数学的帰納法は，帰納法とは別物?
1 ：1：
長尾真『「わかる」とは何か』（岩波新書，2001）という本で，
「多くの事実のなかに共通の性質が認められるとき，また知るかぎりにおいて例
外が認められないならば，この性質はそれらの事実について一般的なものであ
ると考え，一般的な概念，あるいは真実であると帰結する推論を帰納と呼んで
いる。」
と述べた上で，
「帰納法という言葉に関連して数学的帰納法というものがあるが，これは今述
べてきた帰納法というものとはまったく異なるものである｣
と記述してあるんですが，これって数学やら論理学の世界ではあたりまえのこ
となんですか？ 高校の数学では，「帰納法」の一種として「数学的帰納法」
を紹介されたように思うんですが。
「多くの事実のなかに共通の性質が認められるとき，また知るかぎりにおいて例
外が認められないならば，この性質はそれらの事実について一般的なものであ
ると考え，一般的な概念，あるいは真実であると帰結する推論を帰納と呼んで
いる。」
と述べた上で，
「帰納法という言葉に関連して数学的帰納法というものがあるが，これは今述
べてきた帰納法というものとはまったく異なるものである｣
と記述してあるんですが，これって数学やら論理学の世界ではあたりまえのこ
となんですか？ 高校の数学では，「帰納法」の一種として「数学的帰納法」
を紹介されたように思うんですが。
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2 ：１３２人目の素数さん：02/01/20 18:17
みんな。教えたらダメだからね。
これじゃ質問スレの意味がない。
わざわざローカルルールにまで書いてあるのにね。
ま、ネタにしろマジにしろ、>>1は死んだ方が地球に優しい。
てゆーか、>>1氏ね
==============================================終了==============================================
これじゃ質問スレの意味がない。
わざわざローカルルールにまで書いてあるのにね。
ま、ネタにしろマジにしろ、>>1は死んだ方が地球に優しい。
てゆーか、>>1氏ね
==============================================終了==============================================
3 ：１３２人目の素数さん：02/01/20 18:21
数学的帰納法は、演繹的推論の一つだよ。
4 ：１３２人目の素数さん：02/01/20 18:33
わからない問題、、、のスレッドに質問したら答える用意
があるが、２の指摘にしたがってここには書かない。
があるが、２の指摘にしたがってここには書かない。
5 ：１３２人目の素数さん：02/01/20 18:33
てかさー高校の教科書・参考書ってまちがってるよね、
数学的帰納法に関しては。
だってﾍﾝじゃない？
自然数ｎに関する条件P(ｎ）が
すべての自然数ｎに対して成り立つ
ことを証明するには
（１）ｎ＝１のとき成り立つ。
（２）ｎ=ｋのとき成り立つと仮定すれば、
ｎ=k＋１のときも成り立つ。
これら二つのことを証明すればいい・・・・
って大抵の教科書・参考書には書いてあるけど、
これって、証明すべき命題を仮定しちゃってるから、
(ﾟДﾟ)ﾊｧって感じ。
数学的帰納法に関しては。
だってﾍﾝじゃない？
自然数ｎに関する条件P(ｎ）が
すべての自然数ｎに対して成り立つ
ことを証明するには
（１）ｎ＝１のとき成り立つ。
（２）ｎ=ｋのとき成り立つと仮定すれば、
ｎ=k＋１のときも成り立つ。
これら二つのことを証明すればいい・・・・
って大抵の教科書・参考書には書いてあるけど、
これって、証明すべき命題を仮定しちゃってるから、
(ﾟДﾟ)ﾊｧって感じ。
6 ：１３２人目の素数さん：02/01/20 18:37
数学的明日法
7 ：１：02/01/20 18:38
どうなんですかね？
8 ：１３２人目の素数さん：02/01/20 18:39
>>5
お前が、(ﾟДﾟ)ﾊｧって感じだなこりゃ。
お前が、(ﾟДﾟ)ﾊｧって感じだなこりゃ。
9 ：１３２人目の素数さん：02/01/20 18:40
>>5大学どこよ？(ｹﾞﾗｹﾞﾗ
10 ：１３２人目の素数さん：02/01/20 18:41
私の一物はネタには反応しない
11 ：１３２人目の素数さん：02/01/20 18:43
僕はおなかがすきました
12 ：１３２人目の素数さん：02/01/20 18:51
>>9 リア工ですがなにか？
>>12
同じリアル攻防として恥ずかしい・・・
同じリアル攻防として恥ずかしい・・・
14 ：１３２人目の素数さん：02/01/20 18:56
あっそ
15 ：１３２人目の素数さん：02/01/20 18:57
てかさー高校の教科書・参考書ってまちがってるよね、
超限帰納法に関しては。
だってﾍﾝじゃない？
整列集合Λで添数付けられた命題の集合P（λ）がすべてのλ∈Λに対して成り立つ
ことを証明するには
各λについて、すべてのμ＜λに対してＰ（μ）が成り立つと仮定すれば、
P（λ）も成り立つ。
これを証明すればいい・・・・
って大抵の教科書・参考書には書いてあるけど、
これって、証明すべき命題を仮定しちゃってるから、
(ﾟДﾟ)ﾊｧって感じ。
超限帰納法に関しては。
だってﾍﾝじゃない？
整列集合Λで添数付けられた命題の集合P（λ）がすべてのλ∈Λに対して成り立つ
ことを証明するには
各λについて、すべてのμ＜λに対してＰ（μ）が成り立つと仮定すれば、
P（λ）も成り立つ。
これを証明すればいい・・・・
って大抵の教科書・参考書には書いてあるけど、
これって、証明すべき命題を仮定しちゃってるから、
(ﾟДﾟ)ﾊｧって感じ。
16 ：１３２人目の素数さん：02/01/20 18:58
>>15
お前が、(ﾟДﾟ)ﾊｧって感じだなこりゃ。
お前が、(ﾟДﾟ)ﾊｧって感じだなこりゃ。
17 ：１３２人目の素数さん：02/01/20 18:58
>>16大学どこよ？(ｹﾞﾗｹﾞﾗ
18 ：１３２人目の素数さん：02/01/20 18:59
>>17 リア工ですがなにか？
19 ：１３２人目の素数さん：02/01/20 19:00
>>5 ﾌﾟ
20 ：１３２人目の素数さんの傍観者｢：02/01/20 19:01
>>18
同じリアル攻防として恥ずかしい・・・
同じリアル攻防として恥ずかしい・・・
21 ：１３２人目の素数さん：02/01/20 19:02
asso
22 ：１３２人目の素数さん：02/01/20 19:44
23 ：１３２人目の素数さん：02/01/20 21:01
Λが整列集合⇔Λの空でない部分集合は最小元をもつ。
各λについて、すべてのμ＜λに対してＰ（μ）が成り立つと仮定すれば、
P（λ）も成り立つ。
これが言えたとする。もし
{λ∈Λ|￢P(λ)}が空でないとすると，
その最小元 λ0 が存在し，最小元の定義より
∀μ＜λ0 P(μ)
よって矛盾
■
各λについて、すべてのμ＜λに対してＰ（μ）が成り立つと仮定すれば、
P（λ）も成り立つ。
これが言えたとする。もし
{λ∈Λ|￢P(λ)}が空でないとすると，
その最小元 λ0 が存在し，最小元の定義より
∀μ＜λ0 P(μ)
よって矛盾
■
24 ：23：02/01/20 23:59
ネタにマジレスした私があふぉでしたか？
はずい。
はずい。
25 ：１３２人目の素数さん：02/01/21 00:02
26 ：１３２人目の素数さん：02/01/21 00:27
24は実は23とは赤の別人
かな？
かな？
27 ：１３２人目の素数さん：02/01/21 04:26
「数学的」なんだよ。「数学的」。
後は自分で考えろ。よく考えても分からなかったらさくらスレで聞け
後は自分で考えろ。よく考えても分からなかったらさくらスレで聞け
28 ：名無しさん：02/01/21 07:32
>>27
物理的帰納法、哲学的帰納法とか文学的帰納法も希望。
物理的帰納法、哲学的帰納法とか文学的帰納法も希望。
29 ：１３２人目の素数さん：02/01/21 07:53
物理的帰納法→いわゆる「帰納法」
哲学的帰納法→ある命題の真偽を決することができる存在のみが命題を生み出すことができる。
文学的帰納法→過去に価値のあること書いたやつの書くことには価値がある。
哲学的帰納法→ある命題の真偽を決することができる存在のみが命題を生み出すことができる。
文学的帰納法→過去に価値のあること書いたやつの書くことには価値がある。
30 ：１３２人目の素数さん：02/01/21 08:24
31 ：１３２人目の素数さん：02/01/21 08:41
は？
32 ：１３２人目の素数さん：02/01/21 11:17
むかし，「数学的帰納法は帰納法じゃない」といったら，国語の先生に
「おまえアホか」といわれた経験のある漏れとしてはこのスレッドで
マジレスしてくれる人に期待しる。
「おまえアホか」といわれた経験のある漏れとしてはこのスレッドで
マジレスしてくれる人に期待しる。
33 ：32：02/01/21 11:19
そのセンセは「おれは数Ⅰは得意だ」としきりに自慢する人だった。
34 ：32：02/01/21 11:21
昔は数Ⅰのなかに数学的帰納法があったのかな？
35 ：32：02/01/21 11:28
ちなみに、当時まだちんげが生えてなくて友達に馬鹿にされてた。
36 ：１３２人目の素数さん：02/01/21 11:31
37 ：１３２人目の素数さん：02/01/21 14:25
いろんな例を調べてみてどうやら
すべての自然数でなりたちそうだ
と見当つけて
さー証明しようというとき使う。
そういう意味では帰納法かな。
すべての自然数でなりたちそうだ
と見当つけて
さー証明しようというとき使う。
そういう意味では帰納法かな。
38 ：１３２人目の素数さん：02/01/21 14:47
全てのヒトはハゲであることを数学的帰納法を用いて証明します。
1) ｎ＝１のとき
髪の毛が１本しかないヒトをハゲと呼んで全く差し支えない。
よって、ｎ＝１のとき成立。
2) 髪の毛がｋ本しかないヒトがハゲだったと仮定する。
１本くらい毛が増えたところ、ハゲであることに変わりない。
よって、ｎ＝ｋで成立を仮定するとｎ＝ｋ＋１でも成立。
3) 以上から数学的帰納法により、
任意の自然数ｎに対し、髪の毛がｎ本のヒトはハゲである。
よって、全てのヒトはハゲである。
1) ｎ＝１のとき
髪の毛が１本しかないヒトをハゲと呼んで全く差し支えない。
よって、ｎ＝１のとき成立。
2) 髪の毛がｋ本しかないヒトがハゲだったと仮定する。
１本くらい毛が増えたところ、ハゲであることに変わりない。
よって、ｎ＝ｋで成立を仮定するとｎ＝ｋ＋１でも成立。
3) 以上から数学的帰納法により、
任意の自然数ｎに対し、髪の毛がｎ本のヒトはハゲである。
よって、全てのヒトはハゲである。
39 ：＞38：02/01/21 14:59
ハゲしく概出
40 ：１３２人目の素数さん：02/01/21 16:14
41 ：１３２人目の素数さん：02/01/21 16:38
>>1
まじレスする。悪いか。
長尾真氏の言う「帰納法」は、要するにいくつかのサンプルを見てある法則
を見つけたら、一般にもその法則が成立するに違いないと推測すること。
あくまでも推測であって、なんの証明にもなってはいない。
（が、もちろん一般の自然科学は実験から法則を推測するものであると思えば
このような帰納的推測によって成立しているといえる。）
「全ての日本の幼稚園児は『ミニモニじゃんけんぴょん』を踊れる」という
命題について、幼稚園児１００人について調査したら１００人とも踊れたので
命題は真であるにちがいないと推測する、といったようなこと。
多分、タイトルを見るに、これは認識論の話だと思うので、
人が物事を「わかる」ということには、いろんなパターンがあって
そのうちの一つに「帰納法」がある、という論調では？
それなら、単に認識論の世界における帰納法というのは上記のような
ものを指す、というだけの話だと思われる。
で、繰り返しになるが、ここでいう帰納法による結論は、根拠に論理的
厳密性はない。一方、数学的帰納法は論理的に命題を証明する手段である。
＞高校の数学では，「帰納法」の一種として「数学的帰納法」
＞を紹介されたように思うんですが。
帰納的手法により論理的に厳密に命題を証明する方法の一種に
「数学的帰納法」があるという意味じゃないですか？
まじレスする。悪いか。
長尾真氏の言う「帰納法」は、要するにいくつかのサンプルを見てある法則
を見つけたら、一般にもその法則が成立するに違いないと推測すること。
あくまでも推測であって、なんの証明にもなってはいない。
（が、もちろん一般の自然科学は実験から法則を推測するものであると思えば
このような帰納的推測によって成立しているといえる。）
「全ての日本の幼稚園児は『ミニモニじゃんけんぴょん』を踊れる」という
命題について、幼稚園児１００人について調査したら１００人とも踊れたので
命題は真であるにちがいないと推測する、といったようなこと。
多分、タイトルを見るに、これは認識論の話だと思うので、
人が物事を「わかる」ということには、いろんなパターンがあって
そのうちの一つに「帰納法」がある、という論調では？
それなら、単に認識論の世界における帰納法というのは上記のような
ものを指す、というだけの話だと思われる。
で、繰り返しになるが、ここでいう帰納法による結論は、根拠に論理的
厳密性はない。一方、数学的帰納法は論理的に命題を証明する手段である。
＞高校の数学では，「帰納法」の一種として「数学的帰納法」
＞を紹介されたように思うんですが。
帰納的手法により論理的に厳密に命題を証明する方法の一種に
「数学的帰納法」があるという意味じゃないですか？
42 ：１３２人目の素数さん：02/01/21 17:50
帰納法なんて嫌い
43 ：１３２人目の素数さん：02/01/21 17:52
俺は好きだ－！
44 ：１３２人目の素数さん：02/01/21 17:57
告白するな，こんなところで
45 ：１３２人目の素数さん：02/01/21 17:58
告白なら伝説の樹の下でやれ。
46 ：１３２人目の素数さん：02/01/21 17:58
一般の自然数についての命題は、
厳密にはすべて数学的帰納法を使う。
だから
>帰納的手法により論理的に厳密に命題を証明する方法の一種
というより、むしろ、ただ一つの方法。もちろん、通常の
帰納法とは無縁。
厳密にはすべて数学的帰納法を使う。
だから
>帰納的手法により論理的に厳密に命題を証明する方法の一種
というより、むしろ、ただ一つの方法。もちろん、通常の
帰納法とは無縁。
47 ：１３２人目の素数さん：02/01/21 18:15
なんでもかんでも帰納法で証明しようとするやつ
っているよな．本にも厳密には帰納法で証明する，
とか書いてあって．インチキくさーーい．
っているよな．本にも厳密には帰納法で証明する，
とか書いてあって．インチキくさーーい．
48 ：１３２人目の素数さん：02/01/21 18:19
帰納法を疑うのは自然数の存在を疑うのと同じ
49 ：１３２人目の素数さん：02/01/21 18:24
自然数論がペアノ式とばかりに限ったもんでもなかろう．
あれこそが厳密と思うのは，偏見だ．
あれこそが厳密と思うのは，偏見だ．
50 ：1：02/01/22 00:04
>>41
レス，ありがとうございます。
｢帰納法｣は推論のための技術（方法），「数学的帰納法」は
厳密な証明のための技術（方法），という理解でよろしいですか?
「推論」と「証明」の違いがポイントになりそうですね。
> 多分、タイトルを見るに、これは認識論の話だと思うので、
> 人が物事を「わかる」ということには、いろんなパターンがあって
> そのうちの一つに「帰納法」がある、という論調では？
そのとおりです。認識論の話です。
レス，ありがとうございます。
｢帰納法｣は推論のための技術（方法），「数学的帰納法」は
厳密な証明のための技術（方法），という理解でよろしいですか?
「推論」と「証明」の違いがポイントになりそうですね。
> 多分、タイトルを見るに、これは認識論の話だと思うので、
> 人が物事を「わかる」ということには、いろんなパターンがあって
> そのうちの一つに「帰納法」がある、という論調では？
そのとおりです。認識論の話です。
51 ：１３２人目の素数さん：02/01/22 04:56
認識論
は
自己
を
問え。
は
自己
を
問え。
52 ：１３２人目の素数さん：02/01/22 05:42
帰納法：(Q∧(P⇒Q))⇒P･･･数理論理学の定理(公理)ではない
数学的帰納法：(P(1)∧∀k∈N:(P(k)⇒P(k+1)))⇒∀n∈N:P(n)
似てるでしょ
数学的帰納法：(P(1)∧∀k∈N:(P(k)⇒P(k+1)))⇒∀n∈N:P(n)
似てるでしょ
53 ：１３２人目の素数さん：02/01/22 09:01
似て内
54 ：１３２人目の素数さん：02/01/22 09:21
甘いものは，食事とは別腹です．
55 ：１３２人目の素数さん：
(Q∧(Q⇒P))⇒P
のほうがにてるじゃねえか
のほうがにてるじゃねえか