(x) - c| + |f(x') - c| < ε

また問題で与えられている条件が成り立つとすると、n→∞のとき∞となる
任意の数列{a_n}に対して数列{f(a_n)}は条件によりコーシー列となり収束するが
その値は定理４注意により一定である。

本当にＤＱＮ大使さんは凄いね。応援するよ！良スレにつきあげ

第１巻 P129 問題4.1
２　f'(x) = (x-α_2)(x-α_3)･･･(x-α_n)+(x-α_1)(x-α_3)･･･(x-α_n)+･･･
･･･+(x-α_1)(x-α_2)･･･(x-α_(n-1))
∴A_k = 1/f'(a_k) = 1/(α_k-α_1)･･･(α_k-α_(k-1))(α_k-α_(k+1))･･･(α_k-α_n)
∴A_1/(x-α_1) + A_2/(x-α_2) +･･･+A_n/(x-α_n)
={(x-α_2)･･･(x-α_n)/(α_1-α_2)･･･(α_1-α_n) + ･･･
+ (x-α_1)･･･(x-α_(n-1))/(α_n-α_2)･･･(α_n-α_(n-1))}/f(x)
括弧｛｝内を
g(x) = p_(n-1) * x^(n-1) + ･･･ + p_2 * x^2 + p_1 * x + p_0
とおくと g(α_k) = 1 (k=1,2,･･･,n)
つまり
1 = p_(n-1) * (α_1)^(n-1) + ･･･ + p_2 * (α_1)^2 + p_1 * α_1 + p_0
1 = p_(n-1) * (α_2)^(n-1) + ･･･ + p_2 * (α_2)^2 + p_1 * α_2 + p_0
　・
　・
　・
1 = p_(n-1) * (α_n)^(n-1) + ･･･ + p_2 * (α_n)^2 + p_1 * α_n + p_0
これをp_kの連立一次方程式として解くと
p_0 = 1, p_1 = p_2 = ･･･ = p_(n-1) = 0
∴g(x) = 1

毎回ＤＱＮ大使殿には頭が下がります。この調子で頑張ってください。応援します。

頑張って

第１巻 P139 問題4.2
２　f'(x) = 3x^2 + 2ax + b
∴a^2 - 3b = p とおくと x = (-a ± p^0.5)/3 のとき f'(x) = 0
∴p ≦ 0 のとき全区間で f'(x) ≧ 0
∴f(x)は全区間で単調増加
あとは極値が存在すると仮定して背理法
p > 0 のときは略

第１巻 P148 問題4.3
２　f'(x) = 3x^2 + 2ax + b , f''(x) = 6x + 2a
∴f''は x = -a/3 でのみ０となる。

５　任意の a,b∈I および 0 ≦ t ≦ 1 を満たす t に対して
f((1 - t)a + tb) ≦ (1 - t)f(a) + tf(b)
g((1 - t)a + tb) ≦ (1 - t)g(a) + tg(b)
∴ g(f((1 - t)a + tb))
≦ g((1 - t)f(a) + tf(b)) (∵gは増加関数)
　≦ (1 - t)g(f(a)) + tg(f(b))
∴f・g((1 - t)a + tb) ≦ (1 - t)g・f(a) + tg・f(b)

第１巻 P152 問題4.4
１　f(x) = 0 の解を α_1 < α_2 < ・・・ < α_n とする。
f は [ α_1 , α_2 ] (i≠j、1 ≦ i,j ≦ n) で微分可能で
f(α_i) = f(α_j) (= 0)であるから区間(α_i , α_j) に
f'(c_j) = 0 となるようなc_jが少なくとも１つ存在する。
f'(x) はn-1次の多項式で区間(α_i , α_j) はn-1個あるので
各区間に解が一つずつあることになる。

４　[m,n]でm個からn個を選ぶ組み合わせを表すものとする。
題意は、公式 [k,r] + [k,r-1] = [k+1,r] を使って帰納法で示される。

毎度どうも

>>ＤＱＮ大使殿
毎回ご苦労様です。いろいろ勉強になります。これからもよろしくお願いします。

第１巻 P164 問題 5.1
１　x = a^y とおくと log_a[x] = y で
log[x]/log[a] = y log[a]/log[a] = y = log_a[x]
d log_a[x]/d x = dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/(a^y log[a]) = 1/(x log[a])

４　問３で x に (y + 1)/y を代入すると
y/(y + 1) < log[(y + 1)/y] < {(y + 1)/y - 1} < 1
あとは各辺をyで割ればいい。

６　d^(n-1)[x e^x]/d x^(n-1) = ( x + n - 1)e^x とすると
d^n[x e^x]/d x^n　= e^x + (x + n - 1)e^x = (x + n)e^x

９　(e^x - (1 + x))' = e^x - 1
∴e^x - (1 + x)はx=0で最小値 0 をとる。
∴x ≠ 0 ならば e^x - (1 + x) > 0

(e^x (1 - x))' = e^x - e^x - xe^x = -xe^x
∴e^x (1 - x)は x < 0 で増加、x = 0 で極大値1、0 < x < 1 で減少
∴x ≠ 0 , x < 1 では e^x (1 - x) < 1

１０　(1) lim(h→0)[log_a[1 + h] / h] = lim(h→0)[{log_a[1 + h] - log_a[1]} / h]
= [(log_a[x])']_(x=1) ( [ ]_(x=1)は[ ]内のxに1を代入するという意味）
= [(log x / log a)']_(x=1) = [1/(x log y)]_(x=1) = 1/log a
(2) lim(h→0)[(a^x - 1)/h] = lim(h→0)[(a^(h+0) - a^0)/h] = [(a^x)']_(x=0)
= [a^x log a]_(x=0) = log a

結局６月中に終わらせることができなかったＹＯ（鬱

>>155の訂正です。
４　問３で x に (y + 1)/y を代入すると
y/(y + 1) < log[(y + 1)/y]/{(y + 1)/y - 1} < 1
あとは各辺をy( >0 )で割ればいい。

第１巻 P171 問題 5.2
６　以下、^[n] でｎ乗を、^(n)でｎ回微分を表す。
f'(x) = (e^[-x^[-2]])' = e^[-x^[-2]]2x^[-3] である。
あるnに対して有理式 R_n[x] が
　　f^(n)(x) = R_n(x)e^[-x^[-2]]、 x ≠ 0
　　f^(n)(0) = 0
を満たすとすると
f^(n+1)(x) = R'_n(x)e^[-x^[-2]] + R_n(x)e^[-x^[-2]]2x^[-3]
R_(n+1)(x) = R'_n(x) + 2x^[-3]R_n(x)とするとR_(n+1)(x)は有理式で
f^(n+1)(x) = R_(n+1)(x)e^[-x^[-2]] (x ≠ 0)と表される。
∴帰納法により任意のｎに対してf^(n)(x) = R_n(x)e^[-x^[-2]] (x ≠ 0、 R_n(x)はxの有理式)
と表される。

t = 1/h とすると　h→0 で t→∞　で
{f^(n)(0+h) - f^(n)(0)}/h = R_n(h)e^[-h^[-2]]/h
= tR_n(1/t)/e^[t^[2]] → 0 (t→∞)

>>dqn大使様
激感謝です。

>>DQN大使殿
本当にご苦労様です。これからも続けてくださいね。

第１巻 P184 問題 5.3
１　5.3Ｂ）の(b)と(c)

２　5.3Ｂ）の(b)と(c)

３　加法定理

４　２倍角の公式のαにα/2を代入

５　sin[3α] = sin[2α]cos[α] + sin[α]cos[2α]
　　　　　　 = 2sin[α]cos[α]^2 + sin[α](1 - 2sin[α]^2)
　　　　　　 = 2sin[α](1 - 2sin[α]^2) + sin[α](1 - 2sin[α]^2)
　　　　　　 = 3sin[α] - 4sin[α]^3

　　cos[3α] も同様に加法定理と２倍角の公式を使って示せる

８(a)　sin[θ+α] = sin[θ]cos[α] + cos[θ]sin[α]
= a*sin[θ]/(a^2 + b^2)^0.5 + b*cos[θ]/(a^2 + b^2)^0.5

(b)　cos[θ+β] = cos[θ]cos[β] - sin[θ]sin[β]
= b*cos[θ]/(a^2 + b^2)^0.5 - (-a)*sin[θ]/(a^2 + b^2)^0.5

前回からだいぶ間があいちゃってすんませんでしたぁ〜
第１巻は必ず終わらせますからねぇ〜

>>162
ＤＱＮ大使殿
勉強になります。毎回ご苦労様です。

>>161の訂正
５　sin[3α] = sin[2α]cos[α] + sin[α]cos[2α]
　　　　　　 = 2sin[α]cos[α]^2 + sin[α](1 - 2sin[α]^2)
　　　　　　 = 2sin[α](1 - sin[α]^2) + sin[α](1 - 2sin[α]^2)
　　　　　　 = 3sin[α] - 4sin[α]^3

第１巻 P192 問題 5.4
７　h > 0 として
(f(h+0) - f(0))/h = h^2sin[1/h]/h = h sin[1/h] < h → 0
∴右微分可能
h < 0 の場合も同様
∴f(x)は全区間で微分可能で
　f'(x) = 2x sin[1/x] - cos[1/x]　　(x ≠ 0)
　f'(x) = 0　(x = 0)
|2x sin[1/x] < |2x| → 0 (x → 0)
一方 x → 0 の時 1/x → ∞
∴∀ε > 0 に対して 0 < x < ε で 1/x = 2kπ（kは整数）となるxが存在する。
∴∀ε > 0 に対して 0 < x < ε で-cos[1/x] = 1 となる x が存在する。
∴f'(x) はx = 0 で連続でない。

８(a)　|f(x)| ≦ |x^[m]| → 0 (x→0)
(b)　lim_(h→0+)[(f(h) - f(0))/h] = lim_(h→0+)[h^[m-1]sin[1/h^[n]]]
∴m > 1 ならば
0 ≦ |h^[m-1]||sin[1/h^[n]]| ≦ |h^[m-1]| → 0　(h→0)
∴m > 1 ならば f'(0) は存在する。
m = 1 ならば(f(h) - f(0))/hはh→0の時振動する。
つまりm > 1 でない時 f'(0) は存在しない。
∴f'(0) が存在するならばm > 1。
(c)　f'(x) = mx^[m-1]sin[1/x^n] - nx^[m-n-1]cos[1/x^n] (x ≠ 0)
m > n+1 の時、連続なのはあきらか。
m = n+1 の時、f'(x) = mx^[m-1]sin[1/x^n] - n cos[1/x^n]
右辺は第１項は収束するが第２項は収束しない。
m < n+1 の時は、0 < ∀ε < 1 に対して
0 < x < ε かつ 1/x^n = 2kπとなるk（整数）が存在する
を満たすxが存在する。このxに対してはx^[m-n-1] > 1 で
nx^[m-n-1]cos[1/x^n] = nx^[m-n-1] > 1
だからf'(x) は収束しない。
(d)　(f'(h)-f'(0))/h = mh^[m-2]sin[1/h^n] - nh^[m-n-2]cos[1/h^n]
なので、m-n-2 > 0 でないとh→0の時f''(0) は収束しない。
(e)　f''(x) = m(m - 1)x^[m-2]sin[1/x^n] - nmx^[m-n-1]cos[1/x^n]
　　　　　　　- n(m - n - 1)x^[m-n-2]cos[1/x^n]
　　　　　　　- n^[2]x^[m-2n-2]sin[1/x^n]
∴m-2n-2 > 0 でないとh→0の時、右辺第４項は収束しない。

９　増減表
１４　定義に従って計算

5.5は全部、巻末に略解があるみたいなので、これで第１巻は終了で〜すぃ
２ヶ月近くかかっちゃったけど、数学から離れて１０年近くブランクがあるということで御容赦下さいませ。
第２巻は、まだ買ってません。もし誰かやるんなら僕も買ってこようかなと思ってます。
つ〜か誰か続き求むぅ〜、第６巻まで終わらせてくれ。

（最後くらいはageてみる）

漏れは今モレーツに感動している！感動の余り、非力で怠惰な漏れだが
第二巻の役をかって出ようかと思ってしまう！お疲れさまでした〜

>>167
是非やってみて下さいよ〜！　＜第２巻
僕も手伝えるところは手伝いますよ。
巻末にある言葉をモットーに頑張りましょう。
↓
『ゆうゆうと、ていねいに！』

＞巻末にある言葉をモットーに頑張りましょう。
これは解答を丁寧に書けということじゃなくて
のんびりとマイペースにやりましょう、ってことですぅ〜

良スレage
ＤＱＮ大使殿最強！

誰か第2巻解答作ってくれ〜

よ〜し、いっちょうやるか。

>>172
素晴らしい！！！
じゃあ僕も２巻を買ってきます。
頑張って下さいね。

第2巻解答求む！

誰かいないのか？

age

age

>>172は今ごろ何をやっているんだ？？

経済数学あげ

じゃあそろそろ3巻に行きますか？

情報求む

結局2巻以降は誰も解答書いてないじゃねぇか（藁

結局松坂は超二流投手だったのか？
http://corn.2ch.net/test/read.cgi/news2/1035693334/

松坂季美子

2巻以降の解答、どうしようかねぇ

がんばります

（＾＾）

漏れはまだ厨房なんすけど。
松坂先生の数学読本を読み終えて最近解析入門を購入しますた

数学読本はほんと素晴らしい本で、中学卒業前にかなり進んだ範囲を理解できたっす。
でも、今回の解析入門は数学読本と比べると（レベルが上がったせいか）
理論っぽい事が多かったり、「素人は読むな」みたいな感じで解凍も省略されてるし
なにより文章が難しいっす。数学読本はもっと砕いた感じでリラックスして読めました。

結局この本は漏れみたいな素人には料本なんすか悪本なんすか？

>>193
国語の勉強も忘れずにがんがれ

ついでに、解析入門は十分ゆったりと書かれた方だと思う
お喋りが好きなら他の本をあたるが吉

数学読本全巻(�T-�Y)と解析入門(�T-�Y)全巻持ってます。
全部読破ということはありませんが、基本として通読する教科書の論題がすんなり納得できないときに、腹をくくってハマってみるのに読んでいます。
教えを受ける人に恵まれることに困難な環境にある人にはいい本だと思いますよ。高校の全ての範囲と大学教養レベルの実複素解析までを厳密指向でやるとき、この12巻は依存できる定本と考えてますよ。

数学読本�Yは解析入門と内容がかぶっているからか絶版になってしまっているようですが、私は買えてラッキーかも。
ただ、違った意味の難を言えば、用紙が酸性紙っぽいですね。五年位経った本は焼けちゃってます。(--);;

みなさんありがとう

もうちょっと読んでみます。
やっぱり大学の数学ってのは高校の数学みたいに問題を解くっていうよりは
理論的な講義が増えるから難しく感じるんすかね。

>>196
絶版になってるんすか？しらんかた
漏れのはかあちゃんが12年も前に買ったﾔｼなので
そうじゃなくてももうボロボロですｗ

>>197
中学でこれ読んじゃったって公平に見てもすごいんじゃない？優秀なんだねー。
しかし輪をかけて驚くのは、お母さんが12年前に購入した本を譲りうけてるということなんだけど、中学でしょ？12年前っていったら、君が中一(!)としても、結婚直後で出産の前後ってことじゃない。
まさか12年後(それも中学生)の我が子のためとも思えず、胎教のためにこのシリーズを買ったとも思えず、、君の母さんとはひょっとしてすごい人なんでは?

まあそんなことは関係ないが、とにかく凄いは。日本の将来も暗くはないねぇ。

中棒君へ
松坂先生最後の弟子です。ご指摘の通り、数学読本と解析入門には語り口に
違いがあります。解析入門のときは先生は健康を害しており、かなり後半は
苦労してお書きになっておりました。それがややもするとぶっきらぼうと映る
のではないでしょうか。

それでも、初期の｢集合・位相入門｣の硬質な書き方に比べると、丁寧とは
いいませんが柔らかい感じがしませんか。

今もあまり体調がよくないようです。
数学史の本を書いていただきたいのですが。

>>199
ほ、本当ですか？
そうとも知らずなんか文句ったれてすんませんでした
俺も心から松坂先生を尊敬してますんで



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