シンプルで難しい問題
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Σ[k=0,[n/2]] Ｃ[n-k,k]･q^k ≡ F_n(q) とおくと、
F_0=1, F_1=1,
F_{n+2} = Σ[k=0,[n/2]+1] Ｃ[n+2-k,k]･q^k
= Σ[k=0,[n/2]] Ｃ[n+1-k,k]･q^k + Σ[k=1,[n/2]+1] Ｃ[n+1-k,k-1]･q^k
= Σ[k=0,[(n+1)/2]] Ｃ[n+1-k,k]･q^k + q･Σ[k=0,[n/2]] Ｃ[n-k,k]･q^k = F_{n+1} + q･F_n.
q<-1/4 のとき 特性方程式 x^2-x-q=0 の根は √(-q)･exp(±iθ) と書ける。ここに、θ=arccos{1/√(-4q)}.
∴ F_n(q) = {(-q)^(n/2)}sin{(n+1)θ}/sinθ = {(-q)^(n/2)}･U_n{1/√(-4q)},
U_nはn次の第2種チェビシェフ多項式。 (注) nは偶数だからqの多項式になる。
なお, q>-1/4のときは sinh で表わされる。
Σ[k=0,[n/2]] Ｃ[n-k,k]･q^k ≡ F_n(q) とおくと、
F_0=1, F_1=1,
F_{n+2} = Σ[k=0,[n/2]+1] Ｃ[n+2-k,k]･q^k
= Σ[k=0,[n/2]] Ｃ[n+1-k,k]･q^k + Σ[k=1,[n/2]+1] Ｃ[n+1-k,k-1]･q^k
= Σ[k=0,[(n+1)/2]] Ｃ[n+1-k,k]･q^k + q･Σ[k=0,[n/2]] Ｃ[n-k,k]･q^k = F_{n+1} + q･F_n.
q<-1/4 のとき 特性方程式 x^2-x-q=0 の根は √(-q)･exp(±iθ) と書ける。ここに、θ=arccos{1/√(-4q)}.
∴ F_n(q) = {(-q)^(n/2)}sin{(n+1)θ}/sinθ = {(-q)^(n/2)}･U_n{1/√(-4q)},
U_nはn次の第2種チェビシェフ多項式。 (注) nは偶数だからqの多項式になる。
なお, q>-1/4のときは sinh で表わされる。
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