楽しい演習---線形代数編

これ、どうやって解くのですか？
せめてヒントだけでも知りたいのですが。

321 ：１３２人目の素数さん ：02/08/24 09:18
これやってみろよ（京大院）
□
k:体、Ｍn(k):k上のｎ次正方行列全体の作るベクトル空間。
Ｍn(k)の部分ベクトル空間Ｖが次の性質をもにみたすものとする
　　Ｖの０でない任意の行列Ａは正則行列である
このとき
（１）dimＶ　=<　２　　を示せ
（２）ｋが実数体Ｒで　ｎ＝２のとき、dimＶ＝２　となる
　　　Ｖの例をつくれ

>>88
(1)これ本当？（Hamiltonの四元数体はR上4次元だし）
(2)複素数体

>>87だった…

Aを実対象行列（すなわちtA＝Aをみたす）とすると、Aの固有値は全て実数であることを示せ。

Bが実行列のときtBBの固有値は、非負実数であることを示せ。

誰か解いて

>>88
うん、鋭い。わかりやすく表現を考えると、
1 0 0 0 0-1 0 0 0 0-1 0 0 0 0-1
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0-1 0
0 0 1 0 0 0 0-1 1 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0-1 0 0 1 0 0 0
で生成される空間が反例になるね。これらの行列を1,I,J,Kとおくと
a+bI+cJ+dKの行列式は(a^2+b^2+c^2+d^2)^2となり可逆になる。
入試本部はどうするんだろね。黙殺されるのか？

>>88
うん、鋭い。わかりやすく表現を考えると、
1 0 0 0 \ 0-1 0 0 \ 0 0-1 0 \ 0 0 0-1
0 1 0 0 \ 1 0 0 0 \ 0 0 0 1 \ 0 0-1 0
0 0 1 0 \ 0 0 0-1 \ 1 0 0 0 \ 0 1 0 0
0 0 0 1 \ 0 0 1 0 \ 0-1 0 0 \ 1 0 0 0
で生成される空間が反例になるね。これらの行列を1,I,J,Kとおくと
a+bI+cJ+dKの行列式は(a^2+b^2+c^2+d^2)^2となり可逆になる。
入試本部はどうするんだろね。黙殺されるのか？

>>87>>92
問題違ってたらしいぞ。もういっぺんやりなおし。
↓
すまんの。問題間違えてた。
　誤：（１）dimＶ　=<　2　　
正：（１）dimＶ　=<　n　　
もとい！
これやってみろよ（京大院）
□
k:体、Ｍn(k):k上のｎ次正方行列全体の作るベクトル空間。
Ｍn(k)の部分ベクトル空間Ｖが次の性質をもにみたすものとする
　　Ｖの０でない任意の行列Ａは正則行列である
このとき
（１）dimＶ　=<　n　　を示せ
（２）ｋが実数体Ｒで　ｎ＝２のとき、dimＶ＝２　となる
　　　Ｖの例をつくれ
□

上から２６枚目を左組とし、上から２７枚目から５２枚目を右組とし、１回シャッフルしたあとの新しいカードの順番が
上から左組の１枚目、右組の１枚目、左組の２枚目、右組の２枚目、・・・、左組の２６枚目、右組の２６枚目、
となるように左組と右組を交互に重ねていく。

さて、何回かのシャッフル後に元に戻りました。何回後でしょう？


放送大学の線形代数１の内容でこんな問題ちょろっと最後に出し逃げしてた。
俺は大学で線形代数の単位取ったけど、線形代数使って解けないのでシュミレーションしてみた。
結果８回で出来るって事になった。合ってるのだろうか…。
解き方知ってる人教えて〜！！

↑
置換行列で表して3回2乗すると単位行列になる。

>>93
(1)
Vに1次独立な(n+1)個の行列があったとして、それらの行列たちの第１列目からなる(n+1)個の列ベクトルは
1次従属である。このことから第１列が零ベクトルの行列がVに含まれ矛盾。 □

>>93>>97
(2)
[1 0] [0-1]
[0 1] [1 0]
この２つを基底とするＶが
その例。

１−１÷０はいかが？

iine

東工大院１９９０年度入試より
問題■
有限個以外の項が０である無限実数列
ｘ＝｛ｘｎ｝＝｛x1,x2,・・・｝全体のなす集合Ｖを
ａ｛ｘｎ｝＋ｂ｛ｙｎ｝＝｛ａｘｎ＋ｂｙｎ｝
により線形空間とし、内積を（｛ｘｎ｝,｛ｙｎ｝）
＝ｘ１ｙ１＋ｘ２ｙ２＋・・・で入れる。
Ｖの部分空間Ｗに対し、任意のＷの元ｙに対し
（ｘ、ｙ）＝０となるＶの元ｘ全体のなす部分空間を
ｔ（Ｗ）とする。ｔ（ｔ（Ｗ））＝Ｗ　とならないＷの
例をあげよ。
■
これって、たとえば、
Ｗ＝｛Ｚ,０,０,・・・｝　Ｚ：整数全体
がその例、でいいの？

>>95
左組の２枚目（他も同じだろうけれど）
ここの数値の遷移を観るとわかるかも（０〜５１の通し番号）。
偶数の時は、２で割られ、
奇数の時は、（５２−１）を加えてから2で割った値が次の値になっている。

>>101
あなたの例はベクトル空間になっていません。

W＝有限個の成分を除いて0であるような列の全体

でいいんじゃーないですか？
T(W)は{0}ですね。

>>104
その場合T(T(W))=Wになっちゃいます・・・。

＞＞１０３
なんで？
Ｗ＝｛（ｘ,０,０,・・・）；ｘは整数｝はベクトル空間になっていないの？

>>106
実数倍で閉じていない。

＞＞１０７
整数倍で閉じている、といってはいけないの？

＞１０８
>>101のＶは,題意から,明らかに実数体上のベクトル空間です。
あとは部分空間の定義を復習してください。

>>101
例えば初項と第2項が等しい数列とかはどうでしょ。

>>110
正解です。

>>110
それだとＷ＝Ｔ（Ｔ（Ｗ））になってしまいませんか。

>>112
T(T(W))の要素は第一項と第二項が等しくなってないです。

>>113
T(W)=(x,-x,*,・・・)
なんでしょう？違う？

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>>114
ふーむ。第一項と第二項以外は０って部分空間だと無理って事ですか。
それじゃその2つの項が同じって制限だけの部分空間にして下さい。Wを。

む。それでも無理ですな。んじゃもうちょっといじってみまする。

んじゃ全部足して０。これしか思い浮かばんかったっす

T(W)から適当に一つ。a={an}をとってくる。
0=(a,{1,-1,0,0,…})=(a,{1,0,-1,0,0,…})=(a,{1,0,0,-1,0,…})=…より
0=a1-a2=a1-a3=a1-a4=…となってa1=a2=a3=a4=…
an≠0となるようなnは有限個しかないのでa=0しかない。

よってT(W)={0}。T(T(W))=V≠W。

今度こそあってて欲しいです

>>119
あなたの場合、Wは何ですか？
初項と第2項が等しい数列？

>>120
それ止めたです。面倒だったから。
119は118にも書いてあるとおり全部の項足して0になる数列で出来る空間W。

結局>>110はちゃうの？

さぁ？

110は不正解で118が正解でしょう。

>>124さんへ
>>110のＷの場合T(T(W))={(a,b,0,0,・・・)|a,b：任意｝だから110は正解ではないかな？

>>125
W=(a,a,x,y,z…)なら
T(W)=(p,-p,0,0,0…)
T(T(W))=(a,a,x,y,z…)

W=(a,a,0,0,0…)なら
T(W)=(p,-p,x,y,z…)
T(T(W))=(a,a,0,0,0…)

となっちゃったのですよ。

>>125
110だと、
T(W)=(x,-x,*,・・・)となるのだが、(a,b,0,0,・・・)と
T(W)の元である(1,-1,0,・・・)が直交しなければならず、
a=bとなってしまい、T(T(W))=Wとなってしまうのです。

>>126さん>>127さんありがとう

>>125さんへ
>>110のＷの場合T(T(W))={(a,b,0,0,・・・)|a,b：任意｝だから110は正解ではないかな？
110のＷの場合,W={(a,a,0,0,・・・)|a：任意｝,T(W)={(a,-a,＊,＊,・・・)|a：任意｝,T(T(W))={(a,a,0,0,・・・)|a：任意｝
となって、W=T(T(W))になってしまわないの？

>>129さんへ
ご指摘ありがとうございます。T(W)={(0,0,*,*,・・・)}というミスを犯していました。

>>118
ずいぶん難しいんですね。
で正解は？

ある意味>>101が正解だったほうが気持よかったなあ。

>>105
ならないよ
Wは閉部分空間でないから

>>133
なります。

W＝有限個の成分を除いて0であるような列の全体
とすると
T(w)={0}
T(T(w))=全空間≠W

>>135
あなたは勘違いをされています。
よく考えてみてください。

有限個以外の項が０である無限実数列と
有限個の成分を除いて0であるような列の全体

の違いさえ説明できれば勘違いじゃないよ

>>137さんに質問
結局>>105は正しいのですね？

有限個以外の項が０である無限実数列と
有限個の成分を除いて0であるような列の全体

同じ意味だろ

有限個以外の項が０である無限実数列＝全空間
だったのか。
える２空間と思い違いしてますた。

ちょっと考えてみたけどそれなら>>118が正解だね。
W={{x_n}|Σx_n=0}
とすると T(W)={0}
∵　
a=(a_1,a_2,…,a_n,0,0,…)で a1,…,an のうち０でないものがあるなら，
b=(a_1,a_2,…,a_n,-Σ[k=1 to n]a_k,0,0,…)∈W をとると
<a,b>＞0

したがって　T(T(W))=全空間≠W　となる。

第n項が1,第(n+1)項が-1で、残りの項が全て0であるような無限実数列をe_nとする。
このようなe_1,e_2,...全体で張られるVの部分空間をWとせよ。(1,0,0,0,...)がWに含まれないので
WはVとは一致しない。
しかし、t(W)は、すべての成分が等しい数列なので(0,0,0,...)のみを元とする部分空間である。
故に、t(t(W))=Vとなるので、t(t(W))はWと等しくない例を与える。□

118=141と142は同じ例だろうが。

>>143
それじゃ、少し変えておきます。

各自然数nに対し、第n項と第(n+1)項が0でない実数で、残りの項が全て0であるような無限実数列を一つ取りe_nとする。
このようなe_1,e_2,...全体で張られるVの部分空間をWとせよ。(1,0,0,0,...)がWに含まれないので
WはVとは一致しない。
しかし、t(W)の元は、すべての項が初項の0でない実数倍である数列なので、t(W)は(0,0,0,...)のみを元とする部分空間である。
故に、t(t(W))=Vとなるので、t(t(W))はWと等しくない例を与える。□

>>142
あっそうですか。
でも、これはあまり意味なさそうな一般化だな。取って付けたような。

>>143さん：
>>141-142の二つが同じものだと
すぐに気づいたあなたは
なかなかの者ですね。

対称行列 (a_ij)，a_ij＝1/(i+j-1)，i,j=1,…,n は正定値であることを示せ。

わかる人います？

＞１４７
自明

＞１４９
漏れも同意。

>>149-150
なんでなんで？？

In[8]:=
H[n_] := Table[Table[1/(i + j - 1), {i, n}], {j, n}]
In[9]:=
Table[Det[H[n]], {n, 10}]
Out[9]=
{1, 1/12, 1/2160, 1/6048000, 1/266716800000, 1/186313420339200000,
1/2067909047925770649600000, 1/365356847125734485878112256000000,
1/1028781784378569697887052962909388800000000,
1/46206893947914691316295628839036278726983680000000000}

禿しく外出

>>147

a_ij＝1/(i+j-1)＝∫[0,1]t^(i+j-2)dt

Σ[i=1〜n, j=1〜n] a_ij x_i x_j
＝Σ[i=1〜n, j=1〜n] ∫[0,1](x_i t^(i-1))(x_j t^(j-1))dt
＝∫(Σ[i=1〜n]x_i t^(i-1))^2 dt

>>154
わかったけど・・・
積分とか使わないでできないんだろうか？

微積の話に線形代数を使う問題：

f(x)>0, g(x)>0 とする。
(log f(x))''>0
(log g(x))''>0
のとき
(log(f(x)+g(x)))''>0
を示せ。

>>156
(log f(x))''＝(f(x)f''(x)-f'(x)^2)/f'(x)^2＞0
(log g(x))''＝(g(x)g''(x)-g'(x)^2)/g'(x)^2＞0
より対称行列
A=((f(x),f'(x))(f'(x),f''(x))
B=((g(x),g'(x))(g'(x),g''(x))
は正定値。従って A+B も正定値。
∴
(log(f(x)+g(x))''＝
((f(x)+g(x))(f''(x)+g''(x))-(f'(x)+g'(x))^2)/(f'(x)+g'(x))^2＞0

サイエンス社の数学演習書って、
●●演習　数学演習ライブラリ　っていうのと、
演習　●●
っていうのがありますよね。
関数論演習　数学演習ライブラリ
演習・関数論
みたいに。見かけまったく同じように見えるのですが、どちらがハイレベルですか？

>>147
正定値だけじゃなくって、Det[a_{ij}] じたいが
線形代数の演習問題によくあるから、探すとよい。

>>159
帰納法でできるのかな？
Detの数値は>>152にあるけど・・・

>>159
わからん。
しってるならなんかヒントください。

>>159,160
藤原松三郎「行列及ビ行列式」に n=3 の場合の計算法と
一般の場合の公式がある。

Σ1/k
は収束ですか？発散ですか？

>>163 発散だよ。

>>164
和を取る範囲もわからないのに言い切ったあなたは神ですか？

>>165
常識で判断すればいいんだよ。
会話では普通。

>>166
昨日からのマルチに、
マジレスしてはいけません。

>>166
数学にそういうファジーなやり方を持ち込む奴は数学に向いてないよ。

>>168
「ファジー」じゃないよ。
特定しなければデフォルトで通じるんだよ。

安易なカテゴリ分けは荒れの元。

>>163への対応の仕方（配点10点）

・�狽ﾌ範囲を問いただす→5点
・�狽ﾌ範囲を推測して回答する→1点
・スルー→10点

・今井数学で解いてあげる→100点

Σ1/p
の発散を証明せよ。

>>173
こっちはちょっとむずい。
オイラー積使うのと，
無限積の発散収束と級数の発散収束の関連づけ。

でもここ線形代数のスレだろ。
スレ違い。

>>147 >>159
できたよ。
ずっと考えてたけど昨日ふと思いついた。
数値で確かめたからきっと合ってると思う。

A_n＝(a_ij), a_ij=1/(i+j-1), i,j=1,…,n　とする。
このとき
det A_n＝1/Π[k=1 to n-1](2項係数(2k,k))^2×(2k+1)
となる。

det A_n＝1/(Π[k=1 to n-1](2項係数(2k,k))^2×(2k+1))

>>177
そういう書き方もあるか。俺が知っている表示は

det A_n = (Π[k=1 to n-1] k!)^4 ÷ Π[k=1 to 2n-1] k!
　　　　= (Π[k=1 to n-1] k!)^3 ÷ Π[k=n to 2n-1] k!

だ。もちろん答えは同じ。

類題で、B_n＝(b_ij), b_ij=1/(i+j+r-2) i,j=1,…,n-r+1 も
似た det になる。r は n より小さいとする。

>>176
数値で確かめたらあってる・・・けど
なぜそうなるのかわからん。
なんかヒントください。

>>179
ヒントは>>154だな。
あと「直交多項式」がキーワード。

>>180
知ってるやつにしか分からん渋いキーワードだな。

>>181
「ヒルベルト行列」という言葉が>>16 でｶﾞｲｼｭﾂだが、
ヒルベルトの原論文では、その渋いキーワードを使って証明。

他に、もう一つ有名な解法がある。ヒントは過去ログ参照。

>>173 Σ1/pの発散を証明せよ。
コーシー列じゃないことを言えばいいじゃん。

>>183
やってみな

あげ

>>184演習問題としてお前にやるよ。

Σ1/n＝Π_p Σ[k=0,∞]1/p^k＝Π 1/(1-1/p)＝∞　
より　Π(1-1/p)＝0

exp(-2x)≦1-x　(0≦x≦1/2)　より
0≦exp(-2Σ1/p)＝Πexp(-2/p)≦Π(1-1/p)＝0
∴Σ1/p＝∞

スレ違いだけど・・・

>>187
やっぱりオイラー積使わないとダメなんですね。

age

（＾＾）

n次正方行列(∀成分∈C)の一つの固有値をα、αの重複度をmとする。このとき、
　　　　dimＷ(α)≦m
となることを示せ。

Ｗ(α)ってナニ？
広義固有空間？

>>193
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1043492490/695

すいません、スレ違いな上にかなり初心者な質問なんですが、行列の基礎
（行列式、固有値、対角化など）についてわかりやすく解説しているサイト
があれば教えていただきたいのですが。。(>_<)お願いいたします！

>すいません、スレ違いな上にかなり初心者な質問なんですが

それより、マルチをやめれ

つーか、くだスレのレスの通りだ。教科書嫁。近道はない。

あげ

http://www.cybernet.co.jp/matlab/support/webcourse/linear/chap2.shtml
MATLABを使った線形代数入門