モナー先生の数学講座一時限目（極限）

２つの袋A、Bがあって。
どっちかの袋にはどっちかの袋の二倍の金額が入っています。

って問題。
数ある禿しく既出の問題の中でも、
これだけはいまいちどうも腑に落ちないところがあるんですよね。

ああこらそこ石投げないで。
わかってる、散々既出なのは分かってるんだけど、ちょっとだけ言わして。

例えば、Ａの袋を選んだとする。
ここで中身は見ない。

さて、今ここでＡの袋の中にはＮ円入っているとしよう。
するとＢの袋の中に入っている金額の期待値はＮ×1.25円。

なのでＢの袋にした方が得だなと思ってＢの袋に変えます。

さて、今ここでだよ、Ｂの中身はまだ見ずに、
Ａの袋に入っている金額の期待値を計算してみる。
するとやっぱりＡの方が得だなということになって、
あれ？と。

永遠にこっちのが得だ、やっぱりあっちが得じゃないかと
繰り返すことになる。

どこがおかしいんだろう。
なんか、期待値というものは、
それほど信用できるものではないということになるのかな。

応用編としてこんなのも考えた。

２つの袋C、Dがあって。
どっちかの袋に入ってる金額は
もう片方の袋に入ってる金額の"倍数"になっています。

まなぶ君（仮）はCの袋を選びました。
中身を見てみると100円が入っていました。
ここで、袋を変えてもいいよと言われました。
期待値を計算してみると、無限大に発散しました。
そこで喜んで袋を変えました。
Dの袋には200円が入っていました。

まなぶ君は喜べばいいのでしょうか、
それとも残念がればいいのでしょうか。

そういう時はね。実験してみるのよ。
舞台を用意してサイコロ振ったりして出目によって結果を作成。
これを何回も繰り返して結果の平均を求める。

かなーり繰り返せばそれが期待値となるはずさ。
さぁ、今すぐ実験を。センセ

実験

（＾＾）

　　 ∧＿∧
　　（　　＾＾ ）＜ ぬるぽ（＾＾）

二度の山崎荒らしにもめげず、生き残ってしまいました。
ごめんなさい。


さてさて、例の期待値の問題（仮称）にとりかかりますか。
606さんのアドバイスに従いまして、
実験を行いたいと思います。

実験1
ＡさんとＢさんの二人で行います。
Ａさんは、見た目の同じ袋を二つ用意して、
片方には100円、もう片方には200円を入れます。
で、Ｂさんの見えないところで袋を適宜シャッフルしたのち、

（１）Ｂさんはどちらかを選んで、入っていた金額がもらえる。
このとき、もらえる金額の平均は？

150円になりますね。

（２）どちらかを選んで、入っている金額を確認したのち、
やっぱりもう一方の方に変える。

これも150円になりますた。はい。当たり前だけど。

というわけで、これから分かることは、
どちらを選んでも結果は同じということで。

ではなぜ期待値はもらえる予想金額よりも高くなってしまうのか。

ということで、つぎの実験。

実験１でさ、
「150円になりますた。」とか僕書きましたが、
嘘です。本当は実験してません。
だってこれは実験しなくても明らかだし。
それに本当に実験したとしたら、
Ｂさんは途中で気付いちゃうんじゃないかな。
あこれもしかして100円か200円かのどっちかじゃねっつって。
迷いようがないと言うか。

そこで、ゲーム性を高くしまして。
今度は袋をえーっと、12袋用意しまして、
まず８つの袋にそれぞれ
50円、100円、100円、200円、200円、400円、400円、800円
を入れまして、
んで、さらに50円の袋と100円の袋を一つの袋に入れる、
って感じで。
説明すんのめんどくさ、だいたい分かるっしょ。
袋が４つできるのね。４つの中にそれぞれ二つ袋が入ってて。

んーで、４つの袋をシャッフルシャッフル。
1人で実験したいときは、４つの袋をさらにでかい袋に一つにまとめて、
しっかり振ったのち一袋を取り出す。
すると中身がぐちゃぐちゃに。
ってなんでこんなところで分かりづらいボケしてんだよ俺はよ。

えー、そうそう、一つ袋を選んで、んで中に二つ袋が入ってるから、
どっちか片一方を選んであける。

さてここでだな、200円が入ってたとする。
変えたほうが得か、変えないほうが得か。

100円の袋と200円の袋の入ってる袋を選んで、200円の袋を選んだ確率と、
200円の袋と400円の袋の入ってる袋を選んで、200円の袋を選んだ確率は等しい。
だから、期待値は300円になって、変えたほうが得になる。

それに対して、袋を開けたら800円が入っていた場合はどうか。
期待値を計算してみると1000円にはなるけれども、
ところが実際には400円しかあり得ないから、変えると損をする。

んー、なんだかややこしくなってまいりましたが、
つまりこういうことかしら。
1600円の入った袋はないという情報が欠如していたために、
期待値が実際にもらえる金額の平均値よりずれてしまったと。

　

うーんわかんないなあ。まだ悩んでます。

逆から考えてみるか。

つまり、
片方空けてみてＮ円入ってたとする。
もう一方には２Ｎ円またはＮ/２円入ってる。

んで、もし仮に、期待値がＮ円に等しいとしたら、
と考える。

もう一方の袋に２Ｎ円入ってる確率をＸとする。
するとＮ/２円入っている確率は１−Ｘ。
期待値は（２ＮＸ＋（Ｎ/２）（１−Ｘ）
これがＮに等しくなるとすると、Ｘ＝１/３
か。

いい感じでさがってまいりました。
500を突破しましたからね。
つうか下から数えて50番以内に入りました。
うーん素敵。もう誰も見てないですよね。
オナニーはやっぱり人の見てないところでしないとね。

えーと、期待値の問題の続きは、
保留と言うことで。
つまってしまったのでね。
しばらくは脳の余剰パワーで
さりげに考えておくことにしましょう。

毎日チェックしとりますよ。

暇人だなあ。（´∀｀）ｵﾚﾓﾅｰ

今日のマメ知識
ＣＣさくらタソの苦手科目は実は算数。

>>611-615
そういう実験をどのようにやっても上手くいかない事を
身をもって示して欲しかったのですよ。せんせいには

ありがとうごぜますだ。せんせ

>>622
そういうことですか。あーそう。
なんかせんせいって呼ばれるのってちょっと萌えかも。