*位相幾何学スレ*

位相幾何おもしろいよな。

うん。面白い。

終わってしまった…

代数的トポロジーって啓蒙的にはわりとカンタンだがちゃんとやるのは
慣れるまでけっこうハード。

たとえばホモトピーを与える具体的な式なんかの導き方を書いてある本
って見たことないけどその辺を考慮した本があるといいなと思う。

それに反して低次元トポロジーなんかは絵を描いてけば定理が得られるらしい。（笑）
実際にはそればかりではダメだろうけど。

抽象度が高いからねぇ。
具体的な問題を解く楽しみっちゅうもんが無いんだよね。
何でこう、日本の数学書ちゅうのは画一的なのかね。

>>4
>それに反して低次元トポロジーなんかは絵を描いてけば定理が得られるらしい。（笑）
Thurston並みの空間把握能力があれば、少しはいけるかもね。

＞低次元トポロジーなんかは絵を描いてけば定理が得られるらしい。（笑）

たとえば向き付け可能な曲面（二次元）の位相は
「穴の数」で分類できるとかいうことかい？

でもさあ、ちょっと考えてくれよ。
全てが、「ｎ人用浮き輪」の分かりやすい形を
しているわけじゃないだろ。
例えば、代数曲線の種数が、実は「穴の数」だと
いう話しがあるけど、見ただけで分かるわけじゃ
ないだろ。

絵を描かないといいたいわけじゃないけど、
絵さえ描けばというふうにとれたので
ちょっといってみた。

まあ、どうせ、「そんなんじゃない」という
おきまりのセリフで終わりだろうけど（笑）

>>8にちょっと補足

＞全てが、「ｎ人用浮き輪」の分かりやすい形を
＞しているわけじゃないだろ。

つまり、曲面それ自体の形とはべつに、
曲面が空間にどう埋め込まれているかと
いうことも考える必要があるってこと。
位置と形相の区別といえばいいかな。

位相幾何の現在の問題意識って何？
３次元あたり、量子不変量とかがメインなの？

>>8 = >>9

ちゃんと５の文章を読んでないかよっぽどトポロジーにコンプレックス
をもってるドシロート。

４は低次元トポロジーの良さを述べてるのに。

ぶっちゃけた話解析でも絵を書けば定理が得られたりする。
というか、解析の方がその傾向がある気もするし、それがなんともいえず快感。
但し、解析の方が云々というのはあまり当てにならないけど。
どちらにしても、数学者の描く絵は単なる絵じゃないことは確か。
また、数学が未だにアブストラクトナンセンスに陥ってない手ごたえを感じる。

数学の先生の絵を描いて説明する能力の欠如には困ったもんだ。

学生の能力低下以前に大学教師の能力低下が問題か？（ワラ

>>14
きっとあっちじゃ、「どうも学生は論理性がないもんだから、絵だけかいて
大先生みたいな顔していてこまる」っていってるぜ。

最近直感も重視しようという動きはあるね。

おもしろいけどホモロジーとかコホモロジーの計算って結構難しいね。

置換の分解なんかもアミダで説明してくれると有り難い。

って、トポロジーからはずれてゴメン。

>>10
位相幾何といっても広うござんす。
とりあえず「絵で描ける」低次元に関わる分野と
絵で描けない一般的な次元に関わる分野の間にはかなりの距離があるようで。
問題意識もそれぞれじゃないですか。

絵を描くことは低次元トポロジーにおける計算例なんだから絵を描いて
定理を「得る」ことはあたりまえ。逆にそうでない結果は多分脆弱にすぎる。
でもその後の「得た」定理をある程度まで一般化したり整理したりして証明を
つけるという作業が難儀なのよね。

>>11

君こそ、トーシロ。

>>20

絵で示せることと、示せないことがある。
君にはそのあたりまえのことがわかってるかな？

位相幾何ではなく位相空間の話だが、
位相空間論の良書を教えてください。。
出来るだけ詳しくていろいろ書いてあるのがいいです。
ときに、岩波の児玉・永見のはどうですか？

>21
少し極端なことを書いてしまったのは認めます。
私は「とにかく新しい結果/問題を見つける」という過程と「それを整理して
定理として確立する」という過程を分けて書いてますがそう読めませんか？
で、定理（の候補）を見つける過程で一杯絵を描くなり代数計算なりを
積み上げなければ定理なんて見えてこないと思うのです。代数計算にしたって
その幾何的対象への対応をつねに考えているわけですし。

もっと「絵で示せないこと」の実例をあげてもらえませんかね。ちなみに
二次元向き付け可能閉曲面の分類定理は同相類の決定であって、
あなたの言う「位置」（?）の問題は全然別の問題です。広い意味での
結び目理論に入るでしょう。考えている人はちゃんといますよ。

>>23
3次元多様体のスピン構造は絵で示せるのか?

>>23
＞もっと「絵で示せないこと」の実例をあげてもらえませんかね。

いや、例は一つでいい。あわててはいけない。よく考えるのだ。

＞二次元向き付け可能閉曲面の分類定理は同相類の決定であって、
＞あなたの言う「位置」（?）の問題は全然別の問題です。

そう。しかし、それは今だからいえる結果論だ。

見えるものは真実だと思いたがるのは人間の性分である。
しかしながら、目も人を騙すのである。絵を書いたから
それで事が足りるわけではない。もちろん、代数計算が
絶対の正しさを示すとも限らない。計算の規則もまた
人を騙すからである。ただ、その騙し方は違うから、
同時に人を騙すことはないだろう（笑）

>25
言葉が足りなかったかもしれませんが、絵を描くのは定理を見つけるときだと
書いているでしょう。見つけた定理もどきを、描像によらない抽象的なレベルで
正しいか正しくないか確かめるのが「証明をつける」という作業でしょ。
4 の人にしても私にしても「絵を描いて証明のかわりにする」とは書いてませんよ。

>>23
スピン構造についてはよく知りませんが、部分的にも、模式的にも全く図示できない
類のものなんでしょうか。扱う問題によっても必要とされる忠実さは変わってくると
思いますが。

「低次元の話」って、どうして難しいの？
おせーて！

位相幾何って終わっているのじゃないの？
最近でもそれなりに発展はあるかもしれないが、昔の結果と比べて地味すぎないか？
結び目は１０年くらい前は発展していたようだが、最近はどうよ。
整理するくらいの段階になってしまったのか？

トムは数十年前に「代数的トポロジーは死んだ」と宣言した。
いまはいろんな分野が葛藤の時期でまったく新しい才能待ち。

ええと、わたくし数学を応用する（したい）分野の人間なんですけど、
Hopf不変量について、教えてもらえますか（すれ違い立ったら誘導してね）？

Ω_nをS^nの規格化された体積要素として、f:S^2n-1→S^nの引き戻しf*Ω_nを
考えます。
f*Ω_n = dω_n-1 と書けるのは大体分かりました（ドラームの定理？ωはS^2n-1上の形式）。
で、Hopf不変量をH(f)=∫ω_n-1∧dω_n-1 で定義するらしいのですが…。
これって、被積分関数が1/2d{ω_n-1∧ω_n-1}って書けるので、ストークスの定理から
境界積分になってS^2n-1の境界は無いから0じゃないんですか？
本にはこれよりnが奇数の時はH(f)は0とあるのですが、そもそも、自分自身との
ウェッジ積は0じゃなかったですっけ？

偶奇に注意して次を計算するだけです：

1/2d{ω_n-1∧ω_n-1}
= 1/2{ dω_n-1∧ω_n-1 + (-1)^{n-1}ω_n-1∧dω_n-1 }
= 1/2{ (-1)^{n(n-1)} ω_n-1∧dω_n-1 + (-1)^{n-1}ω_n-1∧dω_n-1 }
= 1/2{ 1 + (-1))^{n-1} } ω_n-1∧dω_n-1
= ω_n-1∧dω_n-1 (if n: odd), 0 (if n: even).

ああそうか！ω_n-1∧dω_n-1 = 1/2d{ω_n-1∧ω_n-1}って、
n：奇数の場合じゃないと成り立たないんですね。
すっかり、dの∧飛び越しの符号を忘れてました。
じゃあ、これからがんばってHopf写像のHopf不変量を計算してみます。

しろうとです。
ｎ次元多様体の接ベクトル束Eと、１以上ｎ以下の自然数ｒについて、
１）ファイバーの次元がｒの、Eの部分ベクトル束は存在するか？
２）存在する場合、その中に自明なベクトル束になるものはあるか？
ということについて勉強したいのですが、基本的な文献やお勧めの本が
あったら教えて下さい。
予備知識は、森田茂之「微分形式の幾何学」くらいまでです。

集合Xの２要素の関係で反射律、対称律は満たすが推移律
を満たさないものってどんなものがありますか？

0でない整数の集合において　x〜y ⇔ x+y≠0
反射律、対称律OK　推移律ダメ

>>35
さんくす

位相幾何的な例が希望なの？＞３４

うう、だめぽい。
ξ1=2(x1x3+x2x4)…とかいうのを直接微分してブルートフォースに計算しようとしたら、
f*Ω=dω1なるω1が見つけられなかった。他の本をカンニングすると、
α=φ12-φ34、β=2θ=arctan{[2r_{12}r_{34}]/[r_{12}^2-r_{34}^2]}
ってあったんですが、それで、
f*Ω=1/4πsinβdβ∧dα = 1/2πsin(2θ)dθ∧d(φ12-φ34)
は良かったんですが、
これより、dω1=-cos(2θ)d(φ12-φ34)-d(φ12+φ34)
って書いてあるんです。最後の項はどうして出てきたんでしょうか？
もちろんdをかけると消えますが。そして、積分は最後の項だけが効いて、
H = ∫1/2πsin(2θ)dθ∧d(φ12+φ34)∧d(φ12-φ34) = 1
と求めてます。

やっぱり、わからず悶々と暮らしています。解答期待age。

盛り上がりに欠けるな

イマイチだな

ﾔﾊﾟｰﾘ時代はｸﾞﾗﾌ理論ﾀﾞﾛｰ。

だれか学部時代で岩波の位相幾何学１（小松・中岡・菅原）をまじで読みきったつわものの方います？
学部では結構しんどいのかなあ？２章にやっと入ったんだけど・・・。

コンパクトって分かりにくい。

今でもいい本ですか？＞小・中・菅

>45
やたら詳しいです。
完璧に読みこんだら基礎の自信はつくと思います。

　　

小・中・菅は図式の説明が多いから紙面を占領する罠。
その上に内容が多いという二重の罠。
服とかぼっとも同じく。

>>48
その罠がしんどかったりして苦行になったりする。
その後の勉強がなぜか楽に感じたりする。
ってつもりでいまのところやってます。

それ自体が無駄という可能性を孕んでいる罠。

松本幸夫「トポロジー入門」復刊age

位相幾何学のブ厚い本を読んで意味あるの？
自己満足にしかならなそ。

Spanier か Hatcher がいいんでない？＞代数的トポロジー

いや、小・中・菅も良いとおもうが。

>>52
代数敵意早期化、もとい代数的位相幾何は生理的にスバラシー分野だよ。
Adams なんてカッコイ〜。

位相不変性を証明しちゃった Alexander は魔術師？

>>54 Mayの本もいいと思う。

やはり微分幾何か・・

S^3がSO(2)の二重被覆であることはどうやって示すのが一番簡単ですか？

SO(3)のマチガイです

四元数使えば？
絶対値1の四元数αを固定。

実数部分が0の四元数全体はR^3と同一視できて、
その上に x → αxα^(-1) で写像を定めるとSO(3)の元が
一つ定まる。

>>65
写像x → αxα^(-1) がSO(3)の元になることを示すには行列表示するしかないんでしょうか？

>>66
その写像が、向きを保ち、
正規直交基底を正規直交基底にうつすことを言えば良い。

と書いてから気づいたのだが、これってほとんど行列表示してるのと一緒か？
まぁいいや。

位相幾何は人気がないのかな。さみしい。

ホモロジーからどんなことがわかりますか？

そんなやつ位相

>>54 Adams ハンサム〜。禿げてっけど。（笑）

>>22
位相空間論ねー、
永見・児玉は良いには良いけど、古すぎるかもネ。
それに日本語だと結局使えないから、英語の本がいい。

英語で良いなら、
Kelly、
Ｎａｇａｔａ、
Engelking、
あたりの本が良いと思う。
特にEngelkingは詳しい。

diskの内部がR＾2への同相写像であることを教えてください。
証明やって。

>>74
正しくは「diskの内部とR＾2が同相」とかくべき。

「diskの直径にあたる開区間」を「平面上の原点を通る直線」に写すような
diskの内部からR＾2への写像を作る。
それから先は自分で考えてください。

>diskの内部とR＾2が同相

そうなの？ホモトピーが異なるからドウソウではにと思うが

>>76
どう考えてもホモトピーは一致するだろ？？同相だよ。

>>76
大ばかハケーソ！

あっ、Ｓ^２とまちがった。ｽﾏｿ

>>74

ぷﾌｧｰっと原点から遠方へ向けて拡げるのよ，
ぷﾌｧーっとね．

>>74
diskの内部（open disk）の１点コンパクト化が
S^2（球面）になることを使ってもいいよ．

まぁ，簡単な問題だから，そこまでする必要ないか．

》81
3次元のポアンカレ予想の証明法が
神のお告げとして明日あなたにやってきます。
’81年のフリードマンのように。
∵
あなたのレス番号が81だからです。

あめでとう　>>81

cobordism と 「同境」は同じ意味ですか？

MとNは同境というなら　cobordant
同境理論なら　cobordism theory
こんな感じかな

実３次元空間R^3内の有向直線全体の集合には、
２次元球面S^2の接バンドルの構造が入るか？

２次元複素射影空間CP^2のホモロジー群を求める
簡単な方法ってあるだろうか？

>>85
ということは、"h-cobordism theorem"の日本語訳は「h同境定理」でＯＫでしょうか？

このスレって・・・

　　∧⊂ヽ　　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 (゜Д゜)ノ　＜　ﾜｹ
　　| ⊃|　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　|　　|
　　⊂ノ〜
　　∪


　∧∧
　(ﾟДﾟ )
　 ⊂　 ヽ　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　 〉 ﾉﾉ~　＜ 　ﾜｶ
　　∪∪　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿


　∧_∧ 　　／￣￣￣￣
　( ﾟДﾟ)　＜　ﾗﾈｪｿﾞ!ｺﾞﾙｧ!!
　(⊃ ＼⊃ ＼＿＿＿＿
　　＼　 )ρ
　　 く く　　

>>88
YES

M,Nを閉n次元多様体とするとき、
MからNへのimmersion は全射であることを示せ。

>>87
cell 分解

>>92
御意

S^nの接ベクトルバンドルが自明になるための条件って何？

問題１、S^nの接ベクトルバンドルが自明ならnは奇数であることを示せ。
問題２、n=1,3ならばS^nの接ベクトルバンドルが自明であることを示せ。

ベクトルバンドルが自明<=>global な non zero section が存在
だからこの場合は S^n 上の接ベクトル場で0にならないものがあるかどうかを考えればいい
この辺りのはなしは Milnor の「微分トポロジーー講義」に書いてなかったっけ？

>>96
訂正，微分トポロジー講義ね

ところで S^1 上の k 次元ベクトルバンドルの同型類ってどうなるだろう？
k=0,1 はすぐに分かるけど・・・
k がある程度大きいと自明なものしかないんではと予想しているがどうか

閉多様体M上に接ベクトル場で0にならないものがあることと
Mのオイラー数が0であることは同値。（Poincare-Hopf）

n次元ベクトルバンドルが自明であることと
n個の１次独立なglobal non zero section が存在することが同値。

三村護の訳した文章って異常だと思いませんか？

手下の語学力がないということ？

>>99
激しく同意
原書の方が読みやすい

>>99
原書より値段安いからつい手を出して失敗した！
訳者と担当編集人の言葉の感覚は尋常ではないと見た。
この人の訳文って、原文がどう書かれていたかを
想像しながら読まないと全く理解できない！！

>>101-102 まったくもってその通り

http://www.geocities.co.jp/SiliconValley-Sunnyvale/5684/

f:S^4→S^2 が（非特異な）ファイバーバンドルの構造を
持たないことを示せ。

３次元ト−ラスT^3上のモース関数を一つ構成せよ。

S^3内のtrefoil knotの補空間の基本群を計算せよ。

RP^3内には自然にRP^2が埋め込まれている。
この埋め込みのコンパクトな正則近傍の境界は
どのような多様体か？

CP^2内には自然にCP^1が埋め込まれている。
この埋め込みのコンパクトな正則近傍の境界は
どのような多様体か？

ミルナーの特性類の和訳はどうなの？

>>109
著者は、Milnor だけでなく Stasheff もです。

訳書には、訳者がつけた演習問題の解答が載っているのでお買得かも。

>>110
Morse理論もそうだけど、原著の値段を考えたら、かなりお買い得ですよね。

ミルナーの説明はわかりやすいから原著で読むのもよいと思うけど。
彼の講演はとてもうまかった。

Milnor のきれいな英語を三村護が訳したらどうなるか
怖いけど見てみたい気もする

１次元セルオートマトンにおいて、regular language complexityは
時間の経過と共に非減少であるということは一般に成り立つだろうか？

S^2×S^2とCP^2♯(-CP^2)は同相ではないことを示せ。

RP^2とKleinの壺が、R^3に埋め込めないことを示せ。

T^3のHeegard分解の最小種数を求めよ。

基本群がZ+Zとなる閉３次元多様体は存在するか？

まず何を読めばいいですか？
やさしい入門レベルの本を挙げてくださりませ, S.V.P.
線型代数、微分積分学の知識は或る程度仮定していただく
として、、、。

微分型式の幾何学１，２　森田茂之著　を読むといい。
それが難かしかったら、多様体の基礎　松本幸雄著を読了後、再挑戦する。
これが一番オーソドックスじゃないかな？？

早々のレス、どうもありがとうございます。
探します。m(_ _)m

>>121
追記
位相空間論かじったことあるよね？
未習なら、多様体の基礎から読むべし。

訂正
幸雄⇒幸夫

トポロジー　田村

松坂和夫『集合・位相入門』の第４章あたりなら
読んだことあります、、、。
開集合族、開核作用子、閉集合族、閉包作用子、
近傍族、のどれか１つが集合Ｓに与えられれば
Ｓの位相構造が定まり、残りは必然的に一意的に
定まるというあたりです。
いずれにしても多様体の基礎を勉強するつもりです。

点が閉集合でない位相の中で有名な物ってどういうのがありますか？

>>126
理�V

多用体の基礎より
岩波の　「位相幾何」　佐藤
のほうがこのスレの入門にふさわしい気がするが・・

>>128
>>119さんのレベルなら>>120のほうがいいんじゃない。
佐藤も啓蒙書の部類では、よくできていると思うが。

佐藤は代数的位相幾何
森田は微分幾何
じゃなかった？

＞１３０
そんなカンジだね

はぁ？
チミたちきちんと読んだのかい？森田も佐藤も位相幾何学者で微分幾何学者でない。
森田は微分幾何的内容に触れてるけど位相幾何的な視点で解説してる。

＞１３２
nihonngoyomemasuka?
daremo,anatanoyounakotowa,itteimasennyo。
anatawa,dennpasesuka?

>>132
あほの晒しage

＞１３４
＞１３２はネタじゃないの？？

論点がわからんのだが
133＝134＝135

T^2♯RP^2と、(Klein's bottle)♯RP^2は同相であることを示せ。

俺には、133=134=135には見えんのだが

種数gの向き付け可能な閉曲面の接球面束のホモロジー群を計算せよ。

f:RP^2→R^3を Boy's immersion、π:S^2→RP^2 を２重被覆写像とする。
この時、fπ:S^2→R^3 のnormal Euler 数を求めよ。

種数gの向き付け(不)可能な閉曲面を単体分割する時に必要な
頂点の最小の個数を求めよ。

朝倉書店で出た小島「三次元の幾何学」ってどうすか？

Klein's bottleを境界に持つような３次元多様体を構成せよ。
RP^3を境界に持つような４次元多様体を構成せよ。

>>140 位相幾何が専門だけどBoy's immersionも
normal Euler数も知らん。

位相幾何学問題集 in このスレは解く人がいないが
それでも書き込んでみる。
はめ込み　f:RP^2→R^3 を構成せよ。
ちなみに　Boy's immersionは実射影平面のはめ込みで
３重点が一つだけあるような対称性の高い例。

せめてヒントをください

>>146
どの問題？

ファイバーがS^1である、S^2上のファイバーバンドルの構造と
全空間の位相を全て決定せよ。

>>148 向き付け可能な場合ならEuler類でバンドルの同値類は決まる。

>>104に関連した問題。
π_4(S^2) （2次元球面の４次元ホモトピー群）の生成元を具体的に求めよ。

位相ってすんげー論理的な感じがするんだけど
集合みたく
ちがうん？

数学者のルネ・トムさん死去
http://www.asahi.com/obituaries/update/1030/004.html
カタストロフィ論で知られるフランスの数学者(ﾟДﾟ)ﾊｧ?

>>153
あらら、マジですか。Thom理論の人だよね。
とゆうか、まだ存命だとは知らんかった。
ご冥福をお祈りしますです。

>>154
Thom理論って初めて聞いたな。

コボルディズムとか、カタストロフィとか、一時代も二時代も
築いた人だけに「巨星落つ」って感じがするね。

ご冥福をお祈りします。

Thom追悼問題。

向き付け可能な閉３次元多様体は、境界になることを示せ。

＞向き付け可能な閉３次元多様体は、境界になることを示せ。

あたりまえすぎてどういえばいいかわからん

↑未解決問題ということも知らないDQN

>>156
Thom予想ですね。
その予想を使えば、３次元ポアンカレ予想(未解決)が
４次元ポアンカレ予想(解決済み)に帰着されて、
「トムOK⇒ポアンカレOK」はよく知られていますよね。
>>157さんのおっしゃると通り、一見すると自明なように
思えるんですけどね。まあ、そんなことをいったら、
ポアンカレ予想もそうなんですけどね・・。

>>153
79歳か・・・。
トムは若いころに50歳くらいで死ぬとか医者に言われたらしい。

>>153
清水の舞台から飛び降りる覚悟で『位相幾何学�T』（岩波）を
買ったところだたーよ、、、虫の知らせか？

合掌。

非負曲率をもつコンパクト2次元リーマン多様体の種数は１以上、基本群は
無限群であることを示せ

＞非負曲率をもつコンパクト2次元リーマン多様体の種数は１以上

２次元球面S^２は反例になっていない？？

ほげぇ？

非負じゃねえ。非正だ。

　　>>157
アフォ↑の沙羅師揚げ

↑粘着

>>157=>>167
ぷっ

単連結な閉３次元多様体は３次元球面とホモトピー同値であることを示せ。

＞単連結な閉３次元多様体は３次元球面とホモトピー同値であることを示せ。

　あたりまえすぎてどういえばいいかわからん

そんなに明らかか？

＞１７１
ねたとオモワレ。
ハンドルにageを入力していることからも推察できる。
原文→>>157-158

>>169
Poincare予想ですね。
その予想を肯定的に証明すれば、Clay研究所から
100万ドル渡されることはよく知られていますよね。
>>170さんのおっしゃるとおり、一見すると自明なように
思えるんですけどね。まあ、そんなこといったら、
Riemann予想もそうなんですけどね・・。

>>173
>まあ、そんなこといったら、Riemann予想もそうなんですけどね・・。

Riemann予想は状況証拠が豊富だから(他のゼータのアナロジー、数値実験、・・・)
真か偽かと問われたら100%真だとは思うけど、
予想そのものはとても「一見すると自明なように」は思えない。

173くらい想像力があったらなぁ…

P=NPを示せ。

>>173
「単連結な閉３次元多様体は３次元球面と『同相』」
がポアンカレ予想．
単連結な閉３次元多様体 M 上の 3-ball の外側をつぶして
M から３次元球面への連続写像をつくると，
これは，ホモロジー群・基本群の同型を誘導するから，
ホモトピー同値になる．

>>177
なぜ、ホモロジー群と基本群の同型を誘導するだけで、
ホモトピー同値がいえるのでしょうか？

>>178
不正確な説明だった．
「単連結多様体の間の連続写像は，ホモロジー群の同型を誘導するならば，ホモトピー同値」
と言うべきだった．
まず，ホモトピー群の同型を誘導することがわかる（相対 Hurewicz の定理）．
そして多様体をセル分割すると，ホモトピー群の同型を誘導するものがホモトピー同値であることがわかる．

ホモトピー同値であるが同相でない例というのは、典型的な例は
なんなの？

>>180 レンズ空間

>>180
S^1とR^2-{0}

>>179
レスありがとうございます。ホモトピー関係を勉強しなおします。

[RP^2,S^2] （RP^2からS^2への連続写像のホモトピー類の集合）を求めよ。

ヒント！

>>184
π:S^2→RP^2を射影とする。f:RP^2→S^2に対して、
fπ:S^2→S^2をよくよくみてみる。

よく考えるとヒントになってないような気がする。スマソ

４次元球面には複素構造が入るか？

入らない

入る

４次元球面にはシンプレティック構造が入るか？

複素構造が入るのは２次元球面だけ。
概複素構造までなら６次元球面もOK。
そのほかの球面は概複素構造も入らない。

概複素構造って？
やっぱいいや、自分で調べるよ。

>>192 6次元球面に複素構造が入るか否かは未解決では?

シンプレティック構造→シンプレクティック構造
だんだん問題のネタが尽きてきて思いつかなくなってきた。

球面の投影において、
正射図法、円筒図法、平射図法のどれかを
具体手的に式で表すとどうなるでしょうか？
ここから連続写像であることを示したいのですが・・

>>194
ハイ今のとこ未解決です

192は自分で証明する気があるとみた。

trefoil knot で Dehn surgery　して得られる３次元多様体を
すべてあげよ。

RP^2 はR^3 に埋め込めないことを示せ。
CP^2 はR^6 にはめ込めないことを示せ。

示せったって、、、
埋め込みとかはめ込みとかってなんなんだＹＯ。
人にものを指示するときはもっと親切にね。

？
Ker df = 0 とかじゃなくて？？

もっと、別の難しい意味があんの？？？

任意の微分可能な写像、f:RP^2→R^3に対して、
fの誘導する接写像Tf:TRP^2→TR^3 は
単射ではないことを示せ。
とでも書けばわかるのだろうか。

間違えた。はめ込みは存在する。

微分可能な写像f:RP^2→R^3であって、単射かつ
fの誘導する接写像Tf:TRP^2→TR^3 も単射である
ようなものは存在しないことを示せ。
と翻訳。

>>200
少し意味わかたＹＯ．ありがと。
でも、漏れには示せない。

　

>>184
[RP^2,S^2]=Z/2Z<p>
p:RP^2-->RP^2/S^1=S^2 はprojection

どなたかご教授願います。

Gを複素空間Cの連結開集合とする　次を証明しる
Gは単連結⇔C-Gは連結

何卒よろしくお願いします。

（＾＾）

topology人気ないのか？

>>208
> どなたかご教授願います。

ヴァカ

>>207
p:RP^2-->RP^2/S^1=S^2 はprojection
これ何？どんな写像？

>>208
それ合ってる? G={z; Re(z)<1}がその命題の反例にならないか?

>>213
なんで？{z; Re(z)<1}も{z; Re(z)≧1}も単連結だけど。

証明の方針をお願い

勘でAlexander双対性

書き間違えた。

　(誤) G={z; Re(z)<1}がその命題の反例にならないか?

→(正) G={z; |Re(z)|<1}がその命題の反例にならないか?

>>217
ほんとだ。おもいっきり反例だね。Gが有界とかC~-Gとかにするかしないと成立しないね。

>>218
きっとＣをコンパクト化してると考えているんじゃないの？ようわからんけど。

>>219
C~でCP^1あらわしたつもりだったんだけど。わかりにくかった？