楽しい演習---線形代数編
87 ：１３２人目の素数さん：
これ、どうやって解くのですか？
せめてヒントだけでも知りたいのですが。
321 ：１３２人目の素数さん ：02/08/24 09:18
これやってみろよ（京大院）
□
k:体、Ｍn(k):k上のｎ次正方行列全体の作るベクトル空間。
Ｍn(k)の部分ベクトル空間Ｖが次の性質をもにみたすものとする
Ｖの０でない任意の行列Ａは正則行列である
このとき
（１）dimＶ =< ２ を示せ
（２）ｋが実数体Ｒで ｎ＝２のとき、dimＶ＝２ となる
Ｖの例をつくれ
せめてヒントだけでも知りたいのですが。
321 ：１３２人目の素数さん ：02/08/24 09:18
これやってみろよ（京大院）
□
k:体、Ｍn(k):k上のｎ次正方行列全体の作るベクトル空間。
Ｍn(k)の部分ベクトル空間Ｖが次の性質をもにみたすものとする
Ｖの０でない任意の行列Ａは正則行列である
このとき
（１）dimＶ =< ２ を示せ
（２）ｋが実数体Ｒで ｎ＝２のとき、dimＶ＝２ となる
Ｖの例をつくれ
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88 ：１３２人目の素数さん：02/08/28 20:12
>>87だった…
90 ：１３２人目の素数さん：02/08/28 23:37
Aを実対象行列（すなわちtA＝Aをみたす）とすると、Aの固有値は全て実数であることを示せ。
Bが実行列のときtBBの固有値は、非負実数であることを示せ。
誰か解いて
Bが実行列のときtBBの固有値は、非負実数であることを示せ。
誰か解いて
91 ：１３２人目の素数さん：02/08/29 00:28
>>88
うん、鋭い。わかりやすく表現を考えると、
1 0 0 0 0-1 0 0 0 0-1 0 0 0 0-1
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0-1 0
0 0 1 0 0 0 0-1 1 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0-1 0 0 1 0 0 0
で生成される空間が反例になるね。これらの行列を1,I,J,Kとおくと
a+bI+cJ+dKの行列式は(a^2+b^2+c^2+d^2)^2となり可逆になる。
入試本部はどうするんだろね。黙殺されるのか？
うん、鋭い。わかりやすく表現を考えると、
1 0 0 0 0-1 0 0 0 0-1 0 0 0 0-1
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0-1 0
0 0 1 0 0 0 0-1 1 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0-1 0 0 1 0 0 0
で生成される空間が反例になるね。これらの行列を1,I,J,Kとおくと
a+bI+cJ+dKの行列式は(a^2+b^2+c^2+d^2)^2となり可逆になる。
入試本部はどうするんだろね。黙殺されるのか？
92 ：91：02/08/29 00:33
>>88
うん、鋭い。わかりやすく表現を考えると、
1 0 0 0 \ 0-1 0 0 \ 0 0-1 0 \ 0 0 0-1
0 1 0 0 \ 1 0 0 0 \ 0 0 0 1 \ 0 0-1 0
0 0 1 0 \ 0 0 0-1 \ 1 0 0 0 \ 0 1 0 0
0 0 0 1 \ 0 0 1 0 \ 0-1 0 0 \ 1 0 0 0
で生成される空間が反例になるね。これらの行列を1,I,J,Kとおくと
a+bI+cJ+dKの行列式は(a^2+b^2+c^2+d^2)^2となり可逆になる。
入試本部はどうするんだろね。黙殺されるのか？
うん、鋭い。わかりやすく表現を考えると、
1 0 0 0 \ 0-1 0 0 \ 0 0-1 0 \ 0 0 0-1
0 1 0 0 \ 1 0 0 0 \ 0 0 0 1 \ 0 0-1 0
0 0 1 0 \ 0 0 0-1 \ 1 0 0 0 \ 0 1 0 0
0 0 0 1 \ 0 0 1 0 \ 0-1 0 0 \ 1 0 0 0
で生成される空間が反例になるね。これらの行列を1,I,J,Kとおくと
a+bI+cJ+dKの行列式は(a^2+b^2+c^2+d^2)^2となり可逆になる。
入試本部はどうするんだろね。黙殺されるのか？