ホモトピー群ってなぜ球面が大切なの？

ホモトピー群とホモロジー群って
定義は違うけど似たような定理が成り立ちますよね？
でも、具体的にホモロジー群は定義が難しいけど計算できるけど
ほもとぴー群は定義は易しいけど計算するのが大変そう。

本を見ていたら球面のホモトピー群は書いてある本が多いけど
その他の空間のホモトピー群は書いてある物が少ないようだけど
なぜ球面だけが重要なのですか？

何でこんな時間にｸｿｽﾚたてるの？

いたるところですることがないからじゃない？

おい、誰かクソスレ認定証出したれや。

今井様、今井様。ここに駄スレがありますよ。

この蛆虫、どうやって始末しましょう？

球面以外で真面目に計算できる例が少ないから

球面のホモトピー群というのは
もう完全に求まっているのですか？
なにか、よい本はないですか？

球面みたいに簡単な対象なのに、わからないから研究してる人がまだ
いるのでしょう。戸田先生の本をお調べください、ご存知で書いて
いられるのだと思いますが。

戸田先生の本というのは、紀伊国屋のホモトピー論ですか？

また、この質問をしたのは
球面のホモトピー群という物そのものが重要なのか？
それとも、ホモトピー群が具体的に計算できるのが球面だけなのか、
そのどちらなのかがよくわからなかったからなのですが、
これらはどちらなのでしょうか？

また代数的位相幾何学以外で
ホモトピー群が応用あるいはホモトピー論の問題に帰着されるような
事はあるのでしょうか？

答えると自作自演が始まるのか？

>>7
「球面のホモトピー群が完全に求まっているのか？」
という問いかけは、
「円周率が完全に求まっているのか？」
という問いかけと同じようなもんではないかと（汗）

種数が1以上の曲面の高次ホモトピー群って自明なんですか？

>>12
その質問は上記のどこのレスと関連するんですか？
特につながりはないのですか？
誰に対する問いですか？

11、12の方は冗談でお書きでなければホップ写像ってのを検索ください。

>>11
その喩えの意味がわからん。

>>14
質問や意見の内容から見れば当然、ホップ写像については調査済みと思われ。

分かっててやってんでしょ？

>>15
「定義されてるから完全に決まってる」って筋じゃないかな?

逆問題がポアンカレ予想に関係する。

>>19
逆とはなにの逆ですか？

ホモトピー群について勉強しようと思えば、どこの大学の講座が
お勧めですか？

>>20
ホモトピー群も一つの位相不変量だから、ホモトピー群が違えば
３次元球面と同相ではない、ってことだろ。

「逆」という言葉の使い方が正しいかどうかは知らないが。。。

まだ続けるつもりか？
すげぇ粘着力だな．

>>22
ｵﾏｴﾓﾅｰ

興味があるからやってるんで…
余計なチャチャをいれているやつの方が粘着だろ
無視すりゃいいだけ

>>21
京都大学に行くのが無難かと思われ。

続きはこちらで…

http://yasai.2ch.net/gay/

>>26
京大だと河野 明先生と西田 吾郎先生あたりが
ホモトピー論ですかね。
どちらの先生につく方がいいですか？

2-5、10、23、27のように無内容なレスばかりつけてる奴っていったい何なんだろ?

ホモトピー群の話題のようなので。
トポロジーは学部で必修科目としてやったことしか知らない全くの部外者ですが、
Bott-Tu「微分形式と〜」を読んでホモトピー群に興味を持ちました。
ホモトピー群に関する初学者向けの分かりやすい読み物ってありますか?
(ネットで入手できるものであればありがたい)

>>29
微分形式とホモトピー群が関係あるのですか？
いままで、ぜんぜん関係がないと思ってたので驚きです。
よろしければ、どういった関係があるのか概略を説明してもらえませんか？

以前に信州大の玉木先生のページに、
ホモトピー群の計算がのっていたのを見た記憶があるので、さっき見てみたら、
サーバーがとんだとかで、論文しかおいてなかった。
＃しかし、最近、妙な粘着があちこちのスレに出没してるな。

>>30
Bott-Tu「微分形式と代数トポロジー」の中でスペクトル系列の
説明があって、その応用としてホモトピー群の話が出てきました。

>>32
説明ありがとうございます。
直接関係あるわけではないわけですね。
Serre スペクトル系列ですか？

ところで、スペクトル系列ってすごく難しいと思うんだけど、
これってどのくらい計算できる物なんだろう？

>>29
英語でよければ
http://www.indiana.edu/~jfdavis/book.html
でどうぞ
セクション6 にホモトピー群が書いてあるようです。

面白そうな本の紹介ありがとうございます。
ただ、目次のpdfしか落ちてこないのが悲しい。(近刊だから?)

球面ぐらいしか、まともに扱えないからではないのかな？
一般的な多様体を高次元であつかうとすると、定義も大変だし、
必要な記述が爆発するような気が。

なんか当たり前のことを書かないから変な話になってる
ようなので当たり前のことをひとつ。
n 次球面は Algebraic Topology では基本的な対象である。
この m 次ホモトピー群は m>n のとき必ずしも０にならな
い。しかもその群構造を決めるのは一般的な方法で決まっ
ていない。当然、対象は無限個あって、だからまだ続いて
いる。基本的で簡単そうに見えるところに非自明な現象が
おきたから（ポアンカレは０となると思っていたってどっか
に書いてあった記憶がある）皆の興味が集中したのでしょう
が、もういいんじゃないでしょうか？球面の一点和のホモト
ピー群の計算は Hilton-Milnor Theorem っていって確か
Whitehead の本に出ていたと思ったけど。

え？ええ？
ホモとＰ？
うっそー、1>>はホモなのか。

38を晒しあげ

>>37
対象が無限個あるという意味は、未だに計算を続けている人が
いるという意味だと思うのですが、ひたすら計算するだけだと
あんまり意味がないような気がするのですが・・・

それとも、球面のホモトピー群全体の性質として、何か面白い
性質が出てくることが期待されているから計算が続けられている
ということのなのですか？？（たとえば、有限群は無限個あるけども
有限群の様々な研究が続けられているように）

>>40
ちょっとマジレス。
一般にあたえられたm>nに対しホモトピー群π_m(S^n)=[S^m,S^n]を計算する
アルゴリズムはあたえられていないと思う。(m,n)が十分小さいときは
計算できる場合があって、そういうのを計算してるひとはそゆのを計算してる
うちに一般に計算できるアルゴリズムがみつかるんじゃないかと期待してやって
るんだろうと思う。

>>40
現在では、ホモトピーの専門家でも、球面のホモトピー群
の計算ばかりしているのはごく少数。また、何かに役に立
つかと問われると、ホモトピーの専門家の多くは知らない。

役立つトコロは確かにあるので、それをホモトピーの専門
家に教えてあげると、歓迎される。たとえば、対象が無限
あるといっても、それらの中で重要な箇所と、それほどで
もない箇所があり、他の数学の分野とも関係する興味ある
部分に規則性があることが分かったりすると、Happy にな
れる。

それに対し、「そこに対象があるから、計算するんだ」と
いうヤカラもいるが、あまり好きじゃない。

>Whitehead の本に出ていたと思ったけど。

書名教えてください。

>>43

Elements of homotopy theory, Springer-Verlag

Hilton-Milnor Theorem は XI 章

>>42
なるほど。球面のホモトピー群単独ではあまり面白そうではありませんね。

今、ホモトピー群またはそれに準ずる分野で、他分野とも関連のあるホットな
トピックというと、例えばどのようなものがあるのですか？やはりゲージ理論
とかとの関連になるのでしょうか？

書けませんよ(￣ー￣)ﾆﾔﾘｯ

>>46
制御文字をやたらと使うのはヤメレ

>>45
最近はやりのゲージ理論を勉強した日本の代表的なホモトピーの
専門家もいますが、未だにその論文がないので、おそらくそれと
は関連がついていないのでしょう。ただ、ホモトピー群と今流行
の理論を結びつけようとするのは余りにも安直で虫の良い期待の
ように見えます。

それでは何と関連付けるかという点ですが、これは企業秘密とし
か申せません。漠然としたものなら、ホモトピーと解析、あるい
は、ホモトピーと計算機の意味論、などが有望だと思うのですが。

>>45　に質問
>「例えばどのようなものがあるのですか？やはりゲージ理論
>とかとの関連になるのでしょうか？

　ここで、なぜに「“やはり”ゲージリロン」という言葉が出てくるのだ？
　ちょっと。。。なんかヘンな感じを受けたが。

ホモトピーとゆーか、ホモロジーだったらゲージではしょっちゅう出てくるようなきがしたんだ。漏れは。
ゲージ理論のどこにホモトピーが結びつくかなぁって。“球面”というあたりの言葉の響きかな？球面シーター（藁
　
　

さては・・・カマかけたな・・・（ｗ>>45

>>45
>>50
42=48 から。カマでもいいじゃん。
人のアイデアでも発展させてくれれば、数学全体には良いので。

>>49
私はあまりホモトピー理論に詳しくはないので、知っている言葉を言ってみた
だけなのですが・・・どうやらゲージ理論とは全く関係ないようですね。
すいませんでした。

>>50
>>51
この場合カマかけるって、どゆ意味ですか？

>>52
悪い言葉でいうと「人のアイデアを盗む」ということ。

ちょっと知らんぷりして、夢でつながっていたこといい加減に
人にきいたら、やっぱり関係あったんだってこと何回かあったよ。
２ch なんてない時代のことだけどね。
だから、カマかけたっていいんじゃない。かけられた方だって
悪い気はしてないだろう。この場合、全然そうじゃないみたい
だけど。

50=53 ？

私は、一般的なトピックとして「関連があるの？」と聞いただけなのですが（汗
何だか知らないですが、別に悪意はありませんので。

どうやらこのスレには研究者レベルの方も相当いらっしゃるようですね。
不用意なことは言わないようにしときます。　(-x-)

>>55
だめだめ。数学板の法則として“教えてちょ”というノリの人が
いないとスレがもりあがらん。聞きまくれ。盛り上げれ。

>>56
つーか、オマエが話題提供しろや（Ｗ

>>55
いや、ゲージ理論はむしろ、ホモトピーなどの荒っぽい方法では
わからない部分を見ているのでしょう。ただし、球面の安定ホモ
トピーなどの有限群に値をもつ不変量についてゲージ理論は使え
るのかどうかという点は不明。もしこれができると分かれば、優
れた研究だと思う。

>>44
どうもです。
他にシンガー・ソープ「トポロジー入門」後に
ホモトピーやホモロジーはどの本で勉強すればいいですかね？洋書でも可なんですが。
ボット・チューはよく勧められますが・・・

>>59
いわゆる代数的位相幾何ですと、ある程度までは、教科書があります。
日本語で丁寧なのは、戸田・中岡「位相幾何学」(岩波)
一応これから始めるのがよいのかも知れません。
ホモロジーでは日本語よりも
A.Dold "Algebraic Topology" Springer
が分かりやすいという人が多い。ただし、これはホモトピーはゼロで、
ホモトピーの近付きやすい教科書はあまりありません。Whitehead
の本はその中でも近付きやすいものの１冊です。続編を出してくれる
といいんですが。ボット・チューというのも、ほんの一部分でしかない
ので。でもいい本だと思います。
シンガー・ソープも松江/一楽両氏のかなり前の翻訳ですが、
数学書にはめずらしく、現在でも需要があるのか絶版になっていません。
これを読まれたのなら、この道では標準的な教科書
Spanier "Algebraic Topology"
も読むことができるかも。ただし、根気がいる本です。

>>60
Spanier の Algebraic Topology を曲がりなりにも読み通した
人って２ch書き込んでいる人のなかにいるの？
Whitehead だって面倒なところがあるし、厚いし。

>>61
昔、ある大学の４年のテキストでした。当時は出版社がAcademic
だったかな。本棚を調べればわかるが。
それに比べて Whitehead はずっと後だけど。500ページ以上と厚
いので読めるんです。圧縮されたものだと大変。だから紀伊国屋
の三村氏の「ホモトピー」は辞書として以外には、すすめない。

>>62
それは聴いて知ってるんですが、読み通したのかな？
ってことで。

>>62
ごめんなさい、あなたが読み通していたんですね。

小松・中岡・菅原の『位相幾何学�T』なんかもメチャいいよー。
これ読みとおせたらとりあえず可だろう。と思ってる。
深谷センセもずいぶん苦闘して読んだらしいけど。
今漏れは3分の1くらいだが。

ロシアからの絵が一杯入った『ホモトピー論』持ってるけど、あれはどうよ？
adams系列についての本らしいけど。

>>65
A.T.Fomenko D.B.Fuchs V.L.Gutenmacher の本かな？
わりにおもろかった。あれでスペクトル系列ってのがどんなもんか
わかったような気がした。漏れはゼーツェン･フー(だったかな)
っての買おうかどうかなやんでんだけどあれはどう？読んだ人いる？

>>60
訂正：65さんの言われた、小松/中岡/菅原：「位相幾何学I」でした。
この本の小さな欠点は障害理論の議論がファイバー空間でやっていないこと。
まあそれは Steenrod のFibre bundles(和訳もあり)で補えますが。

スペクトル系列だけでは、計算するアルゴリズムは作れません。
つまり、完全系列としては、...->D->D->E->D->D->E->D->D->...
というように続くのですが、分かっているのはEで、知りたいの
はDだからです。補助的な情報がスペクトル系列の他に利用でき
るときは運良く計算できることもあります。

フォメンコシリーズは眺めたことはあるけど、読む暇はありません。
少しホモトピーとは外れるが、29さんの Bott-Tu 「微分形式と〜」
はあちらこちらのセミナーで使われているようで、むずかしくはない
が、内容はある本です。

それから、今は絶版で手に入らないのが残念ですが、
Mosher-Tangora の "Cohomology operations and applications in
homotopy theory" を忘れていました。これはホモロジー、コホモロジー
を知っているだけで、わかりやすく読める本です。大学の図書館になら、
あるでしょう。この本でホモトピーの計算をして遊べます。程度は
古典的な Adams spectral sequence まで。 McCleary の
"User's guide to spectral sequences" は初版は誤植が多かった。
これはずっと読みにくい。

　たぶん　66,67　さんって自分には先輩格の人なのでしょうねぇ・・・
ｴﾗｿな口聞いてしまいましてｽﾏｿです（汗
　おそらく自分後輩だと思いますんで、いろいろとご教示お願いしますです。
ｍ○ｍ

ちなみに、今ドキュソ大学数学科3回です、自分・・・

Spanierは、ちょっと古すぎませんか？
私は、まだSwizterのAlgebraic topology (homotopy and homology)の方が
良いように思います。あるいは、AdamsのChicagoレクチャーとか。

安定ホモトピーに逝きたいのか、非安定ホモトピーに逝きたいのかでその後読む本
が分かれるでしょうが、ちょっと安定よりの選書としてはこんなもんでしょう。

　netで利用できる（orしてるよーっていう）資料、もしあったら
うれしいっす。

>>69
綴りは Switzer でしたね。あれもだいぶ前の本で、1975です。
Adams の Chicago Lecture Notes は今はペーパーバックで
手にいれやすいですね。実は今は
Rudyak "On Thom Spectra, Orientability and Cobordism"
を読もうと思っているのですが、ヒマがなくて。

>>70
Algebraic Topology については、preprint を集めたサイトが
アメリカにあります。九州大学、北海道大学、東工大、信州大学
の数学科のサイトなどからリンクされています。これは無論タダ。

それから、ホモロジーやホモトピーをざっとでも知ったら、
教科書類よりも、論文の方が読みやすいことが多いことも
知っていて損はない。理由は２つ
１. 論文は人が分かるように書かなくては出版を受理されない。
２. 教科書を書くとき、参考にする元となる文献の要約として
教科書を書くので、省略が多く、読み手にとっては理解しにくい。

>>73
なるほど！
ところで、73さんは　マサイネット　ってご存知ですか？

>>71
ごもっとも。まあ、スタンダードかな？と思って書きました。同じくらいの
年代だと、荒木先生の紀伊国屋から出ている本も有名なのですが、ミーハーに
洋書に走ってみました。

しかし、よく考えてみたら、その後の専門書で、大学院（修士）レベルで読みやすい
本というのがあまりないような気がします。
80年代以降はカテゴリー的な色合いが濃くなりすぎてきて・・・

あ、そういや、Kochman の本とかもありましたね？（題名忘れましたが）
あれは読みやすいのですか？

>>70
Hopf archive ですね
http://hopf.math.purdue.edu/pub/hopf.html
しかし、基本的に論文置き場なので、初学者向けではないでしょ？

>>68
数学に年齢は関係ありません。すべて ...氏 ですから。

>>74
まさいではなく、MathSciNetですな。
論文検索の会員制サイトです。

>>75
というか、荒木氏は一時 MR理論にこりすぎて、残念でした。
ホモトピーの最近の傾向は、ハードでなくソフトホモトピー
のスペクトラム全盛で、少しでも外にいるものにとっては、
幾何学的イミをつかむことさえ困難になっていますね。
このように余りにも専門家的になることは、決して数学とし
ては好ましいことではないと考えます。

Kochman は Lecture Notes in Math でしょうか。あれを
チェックする気にはなれません。

Hopf archive はもちろん一般向けではない。それ以外でも、
WEB で適切な keyword で検索すれば思いがけないところに、
いろんなものが見つかりますが。

>>74　そうですそうです！
　MathSciNetって、会員料払わないとできないのですか？
ネットで検索してて、結局あそこにいってしまう、という経験を何度かしました。
そして、どうしても入れない。どうなんでしょ？77さんは入ってるんですか？

>>74
もちろん。利用します。これで、暗い図書室で、重たい
Math Review と格闘することもなくなりました。
数学教室をもつ大学の教官や学生さんたちは利用できるで
しょうが、そうでない方も多いので、ここでは差し控えました。

>>79
研究機関単位で入っているのが普通です。
会費けっこう高いYO！自腹じゃ払えん。

うちの図書館は暗くない。。。
MathReviewは重いけど。

夜になって、えらく盛り上がっているな、このスレ（Ｗ
みんな夜型？
ホモトピーでは、朝起きて勉強するのは少数派なのかな？

>>83　に激しく同意（爆
　なんかいきなり盛り上がってる、このスレ・・・。結構オモシロイっす！
よおしっ、２時ごろ２ｃｈタイムにしよおっと♪

悪いけどマサイネットって妙に笑ってしまった。

いや、１２時ころからのほうがいいか。。。ま、いいか。

寝よ。もうちょっと勉強してから濃ゆい話をできるようにｶﾞﾑﾊﾞﾘます

>>84
1ページでも本を読むことをお忘れなく。
ふと、気が付くと、鳥がさえずり始める朝になっていた
という充実感を味わえるのは、ほんの数年間の特権です。

このスレの題名とは関係なく、ホモトピー論一般についての話になってきたな（苦笑

>>89
元にもどって、球面のホモトピーは手術理論の右手です。
左手はWall群。

>>90
Wall 群って何ですか？ Wall は名前ですか？

>>91
>Wall群って何ですか? Wallは名前ですか?
そうです。C.T.C.Wall です。1970年に "Surgery on compact manifolds"
を書きました。同じホモトピー型を持つ多様体を分類するときに現れる
群です。単連結の場合には、大昔 Milnor らがやったものを、単連結でない
場合に拡張した手術理論に現れます。

ソフトホモとピーってなに？安定ホモトピーの別称？

44ほかレスくれた方、ありがとうございます。
このスレ勉強になります。
今度、図書館でいろいろ見てみます。

>>93
いいえ、ソフトホモトピーとはspectrumを使って議論するホモ
トピー論です。それに比べて、Toda流のものを hard homotopy
といいます。あ、このspectrum というのは、spectral sequence
とは別の概念です。もちろん関数解析のそれともちがいます。
元はコボルディズム理論から始まった一般コホモロジーをホモ
トピー的に扱うときに表れます。
(cf.安定ホモトピーは stable homotopy)

>>95
はあ、そんなのがあるんですか。stable homotopyは勉強したことが
あるんですが。もしかしてそのspectrumというのはよく聞く
CW-spectrumのspectrumと同じspectrumですか？具体的に理論の
アウトラインかなにか教えてください。

>>96
長くなりすぎるし、簡単に自分で調べられる。
generalized cohomology
spectrum
などのキーワードでGoogleを探してもみつかる。
それに、今日は眠たいので。

>>96
CW-spectrumと同じspectrumです。
もともとは95さんが言っているように、コボルディズム等の一般コホモロジー
あたりを表現する空間の列として出てきた概念だと思いますが、今では
もっと抽象的にAdams とかBoardmanとかの意味で使っています。そのあたりの
古典的な議論は、Adams のシカゴレクチャーに詳しく書いてある。
80年代には、他にもPeter May の書いたもので何かあったと思う。

しかし、他の幾何学の分野の人に話をするときには、確かに苦労する
概念の一つ。でも、きちんと説明しないと「オマエ、それ何やってんだ？」
ってことになりかねないので、stable homotopy をやる気なら越えなければ
ならない壁。

>>95
西田先生の「ホモトピー論」には、ハードとソフトの違いが他の言葉
で書いてあったように思うが？
（ハードの定義はその通りだったと思うが、ソフトは違ったような気が・・・
今手元に本が無いから、間違いだったらｽﾏｿ ）

>>98
ありがとうございます。私はそのsoftの方には疎いので、
BP-theory とか Adams-Novikov ss とか、Morava-K だとか、
P.May の3部作もそうなんでしょうか? いずれにせよ
関西学派(名古屋以西)の方にそれは譲ります。

ホモ3P

BP-theory についてですが、
これが、形式群などのから色々な基本的な公式が得られますが、
Morava K やJohonson-Wilson 理論なども形式群と
なんらかの関係があるのでしょうか？

>>102
関係はあります。どういう意味で聞かれているのかは知りませんが、formal group lawは
orientation を持つコホモロジーから作られます。良く知られているところでは、

常コホモロジー .... 加法的形式群　f(x,y)=x+y
Ｋ理論　　　　 .... 乗法的形式群　f(x,y)=x+y+xy

がそれぞれ対応してます。

Brown-Peterson理論の形式群についてはよくご存じ（？）のようですので、
ここでは触れませんが、形式群について知りたければ上にも頻繁に引用されて
いるアダムスのシカゴレクチャーに含まれている
Part II "Quillen's work on formal groups and complex cobordism"
でも、まずは御覧になっては如何でしょう？

>> 103
たとえば、K理論はJohnson-Wilson 理論ではE(1) ですが、
たとえばMorava K(1) やE(2) などが定める形式群というのは
どのようなものになるのでしょうか？
Adams の本にはMorava K や Johnson-Wilson 理論は
書いてなかったと思いますので・・・

あげます。

前回丁寧にレス頂いたんでまた来ました。
この本ってどうですか？三村護 って色々訳書出してますね。

ホモトピー論 / ゼーツェン・フー 著 ; 三村護 訳
現代数学社, 1994

すいません、スレ違いかもしれませんがどなたかご教授おねがいできませんか？
次の問題がわからないのですが…

・３次元人が４次元に入っても全体を見ることができないことの理由
・地球が球面であることの確認方法

どなたか…お願いします

平面上に書かれた三角形の内角の和は180度。。。。。

>・地球が球面であることの確認方法
今では人工衛星の映像で一目ですが、歴史的には地表面を三角形分割して
オイラー標数を計算することではじめて地表面が球面と同相であると
判明しました。

>> 109
これって実際に世界一周して三角形分割をしないと
出来ないのではないですか？
何年ぐらいに計算されたことですか？

age

↑　せっかく死にかけたクソスレをあげないように。

良スレ上げ

球面の安定ホモトピー群が
R 上のベクトル空間で体(のような物）になるものが
R=R^1
C=R^2
H=R^4
O=R^8
だけと言う事に関係あると聞いたのですが、どう関係があるのですか？
証明の概略のような物も教えていただけませんか？

それはあくまでうわさであって・・・。

>>115
名前にｳｹﾀ

　>三村護 って色々訳書出してますね。

　だしまくってますね　というべきだな
　そんなに金がほしいんだろうか

http://js-web.cside.com/index.html

サリヴァンという人の仕事の意義について、誰か解説してくれませんか？

povyuc6546

xtryipu6540cghk
xftutyx;oixft

球から、トーラスへの任意の写像の写像度が0になることを示せません。
ドラーム・コホモロジーと関係あるっぽいんですが。
教えて下さい。

マ　ル　チ　ポ
ｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━( ﾟ∀)━( 　ﾟ)━(　　)━(ﾟ 　)━(∀ﾟ )━(ﾟ∀ﾟ)━!!!!!

早く答えろクズ共が

π_2(T^2)=π_2(S^1) + π_2(S^1)=0

不朽の名著 リー群の位相を読みなさい