■■イプシロンデルタの問題がたくさんある本■■

解析学の本を買うと、微積の内容ばかりにページを割いて、イプシロンデルタや、実数の公理性や、論理についてはあまり詳しくは書いてありません。
イプシロンデルタを、もっと詳しく勉強したいのですが、なんせ、イプシロンデルタの問題がボチボチ書いてある本がない！！
ってわけで、微積以前の解析学（特にイプシロンデルタ)がくわしくのっている問題集、及び参考書の情報を募集します！！

ワンポイント「デルタ・イプシロン」田島一郎

単発スレかよ。終了

ワンポイント「一様収束」

学部を出る前に、一様収束と各点収束の違いぐらいは、
具体的に説明できないとみっともないよ。

n→∞のとき、(1/n)→0を示せますか？

もしくは、f(x,y)=2xy/(x^2+y^2)の原点不連続性をε-δ論で
説明できますか？

是非トライしてみてください。

>>2
それ持ってるけど、問題が少ない。

数学の本
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/968679939/
εーδ論法
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/997187904/
ここで聞けばいい。重複。終了

>>7
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/997187904/
の1の発言がなめすぎてるため×

共立出版の　解析学　�T、�U　を買え。　たけーぞ。
けど、そのへんの陳腐な本より、よっぽどイイYO.

>>8
んなわけあるか。スレ乱立は駄目よん

田島一郎　「解析入門」
>>2の本と同じ著者で、内容も似ていますが、カバーしている範囲はこちらの方
が広いです（自分は両方持っています）。
問題が多くはないけど、参考になるのでは。

>>9
それもってますよ。
だけど、演習問題の答えはないは、わかりにくいはで・・・ダメじゃないっすか？

>>11
それももってます。
解説はよいのですが、演習問題が少なすぎます。

演習やれば出来るようになるのか…

演習問題ぐらい、具体的な物を自分でつくって解かないと
学部レベルもおぼつかない。

例えば、x^nは、I∈[0,1]で収束することは、
どんなεを選んでも上手くNを決められることから証明できる。
閉区間と開区間でちょっと違うが。
でも、その違いこそが重要だったりする。

私は学部卒でしかないからこの程度しか言えないが…。

>>13
ぼくはそう思います。
習うより、慣れろです。
もちろん、理論も大切ですが・・・・

イプシロンデルタに関する演習が殆どないのは何故かな〜？（はよ気付け

＞ε-δ
使っているうちに自然と理解できると思うよ。
ちなみに、言われてみればごく当たり前のことを
言っているだけだから、あまりムキになると理解
したときに腹が立つ可能性大。ま、数学の定理って
そういうもんだけどね。

>>16
あまりに簡単すぎるから。
こうぎでも、さっさと飛ばしちゃうし。
でもさー、もっと厳密にやるべきだと思う。
難しいんだし・・・・

演習云々というより、そもそもイプシロンデルタは
解析学の定理における基盤を与えるのが本来の目的
なのだから、それが他の定理の証明過程でどのよう
に使われてるのかを詳細に見たほうがよいと思う。
そういう作業のなかでイプシロンデルタも少しづつ
理解されていくと思うよ。

でもやっぱり、イプシロンデルタで証明したいですよね。

ａn=(-1)^n/n lim an=0
n→∞

こういった応用問題を出されると、イプシロンデルタで証明できません。

ａn=(-1)^n/n の時、lim an=0 (n→∞)
ですね。

1はちょっと強情だと思う

19も言っているようにまずは証明の中での
使われかたを理解するのが先だと思う。
例えば lim an=A , lim bn=B ならば　lim (an*bn)=A*B
という性質の証明をチキンと理解しているか？
そうすれば、20のように知らない式の形をしていても直ぐわかるはず。

>>6
>それ持ってるけど、問題が少ない。

>>12
>それももってます。
>解説はよいのですが、演習問題が少なすぎます。

「少ない」と言うからにはそこの演習問題は全部やったんだろうね

>>20
奇数項と偶数項に分けるだけぢゃん

|ａ_n| = 1/n < ε

>>26がｲｲｺﾄｲｯﾀ
そろそろ終了？

>>24
やったけど・・・・
ほとんどわからんす・・・・・

数蝉の増刊にあるはず

>>29
数蝉ってなんすか？

1はDQN
せめてさげろ

>>31
いや、マジでそれ（数蝉）わかんないし・・・

数学ワンポイント双書２０
イプシロン-デルタ
田島一郎著

でどうだ？

>>33
>>2へGO

>>32
数学セミナー

lim[n→∞] n^(1/n)=1
これはいい問題だよ。

>>35
いい問題だ。
(1+h)^n ≧ 1+nh
等々

>>35
n^(1/n)>1 はあきらか。
ε>0 を任意にとるとき
(*) n^(1/n)<1+ε
⇔ n<(1+ε)^n

(1+ε)^n > 1+nε+n(n-1)/2*ε^2 より
(*)の十分条件として
n < nε+n(n-1)/2*ε^2
すなわち n>2(1-ε)/ε^2+1 がとれる。
まとめると
∀ε>0 ∀n>2(1-ε)/ε^2+1
1<n^(1/n)<1+ε

>>37の証明を一歩進めて、

liminf a_(n+1)/a_n <= liminf (a_n)^(1/n) <= limsup (a_n)^(1/n) <= limsup a_(n+1)/a_n

が導けるから、lim n^(1/n) = 1

37はわかったけど38わからん。
もーちょうい丁寧におねがい

ってわけで、みんなで問題集作るか？

つくらねーなー。

>>40
作ろうか？？いいねーー

>>40=>>42
メール欄が同じように見えるんですが、自作自演ですか（ｗｗｗ

>>40
いいですねぇ。
ここにたくさん問題をだすなんて、かんがえつかなかったなー。

１さん、ワンポイント「数学での証明法」はいかがですか？

>>45
その本も見たことあります。
ただその本は、多変数（２変数）の極限について、詳しく載っているので、かなりためになる本だと思います。
それに、多変数の極限の本なんて、かなり貴重ですし。

ＤＱＮ質問ですみません。
イプシロン・デルタの定義、どちらが正しいのでしょうか？

�@　ｎ＞ｍの全てのｎについて、｜ａｎ−α｜・・・・
�A　ｎ≧ｍの全てのｎについて、｜ａｎ−α｜・・・・

とそれぞれ違う本において、２通りの定義が書いてありました。
どっちがどうちがうのですか？
どっちでもよいのですか？

>>47
問題：
それらが同値であることを示せ。

>>47
�@　ｎ＞ｍ_1
�A　ｎ≧ｍ_2

1+ｍ_1＝ｍ_2

>>47どちらでもよいって気付いてくれないと困るな…。

こんな問題どう？

A(x)=o(B(x)) (x→0) のとき

∫[0,h]A(x)dx=o(∫[0,h]B(x)dx) (h→0)

A(x)=o(B(x)) (x→0) のとき

∫[0,h]|A(x)|dx=o(∫[0,h]|B(x)|dx) (h→0)

>>53面倒だから記号にはこだわらない。
Σ|A(x)| dx = ∫|A(x)| dx とすれば
∫|A(x)| dx = Σ|A(x)| dx =Σ|o(B(x))| dx
= o(Σ|B(x)|) = ∫|B(x)| dx (x→0)
ここで x ∈[0,h] で考えれば h → 0 のとき x → 0
よって、
∫|A(x)| dx = ∫|B(x)| dx (h → 0)

4行目：= o(Σ|B(x)|) = o(∫|B(x)| dx )(x→0)
6行目：∫|A(x)| dx = o(∫|B(x)| dx) (h → 0)

また間違えた
4行目：= o(Σ|B(x)|dx) = o(∫|B(x)| dx )(x→0)

>>53
A(x)/B(x)→0 (x→0) より
∀ε>0 に対し
|x|<δ⇒|A(x)/B(x)|<ε
となるようなδがとれる
|A(x)|<ε|B(x)| の両辺を
0からh (|h|<δ) まで積分
|∫[0,h]|A(x)|dx|<ε|∫[0,h]|B(x)|dx|
すなわち
|h|<δで
|∫[0,h]|A(x)|dx /∫[0,h]|B(x)|dx| <ε
i.e.
|∫[0,h]|A(x)|dx /∫[0,h]|B(x)|dx|→0 (h→0)

難しすぎる・・・・・・・

>>上のみんなへ
問題がハイレベルすぎるよー。

ε-δって何ですか？以下の文章を高校生DQNの俺にもわかるように訳して頂けませんか？


（x)は任意の必要な区間内で連続とする。

x→∞:{f(x)-(ax+b)}=0 or x→-∞:{f(x)-(ax+b)}=0 ならば y=ax+b が漸近線、
これは漸近線の定義である。より詳しく書くと、
任意の十分小さい正の数ε0に対して正の数δ0が決まり、|x|＞δ0なる全てのxに対して
|f(x)-(ax+b)|＜ε0が常に成り立てばy=ax+bはf(x)の漸近線である。　…(*)

x→±∞：{f(x)/x}=a　…�@とは、
任意の十分小さい正の数ε1に対して正の数δ1が決まり、|x|＞δ1なる全てのxに対して
|{f(x)/x}-a|＜ε1 が常に成り立つ、ということである。
これにより、
a-ε1＜f(x)/x＜a＋ε1、両辺aで割って
1-ε1/a＜f(x)/ax＜1＋ε1/a、ここでaは定数よりε1/aは任意の正数ε'に置き換え
てよい。すなわち、
1-ε'＜f(x)/ax＜1+ε'（ただし、|x|＞δ1）と書ける。
よって、x→±∞：{f(x)/ax}=1は�@と等価。（以下、相当大雑把）
ここでf(x)+□(定数）を考えると、x→±∞：{f(x)/ax}=1より、{(f(x)+□)/ax}=1
つまり(□/ax)=0　(x→±∞)であり、このときf(x)の傾きは直線y=axに限りなく近づいて
いることがわかる。
（□の分だけf(x)をy軸方向に移動させても極限値に変化なし、つまりy=axに平行)
これにより、f(x)の漸近線の傾きを�@を用いて求めることができる。

またx→±∞：{f(x)-ax}=b とは、…�A
任意の十分小さい正の数ε2に対して正の数δ2が決まり、|x|＞δ2なる全てのxに対して
|{f(x)-ax}-b|＜ε2 が常に成り立つ、ということである。
これにより明らかに |f(x)-(ax+b)|＜ε2 が成り立ち、�@�Aを用いて求めた
a,bから導かれる直線y=ax+bは、(*)よりf(x)の漸近線である。

>>59
>>6, >>12, >>18 を読んだ奴等が1の実力を過大評価したのだろう。
>>20, >>47 を最初に書けばもうちょっと・・・

>>60
数列a_nがn→∞で極限値αに収束することを高校では「限りなくある値αに近づく」
という非常に曖昧な言葉で済ませてしまう。それを具体的に評価する手法がε-δ論。
1/n→0(n→∞)はあたりまえと思っているかもしれないが、これがどういうことか
ε-δ論で説明してみると、

まず、十分小さい正の数εを好きにとってくる。

その好きに選んだ数εに対し、ある番号Nが決まる。その番号Nとは、
これより大きな全ての番号n(つまりn>Nなるn)で|1/n-0|<εとなるようなものである。

言い換えると、
Nより大きな番号nにおいて、1/nは-εとεという十分小さい範囲におさまるということ。
このNは最初に選んだ正数εによって決まっていることに注意。

このεを、初めに「どんなに小さく」とったとしても、それに対して「常に」ある番号
Nが決定できるとき、必然的に1/n→0であると言えるよね？

この例では任意の正数εをε=1/Nととったとき、この番号Nより大きい全てのNに対して
|1/n|<εとなるから、1/n→0。

α-εとα+εという範囲をどれだけ小さくしていっても、εが決まる都度、番号Nを
うまく取ってa_nをその範囲内に収めることが可能なら、つまりそれはa_n→αである
ことに他ならない。

関数の極限については、番号Nの代わりに正数δを使う。考え方はほぼ同じ。

非常に偉そうに書いたが、賢い方不備があれば突っ込みを。
>>60の文、何か変じゃないか？

>>61
確かにそうかもしれません。
わたしはただ、イプシロン・デルタの問題がたくさん載っている問題集等が、知りたいだけなのです。
なぜなら私は、ちょっとひねったイプシロン・デルタの問題を出されると、とたんに解らなくなってしまいます。
ですから、それを克服するために、問題にたくさんぶつかってみたいために、このスレを立ち上げました。
ちなみに>>47以降の問題は、全くわかりません。

任意の正の数εに対して「ｎ＞ｍ　⇒　｜ａｎ−α｜＜ε」を満たすｍが存在する。
任意の正の数εに対して「ｎ≧ｍ　⇒　｜ａｎ−α｜＜ε」を満たすｍが存在する。
任意の正の数εに対して「ｎ＞ｍ　⇒　｜ａｎ−α｜≦ε」を満たすｍが存在する。
任意の正の数εに対して「ｎ≧ｍ　⇒　｜ａｎ−α｜≦ε」を満たすｍが存在する。

…ぜんぶ同値である。何故か？

>>1
基本問題でいいなら。当然ながら以下全部n→∞。

以下を示せ。

1.a_(2n-1)→L,a_(2n)→L ⇒ a_n→L

2.a_n→L　⇒　{a_n+a_(n+1)}/2→L

3. a_n→L　⇒　(a_1+a_2+...+a_n)/n→L

4. 上の命題はLが有限確定値でなくても成り立つ。

5. a_n>0, a_n→L ⇒　(a_1*a_2*...*a_n)^(1/n)→L

6. a_n→L ⇒　{na_1+(n-1)a_2+...+a_n}/n^2→L/2

7. a_n>0, {a_(n+1)}/{a_n}→L ⇒ (a_n)^(1/n)→L

8. 0<b_1<b_2<... , b_n→+∞,{a_(n+1)-a_n}/{b_(n+1)-b_n}→L
　　⇒　(a_n/b_n)→L

どう？

詳説演習・微分積分学（培風館）より抜粋。
↑結構使える。浅く広くだから数学専門にするにはちと不十分だが工科
にはこれで十分。あまり詳しくはないけど、その分自分で考えさせられる。

>>64
工科の俺にはムリ…。

hypoさんありがとうございます。
考えてみます｡

＞ちょっとひねったイプシロン・デルタの問題を出されると、
＞とたんに解らなくなってしまいます。
君は問題集探すよりも手元にある本をちゃんと理解したほうがよさそうだ。
煽りじゃないぞ。アドバイス。

>>65
イヤまあその・・・64は屁理屈みたいなモンだから・・・

>>68
なんか定義から考えたら>>64あたりまえのような気もするんだが…

＞任意の正の数εに対して「ｎ≧ｍ　⇒　｜ａｎ−α｜≦ε」を満たすｍが存在する。

なんか微妙に収束の定義になっていないような気が・・・

>>64
ｍ の代わりに ｍ±1
ε の代わりに 2ε，ε/2 とか考えたら自明

＞ 2ε，ε/2
εの性質を予め利用しているように思われ

>>72
別に問題ないっしょ

>>72
εは単なる実数だから性癖も糞もない。

(1) 任意の正の数εに対して「ｎ＞ｍ　⇒　｜ａｎ−α｜＜ε」を満たすｍが存在する
(2) 任意の正の数εに対して「ｎ≧ｍ　⇒　｜ａｎ−α｜＜ε」を満たすｍが存在する
(3) 任意の正の数εに対して「ｎ＞ｍ　⇒　｜ａｎ−α｜≦ε」を満たすｍが存在する
(4) 任意の正の数εに対して「ｎ≧ｍ　⇒　｜ａｎ−α｜≦ε」を満たすｍが存在する

(2)⇒(1) 自明
(1)⇒(3) 自明
(3)⇒(4) ｍ の代わりに ｍ−１ を考える
(4)⇒(2) ε の代わりに ε/2 を考える

盛り上がってきましたね〜〜〜

>>76
他人事みたいに言ってるけどキミは64わかるの？

>>1は今までに出て来た問題解いてるのか？例えば>>23なんかは基本的だぞ。

今井さんのこと知ってる人教えてー

ホントに困ってるのかと思ったら…
ε‐δのレス書かせて喜んでるだけだったのか。
激しく萎えた。

■■■■終了■■■■

1が厨房なのはレスの態度から自明なんだがな

位置より今居

>>76はニセモノです。
私はホントに困ってます。

ここでちょっと、皆さんに質問なのですが、皆さんがε‐δを勉強したときは、どうでしたか？
やはり、スラスラと前に進みましたか？
レスを見ると、みなさんは頭がよさそうですからね、きっとスラスラと前へ進めたのでしょう。

それに比べ、私は全く前に進めません。
全くと言うわけではないのですが、多少ひねった問題を出されるともうお手上げです。

>>83
始めてε-δを学んだとき「そう！それだよ、それ！」という感じだった。

>>83
>ここでちょっと、皆さんに質問なのですが

そのまえに>>23,>>64,>>65やってみれ

２ちゃんに来る暇あったら本読んで考えたほうがいいと思うのだが。
それからこのスレに出てる問題解けよ。ぶっ飛ばすぞ。

>>86
最後の言葉に激しくﾜﾗﾀ

>>86
使わせてもらいます。＜ぶっ飛ばすぞ

>>86
あなたは最低です。
こんなところで恐喝しないでください。

>>89
ハァ？ぶっ飛ばすぞ。

>>90
おまえもぶっ飛ばすぞ。

>>91
ハァ？お前なんか本気の十分の一でぶっ飛ばせるぞ。

初めて、ε-δが何を言っているか解ったときは、感動だったな〜
でも、ε-δを学生に教えるのは地獄だ！
わかんない奴は、いくら説明してもダメなのよ
これ、逆上がりぜんぜんできない子に、逆上がり教えるのと同じで、無理

>>92
おれは１００分の１のちからでぶっ飛ばせるよ。
いや、おれは１０００分の１の力で・・・
おれは１００００分の１の力で・・・・

おぉ！！これぞまさにε-δ！！

>>94
やっと俺の意図が分かってくれたか。

「最大の数を言う」競争をソフィスティケートしたような論法。
不等式の重要性を改めて認識した

偉い人にはそれが分からんのです

おもしろいね。age

ε-δ論法最高！！

100は私がいただきましょう。
>>94
その例、ちょっとわかりやすいかも？？

え？そういう感じに理解するの？>>95
この場合、収束するのと、発散するのと二つのパターンを用意するべきだよね？

あなたが私を愛す以上に私はもっともっと貴方を愛します

http://love.2ch.net/gay/

ｲﾌﾟﾂﾛｿﾃﾞｿ夕？ぶっ飛ばすぞ？

>>103
なんやねんそれ・・・

age

>>103
×ｲﾌﾟﾂﾛｿﾃﾞｿ夕
○ｲﾌﾟﾂﾛﾝﾃﾞﾉﾚﾀ

>>101
おまえそれって、田島の本のぱくりまんまじゃん・・・・

大丈夫。１はちゃんと読んでないからパクってもバレない。

ﾄﾌﾟﾂﾛｿﾃﾞﾉﾚﾀ号発進！

で、おれは田島本でP.26の問８までしか進んでない。

遅いよ（ｗ

ひらがなで書くと・・・

とぷつろそでのれた

わけわかめ（ｗ

>>101
田島一郎の｢イプシロンーデルタ｣からのパクリですね。

そうだけど何か？

>>113
おおもとはベートーベンの書いた恋文からだし
いいんでねーの？

最近は、これがのってない微積の本が増えました。

いい本はないの？

お前がいいと思った本がいい本だよ。あと過去ログ読め。

今日はP.26の問9まですすみました。
じゃぁ、また。

少しずつだがわかってきたぞっ！！

いちいち下らん書き込みでスレ挙げんな。うざい。

いぷつろそでのるた？　ﾌﾞﾄｰﾊﾞｽｿﾞ?

×いぷつろそでのるた？　ﾌﾞﾄｰﾊﾞｽｿﾞ?
○いぷつろそでのれた？　ﾌﾞﾄｰﾊﾞｽｿﾞ?

http://www.geocities.co.jp/WallStreet-Bull/7491/

昔ふぃっぽふぁみりーくらぶでだしてたような本のような解説で
ε-δをやってみたらええとおもうんじゃが。

もともと、ある式が収束する時にε−δを使うんですよね？

>>136
いやいや、発散でも使えます。

だれか、簡単な自作の問題出してよ。

http://rumi-music.com/
http://www3.to/pink-alliance
http://rumi-music.com/
http://www3.to/pink-alliance
http://rumi-music.com/
http://www3.to/pink-alliance

>>139
x_nを√2*n^2の小数部分とする。(n=1,2,3,4…)
また0≦a<b≦1とした時、N以下の自然数でa≦x_n≦bとなるnの数をf(N)とすると、
f(N)/N→b-a(N→∞)となる事を証明してみ。

>>141
ちょっと難しいね。

結局、田嶋の本以外は情報なし？

確か、最近の微積の本は、これが重視されない傾向にあるね。

多分これが載ってるっていうだけで大半の奴はアレルギーが出ちゃうんじゃないか？
それで「これ難しそうだからいいや」ってなって買わない。結果売れない。

あのさ、「そのまま使える答えの書き方」シリーズに、
いぷつろそでのれ　の奴もあったと思うが、読んでミロ。

このスレも見とけ
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1013324981/47-

>>146
詳しく教えて

講談社サイエンティフィク
「微積分と集合　そのまま使える答えの書き方」
飯高茂／編・監修
ISBN4-06-153957-4
定価：本体2000円(税別)

約170ページ程の薄い本。

受験数学で病んだ人々のすれ

>>150
その逆じゃない？
イプシロンーデルタって、受験数学から見れば、遠いところにあるものだと思うよ。

「新しい論理序説」/本橋信義著（朝倉書店）が分かりやすかった．
結構薄めの本なので読んでみては？

ageダマン

>>151
だからこそ受験数学でやんでしまった人たちにこのスレを捧げたい

ないのかな？

受験数学中毒のリハビリに必死な人々のすれ

f(x)=2x
lim2x=2
x→1
を、イプシロンデルタでかなり解りやすく（はしょらないで定義どうりに解説しながら）書いて！

>>158
2x → 2 (x → 1)を示すためには

任意の正実数ε>0に対して、
正実数δ(ε)>0が存在し
任意の実数xに対して
|x-1|<δ(ε)　ならば　|2x-2|<ε
が存在する。

ことが示せれば良い。

ここで
δ(ε)=ε/2
と定めれば上記の命題は成立する。

実際、
|x-1|<δ(ε)　
|x-1|<ε/2
2|x-1|<ε
|2(x-1)|<ε
|2x-2|<ε
であるから
|x-1|<δ(ε)　ならば　|2x-2|<ε
が成立する。

以上

>>159
訂正です。

任意の実数xに対して
|x-1|<δ(ε)　ならば　|2x-2|<ε
が存在する。

「存在する」ではなく「成立する」です。

>>159
＞ここで
＞δ(ε)=ε/2
＞と定めれば上記の命題は成立する。

どうしていきなりこうゆう風なことが導けるのですか？
これは、解の公式を使わない因数分解のように、当てずっぽうに置き換えていくしかないのですか？

>>161
|2x-2|<εを|x-1|について解く。

>>158の問題に関して、
>>149に既出だが

講談社サイエンティフィク
「微積分と集合　そのまま使える答えの書き方」

を勧めておく。この本はδ(ε)の構成法の解説が詳しい。

ε−δはほどほどにしておいて，どんどん先に進んだ方がいいよ．
微分・積分の諸証明をなぞってるうちに自然に使えるようになるから．

http://www.ed.kagu.tus.ac.jp/~j2200213/
読め

>>164
コーシー列とかデデキント切断を自然に使えるようになったら、
あんた、そりゃ天才でしょ（ｗ

数列とか関数の発散はεδ論で説明できるの？

>>167
数列が収束することの定義を ε-δ 論法？ で行うのは当たり前なんだから

発散する = 収束しない

として簡単に説明できるんじゃない。

任意の正の数 ε に対してある自然数 N が存在し、
N < n ならば

| A(n) - α | < ε

この条件を逆にすればいいんだろ、簡単じゃない

>>166
その程度で天才ならイクラでもいるだろ

>>168
ぬぁるほど。サンキュー。
ちょっと考えてみるよ。

>>169
その程度でとか言って
「僕ちゃんならもっと出来ちゃうんだから」という自慢をはじめるバカ
ハケーン！
ほんと簡単に釣り上げられてるな、このばか（ｗ

>>

おい172。ちゃんとレス書け

あと169.。つまらない煽りにのるなよ。
171が思わず反応してしまう書き込みしたお前がうっかりさんなだけだ。

>>167

数列a_nがn→∞とき、正の無限大に発散
⇔任意の十分大きな正の数Gに対し番号Nが決まり、
N<nなるすべてのnについてa_n>Gが成り立つ。

とかでいいんちゃうかな。

>>174
＞任意の十分大きな正の数G
ばーか。

>>175
ずっとついて来てくれるんかい？

>>174
ぬぁるほど、それっぽい！
サンキューです。

>>168
「収束しない」＝「発散する」または「振動する」では？

a(n)=(-1)^n　は収束しないが発散もしないよ。

>>178
え？

発散の定義って振動も含んでなかったか？

>>178
えっ、そうだっけ。調べてみます。
間違えていたらゴメンなさい。

>>179
収束しない数列は発散するってこと

だよな？
そういや振動って、どう定義されてんだろ。

>>181
有界で収束しない数列とか・・・

>>182
俺もそう思ったけど…。
a_n = n*(-1)^n
とかは？

>>181=183
ｺﾞﾒｿ

a_n = n＋(-1)^n はどうなんやろ？

>>183

あ、そか
結構難しいかも

>>185
こりゃ発散だろ。

いや、発散だけど、振動かどうか聞きたい

>>187
っていうか、そもそも
収束しない場合の定義は、あくまでも「収束しない」であってそれ以上でも
以下でもないんじゃないの・・・

つまり、振動なんて言う定義は存在しないとか・・・

>>189
…なるほど、って感じではないが。
なんか曖昧だね。

>>188
ｺﾞﾒﾝ。振動じゃあないんじゃないかな。
…これも、そんな気がするってだけで
すごい曖昧だけど。

>>183

わからないんだから曖昧になるのも仕方がない。
しかし、実際にさ収束しない場合って言うのを考えてみたら色々あるよ

例えばこんな場合って、なんて言えばいいのかね

すべての有理数で構成された空間を考える。
で、この空間上の数列

A_n = Σ(k=1,n)(-1/k)

を考えたとすると、この空間では収束しないことになるよな。。。
こんな場合をどういう風に表現するんだ、

振動でも発散でもないような気がするぞ

>>192
間違えた

A_n = Σ(k=1,n)(-1/k)

じゃなくって

A_n = Σ(k=1,n)((-1)^k/k)

>>179_180
以下の参考文献で調べてみました。
>>179さんのおっしゃる通りでした。ゴメンなさい。

実数列a(n)に関して

{a(n)}は発散する ⇔(定義) {a(n)}は収束しない

であり、発散の様子の分類として

1.+∞に発散する　（この定義が>>174）
2.-∞に発散する
3.振動する(収束せず+∞にも-∞にも発散しないという形で定義)

の3種があるということでした。

微分方程式の解の安定性の議論が卒論で
収束、＋−無限大に発散、振動の分類に過敏になっていたためとはいえ
このような無様な書き込みをしてしまい申し訳ありませんでした。

参考文献
「わかるイプシロン・デルタ」　細井勉　日本評論社　P.52
「微積分と集合　そのまま使える答えの書き方」　講談社サイエンティフィク　P.95
「解析入門�T」　杉浦光夫著　東京大学出版会　P.12
「解析入門」　小平邦彦著　岩波書店　P.37.38
「解析入門」　田島一郎著　岩波書店　P.17.18
「初等解析学」　吉永悦男著　培風館　P.51

>>194
サンクス

で、収束の定義についてはわかったとしてだ
収束しない場合はそんな感じにしか分類できないんだ・・・・

なるほどねぇ
あんがと

>>194
数列a_n=n*(-1)^n(>>183)
どうなんやろ…載ってない？こういうの。
ウザかったら放置で。

>>194の補足

「振動する」という用語があったのは、参考文献の内の上２冊だけです。

微分方程式の解f(x)が振動するということの定義は
f(x_n)=0 となる実数列x_nが存在することです。

>>192
有理数のみからなる空間…。
それだったら「有界な有理数列が常に収束するとは
限らない」、と言うしかないか。
Weierstrassの定理が成り立たないからね。それ以上考えられなくないか？

>>197の訂正
実数列ではなく狭義単調増加列です。

>>196
分類上、数列a_n=n*(-1)^n　は
収束せず、＋∞にも−∞にも発散しないから
振動するということになります。

分類としては「その他」の部類に「振動」が属します。

数列ではなく関数の場合は>>197を参考にしてみて下さい。

>>198
だろ、やっぱり、収束しない場合は収束しないと言うしかないわけだ。

ということで、このネタ、オレ的には終了

>>200
サンクス。>>194が参考挙げてくれたからもういいや。

>>200>>198>>192
「収束する・しない」と
「収束先が考えている空間内に存在する・しない」は
異なる議論ですよねえ？
詳しく考えたこと無いけど。

>>202

同じだろ、そもそも収束の定義自体距離空間を定義しないと
できないものなんだからさ、

収束するということは収束先がその空間内にないといけない。

実数で構成された空間内では、
1/n → 0
Σ[1,k](1/n)^2 → π^2/6
しかし有理数のみで構成された空間内では、
1/n → 0
Σ[1,k](1/n)^2 → （…無い）、よって収束しない。
って感じかな？

Σ[1,k](1/k)^2だ、ｺﾞﾒｿ

>>183
あとは、距離もどうやって定義するのかだよな
それによっては面白い収束の話ができそうだ

Σ[1,n](1/k)^2だ…鬱。ホントごめん。

>>206
有理数のみからなる空間内での距離か。
案外難しそう。

>>207
普通に考えたら

|a-b|

でいいじゃない。
ただし、面白い距離を定義しようと思うと結構頭ひねるよな・・・

適当に距離を定義して有理数のみからなる距離空間が完備になるように設定するとか・・・
あるいはほとんどの場合数列が収束しないような距離を定義してしまうとか・・・

面白いかもしれないけど難しいわな

関数の極限の定義
０＜｜f(x)-α｜＜ε
｜f(x)-α｜＜ε
これはどっちでも良いのですか？

上の方が扱いにくいが、どんな関数にも対応してるので、上だけで足りると思うのだが・・・

>>209
なんか、よく意味がわからないが・・・

関数 f(x) = α

なんて言う関数の極限を考えたとき、上の定義だと駄目なんじゃないの？

ていうかそもそも、>>209 は文章を省きすぎだと思うぞ、全くワカラン

すまん、ちゃんと書きます。
本によって、関数の極限の定義が
∀ε＞０、∃δ＞０：０＜｜f(x)-α｜＜δ ⇒｜f(x)-α｜＜ε・・・�@
∀ε＞０、∃δ＞０：　｜f(x)-α｜＜δ 　⇒｜f(x)-α｜＜ε・・・�A
の２種類ありますが、どっちでも良いのですか？

上の方が扱いにくいが、どんな関数にも対応してるので、上だけで足りると思うのだが・・・

>>211
なんか絶対に違うだろ、
滅茶苦茶勘違いしてるっぽい

・・・・・・・・・・・
再度訂正

∀ε＞０、∃δ＞０：０＜｜x-a｜＜δ ⇒｜f(x)-α｜＜ε・・・�@
∀ε＞０、∃δ＞０：　｜x-a｜＜δ 　⇒｜f(x)-α｜＜ε・・・�A

みなさんすいません

>>213
なぁ、関数の連続性の定義のつもり・・・・なの？
まだよくわからない。

逆じゃない
　どこが逆になるのかは自分で考えるように

>>214
ごめん、今度はオレが間違ってた。。。
すいません、偉そうにしてました。

お互い間違いまくり・・・・
鬱だ・・・

>>213
考えて分からない場合には
「解析入門」田島一郎著　岩波全書　
のP.20.21とP.83.84を読んでみたら

�@の場合は、 ０＜｜x-a｜＜δ だからx=aは考えない.
この極限の定義では、
「x=aでのみ不連続」な関数のx=aでの極限を表わすことが出来る.

�Aの場合は、｜x-a｜＜δであればよいからx=aもよく考えないといけない.
こちらの極限の定義では、
「x=aでのみ不連続」な関数のx=aでの極限を表わすことは出来ない.

しかし、連続関数の微分を考えるときには�Aの定義でも良い.

という風に考えたんだけど、如何？

>>

エイジ

>>208
d(a,b) = |a-b|/(1+|a-b|)
d(a,b) = |Tan^-1(a) - Tan^-1(a)|
とかはどうよ？

>>221
＞d(a,b) = |Tan^-1(a) - Tan^-1(a)|
これって
d(a,b) = |Tan^-1(a) - Tan^-1(b)|
ではないのか？（藁

｢[マンガ]数学が驚異的にわかる｣
　H・スワン＆J・ジョンソン　訳　山崎直美　白楊社　２０００円
｢わかるイプシロン・デルタ｣
　細井勉　日本評論社　１８９０円