くだらねぇ問題はここへ書け ver3.1415926535

x^2+2=y^3(x,y \in Z)をとく。
Z(√-2)はＰＩＤだからＵＦＤ。
(x+√-2)(x-√-2)=y^3
x+√-2,x-√-2は互いに素。
あるa,b \in Zがあって、
(a+b√-2)^3=x+√-2
a^3+3a^2b√-2-6ab^2-2b^3√-2=(a^3-6ab^2)+(3a^2b-2b^3)√-2=x+√-2
b(3a^2-2b^2)=1
b=+-1
b=1ならa=+-1,x=a^3-6ab^2=a(a^2-6)=+-5
b=-1なら3a^2=1で解無し。
x=+-5だからy^3=27でy=3
x^2+2=y^3の解はx=+-5,y=3のみ。