□■逆理（パラドックス）の意義■□

1 ：ほにゃ：02/03/15 15:41

逆理（パラドックス）の意義について考えてみたいのですが．

逆理たち
１”アキレスと亀”アキレスは亀に追いつけない．
２”砂山”ｎ粒の砂は砂山ではないならｎ＋１粒も砂山ではない.よって砂山はない.
３”無限後退”Ｐ，Ｐ→ＱでもＱは不明．ならばＰ，Ｐ→Ｑ，（Ｐ，Ｐ→Ｑ）→Ｑなら．．．
４”妖精入りの小瓶”願いがかなう小瓶はかなった後３日以内に買った値段より安く他人に売らないと死んでしまう.
５”無限”無限は定義できるのか？

６”うそつき”私は今嘘をついている．は真か？
７”柔らかい格言”どんな格言にも盲目的にしたがってはいけない．
８”心脳同一説”心理現象は脳内の化学現象を伴っているとする.化学現象を伴わないという思いは？
９”ラッセルの逆理”Ｒ：＝｛ｘ｜ｘ∈／ｘ｝

10”抜き打ちテスト”月～金曜日のどれかでテストをします.金にはしないので木でもしない．．．．
11”悪魔の箱”箱Ａには十円をいれ，箱Ｂには両方開けるなら０円Ｂだけなら千円いれる．どうする？
12”予言者”私には未来が分かる．どんな意味があるのか？
　”未来”未来は決まっているが分からない．未来は決まっていない．どうちがうのか？

13”クワス演算”Ａ＋ＢとＡ＃Ｂ＝｛Ａ＋ＢifＡ，Ｂ＜５１　５otherwise　との違いは？
14””規則の懐疑”２，４，６，のつぎは，８，１０か１００８，１０１０か

2 ：１３２人目の素数さん：02/03/15 15:46

3 ：１３２人目の素数さん：02/03/15 15:51

で？
どうしたいの？
説明しろって？

4 ：１３２人目の素数さん：02/03/15 23:26

”悪魔の箱”とは．
箱ＡとＢがあり悪魔がお金を入れてくれる．
許される行動は両方開けるかＢのみ開けるかである.
開けた箱に入っているお金がもらえる.
悪魔は”Ａには千円をいれ，Ｂには両方開けることが予知されれば何もいれず
Ｂのみ開けることが予知されれば壱億円をいれる．ことにする．”といってきた.
さてどうするべきか？

5 ：１３２人目の素数さん：02/03/15 23:31

予知っていうのがあいまいだな。意味がわからん。

6 ：１３２人目の素数さん：02/03/15 23:43

予知がポイントなんです．

悪魔でも予知なんかできるかと思う人の期待値は
　両方　　五千万千円
　Ｂのみ　五千万円
悪魔なら90％はあたるのではと思う人の期待値は
　両方　　壱千万千円
　Ｂのみ　九千万円
どうするべきか？

7 ：いい言葉だな：02/03/15 23:53

アプリオリ
(あぷりおり a priori)

a priori. 伝統的な形而上学では、すべての人間に生得的、したがって本性的であること。カントおよびカント以後では、すべての経験に、時間的に先立つというよりも、論理的に先立つこと。

--『論理哲学論』訳者注

8 ：１３２人目の素数さん：02/03/16 00:31

先生：来週の月曜日から金曜日のいずれかの日に抜き打ちテストをする.
　　　抜き打ちテストなのでその日の朝，テストがあると予測できないようにする.
一人の生徒の考え：
　　　金曜日にはテストはできない.
　　　なぜなら金曜日の朝にはテストが今日あることがわかってしまうから.
　　　すると，木曜日にもテストはできない.
　　　木曜日の朝には，テストするのは今日か明日だが，明日は金曜日なので
　　　テストはできない.すると今日テストがあることがわかってしまう.
　　　同様の理論でどの曜日もてすとはできないはずだ．
　　　勉強しなくても大丈夫.

水曜日の朝
先生：今日抜き打ちテストを行います.
生徒：（上の理論を説明して）テストはできないはずだ.
先生：ではあなたは今日テストがあることを予測していましたか？
生徒：．．．．
生徒の理論はどこがまちがっているのでしょうか？

9 ：１３２人目の素数さん：02/03/16 00:51

>>8
「予測できないようにする」ってのは先生の方針又は生徒の推測で
あって、テストとして成り立つための必要条件じゃあないでしょ。

10 ：１３２人目の素数さん：02/03/16 01:06

先生：”予測できればテストは行わない”
の場合はどうなりますか？

11 ：１３２人目の素数さん：02/03/16 12:47

生徒：「すると，木曜日にもテストはできない.」ここが違う。
木曜日の朝は木・金の両方の可能性があるから木曜日にはできる。

12 ：１３２人目の素数さん：02/03/16 13:02

金曜日にはできないから木曜日の朝の時点でテストをする可能性があるのは
木曜日だけでないの？

13 ：１３２人目の素数さん：02/03/16 13:08

６”うそつき”私は今嘘をついている．
偽

14 ：１３２人目の素数さん：02/03/16 13:30

”私は今嘘をついている”
この主張は嘘か？

15 ：１３２人目の素数さん：02/03/16 15:49

>>１２
　金曜日にテストがあると分かるのは、金曜日の朝（テスト前）である。
　しかし、木曜日の朝（テスト前）の時点では、金曜日にテストがあるかどうかは
　分からない。よって、木曜日の朝の時点では、金曜日にもテストをすることができる。
　11　悪魔の箱　それぞれの信用度と期待値を計算していけば、明らかにＢのみ
　　　開ける方が得なのでは？

16 ：１３２人目の素数さん：02/03/16 15:58

ｓｓ

17 ：743：02/03/16 18:16

金曜日・・・
先生「それでは、今からテストを行う。」
学生Ａ「テストは不可能です。なぜならば(中略)」
先生「君はテストが今日行われないと信じていた。だから、
　　　抜き打ちテストは成立しているじゃないか！」
学生Ａ「そう言われると、僕はテストは行われないと思っていました。」
先生「よって矛盾せん！それではテストを行う。」
学生Ｂ「待って下さい。僕はＡと先生の会話を予期し、その上で先生は
　　　テストを行うとわかっていました。」
先生「何！？君はそこまでわかっていたのか！テストは止めだ。」
学生Ｃ「待って下さい。僕はＡと先生の会話を予期し、その上で先生は
　　　テストを行わないとわかっていました。」
先生「そうなると、テストを行わなければならない。テストは行う。」
学生Ｄ「待って下さい・・・」
　　・・・・・

18 ：１３２人目の素数さん：02/03/16 21:05

>>17 ﾜﾛﾀ

19 ：１３２人目の素数さん：02/03/16 21:10

２”砂山”
１粒の砂は砂山ではない．
ｎ粒の砂が砂山でなかったら,ｎ＋１粒の砂も砂山ではない.
従って全てのｎについてｎ粒の砂が砂山でないことが証明できた？

20 ：１３２人目の素数さん：02/03/16 21:21

３”無限後退”
アキレス：この三角形の２つの辺は長さが同じである.
　　　　　ゆえに２つの角が同じである.
亀：どうして？
アキレス：２等辺三角形の２底角は等しいことをさっき示しただろう.
　　　　　Ｐが示されＰ⇒Ｑが示されているのだから，Ｑが示されたのさ.
亀：どうしてＰとＰ⇒Ｑがわかると，Ｑがわかるのかがわからないよ.
アキレス：推論規則　（Ｐ，Ｐ⇒Ｑ）／Ｑ・・・Ａ　をしらないの？
亀：知ってるよ.しかしどうしてＰ，Ｐ⇒Ｑ，ＡからＱがわかるのかわからないよ．
アキレス：推論規則を使う規則（Ｐ，Ｐ⇒Ｑ，（Ｐ，Ｐ⇒Ｑ）／Ｑ）／Ｑ・・・Ｂ
　　　　　は普通は言わないよ．
亀：しかしＰ，Ｐ⇒Ｑ，Ａ，ＢからＱがわかるのかがやっぱりわからないよ．
アキレス：推論規則を使う規則を使う規則．．．．

こんな亀いますよね．

21 ：１３２人目の素数さん：02/03/16 21:26

４”妖精入りの小瓶”
なんでも１つだけ願いのかなう妖精入りの小瓶が売られている.
ただし，願いがかなった後３日以内に，買った値段より安く小瓶を人に売らなければ
その人は死んでしまう.一体いくらならこの瓶を買う人がいるだろうか？

22 ：１３２人目の素数さん：02/03/16 21:37

>>1の１ってパラドックスなの？
ただアキレスが亀に追いつくまでの時間を無限に小さくしているだけじゃん。

23 ：１３２人目の素数さん：02/03/16 21:50

アキレスが亀が前いた地点に着いたに回数を数えているとする.
１．亀に追いつくのは何回目か？
２．それは偶数回目か奇数回目か？
３．アキレスが亀に追いつくまでに起きたことを明快に解説できるか？
どでしょう？

24 ：１３２人目の素数さん：02/03/16 23:31

>>21
願いが叶えば死んでもいいって人もいるんじゃない？

25 ：１３２人目の素数さん：02/03/16 23:50

２１は何がパラドクスなの？例えば１０円とかどう？俺やばい？
それとここあげちゃやばいんすか？

26 ：１３２人目の素数さん：02/03/17 00:22

1円で買う→それ以下で買ってくれる人がいない、つぅかそれは不可能。
n円で買うのが不可能とする
→n+1円で買うとn円で買ってくれる人がいないからn+1円で買うのも不可能。
だから何円でも買えない。

…って論理かな。他のパラドックスと同じ点を突いてるのか…？

27 ：１３２人目の素数さん：02/03/17 00:25

（貨幣の最小単位を１円とすると）
１円で買う人はいない．
ｎ円で買う人がいないとすると,ｎ＋１円で買う人はいない．
従って全てのｎについてｎ円で買う人がいないことが証明できた？
>>19ににている．
１０００円ぐらいなら買う人いるような気がするんですが．

28 ：１３２人目の素数さん：02/03/17 00:27

おもいっきりかぶりました．

29 ：1円で買った人：02/03/17 01:53

最初に買った人が悪い。ぶっ飛ばす。

30 ：１３２人目の素数さん：02/03/17 02:21

誰かジラーの逆理を分かりやすく教えてくれー。
『型理論』読んだけど、読めない。

31 ：１３２人目の素数さん：02/03/17 02:48

>>29
最初誰かが１０００円で買ったとして，
５円ぐらいまで買う人がいるような.

32 ：１３２人目の素数さん：02/03/17 13:47

一円で買った人が死なないようにお願いすればどうなるんだろう。

33 ：１３２人目の素数さん：02/03/18 17:24

自殺志願者が買えばいい？

34 ：１３２人目の素数さん：02/03/18 23:43

1円で買った人がデノミ(ただし1円が100円になるような)を望めばよい。

35 ：１３２人目の素数さん：02/03/19 01:38

悪魔のはこの問題の意味が今ひとつわからん。
詳しく解説して。

36 ：１３２人目の素数さん：02/03/19 01:53

>>1
４”妖精入りの小瓶”願いがかなう小瓶はかなった後３日以内に買った値段より安く他人に売らないと死んでしまう.
こんな問題、エセ経済学者の私にかかれば簡単よ。
まず、私の名前をＡとし、友達をＢとしよう。
そこで、二人だけの国を作り、そこで、それぞれその国の通過を作り、変動相場を作る。
まずは私は、Ｂ以外の他人から、小瓶を買い願いを叶える。
１万円で買ったとしよう。
そして、３日以内にＢに１００００Ａで売る。
この時、通過レートをＡ＝２Ｂと置く
１円＝Ａとし、Ｂに小瓶を１００００Ａで売る。
通過レートがＡ＝２Ｂだから、Ａは５０００Ｂを受け取る。
Ｂは願いを叶え、Ａに小瓶を売る。
この時、通過レートをＢ＝２Ａと勝手におく・・・・・
と永遠にやっていく。
見たか！！経済学の底力！！

37 ：１３２人目の素数さん：02/03/19 10:10

>>35
悪魔の箱のポイントは>>1の10,12と同じく”未来を予知するとは？”
または”未来を予知する意味とは”のところにあると思います。（他にもあるかも）
”人間を超越した存在”（ここでは悪魔）が未来を予知できると書いてありますが、
それが信用できますか？という意味だと思います。
確実に得られる小さな利益（>>4では千円）と
”人間を超越した存在”の予知にかけて大きな利益（>>4では壱億円）と
のどちらをとるかということなのでは？と思われます。
（よく理解している人説明ｷﾎﾞﾝﾇ）

38 ：１３２人目の素数さん：02/03/19 10:25

>>36　天才！尊敬しちゃう！

39 ：１３２人目の素数さん：02/03/19 11:39

>>36みたいな奴がバブル経済を起こすんだな（ｗ

40 ：１３２人目の素数さん：02/03/19 12:48

金融商品の抱合せ販売は横行していますよね(はーと
>>40は小瓶と10億円を持っていて>>36は10億と160万円持っているとする
>>40は小瓶を妖精で脅してキボンヌをして｢1ドル=80円｣にする
を>>40は「小瓶と1万ドル(の為替)」を160万円で>>36に売る
この時点で「1ドル＝80円」なので>>36は80万円で
小瓶を買ったことになる。ここで>>36はやっぱり核で妖精を脅して
キボンヌをして「1ドル＝240円」の固定相場に変える、
この間に10億の保証金で出来る限り円の空売りをしておく
それで｢小瓶と1万ドル｣を160万円で>>40に売るこのとき>>36は-80万円で
小瓶を売ったことになる
これで差額はマイナスになったので｢小瓶と1万＋nドル(の為替)｣を
せっせと160万円で売りつづければ願い事も叶えながら(ﾟДﾟ)ウマー

41 ：１３２人目の素数さん：02/03/20 09:54

無限は無限を使わないと、どこかで読んだんだけど間違い？
逝ってよしですか？

42 ：41：02/03/20 09:55

さげちゃった

43 ：１３２人目の素数さん：02/03/20 12:14

妖精のを見てドラえもんを思い出した。

願いがかなえると一枚ずつ減っていくトランプで
最後ジョーカー一枚になったらやばいって奴。

44 ：１３２人目の素数さん：02/03/20 15:00

>>41　いみわかんなーい

45 ：41：02/03/20 15:17

無限は無限を使わないと定義できないと、どこかで読んだんだけど間違い？
逝ってきます。

46 ：１３２人目の素数さん：02/03/20 15:20

>>45
間違い。

47 ：１３２人目の素数さん：02/03/20 15:28

>>46　無限って具体的にどう定義するのでしょうか？

48 ：１３２人目の素数さん：02/03/20 15:28

>>45
それなら逝かなくてよし。

49 ：36：02/03/20 15:30

>>40
パクるなよ

50 ：１３２人目の素数さん：02/03/20 15:33

>>46
例えば、集合aが無限集合といいたければ、
ある真部分集合b ⊂ a が存在して、 a から bへの全単射が存在する
ことをいえばいい。

51 ：１３２人目の素数さん：02/03/20 15:33

>>46じゃなくて>>47ね。

52 ：１３２人目の素数さん：02/03/20 16:09

それで>>1は何を聞きたいん？パラドクスの「意義」だよね？

53 ：40：02/03/20 16:16

>>49
スマソ。とりあえず小瓶の価値をマイナスに持って行くことが
目的だったんだが為替相場が一番手っ取り早かったもんで。

54 ：１：02/03/20 17:15

>>1で書いた逆理はすべて矛盾をとくことができないと理解しています。
（ここが既に間違っているなら指摘して下さい。）

それをふまえた上で、
１．逆理がなぜ存在するのか？
２．逆理をどう処理（認識）すべきか？
３．逆理はどう利用されていくと予測するか？
等などに発展すればよいかなと思っております。

”自然数の集合が複数あることは逆理と考えられていたが超準数学の基礎となっている。”
さっぱりわかりませんが、逆理が新しい数学と基礎となることは理解できました。

55 ：１：02/03/20 17:22

>>1の13.14は衝撃的で（へ理屈言うやつには）他人に説明するということは困難であると理解しています。
例を書いてみます。
証明とは？
先生：…ということで三角形の内角の和は180°になるのです。
生徒：内角の和が185°になる三角形は見つけられないの？僕がばかだから？
先生：...
先生：だからさっき証明したじゃないか。
生徒：さっきの証明はあの三角形だけでしょ。他のはわからないよね。
先生：どんな三角形でもさっきの証明でいけるよ。
生徒：じゃあ、三角形っていくつあるの？
先生：無限にあるよ。
生徒：じゃあ、先生は無限にやってみたの？
先生：...

56 ：１：02/03/20 17:25

>>50
それは無限集合の定義であって無限が定義できるかどうかと違うのでは？
というか、こんなこと聞く漏れは逝ってよしですか？

57 ：１３２人目の素数さん：02/03/20 17:33

>>56
無限大なのか無限個（濃度）なのか無限回なのか・・・をはっきりさせずに
ただ単に無限というだけでは対象が曖昧すぎる。

58 ：１：02/03/20 17:42

>>57　えっ。そうなの。
では、無限回から宜しくお願い申し上げます。

59 ：１３２人目の素数さん：02/03/20 18:21

>>54
ネタだよね？本気で言ってるわけじゃないでしょ？
矛盾があった場合はその命題が偽なんだろ。
その命題を成り立たせたいなら新しい公理系を考えればいいだけだろ。
例えば①は「時間」と言うのがアキレスが亀に追いつくところで終わっていて
かつ時間がたつにつれて時間の流れが無限に遅くなっていく世界なら真だろうし。
②なら②の規則が成り立って、砂山と砂粒に関連性のない世界だったら当然真だ。
③はそのまんま。④は金を無限に分けることが出来ると定義すれば良い。
⑤は意味不明。無限を定義してはいけない必要でもあるのか？
⑥嘘の余事象が本当だけでない世界なら真じゃないのか？
・・・・・⑮1 = 0の世界なら1/0 = z を定義できるよ。もっとも z = 1 = 0だけど
意味のない公理系を考えて遊ぶのはやめましょうと言うことになったはずです。
というわけでここでz案スレは終わりです。

60 ：１３２人目の素数さん：02/03/20 18:37

＞ネタだよね？本気で言ってるわけじゃないでしょ？

単なるいやみ発言。必要ないよ。

61 ：１３２人目の素数さん：02/03/20 18:40

>>58
じゃあ、無限って何のことを指していってるんだ？
無限個は集合の濃度で定義できるし、
例えば無限大ならば形式体系に可算飽和性を仮定してやれば極限を経由せずに
直接に無限大数は定義できる。つまり、A_n={a∈R:a>n },n∈Nとして
∩A_nの元を無限大数とすればいい（可算飽和性から存在する）。
もちろん、可算というのは集合の濃度で定義できる。
無限回もNに対して同様にすればよい。

62 ：１３２人目の素数さん：02/03/20 18:57

4、11、14は少なくとも矛盾も何も孕んでないので広い意味での逆理にさえ入らない。

63 ：１：02/03/20 19:11

>>59 ネタでないっす。
最初からこれ書けばよかった。
ttp://fcs.math.sci.hokudai.ac.jp/doc/announce/sw99.html
他人のですが、よければ一度見てみて下さいませんか。

64 ：１３２人目の素数さん：02/03/20 20:05

屁理屈ばかり言う奴をギャフンと言わすにはどうしたらいいですか？

65 ：１３２人目の素数さん：02/03/20 20:29

最近、Shapiroの"Foundations without Foundationalism"を読んでる。
rule-followingとsecond order logicの関係について論じた章があって
こんな見方もあったのかと、気づかされた。

first order logicでは、全体を限定するような書き方ができない。
だから、non-standard modelというような形で、例外的な異常が、
許容されてしまう。plusとquusの議論は、例外への逃げ方が、
non-standard modelの構成の話と似ていると思っていたが、
それは表面的なものではなかったようだ。

66 ：１３２人目の素数さん：02/03/20 20:31

辻下せんせーはまともなひとですが、しかし1よ、>1の13,14と>55とは
ちょと違うような…
＞生徒：さっきの証明はあの三角形だけでしょ。他のはわからないよね
とりあえずこれがわからん。

67 ：66：02/03/20 20:33

>65
おおっ

68 ：１３２人目の素数さん：02/03/20 20:57

>>69は正しい

69 ：１３２人目の素数さん：02/03/20 20:57

>>68は間違っている

70 ：1：02/03/20 22:35

>>66
>>55は違うかもしれません.（何が違うのかもわからないですが,）
＞生徒：さっきの証明はあの三角形だけでしょ。他のはわからないよね
証明に使った三角形だけでしょ.
他の三角形は同じ様にやってみないと同じ証明になるかどうかわからないよね.
ということです．
これも無限について議論していると思われるのですが,,,

71 ：１３２人目の素数さん：02/03/21 08:18

ユークリッドの幾何原論って「互いにあい等しいものはあい等しい」ってなかったっけ？

72 ：辻下せんせー：02/03/21 11:18

http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/keijiban/BBS.cgi?b=e&thread&_f=e0000.html
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/keijiban/BBS.cgi?b=e&thread&_f=e0001.html
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/keijiban/BBS.cgi?b=e&thread&_f=e0002.html
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/keijiban/BBS.cgi?b=e&thread&_f=e0003.html
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/keijiban/BBS.cgi?b=e&thread&_f=e0004.html

73 ：天オ：02/03/29 10:19

>>216515165132476516542864349816576354893468743575843465343486743548617864354473548644564858684354886468653248614682698416828712682468286712468284168428916281
パラドックスあげ

74 ：Badboy：02/03/29 17:12

ところで、最近セインズブリーの「パラドックスの哲学」読んでんだけど、
ここに出てくるGoodmanの「グルーのパラドックス」も狡猾だねえ。

「グルー」の定義

ある事物ｘがグルーであるとは、
ｘが以下の条件のいずれかを満たすとき
そのときに限る

１．ｘはグリーンであり、すでに検査されている。
２．ｘはブルーであり、まだ検査されていない。

すべてのエメラルドはグルーであることは、
データによって確かめられるが、これは
我々の「直観」、すなわち、すべての
エメラルドは（検査されようがされまいが）
グリーンである、という考えと相容れない。

セインズブリーは、このパラドックスの
類似物として、クワス演算子をあげているね。

75 ：１３２人目の素数さん：02/03/29 18:25

>>74
キミのお勉強の発表会は他所でやって。
つうかいつまで経っても半可通だよな。

76 ：１３２人目の素数さん：02/03/29 18:28

>>74
キミのお勉強の発表会はもういいよ。
それにしてもまた概説書でお勉強とは、
ほんといつまでたっても生半可だな。

77 ：１３２人目の素数さん：02/03/29 20:48

Badboyって有名人？

78 ：１３２人目の素数さん：02/03/29 21:52

自分自身を元としてもたない集合の集合は自分自身を元としてもつか？

79 ：１３２人目の素数さん：02/03/29 22:14

>>1の11は何がパラドックスなの？
Ｂの箱だけ開けて普通に千円ｹﾞﾄしたらいいやん
もし千円入ってなかったら、悪魔のクセになんで予想はずすんじゃあｺﾞﾙｧ
と、かみつけばいいでしょう。

80 ：１３２人目の素数さん：02/03/29 22:14

>>78
>>1の９に挙がってるね。ラッセルのパラドクス。