★★X(((X^2)^2)^2)^2=1の解き方★★

>>23
全部書くと長くなるのでかいつまんで。
a=y_1+y_2+y_4+y_8
b=y_3+y_56y_6+y_7
とおくと、a+bとabが整数になる。これを使ってa,bを求める。
c=y_1+y_4
d=y_2+y_8
e=y_3+y_5
f=y_6+y_7
とおくと、たとえばc+d=a、cd=(めんどい計算の結果)-1と出るので
c、dが求まる。どうようにe,fも求まる。
ってな感じでどんどん追い込んで最後にはzが求まる寸法。

25 ：１３２人目の素数さん：02/04/11 12:14

>>24
3行目変だな。b=y_3+y_5+y_6+y_7な。

26 ：１３２人目の素数さん：02/04/11 12:23

これは、一般にいえるのだろうか？？

Ｘ＾ｍ＝１の解は

Ｚ＾ｎ＋Ｚ＾（ｍ－ｎ）＝Ｙ＿ｐとおく（ｎ＝１、・・・（ｍ－１）/２）

として、解と係数の関係で解く

27 ：１３２人目の素数さん：02/04/11 12:24

>>24
なにをしたいのかｻﾊﾟｰﾘわからん。
z=cos(2π/17)+i*sin(2π/17)って解ってるんじゃん。

28 ：１３２人目の素数さん：02/04/11 12:29

>>27
それを代数的に解こう、というのが目的。
>>26
それができるのは、mがフェルマー素数のとき。
(異なるフェルマー素数の積、またはそれと2の累乗との積)
フェルマー素数ってのは2^(2^n)+1型の素数で、n=0,1,2,3,4だけ。

29 ：１３２人目の素数さん：02/04/11 12:33

> フェルマー素数ってのは2^(2^n)+1型の素数で、n=0,1,2,3,4だけ。
これ解決済みだったっけ？
予想だと思ってたんだけど。

30 ：１３２人目の素数さん：02/04/11 12:34

>>28
じゃあ解が1,z,z^2,・・・,z^16とおけるのはどうして？

31 ：29：02/04/11 12:44

>30
z=cos(2π/17)+i*sin(2π/17)
なんだから当たり前じゃない？

>28 がやっていることは、
cos(2π/17)+i*sin(2π/17)
を四則演算と√(と整数と虚数単位)だけを用いて
あらわそう、ということ。

32 ：１３２人目の素数さん：02/04/11 12:44

>>30
ド・モアブルの定理ってご存知？
z=r(cosθ+i*sinθ)なら、z^n=r^n(cos(nθ)+i*sin(nθ))
というやつ。これを使ってx^17=1を複素数の範囲で解くと、
x_k=cos(2πk/17)+i*sin(2πk/17)
と解ける。(ただしk=0,1,・・・,16)
ということはx_m=(x_1)^mと書けるので、x_1=cos(2π/17)+i*sin(2π/17)
と決めておけば残りはこれの累乗で表せる。

んでもって、x^17=1は別な手段でも解けるので、それを使って正17角形
でも作図してしまえる、というおまけがつく。

33 ：１３２人目の素数さん：02/04/11 12:46

>>29
今見つかっている分がこれだけだったと思います(うろ覚え)。

34 ：29：02/04/11 12:48

>33
だよね。

35 ：１３２人目の素数さん：02/04/11 12:48

いつのまに作図問題になったんだ？

36 ：29：02/04/11 12:49

>35
>3 から。

37 ：１３２人目の素数さん：02/04/11 12:51

>>35
別にその意図はないのですが、ただこの場合四則と根号で解けるので
そのまま作図可能と言えるわけでして。

38 ：１３２人目の素数さん：02/04/11 12:51

>>27 は正17角形が定規とコンパスだけで作図できる事を（以下略）