名門高校入試レベルの問題教えて

高校入試で言う最高レベルの問題を教えてくれませんか？

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お受験板
http://life.2ch.net/ojyuken/

中学レベルの知識による工夫された問題を出し合え、と言う事？

>>4
そういうこと。

第一問：高校入試で言う最高レベルの問題を自分で見つけてきなさい。

Ａ、Ｂの２人がある長い階段の１段目にいる。
じゃんけんをして、Ａが勝てばＡは３段のぼり、Ｂは動かない。
引き分けのときはＡは２段のぼりＢは動かない。
Ｂが勝てば４段のぼりＡは動かない。
３回じゃんけんしたときＡがＢより上の段にいる確率を求めよ

>>7自信はあまりなし・・。
{x,y,z}={3,2,-4}として
x+y+z＞0を満たす(x,y,z)の個数を求めると17通り。
17/27・・・答

>>8
>{x,y,z}={3,2,-4}

そう書くと(x,y,z)=(3,3,3)などを含まず、
「x,y,zは(t-3)(t-2)(t+4)=0の3解である」と同じ意味になるような。

>>７
１２差をつけて勝つ場合・・・１通り
６差をつけて勝つ場合・・・３通り
５差をつけて勝つ場合・・・３通り
同点の場合・・・３通り
余事象で１−１０／２７＝１１／２７
これでいいんだよな？

２７−１０＝１１？

>>１１
引き算間違えた・・・
鬱死
１７だよ・・・

本屋に行って問題集を買えよ？

>>13
はずかしい

>>14
本屋に行くのが？

今井さんが本気になれば君達なんて一撃だよ？

>>16
すごい基本的な質問なんですが・・今井さんって一貫生？
来年、高校受験ですか？？

>>16はマルチ

てかみんな中学の最高レベルの問題本当に解けるの？
俺は解けないんだが？

>>19
所詮高校入試っしょ

>>19
その、「俺は解けないんだが？」って問題をこのスレで募集してるんだ。
さっさと書き込め

a,bは−１０よりも大きく、１０よりも小さい整数とする。
Ｘについての２次方程式Ｘ二乗＋ａＸ＋ｂ＝０を解くために
Ｘにいろいろな値を代入してみた。
Ｘが整数の場合は解とはならないことがわかったので、
Ｘ＝１．２を代入したところ、左辺の絶対値が０．１より小さくなった。
このとき次の問いに答えよ。
（１）ａ、ｂをすべて求めよ
（２）（１）で求めたａ、ｂの値に対する方程式の解をすべて求め、
それらを小さい順に並べなさい。

-0.1<1.44a+1.2b<0.1 → -5<12(6a+5b)<5
6a+5b は整数だから 6a+5b=0 → a は5の倍数，b は6の倍数
-10<a,b<10 より (a,b)=(0,0),±(5,-6)
この内元の方程式が整数解を持たないのは？
何か変？

>22

(1)
a=3 b=-5
a=-2 b=1
a=-7 b=7
(2)
a=3 b=-5
a=-2 b=1
a=-7 b=7

-(3+√29)/2,1,(-3+√29)/2,(7-√21)/2,(7+√21)/2

全然読み違い
許して、おながい m(__)m

>>24
簡単だった？

>26

簡単っぽい。試験に出たらヤーだが。

-0.1<1.44+1.2a+b<0.1 → -5<2(36+30a+25b)<5
36+30a+25b は整数だから 36+30a+25b==±1,±2,0
→ 30a+25b は5の倍数だから 30a+25b=-35 すなわち 6a+5b=-7
あとはおまかせ

マジレス

【問題】正三角形ＡＢＣと，その内部に点Ｐがある。ＰＡ＝３、ＰＢ＝４、ＰＣ＝５
　を満たすとき，正三角形ＡＢＣの面積を求めよ。

甲陽学院高校，お茶の水女子高校に類題あり。

>29　まちがってたらごめん。たぶん（４８１√３+２８８√７）/100
　　　こんな汚い答えなんか？同じような問題が確か灘中の入試に出てたような気がする。

>>29
P(0,0)とし、Pを中心にして半径3の円上の点がA,半径4の円上の点がB,半径5の円上の点がC。
よってA(3,0),B(4cosα,4sinα),C(5cosβ,5sinβ)とおく。
Aを原点に平行移動すると,
A'(0,0),B'(4cosα-3,4sinα),C'(5cosβ-3,5sinβ)
△A'B'C'は正三角形だから、B'をA'(0,0)のまわりに60度回転させた座標がC'になる。
よって
5cosβ-3=2cosα-2√3sinα-3/2・・・ア
5sinβ=2√3cosα+2sinα-(3√3)/2・・・イ
ア^2+イ^2=25となることから
2sin(α+30)=0
よってα=150°となり
B'(-2√3-3,2),C'(-2√3-3/2,(3√3)/2-2)
となるので△A'B'C'の面積Sは
S=(1/2)|(2√3+3){(3√3)/2+2}+2(2√3+3/2)|=(36+25√3)/4・・・答

計算ミスしてるかも・。

＜暗記項目＞
・A(0,0),B(a,b),C(c,d)として、△ABCの面積=(1/2)|ad-bc|
・A(p,q)を原点のまわりに反時計回りにθ回転した座標はA'(p*cosθ-q*sinθ,p*sinθ+q*cosθ)

>>31
複素数平面の知識は
中学生にはないとおもわれ

つうか高校入試相手に三角関数使うってのは、すでに敗北を意味してると思うが。

人の解答にいちゃもんつける前に自分で解いたらどうだ？>>32-33

>>32,33
高校入試で高校の知識使って解いたらやっぱやばいんでしょうか・・。
たぶん、高校入試は受けないと思うから、まあいいや・・。といいわけしてみる。

というか、三角比は高校入試で使っていい気もするが・・

>>29
△ABPをAを中心に左回りに60°回転させたものを△ACQとすると、
△APQは一辺が3の正三角形,△CPQは三辺が3,4,5の直角三角形。
同様に△BCPをBを中心に左回りに60°回転させ、Pの移動先をRと
すれば△BPRは一辺が4の正三角形で△APRは3,4,5の直角三角形。
さらに△CAPをCを中心に左回りに60°回転させ、Pの移動先をSと
すれば一辺が5の正三角形CPSと3,4,5の△BPSを得る。
このとき六角形AQBSCRは正三角形ABCの二倍の面積になっている。
六角形の面積は3*6+(9+16+25)*√3/4=18+25√3/2になるので
△ABCの面積は9+25√3/4。

>>36
同意。但し、三角関数に関しては高校入試で使ったらちょっと反則。
昔、茨城のある私立高校の入試で使われた。

＞３８

入試としては何使ってもかまわんが、本来その知識が無くても解けるものに
つかっちゃうってのは負けでしょ。

もちろん「解く側が何を使うか」という話ね。

>>37
実質的に同じなんだけど。
線分AB,BC,CAに関する点Pと対称な点をそれぞれQ,R,Sとする。
以下同文。

同じでもなかったか。
6角形AQBRCSは、
120°が頂角で等辺が3,4,5の二等辺三角形3個と
辺の比が3:4:5になる直角三角形PQRの合計4個の和。
以下略。

（誤）直角三角形PQR
（正）直角三角形QRS

>>33
良い悪いじゃなく勝ち負けで言えばやっぱ負けでしょう

中学入試で方程式使うのと一緒だね。

けんかで刃物出すのと一緒だ。

・・。このスレのカキコしてる人は、高校入試これから？だよね。
それとももう終わった人？新高1？
というか、みんなすごすぎ。何も考えず普通に解いたらああなっちゃったんだけど・・。
計算処理系問題だと思っていたから、補助線で解けるとは考えもしなかったＹＯ！
んでも、、
>>38さんのように、なんでそんなに詳しいのか疑問。（茨城県の高校入試とか・・）
というか、みんなすごすぎでちょと怖い。塾の先生ってことないよね・・。

解き方に勝ちも負けも無い。

受験では答えとそれを導出する文に誤りが無ければ勝ちだ。
そのやり方がどんな物でも合っていさえいれば勝ちだ。

>>48
敗者の弁

漏れも48に同意だな
解き方に優劣はない
推論に誤りがあるかどうかがすべて

そーいや、自分は敗者だな。

…でも48の通りにやれば受験では勝ち得られると思うけど。

>>48>>50
数セミの[エレ解求む]に喧嘩売ってんの？

レス遅くなりました。
解答はどの参考書を見ても>>37さんのように解いています。
でも中学生なのに複素数平面を駆使する>>31さんもすごい。

>>52
喧嘩売ってないよ。
そりゃ時間制限無しで点数付けて順位付けするわけでもないんだったら事情違うでしょ

じゃあもう１問
【問題】
正七角形ABCDEFGがある。1/AB=1/AC+1/AD　を示せ。

最高レベルって分けじゃないんですけど、あんまり見かけない題材なので。
開成かどっかで昔でてた気がする。

>>55
AB=1,AC=a,AD=bとする。
四角形ADEFが円に内接しているから
AD*EF+DE*AF=AE*DF（この定理使っていいよね？）
よりb+a=abだから1=1/a+1/bで1/AB=1/AC+1/ADとなる。

トレミーの定理だっけ？あれいつ頃やってたっけな…

おいおいおいおいおい…
ちょっと待ってくれ…

高校入試でsinやcosがでるんですか？

そんなの、中学の教科書に出てませんでしたよ！？

↑俺は小学校の時にやったよ。　お前って朝鮮学校の人ですか？

>>777
君はすごい
公文にでもいってたんですか？
私は高校にはいってから勉強しました…

>朝鮮学校の人
これは、朝鮮人を見下した文ですか？
そうでなければいいのですが？

そうだったらどうなんだ？

>>58
>俺は小学校の時にやったよ。

すげー！すごいすご〜い！
じゃあ、君の脳内高校入試では三角関数がでるってこったな。

難関私立は高校の数１の範囲とかから余裕で出るとか・・・（ｺﾜﾋ

俺が入った時の問題です。

３角形ＡＢＣにおいてＢＣ上にＢに近いほうから順に、Ｄ、Ｅをとる。
∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ　ＡＢ＝５　ＡＣ＝３　ＡＤ＝ａ　ＡＥ＝ｂとする。
�@ＢＤ／ＣＥをａ、ｂで表せ
�AＢＤ＝２　ＣＤ＝４のときのＣＥの長さを求めよ。

（灘高校Ｈ１２）

ふーん

>>62
え…
そうなんですか？

いや、まったく世の中にいる天才＆驚異的な努力家には脱帽します。
すごすぎですね…
ここにきてる人(俺のぞく)たちだってすごい人ばかりだし…
いったいどうなってんだここは！？

>そうだったらどうなんだ？
……頭はよくても性格はあまりよろしくないらしい…

>>63
�@は余弦定理使っていいの？

>>63
(1)5a/3b（証明略）
(2)∠BACの二等分線と線分BCとの交点をMとおく。
　まず、BC=2と(1)よりCE=6b/5a　また、BM:MC=AB:AC=5:3より
　BM=15/4,MC=9/4,MD=BM-BD=7/4
　三角形ADEにおいて、AMは∠DAEの二等分線でもあるから，
　DM:ME=AD:AE=a:b よってME=7b/4a
　ここでME:CE=7b/4a:6b/5a=7/4:6/5,MC=9/4より
　CE=54/59となる。//　

>>62
何年か前の私立高校（学芸大付属か筑波大付属かどこか）では
正射影の公式使わないと解けない問題出てたよ。
|S'|=|S|xcosθ

x使うなよ

1辺の長さが10の正方形ABCDの頂点Aから対角線BDに平行な直線を引き、
その上にBE=BDとなる点Eをとるとき、角AEDは何度か。('77慶応）

もちろん余弦定理はダメね。

'92慶応

半径3の円Ｏの円外の1点Ｐから、この円Ｏに引いた接線ＰＱ＝8の
中点Ｍを通って、円Ｏの中心と結ぶ直線を引き、円Ｏとの交点を
Ａ、Ｂとし、ＰとＢ、ＱとＢを結ぶ。また、ＰとＡを結ぶ直線と円Ｏ
との交点をＣとし、ＢとＣを結ぶとき、

(1)角ＡＢＰ＝a, 角ＢＰＡ＝bとしたとき、角ＡＭＱをa, bを使って表せ。

(5)まであるけど、(1)解けた受験生が何人いたのだろうか…

77年の慶応の問題なんて何で知ってるの？
まだ受験から離れられないの？

>>70 30°
>>71 2a+b

71はムズさでは大学入試でも通用するね。気付けばあっという間だけど。

>>72
受験関係の仕事してる人だからじゃないの？
数学板には塾講師ってコテハンもいるぐらいだしその手の人って多いのかな