シット　サイト　トポス　シャン　モチーフ

ぐろたんの収穫と蒔いた種とに書いてありました。
何だかわからないけど凄そうです。解説おねがいします。
トポスは位相と関係ありそうなんですけど他のは何だかわかりません。

2 ゲットぉーーー！
￣￣￣￣￣∨￣￣￣￣￣￣￣￣￣(´´
　　　　 ∧∧　　　）　　　　　　(´⌒(´
　　⊂（ﾟ∀ﾟ⊂⌒｀つ≡≡≡(´⌒;;;≡≡≡
　　　　　　 ￣￣　 (´⌒(´⌒;;
　　　　　　ｽﾞｻﾞｰｰｰｰｰｯ

解説のホームページ希望〜。（けっこうミーハー）

何でこれ続かないの？期待してたのにぃ〜

自分はageるだけで他人に盛り上げてもらおうと考えてる
奴しか来ないスレが盛り上がらんのは当たり前だとおもう

>>5
真なり。

グロタンさん以前のスキームにはザリスキー位相というものが入ってました。
しかしこれはとても弱い位相だったので、グロタンさんは被覆の概念を
一般化しました。
与えられたスキームX対して、X上の特別なスキーム達を考えます。
（ex.開部分スキーム、エタールスキーム、開部分スキーム＋PD-str、etc)
さらにX上の（特別な）スキームY上に位相（被覆）を
特別な射の集まりで与えます。
（ex.open immersion U_i->Y,etale morphism U_i->Y,etc）
このときX上のスキームに対して与えられた位相をX上の*-topos
(ex.Zariski topos, etale topos, cristallin topos, etc)
X上の特別なスキーム達 */X と *-topos の組を *-site
(ex.Zariski site, etale site, cristalline site, etc)
といいます。

イメージとしては、今までは開集合はスキームの表面にあったのが
空中に浮いたようなものだそうです。
間違って（or わかりにくかったら）たらごめんなさい。
シット->層？
シャン->圏（導来圏）？

tea for one さんありがとうございます。
何なのかわからなかったトポス、サイトが少しわかりました。

シット（景）はＳＧＡ４に出てくると書いてあったのですが他に見つけられませんでした。
下はシャンについて書かれているところです。
・・・任意次元の非可換のコホモロジーのためのトポス上のｎ−圏（シャン）および∞−圏の用語を用いてなされる・・・
私は、その昔「非限定」のｎ−カテゴリー（今私はこれを「ｎ−圏」と呼んでいます）という概念を用いるうえで・・・

トポスって、北千住にあるディスカウントショップちゃう？

甲府にある廃墟の名前だろ

>>10　ダイエー系列では？

トポスは、企業マネジメントの際に
重要な役割することが認識されつつ
あります。

経営者は勉強するように！

数学科は、経営者の養成機関！

このスレ終了ですか？期待してたのに．．．
シャンとシットはやっぱりなんのことなのかわかりません。
SGA4は3冊くらいあるのでどこに書かれているのか不明。
モチーフは．．．なにかボケなくてはいけないでしょうか？

木綿のハンカチーフの略語

>解説のホームページ希望〜。

誰かいないの？　かるーいカンジでいいんだけど。
誰もいなかったらボクが作っちゃうよん。もしかして。（チョット弱気）

ＳＧＡって合わせると１２０００ページ位だと思うんですけど多すぎます！
同じようなことが書いてある本で日本語か英語でコンパクトなのってありませんか？

「モチーフの理論の全体的な描写はまだ非常に遠いところにあります。」と書いてあるのですが
大体どんなものなんですか？グロタンさんはお気に入りっぽいです。

>>17
頑張ってくれ（マジ）。

モチーフはこんな感じじゃないでしょうか:
スキーム上にサイトが与えられたら、それらに関する層やコホモロジーを考える
ことができます。
このとき、よいコホモロジーはWeil Cohomology theoryという条件、
1)finiteness,2)Poincare duality,3)Kunneth formula,4)cycle map,
5)Lefschetz theorem,
を満たします。例えば、
代数閉体上のl進etaleコホモロジー、
複素数体上のBettiコホモロジー、
標数pの体上のcristallineコホモロジー、
標数0の体上のde Rhamコホモロジー
など。
ここで、l進etaleコホモロジーに対するWeil cohomology theoryはなんと
ゼータ関数の性質(有理性、関数等式、Riemann hyp.、etc)
に関係してたりします。

上に書いたコホモロジー達はお互いに密接な関係がある
(テンソルとると一致するとか)ので、グロタンさんは、実は裏に"なにか"があって
それぞれのコホモロジーはその"なにか"を実現して姿を現したものなのではないかと思ったようです。
その"なにか"をモチーフと名付けました。
SGAの代わりに読むものとしては、
モチーフを簡単に知るには、
数論の歩み(別冊・数理科学)、
数理研考究録のいつかのだれか（斎藤秀司先生？）のモチーフについて、
etaleコホモロジーについては、
Milne Etale cohomology (princeton)
cristallineコホモロジーは
Berthelot Cohomologie cristalline des... (LNM 407)
全部知りたいときは
Proc. symp. in pure math. vol55.1
がよいのではないでしょうか。
>>17 さん
頑張ってください

tea for one さんありがとう。概観がつかめた気がします。
本も図書館で発見したので挑戦してみます。
学校に専門の先生いないし周りにも詳しい人いないので
tea for one さんに話聞けてほんとによかった。

訂正
ｎ−圏（シャン）　→　ｎ−園（シャン）
１２０００ページ　→　多分その半分くらい
http://modular.fas.harvard.edu/sga/sga/

toposの定義間違ってました。
正しくは、site上の層の圏です。
>>23
そのページすごいですね...

voevodsky他　のprinceton lecture noteを読んだ方がいらしたら、
感想を聞かせて下さい。

champは英語ではstack．
今度の「数学の楽しみ」で森脇さんが代数的スタックの解説を書いてる．
ぐろたんでぃえく本の訳語は全然通用していないのでちういせよ．

フランス語読めない…

解説期待あげ。

cristalline cohomology については
Ogus の本の方が読みやすかったような. 英語だし.

Ogusの本って
Ogus,BerthelotのNotes on Crystalline Cohomology
ですか？確かにこっちのほうが読みやすいですね。
でもうちの数学図書室には置いてない...

モチーフって
数学的に定義された概念なんですか？

>>31 いや，違う．Grothendieckが「実はこうなんじゃなかろうか？」と期待するところの一つの"哲学"．

>>32
モチーフは数学的に定義されてるんじゃない？
混合モチーフはまだみたいだけど

数学的に定義されているとすると，どこに
書いてある？
それと，どうして下げるの

33じゃないけど自分はsageカキコ率95％越えてる板に
普段いるから、ついsageで書き込んじゃう。
（荒らし・マルチポストは除くよ）

>>34 特に下げる理由もなかったのでこれからは普通に書きこみますね。
モチーフについて書いてあるのは>>21 にでてる文献をみるとよいと思います。

>>21 ：tea for one ：01/12/09 14:25
>SGAの代わりに読むものとしては、

SGA　http://modular.fas.harvard.edu/sga/sga/
もう、たぶんこれは・・・2chのミンナには常識なんだろうなぁ・・・。

>モチーフを簡単に知るには、
>数論の歩み(別冊・数理科学)、

>数理研考究録のいつかのだれか（斎藤秀司先生？）のモチーフについて、

×数理研考究録　ブー。
○数理科学No374,1994.8『特集・数論の不思議な世界』pp．56-61
　　　　　　　　　　「斎藤秀司　モチーフ――ｸﾞﾛﾀﾝﾃﾞｨｯｸの見果てぬ夢」所収

>etaleコホモロジーについては、
>Milne Etale cohomology (princeton)
cf．
Lectures on Etale Cohomology（J.S.Milne）
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/math732.html

cf．斎藤先生の近著
共立講座21世紀の数学 / 木村俊房[ほか]編集
出版者等　　　：東京 : 共立出版 , 1997.5
形態事項　　　：236p ; 22cm
内容著作注記　：整数論 / 斎藤秀司著

cf．数理科学No374,1994.8『特集・数論の不思議な世界』pp．56-61 抜粋
近年の数学の発展は目ざましい。15年前私が修士学生の頃はｴﾀｰﾙｺﾎﾓﾛｼﾞｰと
いえばまだ最先端の高度な理論ですくなくとも半年はかけて勉強したもので
ある。それが今自分が修士の学生を指導する立場になって‘ｴﾀｰﾙｺﾎﾓﾛｼﾞｰぐ
らいは春休みにでも自分で勉強しておいてくださいね’などと無責任なこと
をいっていられる時代になった（？）。更に15年後には‘来週までにはp進
Hodge理論を自分で勉強しておいて下さいね’といっているだろうか？しか
しいかに数学の様々な理論が高度になったとしても‘数学する者’を駆り立
て魅了する根源は不変ではないだろうか？例えば‘数を数える’これは人類
の知的行為の中でも最も原初的なもので心理的にも潜在意識のかなり深い層
に関わっているものである。あの有名なWeil予想はまさに人類意識の深奥よ
り生まれ落ち、Grothendieckそしてその後に続く多くの数学者に多大なる影
響を与え現代数学を今の形に変貌させてきたのである．この予想は有限体係
数の方程式系の解の個数（あるいは有限体上の多様体の有理点の個数）を数
えることにより定義されるWeilの合同ゼータ関数と呼ばれる有理数係数の形
式的冪級数に関するものである．Grothendieckがこの予想に魅せられあのｴ
ﾀｰﾙｺﾎﾓﾛｼﾞｰ理論を構築した逸話は多くの読者の知るところであろう．．．．

>>37
数理科学No374,1994.8『特集・数論の不思議な世界』pp．56-61
=数論の歩みのやつ
ですよね？それではなくて数理研考究録です。
今家から出てきたので確認したらやはり斎藤秀司先生でした。
混合ではないほうのモチーフについては、
こっちのほうをみたほうがいいのではないかと思います。

そういや今週　加藤和也さんの「ｐ進Hodge理論」の解説聞いたっす．
　「Faltings の証明は怪しい（らしい）からFontaineさんあたりの
別証明がでてほしい」とか　おもしかったのお・・

>>40 ＣＯＵＮＴさん、その解説内容，もちっと詳細kibonne〜♪・・・ダメ（＾＾;;）？

ききたいききたいききたい

えとですねー　「代数多様体の４つのコホモロジー理論」から始めます．
Ｃ上のBetti コホモロジー，de Rham コホモロジー（有限体上でもおっけえ），
有限体上の　エタールコホモロジー（Ｃ上でもおっけえ），
クリスタルコホモロジーの間の関係について述べる話なんですが　これらの
理論の関係について述べるのがｐ進ホッジ理論の　加藤氏による講義でありました．
（とりあえず　予告編ちゅうことで　反響があったら次回書きます（藁））

>>43　どうも，ありがとうございます。
要するにそれって，モチーフのことですよねー。
コホモロジーってのは，betti,deRham,etale,cristalの４つだけでしたっけ。
i進アアベル・遠アアベルとかも関係してくるんですかねー。

・・・ま,いっか・・・。続編おおいに期待！！

>>44 そそ！代数多様体（スキーム）上のすべての情報（コホモロジー，
基本群,etc）を統制しているものがモチーフです．ちなみに代数曲線
のモチーフに関しては Y.I.Manin の結果が重要と思われます．

さてｐ進ホッジ理論の続きいきます
グロタンディークによる６つの予想（これらを含む壮大な予想がスタンダード
予想）を紹介していきます．

１）Ｋ：完備離散付値体（Q_pと思うべし），ｋ：Ｋの剰余体
Ｖ/Ｋ：proper, smooth なスキーム
ただしchar K = 0 , char k = p > 0 とする．Ｋを含む環 B_cris とその
拡大体 B_dR が存在して　体 B_dr に係数拡大すると
ｐ進エタール・コホモロジー＝de Rham コホモロジー
が成立し， Gal(\bar{K}/K) の作用を保つ．

レスない・・・・

>>45
Y.I.Manin の結果
て何？

まぁCOUNT氏よ、見てる人はいるからﾏﾀｰﾘ続けてくれや

数論幾何をやるならどこの大学がいいのか教えてください。
東大か京大のどちらかがいいんでしょうか？
あと数論幾何を専攻した方は学部のときにどんな本を読んだのか教えてください。
数学セミナーを読むとヴェイユのBasic Number theoryとかハーツホーンを
読んだと書かれているのですがこれらは学部のときに読み終えないときついですか？

ま、読めるもんなら読んで欲しい。

どっちでもいいべや　整数論とトポロジーと数論とｐ進解析と標数０の代数幾何
微分幾何は必須　んでハーツホーンかマンフォード読んでEGA 読んで
SGA 読めば準備おっけー　あとは Silvermanの編集の「Arithmetic geometry」
買ってアステリスクの　それ関係（p adic period ）とか読めばいんでない？

>>50>>51ありがとうございます。
準備おっけーまでが学部の範囲ということですか？
極められるよう努力してみます．．．

>>52さんへ
>>51が言ってる準備おっけーというレベルを
学部の範囲で極めたら、おそらく天才の領域に入ります。
というか、２ちゃんに来てるような方には無理です。

>>52
>準備おっけー
プロとして？

49,52です。
本を見てみないことには出来るかどうかわからないので
図書館で探したんですがEGA,SGAが見つかりません。
出版社、著者、本の正式名を教えてください。
買ういくらぐらいですか。

>>55
いいなあ，こういう奴って！

>>55 SGAはこれ↓
http://modular.fas.harvard.edu/sga/sga/

>>47 Correspondences,motives and monoidal transformations
Math. sborn. 77 に曲線のモチーフについての詳細が書いてあるなり．

>>57 ＳＧＡのサイトけっこう有名になってるけど　実際読んでるやつ
いねーだろ　ＤＬしたところでプリントアウトきちゃないはずだしな・
・・てかＤＬする気にならん藁

ポストスクリプト版をＤＬして、ビューワー（GSview）使って
ときどき眺めてますが、なにか？

なんかこことまっちまいましたね．．．さむすい．．．

ageてみたり

>>60
PostScript 版てどこにあるの?

sgaを1から読みませんか？
今まで何度か出てますが、
sgaは
http://modular.fas.harvard.edu/sga/sga/
ps版
http://modular.fas.harvard.edu/sga/sga/ps/index.html

大事な大事なSGA5だけないんだ。Springerの版権の関係か？

1から読んでけばおそらく5に到達する前に終了してしまうので
問題ないのではないかと。
万が一5まできたら図書館で借りよう。

あれは最初から読む種類の本なのか？
必要なところだけつまみ食いする本だと思ってたYo

Towards a free electronic TeX version of SGA
http://www.maths.univ-rennes1.fr/~edix/sgahtml/index.html

SGA1 version -1
http://www.maths.univ-rennes1.fr/~edix/sgahtml/master.pdf
とか

モチーフと遠アーベル幾何ってどういう関係ですか。

>>69
それって
線形代数と代数幾何がどのような関係にありますか
っていっているのと似たようなもんだからあまりにも漠然としていると思われ

それはちょっと例えがちがうと思うんですが･･･。

>>71
うーん俺はコホモロジーって幾何的対象を線形代数で処理するための道具
って面があると思うんでそういう風にかいたんだが
どう言えば良いのかね−

モチーフを使って遠アーベル幾何についてなにが分かりそうですか
とかならもうちょっとはっきりしていると思うが

それでは、もう少し質問を具体的にしてみます。
モチヴィックガロア群と遠アーベル幾何での
高次元多様体に生じるガロア群はほとんど同じ
ものと考えてもよいのでしょうか。
解説よろしくお願いします。

73よ。あなたのレスを見てる人は殆どいない。
ageて少しでも多くの人に助言を求めるんだ。

いえその助言どころか罵倒を受けるのではないかと･･･
それでは試しにちょっとageてみます。
モチヴィックガロア群と遠アーベル幾何における
高次元多様体に生じるガロア群との関係を
どなたか解説お願いします。ﾏｼﾞﾚｽ希望です。

このへんの話はうろ覚えですので自分で確認願います
あたりまえだけど 2ちゃんで聞くより先生とかに聞いたり文献を調べた方が正確です

>> 遠アーベル幾何における高次元多様体に生じるガロア群
これは代数多様体の数論的基本群の事でしょうか

Q 上の射影代数多様体上では motivic galois group は
数論的基本群の情報を持っていると期待されるはずですが
これって遠アーベル幾何にかぎらないはずです

遠アーベル幾何ではその数論的基本群によっていろいろな構造が
決定されると言う予想が基本的だったはずで (Galois 群を調べれば
拡大体についていろいろな事が決定できることのある意味での拡張)
motivic な観点から言えば Hodge(というか無限素点) な方面から
攻めたらなにか違った事が分かるかも知れないですけど

ふと思ったんですが遠アーベル幾何を使って motivic galois を構成してみる
試みと言う話なんでしょうか?

>>76、>>77
遅くなりました。解説をありがとうございます。
そうです、その数論的(代数的)基本群のことです。
遠アーベル幾何を使ってmotivic galois groupsを
構成することは考えていませんでした。
といいますか、自分にはどうもmotivesやmotivic
galois groupaというのがわかりにくいですので、
数論的基本群との関係から理解できればと思ったんです。
しかし、非常に参考になりました。お世話さまでした。

数論的基本群を勉強するには何が良い?

自分の場合は「Geometric Galois Actions : Around Grothendieck's
Esquisse d'un Programme 」で勉強しました。
F.Oortさんの「The Algebraic fundamental group」が分かりやすかった。
これです。ttp://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0521596424

表立っては数論的基本群の本ではないけど
久賀道郎 「ガロアの夢」
も傍らに置いておくのも面白いと思う

>>81
基本群π1(D;O)と被覆の説明はでてくる。
毛色の変わったガロア理論を学ぶのにはいいですね。

びびった。
フランス語版PDFファイル318ぺーじもあるじゃんｗ

>>80 ありがとう。読んでみるよ。

グロタンディークの「研究計画書」
（Esquisse d'un programme）ってSGAみたいにネット経由で手に入りますか。

>>80さんの紹介にあった本はそのへんの話題の解説書みたいなんですけど、
オリジナルを読んでみたいっす。

「Geometric Galois Actions」の本にはフランス語の原文と
英訳が両方とも収録されていますよ。
すみません、WEB上にあるかどうかは分かりません。

>>86 ありがとうございます！来週にでも図書館から借りたいと思います。

“遠アーベル幾何”って言葉、いつ頃から使われるようになったっけ？

○下○一は最初のころ「無アーベル」と訳してたと思うけど、今になって
考えると、やっぱり変な訳だね。

話は変わるけど、望月先生が最近展開してる「アナベリオイドの幾何」って
理解してる人いる？
何をやろうとしてるんだろう？
代数体上の楕円曲線のような、本来、解析的な普遍被覆空間が存在するはずの
ないものに対して、それにあたるものを作ろうとしてるんだろうか。
有限体上の曲線の場合の伊原先生の「合同モノドロミー」は、そんな問題意識
から生まれたんではないかと、理解（誤解）してます。

anabelioidは―まだ市民権を得ていないのだが―本質的に面白いのかな。

age

age

age

age

今気づいたんだけどぐろﾀﾝって天才ぽっい

￣¨￣ミー-―r--､
｀i ﾂ　⌒ヽir＝= y´ヽ
　:|　　　:　 |　　: :lー┴-―┬--―〜ー- ..
　:l|　　　l:　ll　　 ::l　　　　　ミ､　　　　　　　　　　＿＿,へ.　　　　　　 , ｨ
ニ_i　　　i:　il　　 ﾐL -‐''' ￣￣¨ ー--- ｯ ' ´￣　　　 lrﾍヽ.―――vツ
　　ヾ､　　　 レ‐''´　"　　　　　　　　　 ｲ　　　　　　 l L_ｨ`′　　　　/{
　　　　ﾄ､　ノ　　 i:　　　　ｿ　　　　　　　　　　　　　 l　　|　　　　　 / __|
　　　ｲ　 ﾌ　　　 l|:　　　 i　　　　　　　 ﾉ　　　　　　l|　 i|　､ｨﾃ､　ｿ　__ｲ
　 ／"'ｰ }　i::　　 |ﾄ､　　i:　 i:　　　　　 i　　　　 i　　il|　i|　 ^ｰ´ ﾐゝ､.∠}　
∠__. -‐┤　{ii::　　||ﾄ､　l:　 l:　 l:　 :　 il　　　　 i　　 il|　il　　ヽrﾍ====(ｿ
　　　　　{　　ヾii:　||||i ﾍ､li:　l:　l:　 i　 il　　　　li:.　　　ヽ､ゝ､_　 ¨ヽ:::i::ノ
　　　　　}　　ｿi:　 ||/⌒てヽ､li　l:　l　 l人　､ _. -=三ﾐ､　　 ／¨ Ｔ¨￣
　`::..''､::;ｿ 　lii:　　/　　'::､)// ｰｯ､_|l　l:　ト､l´　　　 ヾ}　.∠-‐' ｿ
ﾞ'::､ ::､..,,,}　l|||||ll/ ::､　:　//////　　￣¨''ーf／ 　ミﾐ}^L}三彡 /
::.､ ‐=三}　l||||||{三ミ､ .〈〈〈///　　　　　　　ゝ／　　(　ｿ'⌒　ｿ
::､ ::､ ミ{ l||||||||}三三三ﾐヽヽ〈..　　　　　　　　ヽlir⌒ｿ　{=-　/
:::::､:､ ﾐﾉ l/ il||{三三三ミﾐ､ヽ ヽ:､::､ :､　　　　　}ir⌒}.　{､__　{
､ :､ :.､ｿ/　 l||{三三三三ﾐﾊーr‐ヽﾐ､ ::､　　､: ､}ﾚ⌒{.　}三　}
　:､::､ﾑ､ﾆ三__}三三三三三三三三三三三ミﾑレへ Ｖ　l　l ヽ
:::: ､::　､::　::;　::;￣￣''＝三三三三三三三三ミ'ｰ--ヲﾄ ┴┴┘

ネット代に月6万も使うぐらいなら、
AMSから出ている「Motives」を買うといい。

果たして100は数学板の住人かどうか疑わしいが
それでも彼にとって「Motives」は読んだほうがいいのだろうか。

　　
log幾何、アラケラフ幾何、rigid幾何、anabelian幾何、非可換代数幾何
ってなに？ネットにレクチャーノートあったら教えてちょ

>>104
とりあえず、最初と最後の奴は気にしなくて良いよ。

>>100
使い放題にすれば６万円もかからないよ

>>101
AMSから出ているMotivesってMixed Motivesのこと？
それならpdfのがあるよ。
ttp://www.ams.org/online_bks/surv57/surv57.pdf

↑
ちがうでしょ。　たぶん、
serreとかがかかわってるやつ

>>105
log幾何って重要じゃないってこと？↓検索結果
「加藤和也、Fontaine、Illusie によって十年程前導入された「logarithmic structureを持つ scheme」
すなわち log scheme の理論は、toroidal geometry のひとつの一般化を与えているが、中山能力、梶原健、
中島幸喜、加藤文元、志甫淳といった国内の若手を中心に、近年目覚しく研究が進んでおり、広く注目を集めている。 」

>>109
日本人ばかりだね。
問題によってはそれなりに重要ってくらいじゃないの？

しかし岩波の展開の最後の配本の 2 冊はなかなか出ないね
Fermat 予想の後半と Weil 予想の本