１７個目の準正多面体は存在するのか？

語り合おうぜ。

１６個教えてください

十六個目はミラーという人が発見したんだけども、
これがまた対称性に欠けててね、
賛否両論です、はい。

>>3
ミラーなのに対称性に書けるのか（ｗ

>>4
うまい！！
そうなんですよね。

準正多面体の定義って、
「全ての面が正多角形で、頂点における面の接し方が
　（鏡面対称は同じとみなして）一通りしかないような
　多面体」
でいいんでしたっけ？それとも正多面体は除くの？
あと、何か他に条件ありましたっけ。

んで、私も、１６個の一覧きぼ。

すぐ思いつく所で挙げとくと
正多面体の辺の中点結んでやると
（１）正方形６個、正三角形８個（立方体または正８面体から）
（２）正三角形２０個、正五角形１２個（正２０面体または正１２面体から）
正多面体の頂点を切り落とすと
（３）正六角形４個、正三角形４個（正４面体から）
（４）正八角形６個、正三角形８個（立方体から）
（５）正六角形８個、正方形６個（正８面体から）
（６）正十角形１２個、正三角形２０個（正１２面体から）
（７）正六角形２０個、正五角形１２個（正２０面体から、いわゆるサッカーボール型）

あれ、でもよく考えたら、側面が正方形になるような正多角柱は
全部条件を満たすような．．．ってことはそれも除くわけね。

あとこんなのもあったっけ
（８）正方形６個、正三角形３２個（うち、８個の辺は正三角形とのみ接し、
　　　２４個は１辺が正方形と接する）からなり、一つの頂点に
　　　正方形１個＋正三角形４個
（９）正五角形１２個、正三角形８０個（うち、２０個の辺は正三角形と
　　　のみ接し、６０個は１辺が正五角形と接する）からなり、
　　　一つの頂点に正五角形１個＋正三角形４個

（８）は、立方体の各面をねじったイメージ、（９）は正１２面体の各面を
ねじったイメージですね。

で、あとは？

あれ、よく考えて見たら、
任意の正ｎ角形２個と正三角形２ｎ個でもできちゃうなあ。
ってことはこれも除くのか。

もしかして、「同じ正多角形は必ず３個以上使用されること」とかいう
条件も必要なのかな？

こんなのもあった。
正多面体の各辺の所に正方形をはさむパターン
（１０）正三角形８個、正方形６＋１２＝１８個（正８面体または立方体より）
（１１）正五角形１２個、正三角形２０個、正方形３０個
　　　　（正１２面体または正２０面体より）

三種類の正多角形を使うのもあったような・・・。
一つは十角形。あとの二種類は何角形だったかな？
合計で確か62面体だった。

>>9
あ、わかった。（１０）と（１１）のバリエーションで
（１２）正六角形８個、正八角形６個、正方形１２個
（１３）正十角形１２個、正六角形２０個、正方形３０個
ってやつですね。ちなみに、（１１）でもすでに３種類使ってますが。

で、別の角度から理詰めで考えたら、どうもこの１３種で打ち止めなんですが．．．
もしかしたら、（８）（９）を除いてさらに正多面体５種を加えて
１３−２＋５＝１６種ってこと？

>>10
いろいろ調べてみたところ、
１６種と数える時は、この１３種に、
立方体と正８面体を除いた正多面体３種を加えるようですね。

で、なんで立方体と正８面体を除くかっていうと、
正角柱（側面が正方形、底面が正多角形の角柱）と
反角柱（側面が正三角形、底面が正多角形の、角柱をねじったような形）は
準正多面体から除く、という定義を、一般には採用するからのようですね。

．．．するってーと、全部で１６種しかないってことは、
わりと簡単に証明できる気が．．．

正多面体を除いて純粋に１６個発見されてあるはず、
鏡像を別個と考えるのが１６個と思います、
色々、定義があるみたいで、断言できませんが。
でもミラーの発見は当時ワイルズ以上の衝撃だったろうと思います。

＞ミラーの発見は当時ワイルズ以上の衝撃だったろうと思います。

根拠のないドキュソ発言。初等幾何なんて一部のマニアしか興味がないよ。

>根拠のないドキュソ発言。初等幾何なんて一部のマニアしか興味がないよ。

おっしゃるとうりです、大学でもやらんしね。

最近、多面体の本が出たね。ちょっと興味を引かれたけど、買う気にまでは
ならなかった。見ていて楽しいとは思うけど。
群という観点からいうと、空間の回転群の有限部分群は完全に分かっているから、
本質的に新しい発見があるような気もしないんだけど。

>>15
なんていう本ですか？
詳細キボー

>>16
シュプリンガーから出た「多面体」という本。
http://www.springer-tokyo.co.jp/content/isbn4-431-70925-8.html

>>17
詳細有り難うございます、１０章が準正多面体っぽいですね、
確かになんとなく買える値ではないですね。

>>12
スレ主さんへ。
今ここで上がってるのは、（８）（９）は鏡像があるので２重に数えると、
正多面体を除いて１５種なんですが、１６番目をもったいぶらずに
早く教えて下さい。（普通に考えたら、もうないんですが．．．）

１６個目の準正多面体すなわちミラーの多面体ですね、
１０の多面体の上段の部分(抽象的ですまそ)を４５°回転させたものです。
９０°ではないですぞ、回転させると定義は満たすけど、
対称性に欠ける不思議な多面体なのです。

□
△□△ □△□
□□□□□△□△
▽□▽ □▽□
□

を組み立てるとミラーの出来上がり。

□
△□△ □△□
□□□□□△□△
▽□▽ □▽□
□

●●□●●●●●
●△□△●□△□
□□□□□△□△
●▽□▽●□▽□
●●□●●●●●


●を除いてちょ

●●□●●●●●
●△□△●◇△◇
□□□□□△◇△
●▽□▽●◇▽◇
●●□●●●●●

かな？

●●□●●●●●
●△□△●◇▽◇
□□□□□＞◇＜
●▽□▽●◇△◇
●●□●●●●●

です。

シュプリンガーの「多面体」という本をちょっと立ち読みしてきたけど、ミラーが
発見したという多面体は歴史的には何度も再発見されたもので、古くはケプラーも
知っていた可能性があるらしい。この本を見た感じでは、多面体といえども素人が
ちょこちょこなんかやって、新しい発見ができるというものではなさそう。
当然のことではあるけど。

>>20
なるほど．．．たしかに盲点をついた発見（再発見？）ですが．．．
なんだか期待して損したような．．．萎え萎え．．．
少なくとも、数学方面でなんらかのインパクトを与える発見ではなさそう
ですね。（準正多面体について書いてある本に若干の改訂が必要になった
ぐらいで。）
準正多面体の定義に、各頂点の等価性に関する条件を加えるだけで、
「ハイ消えた〜」ですから。

もしかしたら、準正多面体の形状の分子構造をした化合物なんてものが
あるなら、その亜種の存在を示唆しているという意味で、化学方面で
なんらかの意義があった可能性は（素人考えですが）あるかも
しれませんが。

ちなみに．．．
準正多面体（ここでは、正多面体も含むが、正角柱と反角柱を除く定義を
採用する）の頂点に集まる正多角形の辺の数を頂点の回りの順に[a,b,c]と
いうように[]で囲んで並べて書く（例えば（１０）なら[3,4,4,4]）ものと
し、これが準正多面体を特徴付けるものとみなすと、
[a,b,c]と[b,c,a]と[c,b,a]等は全て等価と考えられるが、
[a,b,c,d]と[a,c,b,d]や、[a,a,b,b]と[a,b,a,b]は別物である。
（裏返しも等価とみなす円順列）
このとき、準正多面体は、次の16通りしか存在しないことが言える。
[3,3,3] [5,5,5] [3,6,6] [3,8,8] [3,10,10] [5,6,6]
[4,6,6] [4,6,8] [4,6,10] [3,5,3,5] [3,4,3,4]
[3,4,5,4] [3,4,4,4] [3,3,3,3,3] [4,3,3,3,3] [5,3,3,3,3]

この頂点の条件に関して、[4,3,3,3,3]と[5,3,3,3,3]については
鏡像があるが、ミラー氏の発見は他に[3,4,4,4]についても
２通りの準正多面体が作れることを示したことになる。
それ以外のものについては、頂点の条件を満たす準正多面体は
１通りしか存在しないことを慎重に調べてやれば、
さらなる発見はありえないことは示せるハズ。

●●□●●●●●
□△□△□◇▽◇
□□□□□＞◇＜
□▽□▽□◇△◇
●●□●●●●●


だろ？

>>28
正解です。

ためになった。ｂｙ項構成

＞もしかしたら、準正多面体の形状の分子構造をした化合物なんてものが
＞あるなら、その亜種の存在を示唆しているという意味で、化学方面で
＞なんらかの意義があった可能性は（素人考えですが）あるかも
＞しれませんが。

フラーレンだな。

>>31
フラーレン？
誰それ？
数学馬鹿ですまそ

>>32
準正多面体の各頂点に炭素があるような分子をフラーレンと呼ぶ。
炭素の化合物。黒鉛・ダイヤに次ぐ別の形。

色々種類が見つかってる。化学的に面白い性質が色々あったり、
中に別の分子を入れたりして化学者が色々遊んでいる最中。
チューブ状に結合しているものは、カーボンナノチューブと呼ぶ。
こちらも、最近話題のおもちゃとなっている。

…これよりもさらに大きな球状構造を持つ分子は、1996年にサセックス大学の
Kroto、ライス大学のSmalleyとCurlの3人に送られたノーベル科学賞で有名な
C60である。C60は20個の六員環と五員環から成る、まさにサッカーボールの形をしている。
その構造が、建築家Buckminster Fullerの設計したドーム型の
建築物と似ている事から、C60はバックミンスター・フラーレン
（Buckminster Fullerene）とも呼ばれている。

C60型
ttp://www02.so-net.ne.jp/~noz/sl/c60.html

>>35
ワラタけど、どこまでマジレスかわからんようになった

数学セミナーにあったけどね昔

立体星形てのもあるね
模型つくったことある

sage

>>36
>>35 以外は全部マジレスだ。

>>27で
[a,b,c,d]と[a,c,b,d]とかを同じとみなしたらどれくらいの多面体が存在するんだろ？

氏ね。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

間間間間間
晶晶晶晶晶
間間間間間
晶晶晶晶晶
間間間間間
晶晶晶晶晶
間間間間間
晶晶晶晶晶

間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間
晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶
間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間
晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶
間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間
晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶
間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間間
晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶晶