基礎論なぜなにスレッド その{φ,{φ}}

(　´�D｀)ノ＜　280と284を読むと何かわかったような気がするのれす

J.R.Shoenfield "Mathematical Logic"
Chapter 5. The Theory of Models
5.5 Complete Theories

Lemma1. For a consistent theory T,the following are equivalent:
a) T is complete
b) every two models of T are elementarily equivalent;
c) for every model A of T,T is equivalent to Th(A)

The theories T and T' are equivalent
if each is an extension of the other,
i.e.,if they have the same language
and the same theorems.

Two structure A and B for L are elementarily equivalent
if the same formulas of L are valid in A and B.
This clearly implies that A and B are models of the same theories.

このJ.R.Shoenfield "Mathematical Logic"のcompleteの定義
だと文句いって騒ぐ人がいるね。こうこれでいいと思うけど
ゲーデルの時代では、、、っていう人がでる予感。

>>286-287
"elementarily equivalent"が大事だよね。

>>288
ゲーデルの時代の意味でも、
完全性関連３定理から算術の不完全性定理はでたはずだけど。
（ちがったかな）
まあ、用語の違いは時代とともに出てくるのはしかたないなあ。
何某の定理も本人が「聞いてないよ」というくらい変わるもの。

>>288

A formula A of T is undecidable in T if neither A not ~A is a theorem of T;
otherwise, A is decidable in T. A theory T is complete if it is consistent
and if every closed formula in T is decidable in T.
This may be restated: T is complete if for every closed formula A in T,
exactly one of A and ~A is a theorem of T.

Shoenfieldの場合

Completeness Theorem
First Form (Goedel)

A formula A of a theory T is a theorem of T iff it is valid in T.

とあるけど、この意味で"complete"という言葉を用いることはないんだよね。
つまり、あくまで定理の名前として"Completeness Theorem"といってるだけ。

ただ、その立場を徹底させるためには定理の名称も変更するべきかもしれないね。

>>288
＞ゲーデルの時代では、、、っていう人がでる予感。

今どきそういうことをいうことはないだろ。

まあ、歴史研究をする人間が注意しなければならないとこだけど、
散々既出の話題ではあるね。

J.R.Shoenfield "Mathematical Logic"
Chapter 5. The Theory of Models
5.6 Categoricity

We say that a theory T is categorical if every two models of T are isomorphic.

For if T has an infinite model, then the cardinality theorem shows
that T has models of many different cardinalities; and two models
with different cardinals cannot be isomorphic.

漏れもなにか定義を書き込もうかな。

ZFCを最短文字数で構成してください

>>295
最短公理系競争は今世紀初頭に流行ったけど最近は流行らないね。

「ZFC」より短くって・・・２文字か１文字で表せってこと？

>>296
ただいま大ブレークってことですか？

そうか、ここ数年は「数年前」を「今世紀初頭」と表現できるのか！　カコイイ！

すまん。そういえばもう21世紀だったんだ（笑）

ちなみに古典命題論理の公理は確かニコーのシステムが最短だったはず。
20世紀前半にそれが最短であることの証明がなされてるです。

ZFC で最短がどうとかって話題はおれはしらないなあ。

あげとくね

所詮、ZFだと、公理型を含むから最短はナンセンス。
独立性なら意味あるけど。

age

日本に基礎論屋さん（？）ってどのくらいいるんですか？

>>304
プロの人がどれぐらいいるのかは分らないけど、
趣味レベルで関心持ってる人は多いんじゃないの？
おれは本もよく買ってるし、基礎論市場にも貢献してる
ほうだとは思う（藁。
おれは計算機方面の検証証明からの動機だけど、
他の素人さんはどういったところから？

ラッセルのパラドックスに感銘を受けたのが動機です。
修士で基礎論専攻して、２階算術で修論書いて、今は普通の民間研究員。

305だけど、306さんみたいなちゃんと教育を受けて
真っ当な仕事に就いている人をおれは素人とは呼びたくない（藁

「他の素人さん」と書いてあったね。スマソ。
俺は全く優秀ではないんで、素人と同レベルということで許して。
今やってる仕事は数学と無関係だし。基礎論は趣味で続けてます。

>>304
数論屋ﾘﾝｸみたいなのはあるけど基礎論は無いね・・・

集合のパラドックス発、ゲーデル経由、超準解析で挫折中。

物理的な直感が超準解析でオケーと勘違いして本読みましたが
新しい集合の構成でギャフンです。

違うルートにもなんとなく慣れたのでさらに離れてしまいましたが。

先生が「なんとなく」基礎論の雰囲気があった。
吉田洋一著「零の発見」で、（賢そうな）数学者もゼノンのパラドクスに
（本当は）明快な解答を出していないのが残念とか書いてあった。
ライフサイエンスライブラリー（昭和４０年）の「数の話」にゲーデル
のことが載ってた。
高校の教科書は、いやなが先生のだったし、予備校の元大学教授も基礎論
のような感じだった。
大学１年のときの数学の先生は数理論理学が専門だった。

数論屋で検索したら、今井が出てきた
( ￣□￣)y─~~
( ￣□￣)y＿

>>312
激しくﾜﾛﾀ

いまいって専門分野(w は数論だったのか？！　Σ(￣□￣)

ゼータ星人今井

河合文化研究所の数学基礎論シリーズはどうですか？

>>306

二階算術は、リッパな基礎論だね。
ちなみに僕は修論では証明からのプログラム抽出でなんか書いたけど
人にお見せできるようなものではないなぁ

>>305
＞おれは計算機方面の検証証明からの動機だけど、

それは御仕事ですか？

そっち方面だと、証明論とかモデル理論とかの高尚な理論やるより
命題論理とか述語論理の証明手続き（述語論理の場合には、証明
できないときは止まらない場合があるけど）とかやるほうが、
実際に役立つ感じがします。そのあたり、純粋数学と応用数学の
差みたいなものがありますね。

>>317
> 二階算術は、リッパな基礎論だね。
もちろんそのつもりで書いたのだけれど、確かに
「基礎論以外のことで修論を書いた」という風にも読めますな。申し訳ない。
因みに、私の修論も人にお見せできるような（略

ついでに２階算術の宣伝をしておこう。(w
選択公理関係の話題が好きな人は、２階算術の公理系を勉強すると、
選択公理の一部を制限した公理とかが出てきて面白いかも。特に逆数学はお勧め。
参考書としては、和書なら>>316の「逆数学と２階算術」、
洋書ならSimpsonの「Subsystems of Second Order Arithmetic」(Springer)かな。

＞洋書ならSimpsonの「Subsystems of Second Order Arithmetic」(Springer)かな。

しばらく前から品切れです。

>320
えらく専門的じゃない？
でも逆数学って、なんか数学じゃないみたいだね。

>>321
思いっきり専門的だね。
だから、まったく関心がない（ｗ

本の在庫情報だけなら、Springerのwebでわかるよ。

河合文化教育研究所の基礎論シリーズといえば、
「いざない」・「入門」・「入門への補追」を再編集したような本があると、
（できれば「集合論」も）
日本評論社の「基礎論講義」とうまく補っていいなとは思う。

関数全体がP(P(ω))になるのは何故？

いきなりωが出てくる理由がわからないぞ。
基数の演算とかは本を見てくださいね。

ＤからＤへの関数をグラフで定義するとする。
ＤとＤの直積の部分集合で関数の性質を充たすものが一つの関数を表現する集合。
だから、Ｐ（Ｄ×Ｄ）でおさえられる、
さらに関数全体はそのべき集合をとればいいのでたかだかＰ（Ｐ（Ｄ×Ｄ））となる。
そして、ω×ω＝ωであればＰ（Ｐ（ω））

>>325
恥ずかしい、自己訂正
＊325の下２行削除

＃おおぼけでした。

>>324は実数関数についての質問じゃないのかな？
ところで、>>325は半分しか説明してないですね。
部分集合は2値関数と見なせる（部分集合に属す時は１で属さない時は０）から
べき集合は関数全体の集合でおさえられます。
これと325をあわせれば、べき集合と関数全体の集合の濃度が一致することが示せます。

レスどうもありがとうございます。
たぶん分かったと思います。
関数が、直積の部分集合でＯＫっていうのが思いつかなかったです・・・
あと、一応確認したいんですけど、
この考え方で行くと、一点だけとか、平面全体とか、
めちゃくちゃな模様みたいなものとかもその中に含まれている
っていうことですよね？

なんか、よく考えたら、これだと余分なものが入りすぎてるような･･･
普段関数と読んでるものより、圧倒的に多くのなんだか分からない点の集合が入っちゃってるような･･･

ベルンシュタイン使えばいいじゃん。

（＾＾）

実数と有理数の直積で>>325のやり方を使うと、
一つの実数ｘに対して、有理数の部分集合が対応する関数が出来る。
で、有理数の部分集合は実数１コと同一視できるので、
この関数は一つの実数ｘに対して一つの実数ｙが対応する関数と同一視できる
で、その濃度はＰ（Ｒ×Ｑ）の濃度なのでやっぱり同じになる。
っていうのを考えたんですが、あってますか？

あと、325みたいな一つのｘに対して非可算個のｙが対応してるようなものも
関数って呼ぶのが普通なんでしょうか？

関数といえば、１つのx に対して1 つだけ対応してるので、この
やり方は 325 に書いてあるやり方ではない。RxR の部分集合で考える
のが 325 のやり方。332 は関数のグラフとはいわないが、値域が部分
集合の族のときはこのように表すこともできるということ。
あってることはあってます。ただ濃度が等しくなるという議論はぬけて
いる。(以下ということしか示していない、それでよいのなら正しい。)

だからベルンシュタインだってば。